第八章 本征值问题的代数方法 §8.1 线性谐振子的阶梯算符方法 1．线性谐振子的代数解法 现在我们介绍解谐振子能量本征方程的代数方法，采用Dirac符号进行分析和推导。 线性谐振子的Hamiltonian是（这里不涉及采用什么表示）  令   那么不难验证  反过来说，   所以Hamiltonian可以重新表为  在所谓“二次量子化”的形式中，常记 , 并称为粒子数算符，所以  我们发现：   记算符的本征方程为  那么   所以   称为粒子的产生算符，称为粒子的湮灭算符。在谐振子能量本征态的意义上，和则分别称为升级算符和降级算符，合称为阶梯算符。 我们已经发现：的允许值系列必是公差为1的等差数列。由于对任何态有  所以  因此必存在最小本征值，满足  也就是说  这就导致  所以的本征值系列是  而最小本征值态（基态）是。 设  那么  所以可取  因而  类似地可得  然后利用数学归纳法就不难证明  而的本征方程的解就是  2．坐标表象 现在考虑坐标表象（）。引入  那么和就变为   记基态的波函数为，那么它必须满足  这个方程的解是：  其中是归一化常数，使得，这就不难求得  所以  这和我们在§2.4中得到的结果完全相同。依前所述还可以得到：  而不难证明它们也和我们在§2.4中得到的结果完全相同，也就是说，Hermite多项式的下述表达式：  和§2.4中给出的定义是完全等价的。 阶梯算符方法还可以用在许多其它的方程上。人们还以这种方法为基础发展了所谓的“超对称量子力学”，成为解决量子力学问题的有力工具。 *3．线性谐振子的相干态 作业：习题9.1; 9.2; 9.3.