§8.2 角动量的本征值和本征态 1．角动量的一般定义 我们知道，轨道角动量算符的各个分量满足对易关系 , 或者写为  其中是Levi-Civita符号，或称三阶完全反对称单位张量，它对于是完全反对称的，并且约定。这些对易关系是的定义以及量子力学基本对易关系的结果。但是，现在我们把它们推广为量子力学中的一般角动量应该满足的对易关系，也就是说，我们假设若是一个角动量算符，那么它的各个分量算符就要满足  这可以看作是量子力学的角动量的一般定义。由此还不难证明  所以，通常所说的“角动量本征态”不是的同时本征态“，而是和的同时本征态。采用Dirac符号，和的同时本征方程是 , , 其中就是和的同时本征态。注意，在Dirac符号的形式下，我们只是说存在满足角动量的对易关系的力学量和它们的本征态，但是并不需要把它们写成任何具体的形式。 2．角动量的阶梯算符 现在我们引进如下的阶梯算符： , 那么不难证明  还有 . 把这两个式子作用于，我们发现 , 和 , 这意味着 , 所以是的上升算符，而是的下降算符，而且的本征值上升和下降的公差都是，但是它们都不改变的本征值。还有一个对易关系是 . 把重新用表出，结果是 . 3．和的本征值 在给定的值之下，的可能值一定是有界的。我们把给定值以后的最大值记为，对应于取这个值的本征态是，那么就有 , , 所以 , 和比较，我们发现这给出了 . 另一方面，若的最大值是，则它的最小值一定是，并且 非负整数， 所以我们得到如下的结论：和的本征值系列是 的本征值为, 的本征值为. 以后它们的同时本征态就记为，即满足 , . 我们发现，前面通过求解微分方程的方法已经得到的轨道角动量的本征值系列确实包括在了这个系列之中（），但是这个系列里也包括了另外的角动量本征值（）。以后我们将会看到，电子的自旋角动量就是的情形。所以，上面的分析确实导致了一个一般性的结论。 4．角动量的本征态 设  那么  通常约定  所以  由此我们知道：的非零矩阵元是  所以的非零矩阵元是   而的非零矩阵元是   另外，用不断地作用于并乘以适当的系数就可以得到其他的，一般公式是  在教材中采用了与此略有不同的代数方法，它们的结论是一样的。 *5．球谐函数的生成 把具体化为轨道角动量，那么 , ,  所以 , . 的本征函数具有形式  并满足  代入和就发现满足  它的解是  完成波函数的归一化就得到 . 如前所述，再用不断地作用于就可以得到其余的。这样得到的和我们前面得到的球谐函数几乎完全相同，只是归一化因子中没有。 作业：习题9.4.