第六章 带电粒子在电磁场中的运动 §6.1 带电粒子在电磁场中的Schr?dinger方程 1．带电粒子在电磁场中的经典Hamiltonian 设粒子的质量为，电荷为，电场强度为，磁场强度为，那么直接写出这个粒子的经典运动方程是： （SI制） 现在我们问：什么样的给出的正则运动方程是上面这个方程（是粒子的“正则动量”）？这个问题的答案是  其中是电磁场的标量势，是矢量势，它们通过下述关系给出电场强度和磁场强度：   证明如下。正则运动方程是   而  其中，所以  也就是说  以及  再代入前式得  写成矢量的样子就是  注意到矢量的微分运算法则  其中是常矢量，我们就得到  ▌ 在这里最值得注意的是  也就是说，粒子的正则动量是在机械动量之外再加上“电磁动量”。这是Lorentz力的特殊性质所决定的，因为磁场力与粒子的速度有关。事实上，上面那个Hamiltonian也可以看作是  但是要记得  2．带电粒子在电磁场中的Schr?dinger方程 从经典Hamiltonian构造量子Hamiltonian算符的规则是把正则动量替换为，所以带电粒子在电磁场中的Hamiltonian算符是  Schr?dinger方程是  当我们把进一步展开的时候必须注意和是不对易的。事实上，  但是大家知道，电磁场的势函数可以再满足一些“规范条件”。对于矢势经常提出“横波条件”  在这样的条件下，和就是对易的了。这时Schr?dinger方程可以写为  关于在这种情况下的几率守恒，我们不再做仔细的计算，结果是几率流密度仍然可以表为  只不过现在  3．经典的和量子的规范不变性 假设电磁场势受到下面的“规范变换”：   其中是任意的时空函数，那么电磁场强是保持不变的：   这称为电磁场的规范变换不变性，简称规范不变性。在经典粒子的运动方程中只出现电磁场强，所以它也是规范不变的。但是在量子力学的Schr?dinger方程中出现的是电磁场势本身，那么它也能保持规范不变性吗？答案是肯定的，只要让波函数同时受到变换  证明：    所以仍然有  ▌ 这称为量子的规范不变性。 自然地，有人就会问：既然电磁场势直接出现在Schr?dinger方程里，这是不是意味着在量子力学的意义上是可以直接观察的？或者说，即使电磁场强保持不变，只要电磁场势有改变，就有可观察的物理效应？对这个问题的回答是：不完全是这样。在量子力学里可观察的是的“不可积相因子”，它也是一个规范不变量，然而又不同于场强。这个结论已经在AB（Aharonov-Bohm）效应的观察中得到了实验的证实。 作业：习题6.1.