第七章 量子力学的矩阵形式和表象变换 §7.1 态和力学量的表象和表象变换 1. 态的表象 在量子力学中，描写量子态和力学量的方式不是唯一的。一种具体的方式称为一种表象。我们在前面已经介绍过坐标表象和动量表象。在一维情况下，用描写量子态是坐标表象，用描写量子态是动量表象，它们之间是Fourier变换的关系。这两种表象都是连续表象。 现在介绍一般的离散表象。取一个力学量（Hermitian算符），假设它的本征值集是离散的，记为，本征函数系记为。为简单起见，先设所有的本征值都是非简并的。那么这个本征函数系的正交归一性就是  而它的完备性是（假设它是完备的）  所以，任意一个波函数都可以对展开，得到  其中  我们称这样做是变换到了表象，也可以称为表象中的“波函数”。 更方便的记法是把排成矩阵  它称为表象中的态矢量，而  称为Hermitian共轭的态矢量。显然我们有  这里第一个式子的中运算是矩阵乘法，即行乘以列，最后一个式子表示的内积。 在这里，又称为表象的基矢量或基底，又称为态矢量的分量或投影。之所以采用这些术语，在本质上是由于量子态满足叠加原理，所以在数学上它们构成一个线性空间，或者称为矢量空间，这个空间称为给定算符的（或给定系统的）Hilbert空间。 如果算符的本征值是连续谱，以上各式就要做相应的改变。设的本征值记为，本征函数系记为，那么它的正交归一性是  完备性是  任意波函数对的展开式是  其中  以坐标表象为例。记算符的本征值为的本征函数是，那么我们有本征方程  它的解显然是  函数系的正交归一条件是  完备性是  所以任意波函数对的展开式是  这样看来，我们也不妨把称为“矩阵元”，只不过它的矩阵的“指标”是连续变量，但是毕竟这种语言还不如函数的语言更直接，所以此后我们在量子力学的矩阵形式中主要用离散表象。 这些方法和概念不难推广到多自由度情形。对于多自由度系统，我们需要取它的完备力学量集的同时本征函数系作为Hilbert空间的基底，以构成一个表象。所以，一个“完备力学量集”和一个“表象”实际上是相同的含义。同时也不难推广到多自由度连续本征值谱的情形。 2. 算符的矩阵表示 一个算符表为是它的坐标表象，这意味着  现在把和都变换到表象中，   代入上面的方程得：  左乘以并积分，  即是  利用的正交归一性得到：  现在记  那么就有  它也可以写成矩阵形式  所以，若记  则方程就成为  其中等式的右方再次理解为矩阵乘法。这告诉我们，在离散表象中，算符用（方）矩阵代表。 算符的Hermitian性在矩阵形式中的表现是  即是  矩阵称为矩阵的Hermitian共轭矩阵。 不难发现：一个算符在其自身的表象中是对角矩阵，各对角元素就是各本征值。 恒等算符（即单位算符）定义为 . 所以它在任何离散表象中的矩阵都是单位矩阵。 3. 表象变换 仍以一维情形为例。设我们再取另一个与算符函数独立的算符，求出它的本征值集和本征函数系，我们就构造了表象。原来的基底也可以用新的基底来展开，得到  其中  如果一个态在表象中的矩阵元是，在表象中的矩阵元是，那么  所以  把和都排成矩阵，就有  其中  注意，基底的变换和矩阵元的变换用的是互相转置的矩阵。这些关系就称为（从表象到表象的）表象变换。那么矩阵应该满足什么条件？考虑到量子力学里的基本可观察量是态矢量的内积，我们应该要求在表象变换下内积保持不变。设态和态在表象中的矩阵元分别是和，在表象中的矩阵元分别是和，那么  所以  记得矩阵的Hermitian共轭矩阵是  所以上式就是  或者说  满足这个条件的矩阵称为幺正矩阵。所以表象变换是幺正变换。我们还不难发现：在表象变换下，一个算符所对应的矩阵的变换是  事实上我们在前面已经谈到过：坐标表象和动量表象（这是两个连续表象）之间的变换，以及系统的对称性变换，也都是幺正变换。 现在我们总结一下表象变换即幺正变换的特点。幺正变换不改变任何量子力学方程，即，如果  那么也有  幺正变换不改变态矢量的内积，因而算符的本征值、力学量的几率分布和平均值等等都保持不变。总而言之一句话，幺正变换完全不改变量子力学理论的结构和理论对实验观察的预言。这称为量子力学理论的幺正不变性，也就是量子力学理论的表象无关性。事实上我们应该说，幺正不变性（有时候也简称为幺正性）是量子力学的最根本的不变性。 作业：习题7.1; 7.2.