§6.2 Landau能级 1．带电粒子在均匀磁场中的经典运动 设沿正轴方向有强度为的均匀磁场，一个质量为，电荷为的带电粒子在平面内运动，初始速度为，那么根据电磁学的知识我们知道，此后它将沿一个园轨道运动，其运动方向为：从平面的上方（正轴的方向）向下看，时是顺时针方向，时是逆时针方向。设粒子在园轨道上的角速度为，是园的半径，那么它的运动方程是  所以  这就是说，只取决于粒子的荷质比 () 和磁场强度，而与它的速度或轨道半径无关。这个角频率称为粒子的同步回旋 (cyclotron) 频率。 2．带电粒子在均匀磁场中的量子运动 首先让我们写下均匀磁场的矢量势。不难证明，强度为的均匀磁场的矢量势为  证明如下。   ▌ 如果  那么，  所以电子在均匀磁场中的Hamiltonian算符是（设电子在平面内运动，注意）  其中  称为Larmor频率。 显然，现在的力学量完全集是，适合采用平面极坐标系来求解，并可设  平面极坐标系中的Laplace算符是  所以把代入能量本征方程中得到径向方程为  在其中做变量代换  那么方程成为  在时，在时，所以可设  代入方程中得到需满足  这又是合流超几何方程，它有多项式解的条件是  或者写为  这就是粒子的能级。而成为缔合Laguerre多项式，所以径向波函数是  如果我们改用而不是来表达能级，那么能级又可以写为  它与固有频率为的谐振子能级完全相同。这些能级就称为Landau能级。 *3．Landau能级的简并度 尽管Landau能级的样子看起来和谐振子的能级一样，它们的简并度却完全不同。注意到  以及  所以对于给定的，一旦，那么所有的都是允许的，所以Landau能级的简并度是无穷大。但是这要假设电子是在无限大的平面内运动。其实在现实的物理实验当中，任何“二维电子气体”样品的面积都是有限的。设平面的面积为，那么可以证明：所有的Landau能级的简并度都是  或者写为  其中是整个平面内的总磁通，而  是所谓的“磁通量子”。也可以说单位面积上的能级简并度是  这些概念与凝聚态物理的一系列问题都有非常紧密的联系。初步的研究可以只考虑最低的Landau能级，称为LLL近似。 如果我们取的另一种规范  结果会更直接一些，请参看教材。 作业：习题6.2; 6.4.