§2.3 势阱 1. 函数的定义和主要性质 函数的概念是Dirac首先提出来的，它有直接的物理背景。例如考虑一些电荷分布在一条直线上，可以引入线电荷密度来描写这个分布，它的定义是 , 其中是分布在间隔中的电荷，而这条直线上的总电荷由的积分给出： . 如果实际的电荷分布是在处有一个点电荷，其它各处都没有电荷，那么显然在的地方处处是零，而在这一点变成了无穷大。Dirac建议：把这时的线电荷密度记为 , 其中的就称为函数。它显然是一种非常“奇异”的函数。 可以这样来理解函数：  并且  但是严格地说不是一个“数”，所以上面这种表达函数的方法不符合数学中关于“函数”的定义。严格一点，可以认为函数是一种特殊的“积分核”，按照下式来定义：  其中函数在处是连续的。但是要指出，这里的积分仍然不是Riemann（黎曼）积分，而其中的函数也属于“广义函数”一类。 可以把函数看作是一些含参数的连续函数的极限情形。例如考虑  在时的极限。显然  同时 , 所以，只要取 , 这个极限函数就满足函数的条件，因此  类似的极限还有    等等。以后我们会有一种更加一般的方法把函数表达成连续函数的极限（见§7.1）。 某些含有函数的公式： , 其中是“单位阶跃函数”：  当然，这里的微分也是广义的。 (2) 对于非零任何实数， . 推论：是偶函数，即。更一般地说，  其中是方程的各个单实根（重根的情况需另外考虑）。 (3)   更一般地，   (4) . 这个等式应该按下式的意义来理解： . 2. 一维势阱中的束缚态 设势能函数是  那么只有在时才是束缚态。注意到在处有无限大的跳跃，所以是不连续的。把此时的Schr?dinger方程  在上积分，可以得到的跃变条件  在的区域，方程是  所以对于偶宇称态，波函数为  把的跃变条件代进去，得到  所以粒子的能量本征值为  波函数的归一化是  所以  通常记  称为势的特征长度（它代表了这个势有多大的影响范围），那么势阱又可以写为  它的束缚态波函数是  而能量本征值是  不难证明：奇宇称态不可能满足在点波函数连续的条件，除非。所以在势阱中仅仅存一个偶宇称的束缚态。（提问：怎么证明？） 3．从方势阱过渡到势阱 我们可以先假设一个有限深和有限宽的方势阱  然后让波函数在处满足本身连续而且一阶导数也连续的条件，那么不难证明：如果取极限  则波函数本身在点仍然连续但一阶导数有跃变：  这正是势阱要求的波函数条件。所以，势阱是短程作用的一种理想化近似。 作业：习题2.4; 2.5; 2.12.