§7.2 量子力学的矩阵形式 1. 离散表象中的量子力学诸方程 坐标表象与离散表象的关系和对比如下表。 坐标表象 离散表象  态 波函数 复共轭波函数 列矢量 行矢量  算符  矩阵  算符作用于态    （矩阵乘法）  态的内积   （矩阵乘法）   因此，在离散表象中量子力学的诸方程的形式如下： (1) 态的归一：，两态正交：， (2) 力学量的平均值（若已归一）：， (3) 本征方程：  (4) 含时间的Schr?dinger方程：  以上各式中的乘法均理解为矩阵（包括列、行矢量）乘法。 2. 离散表象中本征方程的解法 设  那么本征方程就是  或  简写为  代表单位矩阵。这是一个齐次线性方程组，它有非零解的充要条件是：  或简记为  这个方程称为长期（久期）方程。如果是矩阵，则它是关于的次代数方程。根据“代数基本定理”，在复数域内，次代数方程一定有个根（重根算个根），这些根就是本征值。矩阵的Hermitian性保证了长期方程的根都是实数。把这些本征值记为（假设没有重根），再代回方程   就可以对各个本征值求出，但有一个整体的常数因子未定，再利用归一化条件把它定出，就完全得到了归一化的本征矢量。有重根出现的情况稍微复杂一些，因为这时当中可以自由选择的分量数目更多一些，我们不再细说。 例子：完成矩阵  的“对角化”。 首先不难验证这个是Hermitian矩阵：  为了求本征值，可以直接写下它的长期方程：  所以本征值是：  对于，本征方程成为  所以  就是说，它的本征矢量是  归一化条件是：  所以  可以取  所以归一化的本征矢量是：  类似地，对于，归一化的本征矢量是：  现在我们把和排成一个方矩阵，记为：  那么它的Hermitian共轭是：  我们发现：  事实上这就是和的正交归一性。所以是幺正矩阵。进一步我们发现，    所以这个幺正变换恰好把矩阵对角化了，对角元素正是它的本征值。这给了我们关于算符（矩阵）的本征函数的意义更多理解。所以，求解本征方程的问题又被称为算符（矩阵）的对角化问题，换句话说，这个步骤使我们找到了从某个矩阵的一般表象（在这个表象中矩阵不是对角的）变到它自身表象的那个幺正变换。 作业：补充题：求矩阵  的本征值，归一化本征矢量和把它对角化的幺正变换。