§9.5 自旋纠缠态 1．两个电子自旋的合成 设和代表两个电子的自旋，它们的总自旋是，对照角动量合成的一般规则，现在，所以总自旋的大小可以取值 . 形象地说，当两个电子的自旋互相平行的时候，而当两个电子的自旋反平行的时候。 我们还要解决总自旋的本征态如何用各电子的态矢量来表达的问题，换句话说，也就是要计算这个时候的CG系数。我们约定用来表示总自旋本征态，而单个电子的状态用(自旋分量向上)和(自旋分量向下) 来表示（见§9.1），并且在它们的右下角用1和2来区分两个电子。对于合成的状态和，它们的分解是显然的：   但是和就比较复杂。我们必须假设，比如  因为这两项都是的本征态。为了决定，应该要求  注意到  以及    我们发现  所以必须有  这就给出了  其中已经考虑了归一化。所以  类似地可以得到  总结一下。是一个三重态，的态矢量分别为  而是一个单态（只有），态矢量为  它们有一个非常重要的特点：的三个状态对于两个电子的交换是对称的，而的状态对于两个电子的交换是反对称的。有时候为了更形象地表达这些状态，改用表示，表示，那么     由于两电子总自旋本征态有不同的交换对称性，并考虑到电子是费米子，系统的波函数应该是交换反对称的，而总波函数是空间波函数和自旋波函数的乘积，所以当两个电子的自旋合成为的时候，它的空间波函数必须是交换反对称的，而当两个电子的自旋合成为的时候，它的空间波函数必须是交换对称的。这些在多电子原子的电子壳层的形成以及化学键的形成（量子化学）中有重要的作用。 2．两电子自旋纠缠态 观察上面的两个电子的总自旋的本征态，我们发现它们有两种不同的构成方式：和是两个电子自旋本征态的简单直乘，而和是两个电子自旋本征态的不同直乘的线性组合。我们把前者称为可分离态 (separable state)，而后者称为纠缠态 (entangled state)。 一般地说，设一个量子系统由若干个子系统构成，如果该系统的量子态可以表示为各子系统量子态的直接乘积，则称为可分离态，否则就称为纠缠态。实际上，“纠缠 (entanglement)”，“耦合 (coupling)”，“关联 (correlation)”在量子力学里表达了相似的概念或状况，很难严格加以区分。 在两电子自旋这个系统中，我们也可以把系统的基底完全建立在纠缠态上，那就是   它们不再是的共同本征态，而是中任何两个算符的共同本征态。这一套基底称为两电子自旋系统的Bell基。从量子纠缠的角度来说，Bell基的优点是它们是“最大纠缠态”，而这对于量子信息学（见下）是很重要的。 量子纠缠这个概念最早是由Schr?dinger提出来的 (1935)，并因此产生了著名的Schr?dinger猫 (Schr?dinger’s cat)。也在同一年，Einstein-Podolsky-Roson (EPR) 基于对纠缠态的测量行为的分析，向量子力学的“正统解释”（Copenhagen解释）提出了严重的质疑，在实质上它涉及到量子力学的非定域性(non-locality)与相对论的定域性之间的矛盾。后来有一些学者（如Bohm）提出了隐变量 (hiden variables)假说，试图以实在论的方式“解释”或“导出”量子力学。Bell根据定域实在论 (local realism) 提出了Bell不等式。这些都属于向量子力学提出“挑战”的尝试。但是到目前为止，隐变量理论并未获得实验的支持，关于Bell不等式的实验检验结果与量子力学的预言相符，EPR佯谬 (paradox) 也未能“推翻”量子力学。所以我们应该说，到目前为止，量子力学仍然是“真理”，尽管量子力学的非定域性与相对论的定域性之间的矛盾并未解决，量子测量的动力学（见§1.2）也还未搞清。 另一方面，更值得一提的是，量子信息学 (quantum information) 在近年来的迅猛发展，把量子纠缠的研究提到了一个前所未有的高度，推到了一个崭新的阶段。一言以蔽之，量子纠缠是实现量子信息学的各种功能（如量子计算 (quantun computing)，量子算法 (quantum algorithm)，量子远程传态 (quantum teleportation)，量子密码 (quantun cryptogram) 等等）的必不可少的“资源”，换句话说，量子纠缠是量子信息学之区别于经典信息学的全部根源所在。所以，对这方面的发展给予适当的关心，对于更深入地理解量子力学是有益的。 总而言之，量子力学是一门仍然在蓬勃发展中的，仍然有许多问题需要研究的学科。 作业：习题8.10; 8.12.