§2.2 方势阱
1. 一维无限深势阱
一维无限深势阱的势能函数是：
在势阱外，必有：
在势阱内，满足方程
显然必须，所以记
那么方程变成：
它的一般解是：
这三段的解必须在处衔接起来。在势能有无限大跳跃的地方，衔接条件只有本身的连续性。所以现在
因而
有两种情形的解：
(1)，所以
(偶宇称)
(2)，所以
(奇宇称)
二者合起来可以写为：
波函数的归一化条件是：
所以
(与n无关)
最后，波函数是：
分析：(1) 粒子的量子状态是离散的，量子化条件是，其中是粒子的动量，是势阱的宽度。这表明：在粒子的相空间中，每个量子状态占有这么大的体积。（2）所以能量也是量子化的，。最低但，对应的状态称为基态，称为零点能。非零的零点能的出现是由于微观粒子服从不确定关系。(3) 波函数是驻波。(4) 态的宇称是偶奇相间，基态为偶宇称。(5) 波函数的节点数为。
这些特点都是有代表性的。
把一维无限深势阱的区间取在也是完全可以的（见教材），它的优点是波函数比较简单。
2. 对称有限深方势阱
它的势能函数是
对于束缚态，
所以方程是：
第二个方程的一般解是：
对，x可以，而此时，应该舍去。同理对于应该舍去。所以波函数是：
按说应该把它们在两点衔接起来，但是回忆以前讲过的宇称定理，我们可以做得更简单些。
(1) 偶宇称解
在处让和都连续，或者说让连续：
得到
这是含有的一个超越方程，可以从中解出。
(2) 奇宇称解
类似地可得：
为了看出能级的分布情况，可以采用图解法。令
无量纲)
则方程成为：
找出这两族曲线的交点，记交点的值为 则能级就是：
讨论：（1）能级的宇称是偶奇相间，最低的能级是偶宇称。（2）。所以每个能级都比无限深势阱的相应能级低一些。在时它们分别趋近于无限深势阱的对应能级，而且波函数也分别趋近于无限深势阱中的波函数。这从另一个角度表明了我们对无限深势阱中的波函数提出的条件（在势阱的边界处只要求波函数连续而不要求它的一阶导数连续）是正确的。（3）不论势阱多浅或多窄，至少存在一个束缚态。（4）在给定的势阱中，能级的个数是，这里代表而最接近的正整数。（5）基态波函数没有节点，而能级每向上升高一级，波函数的节点就增加1个。
作业：习题2.1; 2.2; 2.3.
