第四章 守恒量与对称性 §4.1 量子力学里的守恒量 1．力学量的平均值随时间的演化 力学量在态上的平均值是（设与时间有关，然而已经归一）  而满足Schr?dinger方程  在一般情况下，和都可能与时间有关。现在我们观察随时间的演化。  其中注意是Hermitian算符。这就是（广义的）Ehrenfest定理。通常来说，我们考虑的算符是不显含时间的，即，所以  如果取  那么  所以  这是Ehrenfest定理的最初形式（1927年）。 我们看到，量子力学里关于力学量平均值随时间演化的方程  和经典力学里的“正则”运动方程  非常类似，其中是力学量和的Poisson（泊松）括号，定义为  而中的就是经典的Hamiltonian。所以，在形式上，量子力学里的对易括号除以与经典力学里的Poisson括号的地位是一样的。 2．量子力学里的守恒量 我们发现：如果  那么就有  实际上我们还可以证明：在的时候，不仅不随时间而改变，而且的几率分布也不随时间而改变。所以我们称力学量是（在量子力学意义上的）守恒量。这时，描写力学量的本征值的那个量子数被称为“好量子数”。 但是关于Hamiltonian本身的“守恒”需要多说几句。首先，我们在量子力学里所考虑的算符通常都是不显含时间的，只有Hamiltonian是个例外，所以在Ehrenfest定理的普遍形式中，是不可随意省去的。其次，乍看起来我们总有，但是当与时间有关的时候，却未必。幸亏，如果与时间无关，那么这两个问题都不存在，所以本身也是个守恒量。我们知道，在这个时候Hamiltonian就是能量（换句话说，如果Hamiltonian与时间有关它就不能被解释为能量了），所以的平均值不记为而记为。 还有几个问题要强调一下。 （1）“有确定值”和“守恒”有不同的含义。力学量有确定值意味着系统处于的本征态，但是这个性质并不涉及状态如何随时间演化。反之，力学量守恒意味着它的测量结果不随时间而改变，然而系统并不一定处于它的本征态。当然，在是守恒量的时候，如果系统在初始时刻处于的本征态，那么此后它在任意时刻都处于的本征态。 （2）一个量子系统可能有许多守恒量，但是他们未必都彼此对易，也就是说，未必同时都能有确定值。这与它们都守恒并不矛盾。 （3）“定态”与“守恒”也有不同的含义。我们在前面已经指出：如果系统处于定态，那么任何力学量的测量结果都不随时间而改变，但是这只是系统的一种特殊状态，我们不能因此就说任何力学量都是守恒的。力学量守恒的意思是它的测量结果对于满足Schr?dinger方程的任何状态都不随时间而改变，不管这个状态是不是定态。 *3．能级简并与守恒量 定理：若系统有两个彼此不对易的守恒量和，即但是，那么系统的能级一般说是简并的。 证明：由于，所以和可以有同时本征函数，记为，即。再考虑到，所以  即也是属于同一能量的本征态。但，所以一般说来(例外情形见教材)，即不是的本征态，所以不同于，所以有简并。▌ 推论：如果是一个守恒量，能量本征态不简并，那么也一定是的本征态。 证明：  所以也是属于能量的能量本征态。既然能量不简并，就只能和相差常数。 ▌ 事实上，我们已经在一维问题中看到了这样的例子：在的情况下一维束缚定态也一定是宇称本征态。 *4．Virial（维里）定理 现在假设系统处于定态，考虑随时间的变化，当然，它应该不随时间而改变，而另一方面我们又有  所以  根据Ehrenfest定理就有  这个结果被称为Virial定理。对于中心势场这个定理很有用。比如，假设，那么，所以。 作业：习题4.4; 4.5.