第 7章 直梁的弯曲
主要内容,
1.直梁平面弯曲的概念
2.梁的类型及计算简图
3.梁弯曲时的内力（剪力和弯矩）
4.梁纯弯曲时的强度条件
5.梁弯曲时的变形和刚度条件
平面弯曲, 梁的外载荷都作用在纵向对称面
内时，则梁的轴线在纵向对称面内弯曲成一
条平面曲线。
直梁平面弯曲的概念
1.梁弯曲的工程实例
2.直梁平面弯曲的概念,
弯曲变形,作用于杆件上的外力垂直于杆件
的轴线，使杆的轴线由直线变为曲线。
以弯曲变形为主的直杆称为 直梁,简称 梁 。
梁弯曲的工程实例 1
F F
FA FB
梁弯曲的工程实例 2
F
梁的轴线和横截面的对称轴
构成的平面称为 纵向对称面 。
梁的计算简图
在计算简图中，通常 以梁的轴线表示梁 。作
用在梁上的载荷，一般可以简化为三种形式,
1.集中力,
2.集中力偶,
3.分布载荷
(均布载荷 )
单位为 N/m
简支梁,一端为活动铰
链支座，另一端为固定
铰链支座。
梁的类型
外伸梁,一端或两端伸
出支座之外的简支梁。
悬臂梁,一端为固定端，
另一端为自由端的梁。
梁弯曲时的内力：剪力和弯矩
求梁的内力的方法仍然是 截面法 。
F1 F3 F2
m
m x
F3
A B
FA
a
FQ
M FQ = FA - F3
M = FA x - F3(x-a)
F2 F1
FB
FQ
M
梁内力的正负号规定
2.从梁的变形角度
剪力,
顺时针为正
逆时针为负
弯矩,
上凹为正
下凹为负
1.规定,
B A
q
FA
例：如图，任
取一截面 m-m，
距离 A端 x,则
m-m截面内力
为,
m
m
q
C
A C
FA
FQ
M
x
(0 ≤ X ≤L)
FB
qx
2
qL
qxF)x(F AQ ????
2
A x2
q
x
2
qL
2
x
qxxF)x(M ??????
A点,MA=0
中点,M=qL2/8
B点,MB=0
qL2/8
抛物线
剪力方程和弯矩方程
一般情况下，梁横截面上的剪力和弯矩随截面
位置不同而变化。若以横坐标 x表示截面在梁
轴线上的位置，则各横截面上的剪力和弯矩都
可表示为 x的函数，即,
FQ = FQ(x)
M = M(x)
— 剪力方程
— 弯矩方程
弯矩图
画法：以与梁轴线平行的 x坐标表示横截面位
置，纵坐标 y按一定比例表示各截面上相应弯
矩的大小，正弯矩画在轴的上方，负弯矩画
在轴的下方。
例 2,如 图所示的简支梁 AB，在点 C处受到集中力 F
作用，尺寸 a,b和 L均为已知，试作出梁的弯矩图。
x1 FA FB
x2
F
A B
a
C
b
L 解,1.求约束反力
0AM??
B
a
FF
l
?
0BM??
A
b
FF
l
?2.分两段建立弯矩方程
1 0AM F x??
11A
b
M F x F x
l
??
10 xa??
AC段,
22 ( ) 0AM F x F x a? ? ? ?
2a x l??
BC段,
L
F
x1
A B
a
C
b
x2
M = FA X2 - F(X2 - a)
=- FX2 + aF a l
F
x1
A B
a
C
b
x2
3.画弯矩图
M =- FX2 +aF a l
2a x l??
0M ?
abMF
l
?
abMF
l
?
0M ?
1 0x ?
时,
1xa?
时,
2xa?
时,
2xl?
时,
11A
b
M F x F x
l
??
10 xa??
abMF
l
?
直线
例 3,如图所示的简支梁 AB，在点 C处受集中力偶 M0作用，
尺寸 a,b和 L均为已知，试作此梁的弯矩图。
解,1.求约束反力
2.分两段建立弯矩方程 B A
C
M0
a b
L
0
AB
M
FF
l
??
AC段,
1 0AM F x??
0
11A
M
M F x x
l
? ? ? ?
10 xa??
x1
x2
02 0AM M F x? ? ?
0
0 2 0 2A
M
M M F x M x
l
? ? ? ?
2a x l??
BC段,
B A
C
M0
a b
L
x1
x2
3.画弯矩图
0
11A
M
M F x x
l
? ? ? ?
10 xa??
0
0 2 0 2A
MM M F x M x
l
? ? ? ?
2a x l??
1 0x ?
0M ?
1xa?
0
aMM
l
??
2xa?
0
b
MM
l
?
2xl?
0M ?
B A
C
M0
a b
L
x1
x2
弯矩图的规律
1.梁受 集中力或集中力偶 作用时, 弯矩图
为 直线, 并且在集中力作用处, 弯矩发生 转
折 ；在集中力偶作用处, 弯矩发生 突变, 突
变量为集中力偶的大小 。
2.梁受到 均布载荷 作用时, 弯矩图为 抛物
线, 且抛物线的开口方向与均布载荷的方向
一致 。
3.梁的两端点 若无集中力偶作用，则端点
处的弯矩为 0；若有集中力偶作用时，则弯
矩为集中力偶的大小。
求作弯矩图。
解,
1.求约束反力
FB=3kN
FC=1kN
2.作弯矩图 (无集中力偶，所以无突变）
MA=0,MB=-2
AB段为直线
BC段为抛物线
MBC=-(X -2X+4)/2 2
CD段为直线
MD=0,MC=-2
x
主要内容,
1.直梁平面弯曲的概念
2.梁的类型及计算简图
3.梁弯曲时的内力（剪力和弯矩）
4.梁纯弯曲时的强度条件
5.梁弯曲时的变形和刚度条件
平面弯曲, 梁的外载荷都作用在纵向对称面
内时，则梁的轴线在纵向对称面内弯曲成一
条平面曲线。
直梁平面弯曲的概念
1.梁弯曲的工程实例
2.直梁平面弯曲的概念,
弯曲变形,作用于杆件上的外力垂直于杆件
的轴线，使杆的轴线由直线变为曲线。
以弯曲变形为主的直杆称为 直梁,简称 梁 。
梁弯曲的工程实例 1
F F
FA FB
梁弯曲的工程实例 2
F
梁的轴线和横截面的对称轴
构成的平面称为 纵向对称面 。
梁的计算简图
在计算简图中，通常 以梁的轴线表示梁 。作
用在梁上的载荷，一般可以简化为三种形式,
1.集中力,
2.集中力偶,
3.分布载荷
(均布载荷 )
单位为 N/m
简支梁,一端为活动铰
链支座，另一端为固定
铰链支座。
梁的类型
外伸梁,一端或两端伸
出支座之外的简支梁。
悬臂梁,一端为固定端，
另一端为自由端的梁。
梁弯曲时的内力：剪力和弯矩
求梁的内力的方法仍然是 截面法 。
F1 F3 F2
m
m x
F3
A B
FA
a
FQ
M FQ = FA - F3
M = FA x - F3(x-a)
F2 F1
FB
FQ
M
梁内力的正负号规定
2.从梁的变形角度
剪力,
顺时针为正
逆时针为负
弯矩,
上凹为正
下凹为负
1.规定,
B A
q
FA
例：如图，任
取一截面 m-m，
距离 A端 x,则
m-m截面内力
为,
m
m
q
C
A C
FA
FQ
M
x
(0 ≤ X ≤L)
FB
qx
2
qL
qxF)x(F AQ ????
2
A x2
q
x
2
qL
2
x
qxxF)x(M ??????
A点,MA=0
中点,M=qL2/8
B点,MB=0
qL2/8
抛物线
剪力方程和弯矩方程
一般情况下，梁横截面上的剪力和弯矩随截面
位置不同而变化。若以横坐标 x表示截面在梁
轴线上的位置，则各横截面上的剪力和弯矩都
可表示为 x的函数，即,
FQ = FQ(x)
M = M(x)
— 剪力方程
— 弯矩方程
弯矩图
画法：以与梁轴线平行的 x坐标表示横截面位
置，纵坐标 y按一定比例表示各截面上相应弯
矩的大小，正弯矩画在轴的上方，负弯矩画
在轴的下方。
例 2,如 图所示的简支梁 AB，在点 C处受到集中力 F
作用，尺寸 a,b和 L均为已知，试作出梁的弯矩图。
x1 FA FB
x2
F
A B
a
C
b
L 解,1.求约束反力
0AM??
B
a
FF
l
?
0BM??
A
b
FF
l
?2.分两段建立弯矩方程
1 0AM F x??
11A
b
M F x F x
l
??
10 xa??
AC段,
22 ( ) 0AM F x F x a? ? ? ?
2a x l??
BC段,
L
F
x1
A B
a
C
b
x2
M = FA X2 - F(X2 - a)
=- FX2 + aF a l
F
x1
A B
a
C
b
x2
3.画弯矩图
M =- FX2 +aF a l
2a x l??
0M ?
abMF
l
?
abMF
l
?
0M ?
1 0x ?
时,
1xa?
时,
2xa?
时,
2xl?
时,
11A
b
M F x F x
l
??
10 xa??
abMF
l
?
直线
例 3,如图所示的简支梁 AB，在点 C处受集中力偶 M0作用，
尺寸 a,b和 L均为已知，试作此梁的弯矩图。
解,1.求约束反力
2.分两段建立弯矩方程 B A
C
M0
a b
L
0
AB
M
FF
l
??
AC段,
1 0AM F x??
0
11A
M
M F x x
l
? ? ? ?
10 xa??
x1
x2
02 0AM M F x? ? ?
0
0 2 0 2A
M
M M F x M x
l
? ? ? ?
2a x l??
BC段,
B A
C
M0
a b
L
x1
x2
3.画弯矩图
0
11A
M
M F x x
l
? ? ? ?
10 xa??
0
0 2 0 2A
MM M F x M x
l
? ? ? ?
2a x l??
1 0x ?
0M ?
1xa?
0
aMM
l
??
2xa?
0
b
MM
l
?
2xl?
0M ?
B A
C
M0
a b
L
x1
x2
弯矩图的规律
1.梁受 集中力或集中力偶 作用时, 弯矩图
为 直线, 并且在集中力作用处, 弯矩发生 转
折 ；在集中力偶作用处, 弯矩发生 突变, 突
变量为集中力偶的大小 。
2.梁受到 均布载荷 作用时, 弯矩图为 抛物
线, 且抛物线的开口方向与均布载荷的方向
一致 。
3.梁的两端点 若无集中力偶作用，则端点
处的弯矩为 0；若有集中力偶作用时，则弯
矩为集中力偶的大小。
求作弯矩图。
解,
1.求约束反力
FB=3kN
FC=1kN
2.作弯矩图 (无集中力偶，所以无突变）
MA=0,MB=-2
AB段为直线
BC段为抛物线
MBC=-(X -2X+4)/2 2
CD段为直线
MD=0,MC=-2
x
