§11.2 中心势场中的分波法
分波法的一般公式
现在假设势场为中心势场，那么方程就变为
显然，这时变成了，变成了，而且是守恒量，所以不妨假设
也就是把分解为不同轨道角动量的叠加。此式中的每一项（一个确定的角动量成分）称为一个分波。代入方程，发现满足
让
那么就满足方程：
以及边界条件
在时，方程是
它的一般解是
这里为了以后分析问题的方便，把初位相写成了，其中的当然无法从渐近方程定出，必须在求出了严格的方程的解以后再取的极限才能发现。所以在时有
我们应该拿这个与散射波函数的一般形式
对比，得到的表达式。为此，我们必须把也按展开。这个展开式是
其中是球Bessel函数。球Bessel函数满足方程
并且在处有限。当时，有渐近公式
这样，
我们知道，如果，那么，而它有如上的渐近表达式。拿的与它对比，我们发现最大的区别就是出现了，所以称为第阶“相移”。把解得的的渐近结果与假设的渐近形式对比，就得：
利用把各项都化为和的线性组合，方程成为
所以
第二式给出
把它代入第一式就得：
所以一旦各个求出来了，也就知道了。的各项称为散射的“分波振幅”。其中的Legendre多项式是完全定义好了的函数，例如
所以是确定这个分波的大小的决定性部分。这样给出的微分截面是：
注意这里有交乘项出现，不可认为。但是如果求总截面，交乘项是不出现的：
以上是分波法的一般形式。它的严格表达式是一个无穷级数，其中要求解出所有的，这实际上是不可能的。如果随着的增加很快地减小，那么这级数就很快地收敛，有可能只计算前几项就能得到好的近似。那么对于给定的问题，究竟需要考虑到多大的就够了呢？让我们从经典的图像来估算一下。设相互作用是短程的，即只有在的范围内作用是明显的，时的作用可以忽略，称为相互作用的力程。再设粒子以动量入射，而“瞄准距离”为。容易算出，这时它的角动量是。显然，如果，则散射的几率很小，所以，发生显著的散射的条件是
由于，而在量子力学中，，所以
这就表明，只有满足
的那些分波才会有显著的贡献。因此我们的结论是：分波法适用于短程相互作用(小)和低能(小)的情形。在极端情况下
那么只有一个分波需要考虑，就是
这称为S波散射。下边我们就将处理这种情形。
球方势垒的S波散射
球方势垒指的是
若很小，很低，则，只需考虑S波散射，并可以假设。现在的方程是
边界条件是
要从中解出并与对比找出。散射振幅是
这个散射振幅实际上是与无关的（即各向同性），微分截面是
总截面是
代入，方程成为
它的解是：
其中已经考虑到了边界条件。让在处连续，得
所以相移是
这是一个准确的表达式，但是太复杂，而且没有必要，因为我们本来假设了，所以可以把它按小量展开，在最低阶近似下只保留到的一次项。在时，
并可注意总有，所以还可以利用，于是
还可以认为
所以微分截面成为
而总截面为
实际上这是时的极限值。注意：在的时候也，但截面并不，因为截面的表达式中还有一个。如果，那么，因而，所以
相当于一个半径为的“完全硬球”。从经典图像看来，它的截面应该是，但量子截面却是它的4倍，这是量子干涉效应的结果。
还可以注意：由于，所以，这是因为势垒代表排斥作用。事实上它也可以从散射波的直观图象中看出。此外，对于低能散射还经常定义“散射长度”
如果，那么可以近似取，所以有
不难看出对于球方势垒，
而在时。目前普遍采用的的定义是有负号的，所以对于排斥作用而言散射长度。
球方势阱的共振散射
把势垒换成势阱，则从变为，波函数相应地变为
所以相移是（未做近似）
注意到，又是的增函数，所以，这和前面说到的情况一致：对于吸引作用，相移是的。仍然取的极限，那么
但是要注意，现在是与有关，而事实上有这样的可能性存在，那就是参数的值使得
这时候就变得很大，上面的近似就不能用了。事实上，如果恰好，那么在的时候也，因而散射截面会，这就是所谓的“共振散射”。类似的情形我们在一维散射问题中也看到过了。在目前的问题中，共振散射出现的原因是：在上述条件下，球方势阱中恰好存在着“零能束缚态”。
作业：补充题：求粒子在势场中的S波相移。提示：球Bessel函数对于“阶数”也是解析的，因而渐进公式对于非整数的仍然适用。
