第 2篇构件的承载能力分析
1.研究对象 — 变形固体 的基本假设
均匀连续性假设, 假定变形固体内部毫无空隙
地充满物质，且各点处的力学性能都是相同的。
各向同性假设, 假定变形固体材料内部各个方
向的力学性能都是相同的 。
弹性小变形条件,在载荷作用下，构件会产生变
形。构件的承载能力分析主要研究微小的弹性变形
问题，称为 弹性小变形 。弹性小变形与构件的原始
尺寸相比较是微不足道的，在确定构件内力和计算
应力及变形时，均按构件的原始尺寸进行分析计算。
第 2篇构件的承载能力分析
2.构件承载能力分析的内容
强度 构件抵抗破坏的能力称为构件的强度。
刚度 构件抵抗变形的能力称为构件的刚度 。
稳定性 压杆能够维持其原有直线平衡状态的
能力称为压杆的稳定性。
构件的安全可靠性与经济性是矛盾的。构件承
载能力分析的内容就是在保证构件既安全可靠又经
济的前提下，为构件选择合适的材料、确定合理的
截面形状和尺寸，提供必要的理论基础和实用的计
算方法。
第 2篇构件的承载能力分析
3.杆件变形的基本形式
工程实际中的构件种类繁多，根据其几何形状，
可以简化为四类,杆,板、壳、块 。
本篇研究的主要对象是等截面直杆 (简称 等直杆 )
等直杆在载荷作用下，其基本变形的形式有,
1.轴向拉伸和压缩变形； 2.剪切变形；
3.扭转变形； 4.弯曲变形 。
两种或两种以上的基本变形组合而成的，称为 组
合变形。
第 4章轴向拉伸与压缩
1.杆件轴向拉伸与压缩的概念及特点
F F
F F
受力特点,
外力 (或外力的合力 )
沿杆件的轴线作用，
且作用线与轴线重合。
变形特点,
杆沿轴线方向伸长
(或缩短 )，沿横向缩
短 (或伸长 )。
发生轴向拉伸与压缩的杆件一般简称为拉 (压 )杆。
2 拉 (压 )杆的轴力和轴力图
? 轴力,
外力引起的杆件内
部相互作用力的改变量。
拉 (压 )杆的内力。
F F
m
m
F FN
F F`N
由平衡方程可求出
轴力的大小,
FF N ?
规定, FN的方向离开截
面为正 (受拉 ),指向截
面为负 (受压 )。
内力,
?轴力图,
以上求内力的方法称为 截面法, 截面法是求内力
最基本的方法 。 步骤：截, 弃, 代, 平
注意,截面不能选在外力作用点处的截面上 。
用平行于杆轴线的 x坐
标表示横截面位置，
用垂直于 x的坐标 FN表
示横截面轴力的大小，
按选定的比例，把轴
力表示在 x-FN坐标系
中，描出的轴力随截
面位置变化的曲线，
称为轴力图 。
F F
m
m
x
FN
例 1,已知 F1=20KN,F2=8KN,F3=10KN，试用截面法求图示
杆件指定截面 1－ 1,2－ 2,3－ 3的轴力,并画出轴力图。
F2 F1 F3 A
B C D
1
1 2 3
3 2 解,外力 F
R,F1,F2,
F3将杆件分为 AB、
BC和 CD段，取每段
左边为研究对象，求
得各段轴力为,
FR
F2 FN1
F2 F1 FN2
F2 F1 F3 FN3
FN1=F2=8KN
FN2=F2 - F1
= -12KN
FN3=F2 + F3 - F1
= -2KN
轴力图如图, x
FN
C D B
A
3 杆件横截面的应力和变形计算
?应力的概念,
内力在截面上的集度称为 应力 (垂直于杆
横截面的应力称为 正应力, 平行于横截面的
称为 切应力 )。 应力是判断杆件是否破坏的
依据 。
单位是帕斯卡, 简称帕, 记作 Pa,即 l平方米
的面积上作用 1牛顿的力为 1帕, 1N／ m2＝ 1Pa。
1kPa＝ 103Pa,1MPa＝ 106Pa
1GPa＝ 109Pa
?拉 (压 )杆横截面上的应力
根据杆件变形的 平面假设 和 材料均匀连续性假
设 可推断：轴力在横截面上的分布是均匀的，且方
向垂直于横截面。所以，横截面的正应力 σ 计算公
式为,
A
F Nσ=
MPa
FN 表示横截面轴力（ N）
A 表示横截面面积（ mm2）
F F
m
m
n
n
F F
N
?拉 (压 )杆的变形
1.绝对变形,
规定, L—等直杆的原长
d—横向尺寸
L1—拉 (压 )后纵向长度
d1—拉 (压 )后横向尺寸
轴向变形, LLL ???
1
横向变形,ddd ???
1
拉伸时轴向变形为正，横向变形为负；
压缩时轴向变形为负，横向变形为正。
轴向变形和横向变形统称为 绝对变形。
?拉 (压 )杆的变形
2.相对变形,单位长度的变形量。
L
L?
??
?
′ ＝ -
d
d?
和 ′ 都是无量纲量，又称为 线应变,其
中 称为轴向线应变,′ 称为横向线应变 。 ??
??
3.横向变形系数,
?
?
′ ＝
?
?虎克定律, 实验表明，对拉 (压 )杆，当应力不
超过某一限度时，杆的轴向变形与轴力 FN 成正比，
与杆长 L成正比，与横截面面积 A 成反比。这一比例
关系称为 虎克定律 。引入比例常数 E，其公式为,
EA
LF
L N??
E 为 材料的拉 (压 )弹性模量，单位是 Gpa
FN,E,A均为常量，否则，应分段计算。
由此，当轴力、杆长、截面面积相同的等直杆,E
值越大,就越小，所以 E 值代表了材料抵抗拉 (压 )变
形的能力，是衡量材料刚度的指标。
L?
或
?? E?
例 2：如图所示杆件, 求各段内截面的轴力和 应力, 并画出
轴力图 。 若 杆件较细段横截面面积, 较粗
段, 材料的弹性模量,
求杆件的总变形 。
21 200 mmA ?
22 3 0 0 mmA ? G P aE 2 0 0? mmL 100?
L L
10KN 40KN 30KN
A B C
解：分别在 AB、
BC段任取截面，
如图示，则,
FN1= 10KN
FN1
10KN σ
1 = FN1 / A1
= 50 MPa 30KN FN2
FN2= -30KN
σ 2 = FN2 / A2
= 100 MPa
轴力图如图,
x FN
10KN
30KN
由于 AB,BC两段面积不同，变形量应分别计算。
由 虎克定律,
EA
LF
L N??
可得,
L? AB
10KN X 100mm
200GPa X 200 mm 2
= = 0.025mm
L? BC
-30KN X 100mm
200GPa X 300 mm 2
= = -0.050mm
L? = - 0.025mm
1.研究对象 — 变形固体 的基本假设
均匀连续性假设, 假定变形固体内部毫无空隙
地充满物质，且各点处的力学性能都是相同的。
各向同性假设, 假定变形固体材料内部各个方
向的力学性能都是相同的 。
弹性小变形条件,在载荷作用下，构件会产生变
形。构件的承载能力分析主要研究微小的弹性变形
问题，称为 弹性小变形 。弹性小变形与构件的原始
尺寸相比较是微不足道的，在确定构件内力和计算
应力及变形时，均按构件的原始尺寸进行分析计算。
第 2篇构件的承载能力分析
2.构件承载能力分析的内容
强度 构件抵抗破坏的能力称为构件的强度。
刚度 构件抵抗变形的能力称为构件的刚度 。
稳定性 压杆能够维持其原有直线平衡状态的
能力称为压杆的稳定性。
构件的安全可靠性与经济性是矛盾的。构件承
载能力分析的内容就是在保证构件既安全可靠又经
济的前提下，为构件选择合适的材料、确定合理的
截面形状和尺寸，提供必要的理论基础和实用的计
算方法。
第 2篇构件的承载能力分析
3.杆件变形的基本形式
工程实际中的构件种类繁多，根据其几何形状，
可以简化为四类,杆,板、壳、块 。
本篇研究的主要对象是等截面直杆 (简称 等直杆 )
等直杆在载荷作用下，其基本变形的形式有,
1.轴向拉伸和压缩变形； 2.剪切变形；
3.扭转变形； 4.弯曲变形 。
两种或两种以上的基本变形组合而成的，称为 组
合变形。
第 4章轴向拉伸与压缩
1.杆件轴向拉伸与压缩的概念及特点
F F
F F
受力特点,
外力 (或外力的合力 )
沿杆件的轴线作用，
且作用线与轴线重合。
变形特点,
杆沿轴线方向伸长
(或缩短 )，沿横向缩
短 (或伸长 )。
发生轴向拉伸与压缩的杆件一般简称为拉 (压 )杆。
2 拉 (压 )杆的轴力和轴力图
? 轴力,
外力引起的杆件内
部相互作用力的改变量。
拉 (压 )杆的内力。
F F
m
m
F FN
F F`N
由平衡方程可求出
轴力的大小,
FF N ?
规定, FN的方向离开截
面为正 (受拉 ),指向截
面为负 (受压 )。
内力,
?轴力图,
以上求内力的方法称为 截面法, 截面法是求内力
最基本的方法 。 步骤：截, 弃, 代, 平
注意,截面不能选在外力作用点处的截面上 。
用平行于杆轴线的 x坐
标表示横截面位置，
用垂直于 x的坐标 FN表
示横截面轴力的大小，
按选定的比例，把轴
力表示在 x-FN坐标系
中，描出的轴力随截
面位置变化的曲线，
称为轴力图 。
F F
m
m
x
FN
例 1,已知 F1=20KN,F2=8KN,F3=10KN，试用截面法求图示
杆件指定截面 1－ 1,2－ 2,3－ 3的轴力,并画出轴力图。
F2 F1 F3 A
B C D
1
1 2 3
3 2 解,外力 F
R,F1,F2,
F3将杆件分为 AB、
BC和 CD段，取每段
左边为研究对象，求
得各段轴力为,
FR
F2 FN1
F2 F1 FN2
F2 F1 F3 FN3
FN1=F2=8KN
FN2=F2 - F1
= -12KN
FN3=F2 + F3 - F1
= -2KN
轴力图如图, x
FN
C D B
A
3 杆件横截面的应力和变形计算
?应力的概念,
内力在截面上的集度称为 应力 (垂直于杆
横截面的应力称为 正应力, 平行于横截面的
称为 切应力 )。 应力是判断杆件是否破坏的
依据 。
单位是帕斯卡, 简称帕, 记作 Pa,即 l平方米
的面积上作用 1牛顿的力为 1帕, 1N／ m2＝ 1Pa。
1kPa＝ 103Pa,1MPa＝ 106Pa
1GPa＝ 109Pa
?拉 (压 )杆横截面上的应力
根据杆件变形的 平面假设 和 材料均匀连续性假
设 可推断：轴力在横截面上的分布是均匀的，且方
向垂直于横截面。所以，横截面的正应力 σ 计算公
式为,
A
F Nσ=
MPa
FN 表示横截面轴力（ N）
A 表示横截面面积（ mm2）
F F
m
m
n
n
F F
N
?拉 (压 )杆的变形
1.绝对变形,
规定, L—等直杆的原长
d—横向尺寸
L1—拉 (压 )后纵向长度
d1—拉 (压 )后横向尺寸
轴向变形, LLL ???
1
横向变形,ddd ???
1
拉伸时轴向变形为正，横向变形为负；
压缩时轴向变形为负，横向变形为正。
轴向变形和横向变形统称为 绝对变形。
?拉 (压 )杆的变形
2.相对变形,单位长度的变形量。
L
L?
??
?
′ ＝ -
d
d?
和 ′ 都是无量纲量，又称为 线应变,其
中 称为轴向线应变,′ 称为横向线应变 。 ??
??
3.横向变形系数,
?
?
′ ＝
?
?虎克定律, 实验表明，对拉 (压 )杆，当应力不
超过某一限度时，杆的轴向变形与轴力 FN 成正比，
与杆长 L成正比，与横截面面积 A 成反比。这一比例
关系称为 虎克定律 。引入比例常数 E，其公式为,
EA
LF
L N??
E 为 材料的拉 (压 )弹性模量，单位是 Gpa
FN,E,A均为常量，否则，应分段计算。
由此，当轴力、杆长、截面面积相同的等直杆,E
值越大,就越小，所以 E 值代表了材料抵抗拉 (压 )变
形的能力，是衡量材料刚度的指标。
L?
或
?? E?
例 2：如图所示杆件, 求各段内截面的轴力和 应力, 并画出
轴力图 。 若 杆件较细段横截面面积, 较粗
段, 材料的弹性模量,
求杆件的总变形 。
21 200 mmA ?
22 3 0 0 mmA ? G P aE 2 0 0? mmL 100?
L L
10KN 40KN 30KN
A B C
解：分别在 AB、
BC段任取截面，
如图示，则,
FN1= 10KN
FN1
10KN σ
1 = FN1 / A1
= 50 MPa 30KN FN2
FN2= -30KN
σ 2 = FN2 / A2
= 100 MPa
轴力图如图,
x FN
10KN
30KN
由于 AB,BC两段面积不同，变形量应分别计算。
由 虎克定律,
EA
LF
L N??
可得,
L? AB
10KN X 100mm
200GPa X 200 mm 2
= = 0.025mm
L? BC
-30KN X 100mm
200GPa X 300 mm 2
= = -0.050mm
L? = - 0.025mm
