§4.4 全同粒子系统波函数的交换对称性 1. 多粒子体系的描写 假设我们有个粒子组成的体系，那么体系的波函数应该和所有粒子的坐标以及时间有关，，其中的“坐标”包括了粒子的空间坐标和其它一些“内部的”量子数（比如自旋）。体系的Hamiltonian是（见§1.2）  由此即可写下体系的Schr?dinger方程。 2. 全同粒子的不可区别性 现在假设多粒子体系中的个粒子是全同粒子。 全同粒子就是质量、电荷、自旋等内在性质完全相同的粒子。全同粒子体系例如多电子原子中的电子、固体中的“公用”电子、原子核中的核子等。显然，对于全同粒子体系，Hamiltonian中的都相同，也都有相同的组成。但是在量子力学中，全同粒子体系与非全同粒子体系有更多的区别。 在经典力学中，即使两个粒子是全同的，它们也仍然是可区别的，因为它们各有自己的轨道。但是在量子力学中，粒子的状态用波函数描写，当两个粒子的波函数在空间中发生重叠的时候，我们无法区分哪个是“第一个”粒子，哪个是“第二个”粒子。所以在量子理论中有全同粒子不可区别性原理： 当一个全同粒子体系中各粒子的波函数有重叠的时候，这些全同粒子是不可区别的。 3. 波函数的交换对称性和粒子的统计性 对全同粒子体系的波函数引入交换算符，它的作用是把第个粒子和第个粒子交换位置：  那么全同粒子的不可区别性告诉我们：这样交换以后的状态与原来的状态是不可区分的，所以  而  所以，  解得：  也就是说，  假如  则称为交换对称波函数；假如  则称为交换反对称波函数。 交换对称性或反对称性是全同粒子体系波函数的特殊的、固有的性质，因此也是微观粒子的特殊的、固有的性质。它决定了粒子所服从的统计。 自旋为整数的粒子，波函数是交换对称的，服从Bose-Einstein统计，称为玻色子（boson）。例如光子（自旋为1）、介子（自旋为0）。 自旋为半整数的粒子，波函数是交换反对称的，服从Fermi-Dirac统计，称为费米子（fermion）。例如电子、质子、中子（自旋都是）。 原子核、原子、分子这样的粒子是由质子、中子、电子这些更“基本的”粒子组成的，我们把它们称为“复合粒子”。如果复合粒子的内部自由度是“冻结”的，我们也可以把它们看做是“基本”粒子。那么它们是玻色子还是费米子呢？这里的规则是：如果一个复合粒子包含偶数个费米子，那么它是玻色子；如果它包含奇数个费米子，那么它还是费米子。它所包含的玻色子的数目对此毫无影响。事实上，这正是因为偶数个费米子的总自旋一定是整数，而奇数个费米子的总自旋一定是半整数。 （提问：这个规则从交换对称性的角度来看应该怎么理解？） 对于全同粒子体系，它的Hamiltonian变成了  其中的和对所有的粒子都是一样的，对所有的粒子也都是交换不变的，所以，只要在初始时刻波函数具有某种交换对称性，那么在此后的任何时刻它永远保持同样的交换对称性，也就是说，波函数的交换对称性是与量子力学的基本动力学规律相容的。 4. 交换对称或反对称波函数的构成 一般地说，一个全同粒子体系的波函数是解Schr?dinger方程得到的，原始的解未必有确定的交换对称性。所以我们要对它进行“对称化”或“反对称化”。这里我们只考虑比较简单的情形：无耦合体系，即体系的总波函数是单个粒子波函数的乘积：  这称为独立粒子近似。以二粒子体系为例，在独立粒子近似下，波函数是  假设和是不同的函数，那么对称化的波函数是：  而反对称化的波函数是：  注意，对于可区别粒子（波函数），我们可以说系统的状态是“第一个粒子处于状态，第二个粒子处于状态”，但是对于不可区别粒子（波函数和），我们只能说“有一个粒子处于状态，一个粒子处于状态”。 波函数的对称化或者反对称化会对系统的性质产生重要的影响。假如是粒子的空间坐标，让我们考虑两个粒子的位置重合（）的几率。对于没有对称化或者反对称化的波函数，这个几率是，对于交换对称的波函数，它是，而对于交换反对称的波函数，它是。所以，空间波函数的对称化使得粒子趋向于互相靠拢，而反对称化使得粒子之间趋向于互相远离。注意，这完全是统计的规律在起作用，实际上并不存在粒子之间的“实在的”相互作用，但是它显然也有物理上可观察的效应。 类似的方法可以推广到个粒子的体系。特别是，个费米子的反对称化波函数是：  这称为Slater行列式。从这个表达式很容易看出：如果在当中有任何两个是相同的函数，那么。所以我们有 Pauli不相容原理：不可能有两个或更多的费米子处于完全相同的量子状态中。 这是一个纯量子力学的原理。它在统计物理中起着重要的作用，例如解释多电子原子中的电子壳层，固体中的能带填充，中子星的形成和稳定性，等等。而全同玻色子系统则完全不受这种限制，就是说，可以有任意多的玻色子处于相同的单粒子态中，这正是Bose-Einstein凝聚现象得以产生的原因。但是一般地说，个玻色子的对称化波函数的构成要复杂得多，它强烈地依赖于当中有多少个是相同的，关于这一点读者可以通过一些例子来体会。 在自然界的构成中，费米子起着“砖块”的作用，而玻色子起着“粘合剂”的作用，它们一起构建出了我们所看到的如此丰富多彩的宇宙世界。 作业：习题4.2; 4.3.