§5.3 三维各向同性谐振子 1．三维各向同性谐振子在直角坐标系中的解 三维各向同性谐振子的势能函数是  由于，所以它的Hamiltonian可以写成  其中分别是沿轴的线性谐振子的Hamiltonian。所以三维各向同性谐振子的能级是  对应的波函数是  其中是沿轴的线性谐振子的量子数为的波函数，也类似。很重要的一点是的简并度，不难证明它是  此外，现在，所以根据Virial定理，对任何定态都有  2．球坐标系中的解，缔合Laguerre多项式 仍然设  那么满足  再令  则满足  注意，即使，它和一维空间中的谐振子也不同，因为必须满足，或者说，把延拓到时对于的左半直线必须取，所以在原来的一维谐振子能级中只有奇宇称态才能出现，这样就使得最低能量是而不是，正和在直角坐标系中得到的结果一致。问题是时的情况如何。 现在直接研究也很方便。仍然像在一维谐振子中那样引进无量纲变量   则方程变成  不难证明：在时，在时，所以可设  那么就满足方程  再做变换  则方程变为  分析表明，只有当取一些特殊值的时候这个方程才有多项式解。事实上，这个方程属于合流超几何方程。合流超几何方程的标准形式是  它的一般解是合流超几何级数，但是，这样的级数解不能满足波函数有限的要求。只有当参数取非负整数的时候，方程的解才退化为多项式，并且就是多项式的次数。这个多项式称为缔合Laguerre多项式，记为，也就是说，满足方程  的“归一化”约定是它的最高次幂项为 . 由此不难证明的微分表达式是  所以  不妨注意：这里的并不需要取特殊值，如果变量，那么通常来说只要就够了，把它延拓到复平面上也是可能的。 再回到前面的问题，我们发现关于的方程有多项式解的条件是  所以  或者写为  所以能级为  在给定以后，可以取值  再考虑到每个值有个简并态，就不难验证的简并度是。这些都与直角坐标系中算得的相同。至于波函数，不难得到径向波函数是  其中是以为自变量的缔合Laguerre多项式，是归一化常数。 我们看到，三维各向同性谐振子的能级简并度高于一般中心力场中的能级简并度，这是因为三维各向同性谐振子势场的对称性是SU(3)，比一般中心力场的对称性SO(3) 高。 实质上说，对于同一个，直角坐标系中的的波函数和球坐标系中的波函数可以通过线性幺正变换互相联系，这是所谓表象变换的一个实际例子。在教材上对于的情形给出了具体的变换矩阵。 作业：习题5.11; 5.12.