微扰论 §10.1 束缚态微扰论I：非简并情形 1. 微扰论的基本构架 可以精确求解的量子力学问题是很少的，所以近似方法有重要的作用。微扰论是广泛应用的近似方法之一。 我们的目标仍然是求解定态Schr?dinger方程，即能量本征方程  并且只关心束缚态，因而能量本征值是离散的。但问题是比较复杂，不能精确求解。如果有下面的形式：  其中是可解的，即它的本征方程  已经解出（和都知道了），而(称为微扰Hamiltonian）是一个小的修正： , （关于这个式子的准确含义，后面再给予解释），那么我们就可以采用下面的“微扰”方法。 首先形式地把重新写成 , 其中是一个小的实参数。然后把Schr?dinger方程的解和按照的幂次逐阶展开，即令： , , 而和都不再包含。显然，和与无关，称为和的“零级近似”，而和称为和的“一级微扰论修正”，和称为和的“二级微扰论修正”，等等。一般说来，越高级的项越小，所以可以只保留最低的几级，便有足够的精度。把上述展开式代入原方程，得到  . 让上式中的幂次相同的项分别相等，我们就得到一系列方程。这些方程就称为各级微扰论方程。我们即将看到，微扰论方程是可以逐级解出的。 零级方程就是原来的的本征方程，即 . 一级方程是：  二级方程是：  如此等等。不过必须指出：我们引入参数的目的仅仅是为了让微扰论的各“级”有明确的含义。实际上，我们看到的微扰Hamiltonian就是。所以，此后我们仍然令，于是以上各式就分别成为： , ,   关于微扰论中波函数的归一化问题我们要说几句。大家知道，Schr?dinger方程对于波函数是线性方程，所以波函数的归一化要在上面的方程组之外另行解决。对做归一化，我们发现有  既然我们已经取了前面的系数是1，那么由于，所以这就要求  对于来说，通常就简单地要求  以使上面的第一式得到满足。但是对于更高级的微扰波函数是不能这样要求的。 2. 一级微扰能和微扰波函数 我们先处理非简并情形，即的属于的本征态只有一个。为了解一级方程，把按来展开：  再代入方程中得：  即是：  在这等式的两端乘以并且积分，注意是正交归一的，就得：  是任选的，如果选，那么上式左方就等于0，所以我们得到了一级微扰能：  其中就是在表象中的矩阵元，也就是在状态下的平均值。如果选，那么右方第二项，所以得到：  其中是矩阵元  当然，这里不能给出，但是由于我们要求和正交，所以。因此一级微扰波函数是  其中表示求和中不包括的项。由此，我们发现微扰论适用的条件是：  这就是的准确含义。 3. 二级微扰能 二级微扰方程是：  现在已经求出，代入方程中得  仍然把展开为的线性组合，然后在方程两端乘以并且积分，左方再一次，右方第二项也，剩下的部分给出了二级微扰能：   其中注意，因为是Hermitian算符。二级微扰波函数的导出与前面的做法是类似的，这里不再细说。 例子：在静电场中的一维谐振子。 假设一维谐振子还带有电荷，并处在外加恒定电场（沿轴正向）中，那么哈密顿量是  其中   一级微扰能是  这是因为总是偶函数。所以要再求二级微扰能。先要计算  这个计算可以借助于阶梯算符来完成。由于   而  所以   由此得到二级微扰能为   注意，这个微扰能与无关。所以扰动以后的能级是（准确到二级微扰）  实际上，这个问题是有精确解的。把完整的重写为  它的第一项只不过是把原来的谐振子势能平移了一段距离，这个移动不会影响谐振子的能级，而它的第二项正是前面求出的常数。 作业：习题10.1; 10.3; 10.4.