§10.2 束缚态微扰论II：简并情形 1．一级微扰能和零级波函数 我们知道，微扰展开是 , , 其中和应满足 . 所谓有简并即是有(是的简并度) 都满足该方程：  所以在引入微扰后应设：  代入一级微扰方程得：  两端乘以再积分，左方仍，所以  记  则方程成为  这和矩阵形式的本征方程完全一样，所以由下面的方程决定：  也就是“长期方程”  从中可以解出以及它们对应的，这就决定了一级微扰能和零级波函数。注意，一般说来不但与对角元素有关，而且与非对角元素有关，但总有个解。假如的个解各不相同（即方程没有重根），则的简并度被完全消除，否则只是部分地被消除。 2．Stark效应 原子能级在静电场中的分裂称为Stark效应。作为例子，让我们考虑氢原子。 设外静电场沿着正轴方向，那么电子就受到了如下的附加势场：  在未加微扰时，氢原子的能级是  而波函数是  只和有关，能级对是简并的，在不计电子的自旋自由度时简并度为  显然，时不简并，并且容易算出。时，区分简并态的量子数（前面记为）可以取值，以下依次简记为。所以我们要计算  表面看来我们要算16个积分，但是实际上由于对称性的关系其中有14个积分是零，剩下两个还相等。非零的矩阵元是  略去并不困难的计算过程，其结果是  其中是Bohr半径。所以我们应该求出下面这个矩阵的本征值从而得到：  显然它有两个本征值是零，另外两个是，所以  这就是说，原来简并在上的4个能级，现在有一个向上移动了，一个向下移动了，还有两个没有移动，简并是部分地消除了。这个结果得到了实验的证实。 作业：习题10.2; 10.5.