第二章 一维势场中的粒子
§2.1 一维运动问题的一般分析
一维问题的实际背景是平面型固体器件，“超晶格”，以及从高维问题约化下来的一维问题。
1. 一维定态Schr?dinger方程的解的一般特征
一维定态Schr?dinger方程是
或者写为二阶常微分方程的标准形式
在经典力学的意义上，，其中是动能，永远，因此我们永远有。而在量子力学里由于有不确定关系的缘故，我们完全谈不上粒子“在某点处的动能”，因此即使在的区域里，波函数仍然有非零解，也就是说粒子仍然会在那些区域出现，然而方程在的区域和的区域解的特征是完全不同的。我们将把的区域称为经典允许区，的区域称为经典禁戒区。
把方程重写为
并假设是实函数。画出的曲线，那么我们发现：
在经典允许区里（），在横轴上方是向上凸的，在横轴下方是向下凹的；
在经典禁戒区里（），在横轴上方是向下凹的，在横轴下方是向上凸的。
所以，在经典允许区里（时）呈现出振荡式的行为，而在经典禁戒区里（时）通常是单调变化的。
这样一个直观的图象对于我们理解后面的问题将会很有帮助。
2．关于一维定态Schr?dinger方程的解的基本定理
Wronskian定理：若势能是规则的（没有奇点），和都是一维定态Schr?dinger方程（对应相同能量）的解，则
其中。证明：和分别满足
,
,
前式乘以，后式乘以，再把后式减去前式，得
,
所以
. ▌
称为和的Wronskian行列式。当时，和是线性相关的，也就是说它们只相差一个常数因子，而当时，和是线性无关的。
以下我们只考虑规则的势能函数。
3. 一维定态的分类：束缚态与非束缚态
一个量子体系的状态可以从不同的角度加以分类。区分“束缚态”与“非束缚态”是其中重要的分类方法，它们的定义是：如果
,
从而粒子在无穷远处出现的几率为零，那么这样的量子状态就称为束缚态，否则（也就是说在或或时）称为非束缚态，或称散射态。
粒子处于束缚态还是非束缚态的判据是：假设在时有确定的极限（也允许），分别记为和，那么在能量满足
和
时粒子处于束缚态，而在
或或二者兼有
时粒子处于非束缚态。
在束缚态下，粒子只在有限的空间范围内运动，而在非束缚态下，粒子可以在无穷远处出现。
束缚态和非束缚态有重要的区别。这些区别将在今后通过具体的例子向读者介绍。
把束缚态和非束缚态的概念推广到高维空间是直接的，这里不再详述。
4. 一维束缚态的一般性质
首先我们指出下面两个定理和两个定义。
共轭定理：若是定态Schr?dinger方程的解，则也是该方程的解（且能量相同）。
当然，这里要假定势能是实函数。
反射定理：设势能函数是关于原点对称的，即满足
那么若是该方程的解，则也是该方程的解（且能量相同）。
这两个定理的证明都很容易，请读者自己完成。
定义：如果对一个给定的能量，只有一个线性独立的波函数存在，则称该能级是非简并的，否则称它是简并的，其线性独立的波函数的个数称为它的简并度。
定义：如果波函数满足
则称有正的（当号成立时）或负的（当号成立时）宇称。宇称是量子态的重要性质（如果量子态有确定的宇称的话），它具有“纯量子力学”的特征，在经典力学中没有对应物。在二维或三维空间中，宇称的定义推广为
这样我们就有以下的一系列定理。
不简并定理：一维束缚态必是非简并态。
证明：假设和是一维定态Schr?dinger方程在同一能量下的任意两个解，并且都是束缚态，那么首先根据Wronskian定理，
,
其中是与无关的常数，因此可以在轴的任意一点上计算它的值。再根据束缚态的定义，，我们就可以在处计算，当然得到
,
所以和是线性相关的，即
,（是常数）
而这就表示和代表相同的量子状态，所以它是非简并态。 ▌
注意，这个定理的两个前提“一维”和“束缚态”是缺一不可的。
波函数既然是复函数，它就可以写成下面的形式：
,
其中和都是实函数，称为波函数的模，称为波函数的位相。
定理：一维束缚态波函数的位相函数必是常数。
证明：借助于共轭定理和不简并定理，一维束缚态波函数和它的复共轭必然只相差一个常数，即
所以
由此就得到
▌
推论：一维束缚态波函数可以取为实函数。这是因为上式中的常数可以取作零。
说明：事实上，即使是对于非束缚态，由于有共轭定理的缘故，它也会有实波函数的解。但是非束缚态的波函数是根据边界条件来确定的，通常的结果不是实函数。
宇称定理：如果，则一维束缚态波函数必有确定的宇称。
证明：借助于反射定理和不简并定理，一维束缚态波函数必有
再用代替其中的，又有
所以
这个方程的解是
▌
束缚态（不只是一维束缚态）还有一个更重要的特征：它的能级是不连续地（离散地）变化的，即是说，仅仅当取某些离散的数值时，定态Schr?dinger方程才有符合单值、有限、连续条件的解。这就是通常所说的“能量的量子化”。从直观上，我们可以用本节开始时介绍的一维Schr?dinger方程的解的一般特征定性地加以说明。在以后各节，我们还可以通过实际的例子来体会。在数学上，我们有更加严格的理论（Sturm-Liouville理论）来证明离散本征值的存在。
作业：无。
