*§4.3 Schr?dinger图画和Heisenberg图画 1．与时间无关时Schr?dinger方程初值问题的解 Schr?dinger方程是（为说明问题清楚起见，我们把时间变量明确写出来了）  通常还要求满足初始条件  假如与时间无关，那么这个问题的解是  （直接代入就不难证明这一点），其中  称为时间演化算符。容易证明是幺正算符，即  所以它保证了几率守恒。这里我们不妨注意这样一点：在量子力学里系统的状态随时间的演化是一系列的幺正变换，而在经典力学里系统的状态随时间的演化是一系列的正则变换。所以，量子力学的幺正变换与经典力学的正则变换是相当的。 此外，算符的平均值是  这里我们假设是不显含时间的，但却可能与时间有关，因为在随时间演化。 2. Schr?dinger图画 事实上，在量子力学里，波函数和算符并不是物理上可以直接观察的对象。量子力学里可以观察的量其实是内积（如果它是复数，就观察它的模和幅角）。在这个意义上，只要内积不变，我们用什么波函数和算符来计算它，实际上是有选择的余地的。 如前所述，到目前为止，我们一直采用这样的形式来表达量子力学：波函数与时间有关并且服从Schr?dinger方程，而算符与时间无关。用式子写出来就是  这种形式称为Schr?dinger图画（picture）。为明确起见，我们在和的右上角都加注一个来表示它们是在Schr?dinger图画中：  但是对于算符我们没有加注，其原因下面就会见到。 3. Heisenberg图画 现在我们对和进行如下的变换  我们知道，这是一个幺正变换。和分别称为Heisenberg图画中的波函数和算符。从第二个变换式我们可以看出，所以这两个图画中的Hamiltonian是完全一样的。 注意到前面的公式，我们发觉实际上  所以是与时间无关的。再计算一下随时间的演化，  所以总起来说和服从以下的方程：  这就是Heisenberg图画中的基本方程组。由于上述变换是幺正变换，所以在这两种图画中算出的波函数的内积和算符的平均值都是一样的，也就是说，它们给出完全一样的物理预言。 量子力学的Schr?dinger图画比较难于和经典力学做比较，因为在Schr?dinger图画中力学量算符是与时间无关的，而在经典力学中力学量是随时间变化的。但是Heisenberg图画却在形式和经典力学相当接近。正像我们在§4.1中已经指出的那样，Heisenberg图画里力学量算符所满足的方程  与经典力学里的正则运动方程  是互相对应的，换句话说，在形式上把经典力学里的Poisson括号换成量子力学里的对易括号除以，我们就可以从经典力学的方程得出量子力学的方程。当然，这仅仅是形式的类比，二者在本质上仍有不同的内容。 此后我们实际上仍然使用Schr?dinger图画。