*§4.5 周期性势场中的能带结构 1. Floquet-Bloch定理 粒子在周期性势场中运动时，它的状态介于束缚态与非束缚态之间，而能谱具有能带式的结构。以一维情况为例，周期性势场指的是： , 其中是满足此式的最小正数，称为势场的周期，所以粒子的Hamiltonian  在有限的（非无穷小的）平移变换  下保持不变。这也是一种对称性。虽然它并不导致任何守恒量，但是仍然有非常丰富的物理结果。 这里的问题仍然是求解能量本征方程  Floquet定理：周期性势场中的波函数满足条件  其中是常数，通常选在区间中（称为第一Brillouin区）。这种函数可以称为准周期函数。从直观看来，粒子在周期场中出现的几率也是周期性的，所以。 Bloch定理：周期性势场中的波函数可以写为如下形式：  其中是周期函数：  这种形式的波函数称为Bloch波。它可以看作是被周期函数调制了的平面波，所以被称为Bloch波数。注意，与平面波的波数不同，Bloch波数没有的绝对意义，而且粒子的能量和的关系也不是。 2. 能带的形成 周期性势场的最重要的特征就是它的能谱构成能带，而能带兼有离散谱和连续谱的特征。我们用一个例子来说明。 Kronig-Penney模型。这个模型中的周期性势场是方势阱-势垒。在第一个周期中，  其它地方的按周期性条件外推。能量选择为。记  那么方程是：  在阱中  在垒中 所以在中，  在其它周期内的解可以借助于Floquet定理得出，例如在中，  然后我们要求和在和两点都连续，得到方程组  这是关于的线性齐次方程组，要它有非零解，系数行列式必须，即 , 结果得到：  由于，所以  这是关于的不等式，从中可以解出的允许值范围。 观察势垒趋近于函数的极限情形：  然而(常数), 这时的周期性势场被称为“Dirac梳子”。记   (均无量纲) 那么方程变成：  其中  我们可以用图解法来解这个不等式，即画出的曲线，它落在之间的部分就对应着的允许值。 对于的情形，的允许值区间是(以为单位)：(0.68, 1), (1.46, 2), (2.32, 3), (3.24, 4), …，而，所以的允许值区间是(以为单位)：(0.46, 1), (2.13, 4), (5.38, 9), (10.50, 16),…。这就是能带结构。的允许区间通常称为允带（其中按照其被电子填充的情况又可以分为满带和导带），而不允许区间称为禁带。在的允许区间内，通过  又可以反求相应的值，从而又成为的函数，这个函数在固体物理中被称为“色散关系”。 如果周期性势场延续到整个实轴，则能带内的能量是连续变化的。如果它只延续个周期，那么能带内的能量是准连续的，一条能带内的能级总数是。 可以从“平面波的微扰论近似”和“紧束缚近似”两种不同的角度来说明周期性势场形成能带的物理机理。 现实的三维固体晶格所形成的周期性势场具有更加丰富的平移和旋转对称性，这些对称性是固体物理学和晶体学研究的重要内容。但是，电子在其中运动的能量形成能带这样一个基本特征，在大多数情况下没有实质性的变化。 能带在解释固体的电学、力学、光学性质方面（例如区分导体、绝缘体、半导体）起着基本的作用。