电子自旋 §9.1 电子自旋及其描述 1. 电子自旋的发现 碱金属原子特征光谱的双线结构，例如Na黄线的二重分裂。 反常Zeeman效应。 Stern-Gerlach实验：测量银原子的磁矩。经典理论的预言是，连续变化，而实验的结果是：  (Bohr磁子) 结论：电子有磁矩，其投影是量子化的。推论：电子有自旋（内禀角动量），其投影也是量子化的。 Uhlenbeck-Goudsmit假设 (1925)：电子有自旋角动量，其投影只能取两个值：  这又导致电子有自旋磁矩，其投影为  (SI制) 写成矢量关系，自旋角动量算符记为，自旋磁矩算符记为，则  2. 电子自旋的描述 自旋有纯量子力学的起源，只能用矩阵描写。电子自旋的分量只有两个可能的测量值，所以算符都是矩阵。对应到角动量的一般理论，电子自旋属于的情形。在对角的表象中，利用一般公式（见§8.2）     可知的矩阵是：  从还可以产生的升级算符（矩阵）和降级算符（矩阵）：  引入Pauli矩阵  则可记为  Pauli矩阵的应用极为广泛，读者应该牢记。 3．Pauli矩阵的主要性质 Pauli矩阵的主要性质是： Pauli矩阵是Hermitian矩阵。  其中是三阶完全反对称单位张量，按分量逐个写出即是  所以Pauli矩阵是彼此反对易的。由此不难验证确实满足角动量算符的普遍对易关系  (3)  其中是单位矩阵。所以Pauli矩阵又是幺正矩阵。以上二式合起来可以写为  具有这类关系的代数系统称为Clifford代数。 从上面这些关系出发还可以导出Pauli矩阵的其它一些有用的关系，例如 (4)  其中是任何三维矢量（纯数或者算符）。 4．有自旋的电子波函数和算符 显然，的对应于本征值的本征矢量分别是：   现在电子的波函数还应该同时描写它的自旋状态。由叠加原理可知应有，  这称为电子的二分量波函数，又称为二分量旋量。它的Hermitian共轭波函数是 . 如果和不是成正比的函数，那么电子处于轨道和自旋的耦合态，或者用另一种术语说，叫做轨道自由度和自旋自由度的“纠缠态”。 与此同时，现在的算符也成为矩阵算符，其形式为： . 如果一个力学量实际上与自旋无关，例如电子的动量，那么它在自旋空间中就简单地是一个单位矩阵，也就是说，它的矩阵算符是 . 而电子自旋与它的轨道运动是互相独立的运动，所以自旋角动量算符是常数矩阵而不包含对于坐标的任何运算（见前）。与二者都有关的一个例子是“自旋-轨道耦合”算符 , 其中是与有关的算符（参见§ 8.2），而是常数矩阵，把它们代入就得到 . 对于这样的波函数和算符，原先给出的公式需要稍加修正。 (1) 波函数的归一化是：  (2) 电子的空间几率密度是：  (3) 电子的两种自旋状态的几率是：  (4) 算符的平均值是： , 其中的在一般情况下既包括对坐标函数的运算（例如微分和乘法）又包括矩阵运算。 如果电子处于自旋和轨道不耦合（或者说不纠缠）的状态，那么它的波函数就简单地是  其中是复函数，满足  而是复常数，满足  自然界的电子当然是带有自旋的，但是我们以前不考虑电子自旋也做过许多计算，在实质上，那等于是假设了电子是处于自旋和轨道不耦合的状态，所以只有需要考虑，而自旋自由度不带来可观察的影响。 作业：习题8.2; 8.3; 8.4; 8.5.