§4.2 对称性与守恒量 1．对称性变换 许多物理系统对于某些特定的变换是不变的。这种不变性也称为对称性。 设系统的状态用描写，随时间的演化服从Schr?dinger方程  假设受到了某种不依赖于时间的可逆的线性变换，即  而且反过来说有  那么系统对于变换的不变性表现为服从与相同的运动方程，即有  将上式代入，得到  也就是说  所以  或者  这就是系统在变换的作用下保持不变的数学表达。称为系统的一个对称变换。考虑到几率守恒，变换前后的波函数内积应该保持不变，即  所以  满足这种条件的变换称为幺正变换（unitary transformation）。 在物理上考虑的对称变换总是构成群，称为系统的对称群。如果它是连续群（或称Lie群），那么我们就可以只考虑群的单位元素（恒等变换）附近的无穷小邻域，即取  其中是一个无穷小的实参数。将它代入幺正条件，略去的高阶项，就得  所以  就是说，是一个Hermitian算符，而且它显然也满足  所以它是一个守恒量。这就是对称性与守恒量的关系。用群论的语言，称为的无穷小算符，或者的生成元。当然，这样导出的可以包含任意的常数因子（也就是说的单位并没有被确定），这个问题只用对称性是无法回答的。 2．空间平移不变性与动量守恒 以一维系统为例。考虑沿方向的无穷小平移  对于这个式子（变换）可以有两种理解。一种是坐标系并没有移动，物理系统整个地移动了一个小距离；另一种是物理系统没有移动，坐标系移动了一个小距离。通常前者称为“主动的”变换，后者称为“被动的”变换。容易发现，由于运动是相对的，这两种理解其实并没有本质的差别。我们在这里将采用前一种理解。所以波函数的变换是  （参见书上的图4.2）。把无穷小平移变换代入，得到  但是是变量，所以也可以写  如果是小量，那么  与无穷小对称变换对比，我们可以写  其中  是一个Hermitian算符，它正是沿方向的动量算符。如果进行的是非无穷小平移变换，那么波函数的变换是  而这个式子我们已经在前面写过了。根据定义，是一个幺正变换（算符），这称为幺正算符的指数形式（或指数化）。同样的论述当然也可以推广到沿方向和方向的平移，所以三维空间的平移变换是  它所对应的三维动量算符是  所谓的系统具有空间平移不变性，就是  而我们不难验证，如果具有这个性质，那么确实就有  所以动量是守恒的。 与“空间平移不变性导致动量守恒”相平行的陈述是“时间平移不变性导致能量守恒”。其实我们早已知道了这件事情：如果与时间无关（也就是说在时间平移下是不变的），那么它（也就是能量）是守恒的。 3．空间旋转不变性与角动量守恒 先考虑一个比较简单的情形：系统绕轴旋转一个小角度，即做变换（就是球坐标中的方位角），那么进行与前面完全类似的推导，可以证明这个变换所对应的无穷小算符就是  而它就是角动量算符的分量。同理，系统绕轴或轴旋转所对应的无穷小算符分别是和（这个结论与我们采用什么坐标系无关）。 更一般地说，三维空间围绕某个方向的无穷小旋转可以写为  其中，是旋转的角度，是该方向上的单位矢量。假设波函数是标量函数，那么仍然有  所以  其中可以改写为（因为是常矢量），所以  其中  正是做为矢量的角动量算符。当然，非无穷小旋转变换也应该用指数形式：  空间的旋转不变性直观说来就是空间没有特殊的方向，或者说空间是各向同性的，写成式子就是  在这个时候我们就有  所以角动量是守恒的。 4．离散对称性及离散守恒量 我们在前面说过，对称性变换的算符应该是幺正算符。但一般地说，幺正算符不是Hermitian算符，因而不是可观察量，这就是我们为什么在前面要把它指数化的原因。但是也不排除这样的情形：幺正算符同时也是Hermitian算符，就是说它满足  那么它也就是可观察量。从上式我们发现：  所以的本征值只可能是。所以这是离散的对称性，对应的也是离散的守恒量。 一个典型的例子是空间反射变换，  显然，它对应的守恒量就是宇称。如果  那么就有  所以宇称是守恒的。注意：正像我们以前已经强调过的那样，“定态（能量本征态）有确定的宇称”和“宇称守恒”是不同的两件事情，尽管它们都源于。 李政道和杨振宁在1956年提出了“弱相互作用中宇称不守恒”，对现代物理学的发展做出了划时代的贡献。所以，关于对称性（或者说守恒定律）在物理学中的地位，我们应该这样说：对称（守恒）和不对称（不守恒）在物理学中是同样地重要的和美妙的，缺一不可。 作业：习题4.6; 4.7.