*§11.3 Born近似
1．Green函数方法和Lippman-Schwinger方程
三维空间中的Schr?dinger方程是
记
它又可以写为
方程
称为Helmholtz（亥姆霍兹）方程，而方程
称为非齐次的Helmholtz方程，或带源项的Helmholtz方程，称为源项。
解这种方程可以用Green（格林）函数方法，那就是先解方程
其中称为Green函数。注意：这里被微分的变量是，而在其中是参量。把求出来以后，它就（借助于积分）给出了原方程的一个特解：
所以原方程的一般解是：
其中是齐次Helmholtz方程的一般解。
那么Green函数是什么样的函数呢？不难证明：对于Helmholtz方程，
事实上，我们只要验证
满足
就够了。在时，直接的微分就可证明满足
计算如下：
然后需要再验证一下
其中代表一个以O点为球心，半径的球体的内部。计算中需要利用Gauss定理：
然后我们再来看Schr?dinger方程。容易看到，此时
所以我们有
这个方程称为Lippman-Schwinger方程。注意，这并不意味着我们“解出”了，因为右边的积分中仍含有，所以这是一个关于的积分方程，它与微分形式的Schr?dinger方程是等价的。
2．Born近似
积分方程这种形式的好处在于它含有，而这一项可以用来体现边界条件，所以它等于是把微分方程和边界条件集于一身表现出来了。对于散射问题。我们要求的边界条件是
所以，我们应该在积分方程中令
它确实是齐次Helmholtz方程的解，而且在时。所以我们现在要解方程
严格地解它还是困难的，我们来利用微扰近似。既然在时，我们就在方程右方的积分中用代替，得到
对于散射问题，我们还需在其中令并且和渐近形式进行对比。在时可以取
但是在指数上我们不能这样近似，因为是的振荡函数。这时我们应取
所以
注意到
其中是入射粒子波矢量，是出射粒子波矢量，再对比散射振幅的一般定义，我们就得到：
这里已经把积分变量从换记为，所以就变成了相对于的方向角。上式就是散射振幅的Born近似公式。
这个公式可以应用于任何形式的位能函数。但如果与方向无关，那么公式还可以再简化。这时记
那么
其中正是散射角。称为“动量传输”。所以我们得到
这个积分以为参数，但实际上只是的函数，所以它也就是的函数。为了计算它的值，我们可以取任何坐标系。为方便起见，选沿着新的轴，所以
总之，现在，是散射角。这是一级Born近似独有的特征。
关于Born近似适用的条件，我们在此只是指出它是：
其中是势场的力程，是势场的最大强度。由于，所以这比值。这表明，能量越高，Born近似越好。但是当势场为吸引势场时，Born近似对于低能情况也是好的。
3．屏蔽Coulomb场的Rutherford散射
设一个带电荷的粒子（如粒子）被一个原子散射。可以假设受到的势场是屏蔽Coulomb场
其中是核电荷数，是屏蔽因子，是某种原子半径。这时玻恩近似给出的是：
所以微分散射截面是
让我们观察高能（很大）而且散射角也很大的情形，从而可以认为
这时
其中是入射粒子的动能。这个公式称为Rutherford公式。值得注意的是，它既不包含，也不包含，这表明在上述条件下，Born近似与经典力学是一致的。但Rutherford当时就发现，在附近，这个公式与实验是不符合的。这原因现在来看很明显，因为时屏蔽效应不可以忽略。
