第 7章 直梁的弯曲
主要内容,
1.直梁平面弯曲的概念
2.梁的类型及计算简图
3.梁弯曲时的内力（剪力和弯矩）
4.梁纯弯曲时的强度条件
5.梁弯曲时的变形和刚度条件
梁纯弯曲时的强度条件
1.梁纯弯曲的概念
在梁的纵向对称面内，两端施加等值、反
向的一对力偶。在梁的横截面上只有弯矩
而没有剪力，且弯矩为一常数，这种弯曲
为纯弯曲 。
平面弯曲
剪力弯曲
纯弯曲
剪力 FQ≠0
弯矩 M ≠ 0
剪力 FQ=0
弯矩 M ≠ 0
平面假设,梁弯曲变形后，其横截面仍为平面，并垂
直于梁的轴线，只是绕截面上的某轴转动了一个角度。
2.梁纯弯曲时横截面上的正应力
1）变形特点,
横向线 仍为直线，只是
相对变形前转过了一个
角度，但仍与纵向线正
交。 纵向线 弯曲成弧线，
且靠近凹边的线缩短了，
靠近凸边的线伸长了，
而位于中间的一条纵向
线既不缩短，也不伸长。
如果设想梁是由无数层纵向纤维组成的，由于横截面保
持平面，说明纵向纤维从缩短到伸长是逐渐连续变化的，
其中必定有一个既不缩短也不伸长的 中性层 （不受压又
不受拉）。 中性层是梁上拉伸区与压缩区的分界面。 中
性层与横截面的交线，称为 中性轴,如图所示。变形时
横截面是绕中性轴旋转的。
2）梁纯弯曲时横截面上正应力的分布规律
由平面假设可知，纯弯
曲时梁横截面上只有正
应力而无切应力。由于
梁横截面保持平面，所
以沿横截面高度方向纵
向纤维从缩短到伸长是
线性变化的，因此横截
面上的正应力沿横截面
高度方向也是线性分布
的。以中性轴为界，凹
边是压应力，使梁缩短，
凸边是拉应力，使梁伸
长，横截面上同一高度
各点的正应力相等，距
中性轴最远点有最大拉
应力和最大压应力，中
性轴上各点正应力为零。
分布如图所示。
3）梁纯弯曲时正应力计算公式
在弹性范围内，梁纯弯曲时横截面上任意一
点的正应力为,
Z
My
I
? ?
M Pa
m a x
m a x
Z
My
I
? ?
m a x
Z
M
W
? ?
即,
最大正应力为 (MPa),
M和 y均以绝对值代入，至于
弯曲正应力是拉应力还是压
应力，则由欲求应力的点处
于受拉侧还是受压侧来判断。
受拉侧的弯曲正应力为正，
受压侧的为负。
M--截面上的弯矩 (N.mm)
Y--计算点到中性轴距离 (mm)
Iz--横截面对中性轴惯性矩
Wz--抗弯截面模量 3mm
4mm
梁纯弯曲时的强度条件
强度条件,梁内危险截面上的最大弯曲正应
力不超过材料的许用弯曲应力，即
? ?m a x
z
M
W
????
M— 危险截面处的弯矩（ N.mm）
Wz— 危险截面的抗弯截面模量（ mm ）
— 材料的许用应力 (Mpa) ? ??
3
提高梁强度的主要措施
合理安排梁的支承
1.降低最大弯矩数值的措施
合理布置载荷
提高梁强度的主要措施
提高梁强度的主要措施
合理布置载荷
提高梁强度的主要措施
2.合理选择梁的截面, 用最小的截面面积得
到大的抗弯截面模量 。
形状和面积相同的截面，采用不同的放置方式。
面积相等而形状不同的截面，其抗弯截面模
量不相同 。
面积相等时，工字钢和槽钢的抗弯截面模量最大，
空心圆截面次之，实心圆截面的抗弯截面模量最小，
承载能力最差 。
2.合理选择梁的截面, 用最小的截面面积得
到大的抗弯截面模量 。
提高梁强度的主要措施
截面形状应与材料特性相适应。
对抗拉和抗压强度相等的 塑性材料,宜采用中性轴对
称的截面，如圆形、矩形、工字形等。对抗拉强度小
于抗压强度的 脆性材料,宜采用中性轴偏向受拉一侧
的截面形状。
? ?
? ?
m a x 1
m a x 2
ll
y y
y
y
??
??
??
Y1和 Y2之比接近于下列关系,最大拉应力和最大压应
力便可同时接近许用应力。
3.采用等强度梁
等截面梁在弯曲时各截面的弯矩是不相等的，如
果以最大弯矩来确定截面尺寸，则除弯矩最大的
截面外，其余截面的应力均低于弯矩最大的截面，
这时材料就没有得到充分利用，为了减轻自重，
并充分发挥单位材料的抗弯能力，可 使梁截面沿
轴线变化，以达到各截面上的最大正应力都近似
相等,这种梁称为 等强度梁 。但等强度梁形状复
杂，不便于制造，所以工程实际中往往制成与等
强度梁相近的变截面梁。如一些建筑中的外伸梁，
做成了由固定端向外伸端截面逐渐减小的形状，
较好地体现了等强度梁的概念。而机械中的多数
圆轴则制成了变截面的阶梯轴。
弯矩图的规律
1.梁受 集中力或集中力偶 作用时, 弯矩图
为 直线, 并且在集中力作用处, 弯矩发生 转
折 ；在集中力偶作用处, 弯矩发生 突变, 突
变量为集中力偶的大小 。
2.梁受到 均布载荷 作用时, 弯矩图为 抛物
线, 且抛物线的开口方向与均布载荷的方向
一致 。
3.梁的两端点 若无集中力偶作用，则端点
处的弯矩为 0；若有集中力偶作用时，则弯
矩为集中力偶的大小。
主要内容,
1.直梁平面弯曲的概念
2.梁的类型及计算简图
3.梁弯曲时的内力（剪力和弯矩）
4.梁纯弯曲时的强度条件
5.梁弯曲时的变形和刚度条件
梁纯弯曲时的强度条件
1.梁纯弯曲的概念
在梁的纵向对称面内，两端施加等值、反
向的一对力偶。在梁的横截面上只有弯矩
而没有剪力，且弯矩为一常数，这种弯曲
为纯弯曲 。
平面弯曲
剪力弯曲
纯弯曲
剪力 FQ≠0
弯矩 M ≠ 0
剪力 FQ=0
弯矩 M ≠ 0
平面假设,梁弯曲变形后，其横截面仍为平面，并垂
直于梁的轴线，只是绕截面上的某轴转动了一个角度。
2.梁纯弯曲时横截面上的正应力
1）变形特点,
横向线 仍为直线，只是
相对变形前转过了一个
角度，但仍与纵向线正
交。 纵向线 弯曲成弧线，
且靠近凹边的线缩短了，
靠近凸边的线伸长了，
而位于中间的一条纵向
线既不缩短，也不伸长。
如果设想梁是由无数层纵向纤维组成的，由于横截面保
持平面，说明纵向纤维从缩短到伸长是逐渐连续变化的，
其中必定有一个既不缩短也不伸长的 中性层 （不受压又
不受拉）。 中性层是梁上拉伸区与压缩区的分界面。 中
性层与横截面的交线，称为 中性轴,如图所示。变形时
横截面是绕中性轴旋转的。
2）梁纯弯曲时横截面上正应力的分布规律
由平面假设可知，纯弯
曲时梁横截面上只有正
应力而无切应力。由于
梁横截面保持平面，所
以沿横截面高度方向纵
向纤维从缩短到伸长是
线性变化的，因此横截
面上的正应力沿横截面
高度方向也是线性分布
的。以中性轴为界，凹
边是压应力，使梁缩短，
凸边是拉应力，使梁伸
长，横截面上同一高度
各点的正应力相等，距
中性轴最远点有最大拉
应力和最大压应力，中
性轴上各点正应力为零。
分布如图所示。
3）梁纯弯曲时正应力计算公式
在弹性范围内，梁纯弯曲时横截面上任意一
点的正应力为,
Z
My
I
? ?
M Pa
m a x
m a x
Z
My
I
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m a x
Z
M
W
? ?
即,
最大正应力为 (MPa),
M和 y均以绝对值代入，至于
弯曲正应力是拉应力还是压
应力，则由欲求应力的点处
于受拉侧还是受压侧来判断。
受拉侧的弯曲正应力为正，
受压侧的为负。
M--截面上的弯矩 (N.mm)
Y--计算点到中性轴距离 (mm)
Iz--横截面对中性轴惯性矩
Wz--抗弯截面模量 3mm
4mm
梁纯弯曲时的强度条件
强度条件,梁内危险截面上的最大弯曲正应
力不超过材料的许用弯曲应力，即
? ?m a x
z
M
W
????
M— 危险截面处的弯矩（ N.mm）
Wz— 危险截面的抗弯截面模量（ mm ）
— 材料的许用应力 (Mpa) ? ??
3
提高梁强度的主要措施
合理安排梁的支承
1.降低最大弯矩数值的措施
合理布置载荷
提高梁强度的主要措施
提高梁强度的主要措施
合理布置载荷
提高梁强度的主要措施
2.合理选择梁的截面, 用最小的截面面积得
到大的抗弯截面模量 。
形状和面积相同的截面，采用不同的放置方式。
面积相等而形状不同的截面，其抗弯截面模
量不相同 。
面积相等时，工字钢和槽钢的抗弯截面模量最大，
空心圆截面次之，实心圆截面的抗弯截面模量最小，
承载能力最差 。
2.合理选择梁的截面, 用最小的截面面积得
到大的抗弯截面模量 。
提高梁强度的主要措施
截面形状应与材料特性相适应。
对抗拉和抗压强度相等的 塑性材料,宜采用中性轴对
称的截面，如圆形、矩形、工字形等。对抗拉强度小
于抗压强度的 脆性材料,宜采用中性轴偏向受拉一侧
的截面形状。
? ?
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m a x 1
m a x 2
ll
y y
y
y
??
??
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Y1和 Y2之比接近于下列关系,最大拉应力和最大压应
力便可同时接近许用应力。
3.采用等强度梁
等截面梁在弯曲时各截面的弯矩是不相等的，如
果以最大弯矩来确定截面尺寸，则除弯矩最大的
截面外，其余截面的应力均低于弯矩最大的截面，
这时材料就没有得到充分利用，为了减轻自重，
并充分发挥单位材料的抗弯能力，可 使梁截面沿
轴线变化，以达到各截面上的最大正应力都近似
相等,这种梁称为 等强度梁 。但等强度梁形状复
杂，不便于制造，所以工程实际中往往制成与等
强度梁相近的变截面梁。如一些建筑中的外伸梁，
做成了由固定端向外伸端截面逐渐减小的形状，
较好地体现了等强度梁的概念。而机械中的多数
圆轴则制成了变截面的阶梯轴。
弯矩图的规律
1.梁受 集中力或集中力偶 作用时, 弯矩图
为 直线, 并且在集中力作用处, 弯矩发生 转
折 ；在集中力偶作用处, 弯矩发生 突变, 突
变量为集中力偶的大小 。
2.梁受到 均布载荷 作用时, 弯矩图为 抛物
线, 且抛物线的开口方向与均布载荷的方向
一致 。
3.梁的两端点 若无集中力偶作用，则端点
处的弯矩为 0；若有集中力偶作用时，则弯
矩为集中力偶的大小。
