第二章 逻辑函数及其简化
? 逻辑代数 =布尔代数 =开关代数
解决逻辑问题的理论方法,与布尔、香农有关
? 主要内容
基本逻辑关系,与、或、非及其组合
逻辑函数的表示方法,函数式 真值表 卡诺图
逻辑图
逻辑函数的化简方法,代数法和卡诺图法
第一节 逻辑代数
一、基本逻辑
? 最基本的逻辑关系
只有三种，即：
与 或 非
? 比如要办成一件事
的条件：
每个人都完成才算完成 ---与
任一人完成即算完成 ------或
完成的反面是没完成 ------非
二、逻辑运算 （细节自学）
1、基本逻辑运算
? 与逻辑：逻辑乘 P=A?B,有 0则 0”
? 或逻辑：逻辑加 P=A+B,有 1则 1”
? 非逻辑：逻辑非 P=/A,求反”
2.复合逻辑运算 （细节自学）
? 与非逻辑 P=A ?B,全高出低、一低出高”
? 或非逻辑 P=A + B,全低出高、一高出低”
? 与或非逻辑 P= A?B + C?D
? 异或逻辑 P=A?B=AB + AB,不同为 1”
? 同或逻辑 P=A B=AB + AB,相同为 1”
三、真值表、逻辑函数及其应用
一个复杂的逻辑问题，包含多种基本逻辑关系及
其组合，可用逻辑函数来表示。
例如：有一个水塔，由大
小两个水泵供水。水位高
于 C时不供水，水位低于
C
时由小水泵单独供水；水
位低于 B时,由大水泵单
独供水；水位低于 A时，
由两个水泵同时供水，请
说明两个水泵的工作情况。
解,设大电机为 ML，小电机为 MS，取值为 1表
示工作，为 0表示停止。三个限位为 A,B和 C，
取值为 1表示水位低于 A,B和 C点
列出真值表 写出逻辑表达式
A B C MS ML 可由 ML（或 MS）为 1的各项
0 0 0 0 0 写出 ML（或 MS）的与或式：
0 0 1 1 0 ML= A B C + A B C
0 1 1 0 1 MS= A B C + A B C
1 1 1 1 1 也可以用 ML（或 MS）为 0的
各项写出或与式：
ML=（ A+B+C） ?（ A+B+C）
MS=（ A+B+C） ?（ A+B+C）
四、逻辑代数的基本定律
1,一般规律, A+0=A A? 0=0 A+1=1 A ? 1=A
A+A=1 A ?A=0 A+B=B+A A ?B=B ?A
A+B+C=（ A+B） + C = A +（ B+C）
A ?B ?C=（ A ?B） ?C = A ?（ B ?C）
A（ B+C） =AB + AC A ? A= A A+A=A
2,特殊规律,
吸收律：（ A+B） ? （ A+C） = A+BC
A+AB=A A（ A+B） =A
A+AB=A+B
AB+AC+BC = AB + AC
反演律,A ? B ? C = A + B + C
A + B + C = A ? B ? C
五、逻辑代数运算的三个规则
1,代入规则,任何一个含有变量 A的等式，如果将所有
出现 变量 A 地方都 代之以 一个逻辑 函数 F，等式 仍成立 。
2,反演规则 （摩根定理）,F是一个逻辑函数表达式，
如果将表达式中 所有的“与 ?”换为“或 +”，
所有的“或 +”换为“与 ?”，
例题见书 所有的常量 0换为 1,1换为 0，
替换时注意顺序！ 所有的原变量换为反变量,
所有的反变量换为原变量,
则所 得到 的表达式为 F，称为 F的 反函数 。
3,对偶规则,如果将反演规则中的 原反变量互换 的条
件 去掉,则 得到 的表达式为 F*，称为 F的 对偶式 。
六、逻辑函数的标准形式
一个逻辑函数的表达式不是唯一的，可以有多种
形式，以与 -或式为例：
设 F（）是逻辑函数,A,B,C是逻辑变量
F（ A,B,C） =A B + A C
=A B + A C + BC
=A B C + A B C + A B C + A B C
其中最后一行最为复杂，但它有一个特点，每个乘积
项中都包含所有的变量（原变量或反变量），且仅出
现一次，这样的乘积项叫 最小项, 全部由最小项相加
构成的表达式称为 最小项表达式,也叫与 -或式的 标准
形式 。函数的最小项表达式是 唯一的 。
最小项意指在逻辑变量的所有组合中，该项取值为 1的可能最小
同样地，对或 -与式来说，其标准形式是 最大项之积。
如,F（ A,B,C） =（ A+B+C）（ A+B+C）（ A+B+C）
最大项意指取值为 1的机会最大。
如果一个逻辑函数有 n 个变量，则它有 2n个最小项，
也有 2n 个最大项。例如：
F（ A,B,C） 有 3个变量，有 8个最小项,8个最大项
每个 最大项, 最小项 由原反变量组合而成，不好写，
也不好记,我们为它们编一个号码, 最小项用小写 m，
最大项用大写 M，再加一个下标,下标 的取值 规律 是：
变量按顺序排好，原变量为 1，反变量为 0，取其 2进制值
三变量最小项、最大项表
用最小项、最大项符号写逻辑表达式
由前例可见，将逻辑表达式写为标准形式的过程
是一个从简洁到烦琐的过程，它得到的好处是形
式唯一。在以后学习卡诺图时会用到。
第二节 逻辑函数的简化
如前所述，同一函数的逻辑表达式有多种形式，或繁
或简。 简单的形式对应简洁的电路，烦琐的形式对应复
杂的电路。
在满足逻辑功能的条件下，谁愿意费时费钱费力地舍
简求繁呢？ 因此我们希望将逻辑表达式写得尽量简单。
书中 41页的例子说明化简的工作十分必要。
简化与否大不一样！
一、公式法化简
与以前简化代数式的过程类似，只是所使用公式、定
理不同，要经常使用我们前面学习的基本公式。
根据使用公式的不同，公式法化简可分为几种方法：
1,合并项法 利用公式 AB + A/B = A 例如水泵例题中：
ML=/ABC + ABC = （ /A+A） BC = BC
2,吸收法 利用公式 A+AB=A AB+/AC+BC=AB+/AC
例,AC+ABCD+ABC+CD+ABD
= AC + CD + ABD = AC + CD
3,消去法 利用公式 A + AB = A + B
例,AB+AC+BC = AB +（ A + B） C
= AB + ABC = AB + C
4,配项法 采用迂回战术，先由简到繁，利用 1 =A+/A
或利用 AB+AC=AB+AC+BC，先配入一些项，再重新组
合、化简。 例：
AB + BC + BC + AB
=AB + BC + BC（ A+A） + AB（ C+C）
=AB + BC + ABC + A BC + ABC + ABC
=AB + BC + AC
5,综合化简 利用上述四种方法，灵活运用。 例如：
AD + AD + AB + AC + BD + ACEF + BEF + DEFG
=A + AB + AC + BD + BEF + ACEF
=A + AC + BD + BEF
=A + C + BD + BEF
二、图解法（卡诺图法）化简
由上述公式法化简的例题来看，比较复杂的综合题不太好化
简，从哪里开始下手，能简化到什么程度，很难一下看出来。
有时候，原题的给出顺序都能影响化简的思路。例如：
F = AB D + ABC + ABD + ABC
= AB D + ABD + ABC + ABC = AB + AB = A
这说明如果可以将可简化部分放在一起，会比较直观。
1,卡诺图 卡诺图就是一种非常直观的图表，通过卡
诺图可以发现哪些部分可以最大程度地化简，哪些部分
已不可能化简。为了达到这样的目的，卡诺图的 设计思路,
n变量的逻辑函数,有 2n 个最小项，将这 2n 个最小项适
当地排放在一个由方格构成的方阵中，使任意 相邻方格 中
的两个最小项之间 只有一个变量是互补的, 其他都相同 。
四变量卡诺图示例
AB
CD 00 01 11 10
ABCD ABC D ABCD ABCD
00 m0 m4 m12 m8
ABCD ABCD ABCD ABCD
01 m1 m5 m13 m9
ABCD ABCD ABCD ABCD
11 m3 m7 m15 m11
ABCD ABCD ABCD ABCD
10 m2 m6 m14 m10
从四变量卡诺图可以看出卡诺图的排布特点，两变量
函数太简单不必用卡诺图，五变量函数的卡诺图由两张四
变量卡诺图组成，但已失去了直观性，不常用。本书对三、
四变量卡诺图使用较多。
有关 N 变量卡诺图的构成，循环码排列规律请同学
再看书自学一下。
2、用卡诺图表示逻辑函数
了解了卡诺图的形式，我们就知道每个最小项固定的
房间了。所以用卡诺图表示逻辑函数的 方法如下,
a、将逻辑函数写成标准形式，即最小项表达式。
b、逻辑函数包含哪些最小项，其对应的方格填 1。
c,逻辑函数不包含的最小项，其对应的方格填 0或空着。
使用熟练之后，可直接由原函数填写卡诺图。
例如：
F = ABC + ABD + AC
= ABCD + ABCD + ABCD + ABCD
+ ABCD + ABCD + ABCD + ABCD
= ∑m (12,13,5,7,10,11,14,15)
3、利用卡诺图合并最小项的规律
卡诺图合并最小项的根据是 AB + AB = A，在讨论合
并规律之前，我们先看看卡诺图合并最小项的几种情况：
四个相邻项的合并举例
八个相邻项的合并举例
? 逻辑代数 =布尔代数 =开关代数
解决逻辑问题的理论方法,与布尔、香农有关
? 主要内容
基本逻辑关系,与、或、非及其组合
逻辑函数的表示方法,函数式 真值表 卡诺图
逻辑图
逻辑函数的化简方法,代数法和卡诺图法
第一节 逻辑代数
一、基本逻辑
? 最基本的逻辑关系
只有三种，即：
与 或 非
? 比如要办成一件事
的条件：
每个人都完成才算完成 ---与
任一人完成即算完成 ------或
完成的反面是没完成 ------非
二、逻辑运算 （细节自学）
1、基本逻辑运算
? 与逻辑：逻辑乘 P=A?B,有 0则 0”
? 或逻辑：逻辑加 P=A+B,有 1则 1”
? 非逻辑：逻辑非 P=/A,求反”
2.复合逻辑运算 （细节自学）
? 与非逻辑 P=A ?B,全高出低、一低出高”
? 或非逻辑 P=A + B,全低出高、一高出低”
? 与或非逻辑 P= A?B + C?D
? 异或逻辑 P=A?B=AB + AB,不同为 1”
? 同或逻辑 P=A B=AB + AB,相同为 1”
三、真值表、逻辑函数及其应用
一个复杂的逻辑问题，包含多种基本逻辑关系及
其组合，可用逻辑函数来表示。
例如：有一个水塔，由大
小两个水泵供水。水位高
于 C时不供水，水位低于
C
时由小水泵单独供水；水
位低于 B时,由大水泵单
独供水；水位低于 A时，
由两个水泵同时供水，请
说明两个水泵的工作情况。
解,设大电机为 ML，小电机为 MS，取值为 1表
示工作，为 0表示停止。三个限位为 A,B和 C，
取值为 1表示水位低于 A,B和 C点
列出真值表 写出逻辑表达式
A B C MS ML 可由 ML（或 MS）为 1的各项
0 0 0 0 0 写出 ML（或 MS）的与或式：
0 0 1 1 0 ML= A B C + A B C
0 1 1 0 1 MS= A B C + A B C
1 1 1 1 1 也可以用 ML（或 MS）为 0的
各项写出或与式：
ML=（ A+B+C） ?（ A+B+C）
MS=（ A+B+C） ?（ A+B+C）
四、逻辑代数的基本定律
1,一般规律, A+0=A A? 0=0 A+1=1 A ? 1=A
A+A=1 A ?A=0 A+B=B+A A ?B=B ?A
A+B+C=（ A+B） + C = A +（ B+C）
A ?B ?C=（ A ?B） ?C = A ?（ B ?C）
A（ B+C） =AB + AC A ? A= A A+A=A
2,特殊规律,
吸收律：（ A+B） ? （ A+C） = A+BC
A+AB=A A（ A+B） =A
A+AB=A+B
AB+AC+BC = AB + AC
反演律,A ? B ? C = A + B + C
A + B + C = A ? B ? C
五、逻辑代数运算的三个规则
1,代入规则,任何一个含有变量 A的等式，如果将所有
出现 变量 A 地方都 代之以 一个逻辑 函数 F，等式 仍成立 。
2,反演规则 （摩根定理）,F是一个逻辑函数表达式，
如果将表达式中 所有的“与 ?”换为“或 +”，
所有的“或 +”换为“与 ?”，
例题见书 所有的常量 0换为 1,1换为 0，
替换时注意顺序！ 所有的原变量换为反变量,
所有的反变量换为原变量,
则所 得到 的表达式为 F，称为 F的 反函数 。
3,对偶规则,如果将反演规则中的 原反变量互换 的条
件 去掉,则 得到 的表达式为 F*，称为 F的 对偶式 。
六、逻辑函数的标准形式
一个逻辑函数的表达式不是唯一的，可以有多种
形式，以与 -或式为例：
设 F（）是逻辑函数,A,B,C是逻辑变量
F（ A,B,C） =A B + A C
=A B + A C + BC
=A B C + A B C + A B C + A B C
其中最后一行最为复杂，但它有一个特点，每个乘积
项中都包含所有的变量（原变量或反变量），且仅出
现一次，这样的乘积项叫 最小项, 全部由最小项相加
构成的表达式称为 最小项表达式,也叫与 -或式的 标准
形式 。函数的最小项表达式是 唯一的 。
最小项意指在逻辑变量的所有组合中，该项取值为 1的可能最小
同样地，对或 -与式来说，其标准形式是 最大项之积。
如,F（ A,B,C） =（ A+B+C）（ A+B+C）（ A+B+C）
最大项意指取值为 1的机会最大。
如果一个逻辑函数有 n 个变量，则它有 2n个最小项，
也有 2n 个最大项。例如：
F（ A,B,C） 有 3个变量，有 8个最小项,8个最大项
每个 最大项, 最小项 由原反变量组合而成，不好写，
也不好记,我们为它们编一个号码, 最小项用小写 m，
最大项用大写 M，再加一个下标,下标 的取值 规律 是：
变量按顺序排好，原变量为 1，反变量为 0，取其 2进制值
三变量最小项、最大项表
用最小项、最大项符号写逻辑表达式
由前例可见，将逻辑表达式写为标准形式的过程
是一个从简洁到烦琐的过程，它得到的好处是形
式唯一。在以后学习卡诺图时会用到。
第二节 逻辑函数的简化
如前所述，同一函数的逻辑表达式有多种形式，或繁
或简。 简单的形式对应简洁的电路，烦琐的形式对应复
杂的电路。
在满足逻辑功能的条件下，谁愿意费时费钱费力地舍
简求繁呢？ 因此我们希望将逻辑表达式写得尽量简单。
书中 41页的例子说明化简的工作十分必要。
简化与否大不一样！
一、公式法化简
与以前简化代数式的过程类似，只是所使用公式、定
理不同，要经常使用我们前面学习的基本公式。
根据使用公式的不同，公式法化简可分为几种方法：
1,合并项法 利用公式 AB + A/B = A 例如水泵例题中：
ML=/ABC + ABC = （ /A+A） BC = BC
2,吸收法 利用公式 A+AB=A AB+/AC+BC=AB+/AC
例,AC+ABCD+ABC+CD+ABD
= AC + CD + ABD = AC + CD
3,消去法 利用公式 A + AB = A + B
例,AB+AC+BC = AB +（ A + B） C
= AB + ABC = AB + C
4,配项法 采用迂回战术，先由简到繁，利用 1 =A+/A
或利用 AB+AC=AB+AC+BC，先配入一些项，再重新组
合、化简。 例：
AB + BC + BC + AB
=AB + BC + BC（ A+A） + AB（ C+C）
=AB + BC + ABC + A BC + ABC + ABC
=AB + BC + AC
5,综合化简 利用上述四种方法，灵活运用。 例如：
AD + AD + AB + AC + BD + ACEF + BEF + DEFG
=A + AB + AC + BD + BEF + ACEF
=A + AC + BD + BEF
=A + C + BD + BEF
二、图解法（卡诺图法）化简
由上述公式法化简的例题来看，比较复杂的综合题不太好化
简，从哪里开始下手，能简化到什么程度，很难一下看出来。
有时候，原题的给出顺序都能影响化简的思路。例如：
F = AB D + ABC + ABD + ABC
= AB D + ABD + ABC + ABC = AB + AB = A
这说明如果可以将可简化部分放在一起，会比较直观。
1,卡诺图 卡诺图就是一种非常直观的图表，通过卡
诺图可以发现哪些部分可以最大程度地化简，哪些部分
已不可能化简。为了达到这样的目的，卡诺图的 设计思路,
n变量的逻辑函数,有 2n 个最小项，将这 2n 个最小项适
当地排放在一个由方格构成的方阵中，使任意 相邻方格 中
的两个最小项之间 只有一个变量是互补的, 其他都相同 。
四变量卡诺图示例
AB
CD 00 01 11 10
ABCD ABC D ABCD ABCD
00 m0 m4 m12 m8
ABCD ABCD ABCD ABCD
01 m1 m5 m13 m9
ABCD ABCD ABCD ABCD
11 m3 m7 m15 m11
ABCD ABCD ABCD ABCD
10 m2 m6 m14 m10
从四变量卡诺图可以看出卡诺图的排布特点，两变量
函数太简单不必用卡诺图，五变量函数的卡诺图由两张四
变量卡诺图组成，但已失去了直观性，不常用。本书对三、
四变量卡诺图使用较多。
有关 N 变量卡诺图的构成，循环码排列规律请同学
再看书自学一下。
2、用卡诺图表示逻辑函数
了解了卡诺图的形式，我们就知道每个最小项固定的
房间了。所以用卡诺图表示逻辑函数的 方法如下,
a、将逻辑函数写成标准形式，即最小项表达式。
b、逻辑函数包含哪些最小项，其对应的方格填 1。
c,逻辑函数不包含的最小项，其对应的方格填 0或空着。
使用熟练之后，可直接由原函数填写卡诺图。
例如：
F = ABC + ABD + AC
= ABCD + ABCD + ABCD + ABCD
+ ABCD + ABCD + ABCD + ABCD
= ∑m (12,13,5,7,10,11,14,15)
3、利用卡诺图合并最小项的规律
卡诺图合并最小项的根据是 AB + AB = A，在讨论合
并规律之前，我们先看看卡诺图合并最小项的几种情况：
四个相邻项的合并举例
八个相邻项的合并举例
