§3.3 动量本征函数的归一化 1. 动量本征函数在无穷空间中的归一化 动量算符是  所以本征方程是  其中是任何实矢量（如果有虚部，则本征函数就不能满足有限性的要求），按分量写出是  也就是说，是彼此对易的3个算符的同时本征方程。容易发现，这些方程的解（即同时本征函数）是  在无穷空间中，它们是平方不可积的，所以要采用按函数归一化的方法。 考虑另一个本征函数并计算“交叉积分”（或“重叠积分”）  注意到  其中是函数，所以  我们取  那么就有  其中  这就是在无穷大三维空间中按函数归一化的动量本征函数。在一维空间中，它们简化为   这样归一化的动量本征函数主要用于计算粒子的动量测量几率。 按函数归一化的方法可以用于任何有连续本征值谱的本征函数系。例如算符的本征值谱是连续谱。若记算符的本征值为的本征函数为，那么它们的正交归一性就是  显然，就是  这个结果不难推广到高维空间。 2. 动量本征函数的箱归一化 所谓的“无穷大空间”不是物理的现实空间。实际的物理情况是：问题所涉及的空间虽然很大却仍然是有限的，然而这个空间的边界的影响又可以忽略不计。在这个时候，我们可以采用这样的办法：先让粒子在有限的空间体积中运动，然后再让这个体积趋近于无穷。这就是所谓的箱归一化方法。 这里的问题主要是如何处理空间的边界。可以证明：为了保证动量算符是Hermitian算符，应该提出周期性边界条件。或者从另一个角度来讲，周期性边界条件实际上意味着这个有限的体积可以扩展到无穷，所以边界对内部空间不产生影响。 下面先以一维空间为例说明动量本征函数的箱归一化。假设，并且满足  其中  那么我们首先发现：这时本征值变成离散的了，因为它必须满足  所以  即是  注意到de Broglie关系，所以它也就是。其次，现在我们只在中把波函数归一化，所以  而正交归一条件成为  用也可以构造在上的函数：  推广到三维情形，箱归一化的动量本征函数是  其中  所以  其中  而且  当然，在处理实际的物理问题（做实际计算）的时候，最后要让，所以要仔细地处理可观察的物理量的定义，使得它们在的时候与无关。 关于箱归一化方法，一个直观的物理图象也很有用。在动量空间中，动量的本征值都出现在以为晶格常数的立方晶格上，所以一个晶胞的体积（也就是一个量子态平均占有的体积）是，而坐标空间的体积是，所以在相空间（坐标空间和动量空间共同构成的空间）中来看，一个量子态平均占有的体积是，或者说，系统在它的相空间中的“态密度”是。这个结论在统计力学中有重要的应用。 作业：习题3.10; 3.12.