§2.4 线性谐振子 关于谐振子的研究，无论在理论上还是应用上都很重要。 1. 方程的化简 线性谐振子的势能函数是：  其中是谐振子的固有圆频率。所以Schr?dinger方程是：  在方程中做如下的无量纲化变换：   则方程变成  观察的情形，方程近似为：  它有近似解  但是应该舍去。再进行变换：  可得关于的如下方程：  2. Hermite多项式 可以用级数法求解的方程，结果发现：只要是“真”无穷级数，那么在的时候就，仍然使发散。能够避免这种情形出现的唯一出路是级数“中止”或“退化”为多项式，而这就要求只能取一些特殊的值。 设要求是的n次多项式，那么就必须让  这样，我们首先得到了能量本征值：  其次，现在的方程成为：  不难验证下面的函数（多项式）正满足这个方程：  它称为n次Hermite多项式。也可以利用下面的生成函数来生成Hermitian多项式：  头三个Hermite多项式是：  一般地说，n次Hermite多项式的奇偶性是  3. 线性谐振子的能级和波函数 我们把线性谐振子的能级和波函数总结如下。能级是：  对应的波函数是：  是归一化常数，使得满足  利用Hermite多项式的正交性  可得  所以最低的三个谐振子能级的波函数是    讨论：（1）能级是等间隔的，（2）零点能是，（3）能级的宇称是偶奇相间，基态是偶宇称，（4）有n个节点。 （提问：请你猜一猜，在势阱中，当能量升高时，能级间隔的变化趋势如何？或者说，如果，那么） “大量子数的态逼近于经典振子”的问题现在有了新的观点：“相干态”。 作业：习题2.7; 2.8; 2.9; 2.11.