第五章 中心力场 §5.1 中心力场中粒子运动的一般性质 1．中心力场中Schr?dinger方程的约化 中心力场的势能函数与方向无关：  所以粒子的Hamiltonian是（本章中将用代表质量，以区别磁量子数，而且正代表约化质量）  不难证明，这时候我们有  所以力学量的完全集是，也就是说，我们可以要求定态Schr?dinger方程的解同时是角动量本征函数。 现在Schr?dinger方程是：  把换写到球坐标系：  我们发现：  所以方程也就是  现在可以在球坐标系中分离变量（也就是说让同时是角动量本征函数）：  而我们有  所以满足  它称为径向Schr?dinger方程。注意，这个方程与量子数无关，所以能量对于必定是简并的。有时还再引入变换  或者  则方程变为：  它称为约化的径向方程。 2．约化径向方程与一维Schr?dinger方程的比较 从形式上看，约化径向方程与一维Schr?dinger方程非常相似，但是二者还是有重要的区别。 (1) 一般地说，一维Schr?dinger方程的自变量区间是，但是约化径向方程的自变量区间是。既然是边界，我们就必须在这里提出一定的边界条件。注意到而是有限的，所以的边界条件是  (2) 所“感受”到的势能不只是，而是  它称为有效势能，其中  称为离心势能。 换一种方式来说，我们也可以把约化径向方程的自变量区间形式地延拓到，同时取势能为  那么结果是一样的，因为这时候必有  以及  *3．二体问题的分解 在经典物理中，一个二体系统（比如氢原子）的运动可以分解为质心运动和相对运动。在量子力学里情况也是一样。 假设两个粒子的坐标分别为和，质量分别为和，那么引入  称为质心坐标，称为相对坐标，以及  称为总质量，称为约化质量，就不难证明：  如果这两个粒子只有彼此之间的相互作用，就是说  那么系统的Hamiltonian就可以改写：  同时波函数也可以分离变量：  由于势能与无关，所以质心是自由运动。如果我们就在质心系中考虑问题（即质心不动），那么就有，常数，所以只需要解相对运动的Schr?dinger方程，它和单粒子的Schr?dinger方程是一样的，只不过其中的质量是约化质量。在本章以后各节我们就不再重复这个分解。 作业：习题5.1; 5.7.