3.平面一般力系
?定义, 作用在物体上的各力的作用线都在同一
平面内，既不相交于一点又不完全平行，这样
的力系称为平面一般力系。如图 起重机横梁 。
G Q
FAy
FAx
FT
?平面一般力系的简化
1.力的平移定理
F
A
O
F′
F″
A
O
F′
M =
因此,作用于刚体上的力，可平移到刚体上的
任意一点，但必须附加一力偶，其附加力偶矩
等于原力对平移点的力矩。
? ? ? ?FMFdFFM O?????，
d d
2.平面一般力系向平面内任意一点的简化
作用于简化中心 O点的平面汇交力系可合成为一个力，称
为该力系的 主矢, 其作用线过简化中心点 O。各附加力
偶组成的平面力偶系的合力偶矩，称为该力系的 主矩 。
主矩等于各分力对简化中心的力矩的代数和，作用在力系
所在的平面上,如图示。主矢的大小和方向为,
RF?
? ? ? ? ? ? ? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
???????
?
?
????
x
y
yxyxR
F
F
FFFFF
?t a n
2222
OM
3.简化结果及分析
结果, 平面一般力系向平面内一点简化，得到一个主
矢和一个主矩，主矢的大小和方向与简化中心的选择
无关。主矩的值一般与简化中心的选择有关。
分析,
（ 1） 若, 则原力系简化为一个力和
一个力偶 。 在这种情况下, 根据力的平移定理, 这
个力和力偶还可以继续合成为一个合力 FR,其作用
线离 O点的距离为, 利用主矩的转向来
确定合力 FR的作用线在简化中心的哪一侧 。
00 ??? OR MF,
/ORd M F ??
O
FR′
Mo O
FR
d O
Mo
FR′
O
FR
d
(2)若, 则原力系简化为一个力 。 在
这种情况下, 附加力偶系平衡, 主矢即为原力系的
合力 FR,作用于简化中心 。
(3)若, 则原力系简化为一个力偶,
其矩等于原力系对简化中心的主矩 。 在这种情况下
,简化结果与简化中心的选择无关 。 即无论力系向
哪一点简化都是一个力偶, 且力偶矩等于主矩 。
(4)若,则原力系是平衡力系。
同理，如果力系是平衡力系，该力系的主矢、主矩
必然为零。因此,就是 平面一般力
系平衡的必要与充分条件 。
00 ??? OR MF,
00 ??? OR MF,
00 ??? OR MF,
00 ??? OR MF,
由此可
得平面
一般力
系的 平
衡方程
为,
0
0
( ) 0
x
y
O
F
F
MF
??
??
? ?
?
? ?
?
?
?
?
例 1,求图示梁支座
的约束反力。已知,
2F k N? 2am?
a a a
F F
A B
解,取梁为研究对象。
受力图如图示。建
立坐标系，列平衡
方程,
Fy
Fx
FB
y
x
Fx- FBsin30o=0
Fy+ FBcos30o-2F=0
-Fa-2Fa+ 3aFBcos30o=0
0
0
( ) 0
x
y
O
F
F
MF
??
??
? ?
?
? ?
?
?
?
?
即,
求得,FB =2.3KN
Fx = 1.15KN
Fy =2KN
4.平面平行力系
?定义,平面力系中各力的作用线互相平行，
则称为平行力系，如图所示。
F1
F2
F3
F4
F5 y
x o
4.平面平行力系
?平面平行力系的平衡方程,如取坐标系中
Oy轴与各力平行，各力在 x轴上的投影恒
等于零，即 因此,平面平行力系
的 平衡方程 为,
? ? 。0xF
? ? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
0
0
FM
F
O
y
? ?
? ? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
0
0
FM
FM
B
A或
式中 A,B两点连线不能与各力的作用线平行。
例 2：如图示为铁路起重机，起重机重力 G1=500kN，重心
C在两铁轨的对称面内，最大起重力 F=200kN。为保证起
重机在空载和满载时都不致翻倒，求平衡重力 G及其距离
x。尺寸如图所示。
空载时，以 A点为矩心，列平衡方程,
GX-0.75G1 =0 (1)
解：设左边铁轨对起重机的支撑力为 FA，左边
铁轨对起重机的支撑力为 FB。 则：空载时，此
时 FB=0；满载时,FA=0。
满载时，以 B点为矩心，列平衡方程,
G(X+1.5)+0.75G1-6F =0 (2)
由（ 1）、（ 2）可得,
G=300KN
X=1.25m
5.物体系统的平衡条件
? 由多个构件通过一定的约束组成的系统称为 物
体系统 （ 物系 ） 。 系统外部物体对系统的作用
力称为 物系外力 ；系统内部各构件之间的相互
作用力称为 物系内力 。 二者没有严格的区别 。
? 在求解物系的平衡问题时，不仅要考虑系统外
力，同时还要考虑系统内力。
? 若整个物系处于平衡时，那么组成这一物系的
所有构件也处于平衡。既可以以整个系统为研
究对象，也可以取单个构件为研究对象。
例 3,如图所示一三铰拱桥。左右两半拱通过铰链 C
联接起来，通过铰链 A,B与桥基联接。已知 G=40kN，
P=10kN。试求铰链 A,B,C三处的约束反力。
3m
解,取整体为研究对象
画出受力图，并建立
如图所示坐标系。列
平衡方程
0N A x N B xFF??
20N A y N B yF F P G? ? ? ?
1 2 9 1 1 0N B yF P G G? ? ? ?
解之得,
4 7, 5N B yF k N?
4 2, 5N A yF k N?
取左半拱为研究对象画出
受力图，并建立如图所示
坐标系。列解平衡方程,
0N A x N C xFF??
0N C y N A yF F G? ? ? ?
6 5 6 0N A x N A yF G F? ? ?
解之得,
9, 2N A xF k N?
9, 2NCxF k N?
2, 5NCyF k N?
所以,
9, 2N B xF k N?
?定义, 作用在物体上的各力的作用线都在同一
平面内，既不相交于一点又不完全平行，这样
的力系称为平面一般力系。如图 起重机横梁 。
G Q
FAy
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FT
?平面一般力系的简化
1.力的平移定理
F
A
O
F′
F″
A
O
F′
M =
因此,作用于刚体上的力，可平移到刚体上的
任意一点，但必须附加一力偶，其附加力偶矩
等于原力对平移点的力矩。
? ? ? ?FMFdFFM O?????，
d d
2.平面一般力系向平面内任意一点的简化
作用于简化中心 O点的平面汇交力系可合成为一个力，称
为该力系的 主矢, 其作用线过简化中心点 O。各附加力
偶组成的平面力偶系的合力偶矩，称为该力系的 主矩 。
主矩等于各分力对简化中心的力矩的代数和，作用在力系
所在的平面上,如图示。主矢的大小和方向为,
RF?
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x
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3.简化结果及分析
结果, 平面一般力系向平面内一点简化，得到一个主
矢和一个主矩，主矢的大小和方向与简化中心的选择
无关。主矩的值一般与简化中心的选择有关。
分析,
（ 1） 若, 则原力系简化为一个力和
一个力偶 。 在这种情况下, 根据力的平移定理, 这
个力和力偶还可以继续合成为一个合力 FR,其作用
线离 O点的距离为, 利用主矩的转向来
确定合力 FR的作用线在简化中心的哪一侧 。
00 ??? OR MF,
/ORd M F ??
O
FR′
Mo O
FR
d O
Mo
FR′
O
FR
d
(2)若, 则原力系简化为一个力 。 在
这种情况下, 附加力偶系平衡, 主矢即为原力系的
合力 FR,作用于简化中心 。
(3)若, 则原力系简化为一个力偶,
其矩等于原力系对简化中心的主矩 。 在这种情况下
,简化结果与简化中心的选择无关 。 即无论力系向
哪一点简化都是一个力偶, 且力偶矩等于主矩 。
(4)若,则原力系是平衡力系。
同理，如果力系是平衡力系，该力系的主矢、主矩
必然为零。因此,就是 平面一般力
系平衡的必要与充分条件 。
00 ??? OR MF,
00 ??? OR MF,
00 ??? OR MF,
00 ??? OR MF,
由此可
得平面
一般力
系的 平
衡方程
为,
0
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( ) 0
x
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例 1,求图示梁支座
的约束反力。已知,
2F k N? 2am?
a a a
F F
A B
解,取梁为研究对象。
受力图如图示。建
立坐标系，列平衡
方程,
Fy
Fx
FB
y
x
Fx- FBsin30o=0
Fy+ FBcos30o-2F=0
-Fa-2Fa+ 3aFBcos30o=0
0
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x
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O
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即,
求得,FB =2.3KN
Fx = 1.15KN
Fy =2KN
4.平面平行力系
?定义,平面力系中各力的作用线互相平行，
则称为平行力系，如图所示。
F1
F2
F3
F4
F5 y
x o
4.平面平行力系
?平面平行力系的平衡方程,如取坐标系中
Oy轴与各力平行，各力在 x轴上的投影恒
等于零，即 因此,平面平行力系
的 平衡方程 为,
? ? 。0xF
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A或
式中 A,B两点连线不能与各力的作用线平行。
例 2：如图示为铁路起重机，起重机重力 G1=500kN，重心
C在两铁轨的对称面内，最大起重力 F=200kN。为保证起
重机在空载和满载时都不致翻倒，求平衡重力 G及其距离
x。尺寸如图所示。
空载时，以 A点为矩心，列平衡方程,
GX-0.75G1 =0 (1)
解：设左边铁轨对起重机的支撑力为 FA，左边
铁轨对起重机的支撑力为 FB。 则：空载时，此
时 FB=0；满载时,FA=0。
满载时，以 B点为矩心，列平衡方程,
G(X+1.5)+0.75G1-6F =0 (2)
由（ 1）、（ 2）可得,
G=300KN
X=1.25m
5.物体系统的平衡条件
? 由多个构件通过一定的约束组成的系统称为 物
体系统 （ 物系 ） 。 系统外部物体对系统的作用
力称为 物系外力 ；系统内部各构件之间的相互
作用力称为 物系内力 。 二者没有严格的区别 。
? 在求解物系的平衡问题时，不仅要考虑系统外
力，同时还要考虑系统内力。
? 若整个物系处于平衡时，那么组成这一物系的
所有构件也处于平衡。既可以以整个系统为研
究对象，也可以取单个构件为研究对象。
例 3,如图所示一三铰拱桥。左右两半拱通过铰链 C
联接起来，通过铰链 A,B与桥基联接。已知 G=40kN，
P=10kN。试求铰链 A,B,C三处的约束反力。
3m
解,取整体为研究对象
画出受力图，并建立
如图所示坐标系。列
平衡方程
0N A x N B xFF??
20N A y N B yF F P G? ? ? ?
1 2 9 1 1 0N B yF P G G? ? ? ?
解之得,
4 7, 5N B yF k N?
4 2, 5N A yF k N?
取左半拱为研究对象画出
受力图，并建立如图所示
坐标系。列解平衡方程,
0N A x N C xFF??
0N C y N A yF F G? ? ? ?
6 5 6 0N A x N A yF G F? ? ?
解之得,
9, 2N A xF k N?
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2, 5NCyF k N?
所以,
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