§8.3 角动量的合成 1. 角动量合成的一般规则 我们在很多情况下会遇到角动量合成（即相加）的问题。在本节，我们只注意角动量合成的一般规律，而不注意那些角动量的具体物理背景，所以我们将采用Dirac符号。 设和是两个互相独立的角动量，这意思是，它们的分量分别满足角动量的对易关系，而它们互相之间是对易的：  和的矢量和记为  则不难证明仍然是角动量，即它的分量也满足角动量的对易关系。（所以角动量可以相加，却不可以被常数乘！） 从未耦合（和未相加）的角度看来，这个体系的完备算符集是，共同本征态是，Hilbert空间的总维数是；而角动量耦合以后，体系的完备算符集变成了（不难验证它们是两两对易的），共同本征态则记为，也就是说     根据叠加原理，一定是的线性组合：  若采用Dirac符号则  这些组合系数称为Clebsch-Gordan (CG) 系数。实际上，从未耦合表象到耦合表象的变换是一个幺正变换，而CG系数就是这个幺正变换的矩阵元。 我们的问题是：和有什么关系？组合系数是什么？ 以作用于上述展开式得到  即是  所以  这就是说，只有在  的时候才能有  其次，在一个特殊的状态下未耦合的本征态和耦合的本征态是相同的，那就是“最大投影态” . 注意到  并把它作用于最大投影态，我们发现  其中注意，所以对于这个态。它显然是的最大可能值，即 . 由于和的其它值总是以公差1递减，所以的可能值也以公差1递减。那么的最小值是多大呢？我们可以通过Hilbert空间的总维数的分析得出。从耦合以后的角度来看，总维数是  但Hilbert空间的总维数并不依赖于采用什么完备算符集，所以 , 由此得到 . 所以我们的结论是：  或写为  以及  也就是说，只有当这些条件被满足的时候，才。这个法则是量子力学中的重要法则。在直观上，这是矢量相加的三角形法则的结果，因为三角形的三条边必然满足关系  所以上述关系又称为三角形关系。 *2. CG系数的确定 CG系数的值的计算是一件比上面的推导复杂得多的事情，许多数学家（以及物理数学家）都曾经为此做了大量的工作，我们就不仔细介绍了。我们在这里只是指出确定CG系数的基本原则。 按照的规则，我们可以写  所以需要求和的实际上只有一个量子数（在上式中取作）。下面的任务就是让  代入，把各项算符对的作用结果算出来，再比较等式两边的相同的态，就可以定出CG系数。但是这里还有一个相位约定的问题。通常采用的约定是 CG系数都是实的； 。 可以证明，有了这些要求，CG系数就被唯一地确定了。教材上有一些CG系数的公式可以参看。我们在以后的章节里也要给出一些具体的例子。 事实上，如果我们要偷懒的话，许多计算机程序库里都有现成的CG系数的计算程序（数值的或者符号的）供我们调用。比起过去的“查表法”来，这可省事多了。 作业：习题9.5; 9.6; 9.7.