第三章 力学量用算符表达 §3.1 算符的运算 1．基本的和导出的力学量算符 我们在§1.1中已经引入了用算符来代表力学量的概念。 算符就是可以作用于波函数把它变成另一个函数的运算。所以，在本质上，算符属于“函数变换”这一类的数学对象。 此后代表力学量的算符将记做。 量子力学中基本的力学量算符是： 坐标算符：，也就是 动量算符：，也就是 这意思是说：   有了它们以后，其它的力学量算符按下列规则来构成：若在经典力学中力学量用坐标和动量表出的关系式是  （代表一个函数关系），那么所对应的算符就是：  其中是同样的关系式。我们已经在§1.1中据此引进了粒子的Hamiltonian算符和轨道角动量算符。 更准确地说，上面所定义的算符应该称作是“坐标表象”中的算符。 同时我们也要指出：在量子力学中有一些量是没有经典力学的对应物的，比如宇称和自旋角动量。那时我们就要直接从量子力学的分析出发来引进它们的算符。 2．线性算符 在量子力学中考虑的力学量（又称可观察量）算符都是线性算符。 线性算符有如下的性质： , 其中是复常数。这是为了满足叠加原理的要求。 3．算符的运算和伴生算符 算符的基本运算是相加和相乘，定义为   可以注意：算符的加和乘仍然满足分配律，即 , . 常数也可以看作是算符，满足  算符的“相等”定义为：若  则  “单位算符”定义为  所以  所以也有时候就把它写为1。 由于算符的基本运算是加和乘，所以并不是任何的算符“函数”都是有意义的，除非这个函数可以被展开为收敛的幂级数，即，如果一个复函数可以写为  那么算符的函数就定义为  一个常用的例子是指数函数，它定义为  所以不难验证  除此之外，像（逆算符）这样的“函数”只在算符“可逆”的情况下才有意义。 由一个算符还可以产生它的一些“伴生”算符。在量子力学里最常用的是的Hermitian（厄密）共轭算符，记为，定义为：若  则称为的Hermitian共轭算符。 定义：若算符满足 , 也就是说，  那么称为自厄密共轭算符，简称为Hermitian（厄密的）算符。 其他的一些伴生算符，例如复共轭算符，转置算符等等，今后用得不多，这里就不细讲了。 4. 算符的对易关系 两个算符相乘的结果可能与乘的次序有关，也就是说，算符的乘积一般说是不满足交换律的。 定义：表达式  称为和的对易括号或对易子。在时，称和对易，否则称为不对易。对易也就是“可以交换位置”。 我们经常需要进行对易括号的运算，以便从已知的对易括号导出新的对易括号。 对易括号的基本性质如下。 （1）对易括号是交换反对称的，即 . （2）对易括号是线性的，即 , , , 其中是常数。 （3）算符乘积的对易括号的展开法则是 , . 以第一式为例证明如下。  . ▌ （4）对易括号满足Jacobi恒等式  （5）量子力学的基本对易括号是 , ,  其中分别代表，的定义是 . 第一个基本对易括号的正确性是一目了然的。第二个基本对易括号利用了“混合偏导数与求导的次序无关”的法则，即  第三个基本对易括号的证明如下：  . ▌ 利用上面给出的基本对易括号和对易括号的运算法则，我们又不难证明：  其中，以及对于和的类似式子，还有角动量算符的对易关系 , 其中 , 以及  其中  我们以后将会看到，算符之间满足什么对易关系是算符的非常重要的量子力学性质。 作业：习题3.1; 3.2; 3.3; 3.4.