§3.4 角动量算符的本征值和本征态 1. 角动量算符的球坐标表示 角动量算符的定义是：  即是  此外我们还引入  它们满足的对易关系是 , 以及  所以，这些算符的的完备集是以及之中的某一个，通常选为。我们的任务是求解和的同时本征方程（注意这和动量算符的情况完全不同）。 为了解这些本征方程，更方便的是从直角坐标转入球坐标：  其中  那么，   注意：它们与无关。和的表达式见后面的§8.2。 2. 的本征值和本征函数 记的本征值为，本征函数为，则本征方程是：  即是：  所以，  由波函数的单值性，必须有：  所以  归一化是：  所以  这些本征函数可以用于求解平面转子问题。 在这里出现量子数(代表整数集) 的数学原因是：代表了圆周上的点，而是的连续映射，由于是拓扑非平凡的，它的第一同伦群就是，所以在本质上是一个拓扑量子数。在数学上，这个拓扑特征数称为绕数 (winding number)。 3. 的本征值和本征函数 的本征函数是的函数，记为，本征值记为，则本征方程是  即是  我们要求同时是的本征函数，这个要求等价于求上述方程的分离变量的解，也就是设  因而满足：  通常引入  则方程成为：  这个方程称为缔合（又称连带）Legendre方程。是这个方程的“奇点”，这意思是说，除非取某些特定值，方程的解将在处变成无穷大。的这些允许值是：  我们把对应的解记为，所以满足方程  特别是，当时，满足：  这个方程称为Legendre方程，它的解是的阶多项式，称为Legendre多项式，定义为  而称为缔合Legendre函数，定义为  这样，本征函数最后成为：  其中本征值的取值范围是：  是归一化常数，使得  结果是：  所以  称为球谐函数，称为角量子数，称为磁量子数。采用原子物理的术语，的状态分别称为S, P, D, F, …态。对于指定的，有个不同的值，这就是的本征值的简并度。 头两阶的球谐函数是：    4. 球谐函数的基本性质 （1）是和的同时本征函数：  （2）是正交归一的：  （3）空间反射变换  在球坐标系中成为 . 球谐函数在空间反射下的变换是 . 所以，的宇称是。 （4）球谐函数是单位球面（）上的完备函数系，也就是说，以为变量的任何函数都可以展开为的线性组合。 作业：习题3.14; 3.15; 3.16.