*§5.2 球无限深势阱 1．球坐标系中的自由粒子波函数 球无限深势阱就是  所以球内（）的方程就是自由粒子的Schr?dinger方程  或者写为  但是现在要在球坐标系中解这个方程。代入    我们得到  在其中做自变量代换，则方程变为  这个方程在处有限的解是球Bessel（贝塞尔）函数，所以  也就是说，  球Bessel函数与Bessel函数的关系是  其中是半整数阶Bessel函数。一般地说，Bessel函数是特殊函数，但是半整数阶的Bessel函数却是初等函数，例如   其他的半整数阶函数不难从Bessel函数的递推公式求出。所以球Bessel函数也是初等函数，例如   而的普遍表达式是  由此不难发现，在时球Bessel函数有渐近公式  所以在时，自由粒子的径向波函数可以近似为  2．球无限深势阱中能级的确定 根据我们以前说明过的波函数应满足的条件，由于在球外，所以球内的波函数必须在球的表面上等于零，即  既然在球内，所以必须有  这就决定了的取值。记方程  的第个根（从小到大计数）为，那么的允许值为  所以粒子的能级是  一般来说，的值没有解析的表达式，但是是一个例外，因为，所以  这正和把三维问题约化为一维问题以后宽度为的一维无限深势阱的能级相同。最初几个的值列在下表中（以为单位），它们所对应的能量就是表中数字的平方（以为单位）。                               至于能级的简并度，精确地说，对于不同的都是不同的，所以能级只有对量子数的简并，即简并度是。但是如果能级很高，即，那么就近似成为  所以  这使得球无限深势阱的高能级会出现“近简并”的情形。