第 2章 规则金属波导
2.1 导波原理
2.2 矩形波导
2.3 圆形波导
2.4 波导的激励与耦合
第 2章 规则金属波导
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第 2章 规则金属波导
第 2 章 规则金属波导
2.1导
1,
对由均匀填充介质的金属波导管建立如图 2 - 1 所示坐标
系,设 z轴与波导的轴线相重合 。 由于波导的边界和尺寸沿轴向
不变,故称为规则金属波导 。 为了简化起见,我们作如下假设,
① 波导管内填充的介质是均匀, 线性, 各向同性的 ;
② 波导管内无自由电荷和传导电流的存在 ;
第 2章 规则金属波导
图 2 – 1 金属波导管结构图
第 2章 规则金属波导
③ 波导管内的场是时谐场 。
由电磁场理论,对无源自由空间电场 E和磁场 H满足以下矢
量亥姆霍茨方程,
022 ??? EKE
022 ??? HKH
式中,k2=ω2με。
现将电场和磁场分解为横向分量和纵向分量,即
E=E
t+azEz
H=Ht+azHz
第 2章 规则金属波导
式中,az为 z向单位矢量,t表示横向坐标,可以代表直角坐
标中的 (x,y); 也可代表圆柱坐标中的 (ρ,φ)。 为方便起见,下面
以直角坐标为例讨论,将式 （ 2 -1 -2） 代入式 (2 -1 -1),整理后
可得
022 ??? ZZ EKE
022 ??? tt EKE
022 ??? tt HKH
022 ??? ZZ HKH
下面以电场为例来讨论纵向场应满足的解的形式 。
设 2t为二维拉普拉斯算子,则有
第 2章 规则金属波导
利用分离变量法,令
代入式 (2 -1 -3),并整理得
2
2
22
zt ?
?????
)(
)(
),(
),()( 222
zz
zz
dz
d
yxE
yxEk
Z
Z
t
?
??
上式中左边是横向坐标 (x,y)的函数,与 z无关 ; 而右边是 z的
函数,与 (x,y)无关 。 只有二者均为一常数, 上式才能成立,设
该常数为 γ2,则有
0),()(),( 222 ???? yxErkyxE ZZt
0)()( 22
2
?? zzrzz
dz
d
第 2章 规则金属波导
上式中的第二式的形式与传输线方程 (1 -1 -5)相同,其通
解为
Z(z)=A+e -rz+A-erz
A+为待定常数,对无耗波导 γ=jβ,而 β为相移常数 。
现设 Eoz(x,y)=A+Ez(x,y),
Ez(x,y,z)=Eoz(x,y)e-jβz
同理,纵向磁场也可表达为,
Hz(x,y,z)=Hoz(x,y)e -jβz
而 Eoz(x,y),Hoz(x,y)满足以下方程,
第 2章 规则金属波导
0),(),( 22 ??? yxEkyxE OZeozt
0),(),( 22 ??? yxHkyxH OZeozt
式中,k2c=k2-β2为传输系统的本征值 。
由麦克斯韦方程,无源区电场和磁场应满足的方程为
EjwH ????
EjwE ?????
将它们用直角坐标展开,并利用式 （ 2 -1 -10） 可得,
第 2章 规则金属波导
)(2
x
E
y
Hzwu
k
jE Z
c
x ?
??
?
??? ?
)(2
x
E
y
Hzwu
k
jE Z
c
y ?
??
?
?? ?
)(2
y
Ezw
x
H
k
jH Z
c
x ?
??
?
??? ??
)(2
y
Ezw
x
H
k
jH Z
c
y ?
??
?
??? ??
从以上分析可得以下结论,
① 在规则波导中场的纵向分量满足标量齐次波动方程,结
合相应边界条件即可求得纵向分量 Ez和 Hz,而场的横向分量即
可由纵向分量求得 ;
第 2章 规则金属波导
② 既满足上述方程又满足边界条件的解有许多,每一个解
对应一个波型也称之为模式,不同的模式具有不同的传输特性 ;
③ kc是微分方程 （ 2 -1 -11） 在特定边界条件下的特征值,
它是一个与导波系统横截面形状, 尺寸及传输模式有关的参
量 。 由于当相移常数 β=0时,意味着波导系统不再传播,亦称为
截止,此时 kc=k,故将 kc 称为截止波数 。
2,
描述波导传输特性的主要参数有, 相移常数, 截止波数,
相速, 波导波长, 群速, 波阻抗及传输功率 。 下面分别叙述,
第 2章 规则金属波导
1)
在确定的均匀媒质中,波数 k=ω-με与电磁波的频率成正比,
相移常数 β和 k的关系式为
β=-
2) 相速 vp与波导波长 λg
电磁波在波导中传播,其等相位面移动速率称为相速,于
是有
222 /1 kkkkk
c ???
22 /1
/122
Kk
u
k
v
c
rr
p
?
??
??
?
?
第 2章 规则金属波导
式中,c为真空中光速,对导行波来说 k＞ kc,故 vp＞ c/,
即在规则波导中波的传播的速度要比在无界空间媒质中传播
的速度要快 。
导行波的波长称为波导波长,用 λg表示,它与波数的关系式
为
另外,我们将相移常数 β及相速 vp随频率 ω的变化关系称为
色散关系,它描述了波导系统的频率特性 。 当存在色散特性时,
相速 vp已不能很好地描述波的传播速度,这时就要引入, 群速,
的概念,它表征了波能量的传播速度,当 kc为常数时,导行波的
群速为
rru ?
22 /1
122
kkk c
g
?
??
?
?
?
?
第 2章 规则金属波导
22 /11
/
1 kk
udwdd
dwv
c
rr
g ???? ???
3)
定义某个波型的横向电场和横向磁场之比为波阻抗,即
t
t
H
E
z ?
4)
由玻印亭定理,波导中某个波型的传输功率为
?? ?? ??? s zts dsaHEdsHE ).(Re21).(Re21
dsHzdsEz
s ts t
22
22
1 ?? ??
第 2章 规则金属波导
式中,Z为该波型的波阻抗 。
3,
用以约束或导引电磁波能量沿一定方向传输的结构称为
导波结构, 在其中传输的波称为导行波 。 导行波的结构不同,
所传输的电磁波的特性就不同, 因此, 根据截止波数 kc的不同
可将导行波分为以下三种情况 。
1) =0 即 kc=0
这时必有 Ez=0和 Hz=0,否则由式 （ 2 -1 -13） 知 Ex,Ey,Hx、
Hy将出现无穷大,这在物理上不可能 。 这样 kc=0 意味着该导行
波既无纵向电场又无纵向磁场,只有横向电场和磁场,故称为
横电磁波, 简称 TEM波 。
2CK
第 2章 规则金属波导
对于 TEM波,β=k,故相速, 波长及波阻抗和无界空间均匀
媒质中相同 。 而且由于截止波数 kc=0,因此理论上任意频率均
能在此类传输线上传输 。 此时不能用纵向场分析法,而可用二
维静态场分析法或前述传输线方程法进行分析 。
2) ＞ 0
这时 β2＞ 0,而 Ez和 Hz不能同时为零,否则 Et和 Ht必然全为
零,系统将不存在任何场 。 一般情况下,只要 Ez和 Hz中有一个
不为零即可满足边界条件,这时又可分为两种情形,
(1)TM
将 Ez≠0而 Hz=0的波称为磁场纯横向波,简称 TM波,由于只
有纵向电场故又称为 E波 。 此时满足的边界条件应为
2
CK
第 2章 规则金属波导
22 /1 kku
wH
EZ
c
y
X
TM ???? ??
?
0| ?SZE
式中, S表示波导周界 。
而由式 （ 2 -1 -18） TM 波的波阻抗为
(2)TE
将 Ez=0而 Hz≠0 的波称为电场纯横向波,简称 TE波,此时只
有纵向磁场, 故又称为 H波 。 它应满足的边界条件为
0| ?
?
? s
n
H Z
第 2章 规则金属波导
式中, S表示波导周界； n为边界法向单位矢量 。
而由式 （ 2 -1 -18） 波阻抗的定义得 TE波的波阻抗为
22 /1
1
kk
uwu
H
E
z
cy
X
TE
?
???
??
无论是 TM波还是 TE波,其相速 vp=ω/β＞ c/ 均比
无界媒质空间中的速度要快,故称之为快波 。
3) ＜ 0
这时 β= 而相速 vp=,即相速比
无界媒质空间中的速度要慢,故又称之为慢波 。
2
ck
kkk c ?? 22
kkk c ?? 22 rrucw ?? ?/
第 2章 规则金属波导
2.2
通常将由金属材料制成的, 矩形截面的, 内充空气的规
则金属波导称为矩形波导,它是微波技术中最常用的传输系
统之一 。
设矩形波导的宽边尺寸为 a,窄边尺寸为 b,并建立如图 2 -
2 所示的坐标 。
1,
由上节分析可知,矩形金属波导中只能存在 TE波和 TM
波 。 下面分别来讨论这两种情况下场的分布 。
1)TE
第 2章 规则金属波导
图 2 – 2 矩形波导及其坐标
第 2章 规则金属波导
此时 Ez=0,Hz=Hoz(x,y)e-jβz ≠0,且满足
,上式可写作
0),(),( 221 ??? yxHkyxH OZcoz
2
2
2
2
2
yxt ?
??
?
???
0),(),()( 22
2
2
2
??
?
??
?
? yxHkyxH
yx ozcoz
应用分离变量法,令
Hoz(x,y)=X(x)Y(y)
代入式 （ 2 -2 -2）,并除以 X(x)Y(y),得
第 2章 规则金属波导
2
2
2
2
2 )(
)(
1)(
)(
1
ckdy
yYd
yYdx
xXd
xX
????
要使上式成立,上式左边每项必须均为常数,设分别为
和,则有
2
xk 2
yk
0)()( 22
2
?? xXk
dx
xXd
x
0)()( 22
2
?? yYk
dy
yYd
y
?2xk 22 cy kk ?
于是,Hoz(x,y)的通解为
Hoz(x,y)=(A1coskxx+A2 sinkxx)(B1 coskyy+B2sinkyy)
第 2章 规则金属波导
其中,A1A2B1B2为待定系数,由边界条件确定 。 由式 （ 2 - 1
- 22） 知,Hz
0|| 0 ?????? ?? axzx xHxH ?
0|| 0 ?
?
??
?
?
?? bx
z
y
z
y
H
y
H
将式（ 2 -2 -5）代入式（ 2 -2 -6）可得
02 ?A a
mK
x
??
02 ?B
b
nK
y
??
第 2章 规则金属波导
于是矩形波导 TE波纵向磁场的基本解为
zj
mn
zj
z eyb
nx
a
mHey
b
nx
a
mBAH ?? ???? ?? ?? )c o s ()c o s ()c o s ()c o s (
11
代入式 （ 2 -1 -13）, TE 波其它场分量的表达式为
zj
mn
m n c
X eya
nx
a
mH
b
n
k
jw uE ???? ??
?
?
?
? ?? )s i n ()c o s (
0 0
2
zj
mn
m n c
y eya
nx
a
mH
a
m
k
jw uE ???? ??
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? ? ?? )c o s ()s i n (
0 0
2
0?ZE
第 2章 规则金属波导
zj
mn
m n c
X eya
nx
a
mH
a
m
k
jH ????? ??
?
?
?
? ?? )c o s ()s i n (
0 0
2
zj
mn
m n c
Y eya
nx
a
mH
b
m
k
jH ????? ??
?
?
?
? ?? )s i n ()c o s (
0 0
2
式中,为矩形波导 TE波的截止波数,
显然它与波导尺寸, 传输波型有关 。 m和 n分别代表 TE波沿 x方
向和 y方向分布的半波个数,一组 m,n,对应一种 TE波,称作
TEmn模 ; 但 m和 n不能同时为零,否则场分量全部为零 。 因此,
矩形波导能够存在 TEm0模和 TE0n模及 TEmn(m,n≠0)模 ; 其中 TE10
模是最低次模,其余称为高次模 。
22
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
??
b
n
a
mk ??
第 2章 规则金属波导
2)TM
对 TM波,Hz=0,Ez=Eoz(x,y)e-jβz,此时满足
其通解也可写为
Eoz(x,y)=(A1coskxx+A2 sinkxx)(B1coskyy+B2sinkyy)
0221 ??? OZCOZ EKE
由式 （ 2 -1 -20）,应满足的边界条件为
Ez(0,y)=Ez(a,y)=0
Ez(x,0)=Ez(x,b)=0
第 2章 规则金属波导
用 TE波相同的方法可求得 TM波的全部场分量
zj
mn
m n c
X eyb
nx
a
mE
a
m
k
jE ????? ??
?
?
?
? ? ?? )s i n ()c o s (
1 1
2
zj
mn
m n c
y eyb
nx
a
mE
b
m
k
jE ????? ??
?
?
?
? ? ?? )c o s ()s i n (
1 1
2
zj
mn
m n
z eyb
nx
a
mEE ??? ??
?
?
?
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1 1
zj
mn
m n c
X eyb
nx
a
mE
b
m
k
jwH ????? ??
?
?
?
? ?? )c o s ()s i n (
1 1
2
zj
mn
m n c
y eyb
nx
a
mE
a
m
k
jwH ????? ??
?
?
?
? ? ?? )s i n ()c o s (
1 1
2
第 2章 规则金属波导
Hz=0
式中,,Emn为模式电场振幅数 。
TM11模是矩形波导 TM波的最低次模,其它均为高次模 。
总之,矩形波导内存在许多模式的波,TE波是所有 TEmn模式场
的总和,而 TM波是所有 TMmn模式场的总和 。
2,
1)
由式 （ 2 -2 -10） 和 （ 2 -2 -14）,矩形波导 TEmn和 TMmn模
的截止波数均为
22
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
??
b
n
a
mk ??
第 2章 规则金属波导
22
2
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
??
b
n
a
m
k c m m
??
对应截止波长为
c
c m n
c T Mc T E bnamKmnmn ?
??? ?
?
???
22 )/()/(
22
此时,相移常数为
2
1
2
??
?
?
??
?
?
??
c?
?
?
?
?
其中,λ=2π/k,为工作波长 。
第 2章 规则金属波导
可见当工作波长 λ小于某个模的截止波长 λc时,β2＞ 0,此模
可在波导中传输,故称为传导模 ; 当工作波长 λ大于某个模的截
止波长 λc时,β2＜ 0,即此模在波导中不能传输,称为截止模 。 一
个模能否在波导中传输取决于波导结构和工作频率 （ 或波长 ） 。
对相同的 m和 n,TEmn和 TMmn模具有相同的截止波长故又称为
简并模,虽然它们场分布不同,但具有相同的传输特性 。 图 2 -
3 给出了标准波导 BJ-32各模式截止波长分布图 。
[例 2 -1］ -设某矩形波导的尺寸为 a=8cm,b=4cm; 试求工
作频率在 3 GHz时该波导能传输的模式 。
解, -由 f=3 GHz,得
第 2章 规则金属波导
图 2 -3 BJ-32波导各模式截止波长分布图
第 2章 规则金属波导
)(1.0 m
f
c
???
?? ??? )(16.0210 mac T E
?? ??? )(08.0201 mbc T E
?? ??
?
? )(0715.0
2
2211
m
ba
a
c T M
可见, 该波导在工作频率为 3GHz时只能传输 TE10模 。
2) 主模 TE10
在导行波中截止波长 λc最长的导行模称为该导波系统的
主模,因而也能进行单模传输 。
第 2章 规则金属波导
矩形波导的主模为 TE10模,因为该模式具有场结构简单,
稳定, 频带宽和损耗小等特点,所以实用时几乎毫无例外地
工作在 TE10模式 。 下面着重介绍 TE10模式的场分布及其工作
特性 。
(1)TE10
将 m=1,n=0,kc=π/a,代入式 （ 2 -2 -10）,并考虑时间因
子 ejωt,可得 TE10模各场分量表达式
)
2
c o s (s i n10 ???
?
???
?
??
?
?? zwtx
a
Hw u aE y
)
2
c o s (s i n10 ???
?
? ??
?
?
??
?
?? zwtx
a
HaH x
第 2章 规则金属波导
)c o s (c o s10 zwtx
a
HH x ?? ??
?
??
?
??
Ex=Ez=Hy=0
由此可见,场强与 y无关,即各分量沿 y轴均匀分布,而沿 x
方向的变化规律为
?
?
?
?
?
?? x
a
E Y
?
s in
?
?
?
?
?
?? x
a
H X
?
s in
?
?
?
?
?
?? x
a
H Z
?
s in
第 2章 规则金属波导
其分布曲线如图 2 - 4（ a） 所示,而沿 z方向的变化规律为
?
?
?
?
?
? ???
2
c o s
?
? zwtE Y
?
?
?
?
?
? ???
2
c o s
?
? zwtH Z
? ?zwtH Z ??? c o s
其分布曲线如图 2 -4（ b） 所示 。 波导横截面和纵剖面上
的场分布如图 2 -4（ c） 和 （ d） 所示 。 由图可见,Hx和 Ey最大
值在同截面上出现,电磁波沿 z方向按行波状态变化 ;Ey,Hx和
Hz相位差为 90°,电磁波沿横向为驻波分布 。
第 2章 规则金属波导
图 2 – 4 矩形波导 TE10模的场分布图
第 2章 规则金属波导
(2)TE10
① 截止波长与相移常数,
将 m=1,n=0 代入式 （ 2 2 15）,得 TE10模截止波数为
kc=
于是截止波长为
而相移常数为
a
?
a
k cc T E
2
2
10
??
?
?
2)
2
(1
2
a
?
?
?
? ??
第 2章 规则金属波导
②
对 TE10模,其波导波长为
2)2/(1
12
a
g
??
??
?
??
而 TE10模的波阻抗为
ZTE10=
2)2/(1
120
a?
?
?
③
由式 （ 2-1- 15） 及 （ 2-1-16） 可得 TE10模的相速 vp和群
速 vg分别为
第 2章 规则金属波导
2)2/(1 a
vwv
p
?? ?
??
2)2/(1 av
d
dwv
g ?? ???
式中,v为自由空间光速 。
④ 传输功率,
由式 （ 2-1- 21） 得矩形波导 TE10模的传输功率为
10
42
1 2102
10 TE
y
TE Z
a b E
d x d yE
Z
p ?? ??
其中,E10= 是 Ey分量在波导宽边中心处的
振幅值 。 由此可得波导传输 TE10模时的功率容量为
10H
wua
?
第 2章 规则金属波导
222
10
2
1
44
10
?
?
?
?
?
????
a
abE
Z
abE
p br
TE
br
?
?
其中,Ebr为击穿电场幅值 。 因空气的击穿场强为 30kV/cm,
2
0 216.0 ?
?
?
?
?
???
a
abp br
?
可见, 波导尺寸越大,频率越高,则功率容量越大 。 而当
负载不匹配时,由于形成驻波,电场振幅变大,因此功率容量
会变小,则不匹配时的功率容量 P′br和匹配时的功率容量 Pbr的
关系为
?
br
br
p
p ??
第 2章 规则金属波导
其中,ρ为驻波系数 。
⑤ 衰减特性,
当电磁波沿传输方向传播时,由于波导金属壁的热损耗和
波导内填充的介质的损耗必然会引起能量或功率的递减 。 对
于空气波导,由于空气介质损耗很小,可以忽略不计,而导体损
耗是不可忽略的 。
设导行波沿 z方向传输时的衰减常数为 α,则沿线电场, 磁
场按 e-αz规律变化,即
E(z)=E0e-αz
H(z)=H0e-αz
第 2章 规则金属波导
所以传输功率按以下规律变化,
P=P0e-2αz (2 2 33)
上式两边对 z求导,
apeap
dz
dp w a z 22
0 ????
?
因沿线功率减少率等于传输系统单位长度上的损耗功
率 Pl,即
dz
dpp ??
1
比较式 （ 2 2 34） 和式 （ 2 2 35） 可得
p
pa
2
1??
第 2章 规则金属波导
由此可求得衰减常数 α。
在计算损耗功率时,因不同的导行模有不同的电流分布,
损耗也不同,根据上述分析,可推得矩形波导 TE10模的衰减常数
公式,
)/]()
2
(21[
2
1120
686.8 2
2
mdB
aa
b
a
R
a Sc
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
式中,RS= 为导体表面电阻,它取决于导体的
磁导率 μ,电导率 ζ和工作频率 f。
由式 （ 2,2,37） 可以看出,
① 衰减与波导的材料有关,因此要选导电率高的非铁磁材
料,使 RS尽量小。
?? /fu
第 2章 规则金属波导
② 增大波导高度 b能使衰减变小,但当 b＞ a/2时单模工作
频带变窄,故衰减与频带应综合考虑 。
③ 衰减还与工作频率有关,给定矩形波导尺寸时,随着频
率的提高先是减小,出现极小点,然后稳步上升 。
我们用 MATLAB编制了 TE10模衰减常数随频率变化关系
的计算程序,计算结果如图 2,5 所示 。
3,
选择矩形波导尺寸应考虑以下几个方面因素,
1)
保证在给定频率范围内的电磁波在波导中都能以单一的
TE10模传播,其它高次模都应截止 。 为此应满足,
第 2章 规则金属波导
图 2-5TE10 模衰减常数随频率变化曲线
第 2章 规则金属波导
λcTE20＜ λ＜ λcTE10
λcTE01＜ λ＜ λcTE10
将 TE10模, TE20模和 TE01模的截止波长代入上式得
a＜ λ＜ 2a
2b＜ λ＜ 2a
λ/2＜ a＜ λ
0＜ b＜ λ/2
或写作
即取 b＜ a/2。
2)
在传播所要求的功率时,波导不致于发生击穿。由式（ 2,
2,29）可知，适当增加 b可增加功率容量,故 b应尽可能大一些。
第 2章 规则金属波导
3)
通过波导后的微波信号功率不要损失太大 。 由式 （ 2, 2
27） 知,增大 b也可使衰减变小,故 b应尽可能大一些 。
综合上述因素,矩形波导的尺寸一般选为
a=0.7λ
b=(0.4-0.5)a (2, 2,39)
通常将 b=a/2的波导称为标准波导 ; 为了提高功率容量,选 b
＞ a/2这种波导称为高波导 ; 为了减小体积,减轻重量,有时也选
b＜ a/2的波导,这种波导称为扁波导 。
附录一给出了各种波导的参数表及与国外标准的对照表 。
第 2章 规则金属波导
2.3 圆形波导
若将同轴线的内导体抽走,则在一定条件下,由外导体所包
围的圆形空间也能传输电磁能量,这就是圆形波导,简称圆波导,
如图 2 - 6 所示 。 圆波导具有加工方便, 双极化, 低损耗等优点
广泛应用于远距离通信, 双极化馈线以及微波圆形谐振器等,
是一种较为常用的规则金属波导 。 下面着重来讨论圆波导中场
分布及基本传输特性 。
1,
与矩形波导一样,圆波导也只能传输 TE和 TM波型 。 设圆
形波导外导体内径为 a,并建立如图 2,6 所示的圆柱坐标 。
第 2章 规则金属波导
y
x
z
o
a
r
?
?
图 2-6 圆波导及其坐标系
第 2章 规则金属波导
1)TE
此时 Ez=0,Hz=Hoz(ρ,φ)e-jβz≠0,且满足
在圆柱坐标中,
2
2
22
2
2 11
???? ?
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???
pt
0),(),()11( 22
2
22
2
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? ????
???? OZCOZ
HKH
p
0),(),( 22 ??? ???? H o zkH o z ct
应用分离变量法,令
Hoz(ρ,φ)=R(ρ)Φ(φ)
代入式 （ 2, 3,2）,并除以 R(ρ)Φ(φ),得
第 2章 规则金属波导
0)()()()([
)(
1 222
2
2 ???? ??
?
?
?
? Rmk
d
PdR
d
PdR
PR c
0)()( 22
2
?? ??
?
?? m
d
d
要使上式成立,上式两边项必须均为常数,设该常数为 m2,
则得
R(ρ)=A1Jm(kcρ)+A2Nm(kcρ)
式中,Jm(x),Nm(x)分别为第一类和第二类 m阶贝塞尔函数
式 （ 2,3,5b） 的通解为
Φ(φ)=B1 cosmφ+B2sinmφ=
???
?
???
?
?
?
m
m
B
s in
c o s
第 2章 规则金属波导
式 （ 2,3, 6b） 中后一种表示形式是考虑到圆波导的轴对
称性,因此场的极化方向具有不确定性,使导行波的场分布在 φ
方向存在 cosmφ和 sinmφ两种可能的分布,它们独立存在,相互
正交,截止波长相同,构成同一导行模的极化简并模 。
另外,由于 ρ→ 0时 Nm(kcρ)→ -∞,故式 （ 2.3.6a） 中必然有
A2=0。 于是 Hoz(ρ,φ)的通解为
???
?
???
??
?
?
???
m
m
kBJAH cmoz
s i n
c o s
)(),( 1
由边界条件 ρ=a=0,由式 （ 2 – 3- 7） 得 J设 m
0| ??
?
? aH oz ?
?
第 2章 规则金属波导
Jm (x)的第 n个根为 μmn,则有
kca=μmn或 kc=
a
umn
n=0,1,2,3…,
于是圆波导 TE模纵向磁场 Hz基本解为
Hz(ρ,φ,z)=
jB zmn e
m
m
a
uB J mA ?
???
?
???
?
?
?
?
s i n
c o s
)(1
M=0,1,2,…; n=1,2,…,
令模式振幅 Hmn=A1B,则 Hz(ρ,φ,z)的通解为
zjmn
m
m n
mZ em
m
a
u
JHzH ?
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??? ?
?
?
?
?
??
?
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0 1
第 2章 规则金属波导
于是可求得其它场分量,
zjmn
mmn
m n mn
P em
m
a
uJH
u
jw u m aE ?
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2
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u
jw u m aE ?
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m n mn
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m
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uJH
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mmn
m n mn
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m
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u
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??? ? ?
c o s
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)(
0 1
2
2
第 2章 规则金属波导
可见,圆波导中同样存在着无穷多种 TE模,不同的 m和 n代
表不同的模式,记作 TEmn,式中,m表示场沿圆周分布的整波数,
n表示场沿半径分布的最大值个数 。 此时波阻抗为
mn
mn
TE
TE
wu
H
E
z
??
? ??
式中,
2
2 ?
?
?
?
?
???
a
u
k mnT E m n?
2)TM波通过与 TE波相同的分析,可求得 TM波纵向电场
Ez(ρ,φ,z)
zjmn
m
m n
mnZ em
m
a
vJEzE ?
?
?
??? ?
?
?
?
?
???
?
???
?? ? ?
s i n
c o s
)(),,(
0 1
第 2章 规则金属波导
其中,υmn是 m阶贝塞尔函数 Jm(x)的第 n个根且 kcTMmn=υmn/a,
于是可求得其它场分量,
zjmn
mmn
m n mn
P em
m
a
vJE
v
ajE ?
?
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zjmn
mmn
m n mn
e
m
m
a
vJE
v
ajE ?
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???
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???
??? ? ?
c o s
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0 1
2
zjmn
mmn
m n mn
e
m
m
a
vJE
v
ajwH ?
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???
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c o s
s i n
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2?
zjmn
mmn
m n mn
e
m
m
a
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v
ajH ?
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??? ?
?
?
?
?
???
?
???
???? ? ?
c o s
s i n
)(
0 1
0?ZH
第 2章 规则金属波导
可见, 圆波导中存在着无穷多种 TM模,波型指数 m和 n的
意义与 TE模相同,
?
?
?
?
wH
E
Z mnTMT M m n ??
式中,相移常数 βTMmn 22
?
?
??
?
??
a
vK mn
2,
与矩形波导不同,圆波导的 TE波和 TM波的传输特性各不
相同。
1)
由前面分析,圆波导 TEmn模, TMmn模的截止波数分别为
第 2章 规则金属波导
a
uK mn
C T Em n ?
a
vK mn
C T M m n ?
式中,υmn和 μmn分别为 m阶贝塞尔函数及其一阶导数的第 n
个根 。 于是,各模式的截止波长分别为
mnC T E m n
T E m n u
a
K
??? 22 ??
mnC T M m n
T M m n v
a
K
??? 22 ??
在所有的模式中,TE11模截止波长最长,其次为 TM01模,三
种典型模式的截止波长分别为
第 2章 规则金属波导
λcTE11=3.4126a λcTM01=2.6127a λcTE01=1.6398a
图 2 - 7 给出了圆波导中各模式截止波长的分布图 。
2)
在圆波导中有两种简并模,EH 简并和极化简并 。
(1) EH
由于贝塞尔函数具有 J0′(x)=-J1(x)的性质,所以一阶贝塞尔
函数的根和零阶贝塞尔函数导数的根相等,即, μ0n=υ1n,故有
λcTE0n=λcTM1n,从而形成了 TE0n模和 TM1n模的简并 。 这种简并称
为 EH简并 。
第 2章 规则金属波导
图 2- 7 圆波导中各模式截止波长的分布图
第 2章 规则金属波导
(2)
由于圆波导具有轴对称性,对 m≠0的任意非圆对称模式,横
向电磁场可以有任意的极化方向而截止波数相同,任意极化方
向的电磁波可以看成是偶对称极化波和奇对称极化波的线性
组合 。
偶对称极化波和奇对称极化波具有相同的场分布,故称之
为极化简并 。 正因为存在极化简并,所以波在传播过程中由于
圆波导细微的不均匀而引起极化旋转,从而导致不能单模传输
同时,也正是因为有极化简并现象,圆波导可以构成极化分离
器, 极化衰减器等 。
第 2章 规则金属波导
3)
由式 （ 2.1.19） 可以导出 TEmn模和 TMmn模的传输功率分别为
)()1()(2 222
2
22 akJ
ak
m
Hz
k
a
p cm
c
mnTE
Cm
T E m n ??
?
?
?
)()(
2
2
2
2 akJ
z
E
k
a
p cm
TM
mn
Cm
T M m n ??
?
?
?
式中,δm= 2 m≠0
1 m=0
3,
由各模式截止波长分布图 （ 见图 2,7） 可知,
TE11模的截止波长最长,其次是 TM01模,
第 2章 规则金属波导
另外由于 TE01模场分布的特殊性,使之具有低损耗特点,为
此我们主要来介绍这三种模式的特点及用途 。
1) 主模 TE11模 TE11模的截止波长最长,是圆波导中的最低
次模,也是主模 。 它的场结构分布图如图 2, 8 所示 。 由图可见,
圆波导中 TE11模的场分布与矩形波导的 TE10模的场分布很相似,
因此工程上容易通过矩形波导的横截面逐渐过渡变为圆波导,
如图 2,9 所示,从而构成方圆波导变换器 。
但由于圆波导中极化简并模的存在,所以很难实现单模传
输,因此圆波导不太适合于远距离传输场合 。
第 2章 规则金属波导
图 2.8 圆波导 TE11场结构分布图
第 2章 规则金属波导
图 2,9 方圆波导变换器
第 2章 规则金属波导
2) 圆对称 TM01模 TM01模是圆波导的第一个高次模,其场分
布如图 2.10所示 。 由于它具有圆对称性故不存在极化简并模,
因此常作为雷达天线与馈线的旋转关节中的工作模式,另外因
其磁场只有 Hφ分量,故波导内壁电流只有纵向分量,因此它可
以有效地和轴向流动的电子流交换能量,由此将其应用于微波
电子管中的谐振腔及直线电子加速器中的工作模式 。
3) 低损耗的 TE01模 TE01模是圆波导的高次模式,比它低的
模式有 TE11,TM01,TE21模,它与 TM11模是简并模 。 它也是圆
对称模, 故无极化简并 。
第 2章 规则金属波导
图 2,10 圆波导 TM01场结构分布图
( a )
( b )
第 2章 规则金属波导
其电场分布如图 2,11 所示 。 由图可见,磁场只有径向和
轴向分量,故波导管壁电流无纵向分量,只有周向电流 。 因此,
当传输功率一定时,随着频率升高,管壁的热损耗将单调下降,
故其损耗相对其它模式来说是低的 。 因此可将工作在 TE01模的
圆波导用于毫米波的远距离传输或制作高 Q值的谐振腔 。
为了更好地说明 TE01模的低损耗特性,图 2 -12 给出了圆波
导三种模式的导体衰减曲线 。
第 2章 规则金属波导
图 2 – 11 圆波导 TE01场结构分布图
( a ) ( b )
第 2章 规则金属波导
图 2 –12 不同模式的导体衰减随频率变化曲线
第 2章 规则金属波导
2.4
前面分析了规则金属波导中可能存在的电磁场的各种模
式 。 那么, 如何在波导中产生这些导行模呢？ 这就涉及到波
导的激励 。 而另一方面, 要从波导中提取微波信息,即波导的
耦合 。 波导的激励与耦合就本质而言是电磁波的辐射和接收,
是微波源向波导内有限空间的辐射或在波导的有限空间内接
收微波信息 。 由于辐射和接收是互易的,因此激励与耦合具有
相同的场结构, 所以我们只介绍波导的激励 。 严格地用数学
方法来分析波导的激励问题比较困难,这里仅定性地对这一问
题作以说明 。
激励波导的方法通常有三种, 电激励, 磁激励和电流激励,
分述如下 。
第 2章 规则金属波导
1,
将同轴线内的导体延伸一小段, 沿电场方向插入矩形波导
内, 构成探针激励,如图 2.13(a)所示 。 由于这种激励类似于电
偶极子的辐射,故称电激励 。 在探针附近,由于电场强度会有 Ez
分量,电磁场分布与 TE10模有所不同,而必然有高次模被激发 。
但当波导尺寸只允许主模传输时,激发起的高次模随着探针位
置的远离快速衰减,因此不会在波导内传播 。 为了提高功率耦
合效率,在探针位置两边波导与同轴线的阻抗应匹配,为此往往
在波导一端接上一个短路活塞,如图 2,13(b)所示 。 调节探针插
入深度 d和短路活塞位置 l,使同轴线耦合到波导中去的功率达
到最大 。 短路活塞用以提供一个可调电抗以抵消和高次模相对
应的探针电抗 。
第 2章 规则金属波导
图 2,13 探针激励及其调配
第 2章 规则金属波导
2,磁激励
将同轴线的内导体延伸一小段后弯成环形,将其端部焊在
外导体上,然后插入波导中所需激励模式的磁场最强处,并使
小环法线平行于磁力线,如图 2, 14 所示 。 由于这种激励类似
于磁偶极子辐射,故称为磁激励 。 同样,也可连接一短路活塞
以提高功率耦合效率 。 但由于耦合环不容易和波导紧耦合,而
且匹配困难,频带较窄,最大耦合功率也比探针激励小,因此在
实际中常用探针耦合 。
3,
除了上述两种激励之外,在波导之间的激励往往采用小孔
耦合,即在两个波导的公共壁上开孔或缝,使一部分能量辐射
到另一波导去,以此建立所要的传输模式 。
第 2章 规则金属波导
图 2,14 磁激励示意图
TEM
激 励 环
a
b
第 2章 规则金属波导
由于波导开口处的辐射类似于电流元的辐射, 故称为电流
激励 。 小孔耦合最典型的应用是定向耦合器 。 它在主波导和耦
合波导的公共壁上开有小孔, 以实现主波导向耦合波导传送能
量,如图 2, 15 所示 。 另外小孔或缝的激励还可采用波导与谐
振腔之间的耦合, 两条微带之间的耦合等 。
第 2章 规则金属波导
图 2.15 波导的小孔耦合
2.1 导波原理
2.2 矩形波导
2.3 圆形波导
2.4 波导的激励与耦合
第 2章 规则金属波导
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第 2章 规则金属波导
第 2 章 规则金属波导
2.1导
1,
对由均匀填充介质的金属波导管建立如图 2 - 1 所示坐标
系,设 z轴与波导的轴线相重合 。 由于波导的边界和尺寸沿轴向
不变,故称为规则金属波导 。 为了简化起见,我们作如下假设,
① 波导管内填充的介质是均匀, 线性, 各向同性的 ;
② 波导管内无自由电荷和传导电流的存在 ;
第 2章 规则金属波导
图 2 – 1 金属波导管结构图
第 2章 规则金属波导
③ 波导管内的场是时谐场 。
由电磁场理论,对无源自由空间电场 E和磁场 H满足以下矢
量亥姆霍茨方程,
022 ??? EKE
022 ??? HKH
式中,k2=ω2με。
现将电场和磁场分解为横向分量和纵向分量,即
E=E
t+azEz
H=Ht+azHz
第 2章 规则金属波导
式中,az为 z向单位矢量,t表示横向坐标,可以代表直角坐
标中的 (x,y); 也可代表圆柱坐标中的 (ρ,φ)。 为方便起见,下面
以直角坐标为例讨论,将式 （ 2 -1 -2） 代入式 (2 -1 -1),整理后
可得
022 ??? ZZ EKE
022 ??? tt EKE
022 ??? tt HKH
022 ??? ZZ HKH
下面以电场为例来讨论纵向场应满足的解的形式 。
设 2t为二维拉普拉斯算子,则有
第 2章 规则金属波导
利用分离变量法,令
代入式 (2 -1 -3),并整理得
2
2
22
zt ?
?????
)(
)(
),(
),()( 222
zz
zz
dz
d
yxE
yxEk
Z
Z
t
?
??
上式中左边是横向坐标 (x,y)的函数,与 z无关 ; 而右边是 z的
函数,与 (x,y)无关 。 只有二者均为一常数, 上式才能成立,设
该常数为 γ2,则有
0),()(),( 222 ???? yxErkyxE ZZt
0)()( 22
2
?? zzrzz
dz
d
第 2章 规则金属波导
上式中的第二式的形式与传输线方程 (1 -1 -5)相同,其通
解为
Z(z)=A+e -rz+A-erz
A+为待定常数,对无耗波导 γ=jβ,而 β为相移常数 。
现设 Eoz(x,y)=A+Ez(x,y),
Ez(x,y,z)=Eoz(x,y)e-jβz
同理,纵向磁场也可表达为,
Hz(x,y,z)=Hoz(x,y)e -jβz
而 Eoz(x,y),Hoz(x,y)满足以下方程,
第 2章 规则金属波导
0),(),( 22 ??? yxEkyxE OZeozt
0),(),( 22 ??? yxHkyxH OZeozt
式中,k2c=k2-β2为传输系统的本征值 。
由麦克斯韦方程,无源区电场和磁场应满足的方程为
EjwH ????
EjwE ?????
将它们用直角坐标展开,并利用式 （ 2 -1 -10） 可得,
第 2章 规则金属波导
)(2
x
E
y
Hzwu
k
jE Z
c
x ?
??
?
??? ?
)(2
x
E
y
Hzwu
k
jE Z
c
y ?
??
?
?? ?
)(2
y
Ezw
x
H
k
jH Z
c
x ?
??
?
??? ??
)(2
y
Ezw
x
H
k
jH Z
c
y ?
??
?
??? ??
从以上分析可得以下结论,
① 在规则波导中场的纵向分量满足标量齐次波动方程,结
合相应边界条件即可求得纵向分量 Ez和 Hz,而场的横向分量即
可由纵向分量求得 ;
第 2章 规则金属波导
② 既满足上述方程又满足边界条件的解有许多,每一个解
对应一个波型也称之为模式,不同的模式具有不同的传输特性 ;
③ kc是微分方程 （ 2 -1 -11） 在特定边界条件下的特征值,
它是一个与导波系统横截面形状, 尺寸及传输模式有关的参
量 。 由于当相移常数 β=0时,意味着波导系统不再传播,亦称为
截止,此时 kc=k,故将 kc 称为截止波数 。
2,
描述波导传输特性的主要参数有, 相移常数, 截止波数,
相速, 波导波长, 群速, 波阻抗及传输功率 。 下面分别叙述,
第 2章 规则金属波导
1)
在确定的均匀媒质中,波数 k=ω-με与电磁波的频率成正比,
相移常数 β和 k的关系式为
β=-
2) 相速 vp与波导波长 λg
电磁波在波导中传播,其等相位面移动速率称为相速,于
是有
222 /1 kkkkk
c ???
22 /1
/122
Kk
u
k
v
c
rr
p
?
??
??
?
?
第 2章 规则金属波导
式中,c为真空中光速,对导行波来说 k＞ kc,故 vp＞ c/,
即在规则波导中波的传播的速度要比在无界空间媒质中传播
的速度要快 。
导行波的波长称为波导波长,用 λg表示,它与波数的关系式
为
另外,我们将相移常数 β及相速 vp随频率 ω的变化关系称为
色散关系,它描述了波导系统的频率特性 。 当存在色散特性时,
相速 vp已不能很好地描述波的传播速度,这时就要引入, 群速,
的概念,它表征了波能量的传播速度,当 kc为常数时,导行波的
群速为
rru ?
22 /1
122
kkk c
g
?
??
?
?
?
?
第 2章 规则金属波导
22 /11
/
1 kk
udwdd
dwv
c
rr
g ???? ???
3)
定义某个波型的横向电场和横向磁场之比为波阻抗,即
t
t
H
E
z ?
4)
由玻印亭定理,波导中某个波型的传输功率为
?? ?? ??? s zts dsaHEdsHE ).(Re21).(Re21
dsHzdsEz
s ts t
22
22
1 ?? ??
第 2章 规则金属波导
式中,Z为该波型的波阻抗 。
3,
用以约束或导引电磁波能量沿一定方向传输的结构称为
导波结构, 在其中传输的波称为导行波 。 导行波的结构不同,
所传输的电磁波的特性就不同, 因此, 根据截止波数 kc的不同
可将导行波分为以下三种情况 。
1) =0 即 kc=0
这时必有 Ez=0和 Hz=0,否则由式 （ 2 -1 -13） 知 Ex,Ey,Hx、
Hy将出现无穷大,这在物理上不可能 。 这样 kc=0 意味着该导行
波既无纵向电场又无纵向磁场,只有横向电场和磁场,故称为
横电磁波, 简称 TEM波 。
2CK
第 2章 规则金属波导
对于 TEM波,β=k,故相速, 波长及波阻抗和无界空间均匀
媒质中相同 。 而且由于截止波数 kc=0,因此理论上任意频率均
能在此类传输线上传输 。 此时不能用纵向场分析法,而可用二
维静态场分析法或前述传输线方程法进行分析 。
2) ＞ 0
这时 β2＞ 0,而 Ez和 Hz不能同时为零,否则 Et和 Ht必然全为
零,系统将不存在任何场 。 一般情况下,只要 Ez和 Hz中有一个
不为零即可满足边界条件,这时又可分为两种情形,
(1)TM
将 Ez≠0而 Hz=0的波称为磁场纯横向波,简称 TM波,由于只
有纵向电场故又称为 E波 。 此时满足的边界条件应为
2
CK
第 2章 规则金属波导
22 /1 kku
wH
EZ
c
y
X
TM ???? ??
?
0| ?SZE
式中, S表示波导周界 。
而由式 （ 2 -1 -18） TM 波的波阻抗为
(2)TE
将 Ez=0而 Hz≠0 的波称为电场纯横向波,简称 TE波,此时只
有纵向磁场, 故又称为 H波 。 它应满足的边界条件为
0| ?
?
? s
n
H Z
第 2章 规则金属波导
式中, S表示波导周界； n为边界法向单位矢量 。
而由式 （ 2 -1 -18） 波阻抗的定义得 TE波的波阻抗为
22 /1
1
kk
uwu
H
E
z
cy
X
TE
?
???
??
无论是 TM波还是 TE波,其相速 vp=ω/β＞ c/ 均比
无界媒质空间中的速度要快,故称之为快波 。
3) ＜ 0
这时 β= 而相速 vp=,即相速比
无界媒质空间中的速度要慢,故又称之为慢波 。
2
ck
kkk c ?? 22
kkk c ?? 22 rrucw ?? ?/
第 2章 规则金属波导
2.2
通常将由金属材料制成的, 矩形截面的, 内充空气的规
则金属波导称为矩形波导,它是微波技术中最常用的传输系
统之一 。
设矩形波导的宽边尺寸为 a,窄边尺寸为 b,并建立如图 2 -
2 所示的坐标 。
1,
由上节分析可知,矩形金属波导中只能存在 TE波和 TM
波 。 下面分别来讨论这两种情况下场的分布 。
1)TE
第 2章 规则金属波导
图 2 – 2 矩形波导及其坐标
第 2章 规则金属波导
此时 Ez=0,Hz=Hoz(x,y)e-jβz ≠0,且满足
,上式可写作
0),(),( 221 ??? yxHkyxH OZcoz
2
2
2
2
2
yxt ?
??
?
???
0),(),()( 22
2
2
2
??
?
??
?
? yxHkyxH
yx ozcoz
应用分离变量法,令
Hoz(x,y)=X(x)Y(y)
代入式 （ 2 -2 -2）,并除以 X(x)Y(y),得
第 2章 规则金属波导
2
2
2
2
2 )(
)(
1)(
)(
1
ckdy
yYd
yYdx
xXd
xX
????
要使上式成立,上式左边每项必须均为常数,设分别为
和,则有
2
xk 2
yk
0)()( 22
2
?? xXk
dx
xXd
x
0)()( 22
2
?? yYk
dy
yYd
y
?2xk 22 cy kk ?
于是,Hoz(x,y)的通解为
Hoz(x,y)=(A1coskxx+A2 sinkxx)(B1 coskyy+B2sinkyy)
第 2章 规则金属波导
其中,A1A2B1B2为待定系数,由边界条件确定 。 由式 （ 2 - 1
- 22） 知,Hz
0|| 0 ?????? ?? axzx xHxH ?
0|| 0 ?
?
??
?
?
?? bx
z
y
z
y
H
y
H
将式（ 2 -2 -5）代入式（ 2 -2 -6）可得
02 ?A a
mK
x
??
02 ?B
b
nK
y
??
第 2章 规则金属波导
于是矩形波导 TE波纵向磁场的基本解为
zj
mn
zj
z eyb
nx
a
mHey
b
nx
a
mBAH ?? ???? ?? ?? )c o s ()c o s ()c o s ()c o s (
11
代入式 （ 2 -1 -13）, TE 波其它场分量的表达式为
zj
mn
m n c
X eya
nx
a
mH
b
n
k
jw uE ???? ??
?
?
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0 0
2
zj
mn
m n c
y eya
nx
a
mH
a
m
k
jw uE ???? ??
?
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? ? ?? )c o s ()s i n (
0 0
2
0?ZE
第 2章 规则金属波导
zj
mn
m n c
X eya
nx
a
mH
a
m
k
jH ????? ??
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0 0
2
zj
mn
m n c
Y eya
nx
a
mH
b
m
k
jH ????? ??
?
?
?
? ?? )s i n ()c o s (
0 0
2
式中,为矩形波导 TE波的截止波数,
显然它与波导尺寸, 传输波型有关 。 m和 n分别代表 TE波沿 x方
向和 y方向分布的半波个数,一组 m,n,对应一种 TE波,称作
TEmn模 ; 但 m和 n不能同时为零,否则场分量全部为零 。 因此,
矩形波导能够存在 TEm0模和 TE0n模及 TEmn(m,n≠0)模 ; 其中 TE10
模是最低次模,其余称为高次模 。
22
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
??
b
n
a
mk ??
第 2章 规则金属波导
2)TM
对 TM波,Hz=0,Ez=Eoz(x,y)e-jβz,此时满足
其通解也可写为
Eoz(x,y)=(A1coskxx+A2 sinkxx)(B1coskyy+B2sinkyy)
0221 ??? OZCOZ EKE
由式 （ 2 -1 -20）,应满足的边界条件为
Ez(0,y)=Ez(a,y)=0
Ez(x,0)=Ez(x,b)=0
第 2章 规则金属波导
用 TE波相同的方法可求得 TM波的全部场分量
zj
mn
m n c
X eyb
nx
a
mE
a
m
k
jE ????? ??
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1 1
2
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mn
m n c
y eyb
nx
a
mE
b
m
k
jE ????? ??
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1 1
2
zj
mn
m n
z eyb
nx
a
mEE ??? ??
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1 1
zj
mn
m n c
X eyb
nx
a
mE
b
m
k
jwH ????? ??
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1 1
2
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mn
m n c
y eyb
nx
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mE
a
m
k
jwH ????? ??
?
?
?
? ? ?? )s i n ()c o s (
1 1
2
第 2章 规则金属波导
Hz=0
式中,,Emn为模式电场振幅数 。
TM11模是矩形波导 TM波的最低次模,其它均为高次模 。
总之,矩形波导内存在许多模式的波,TE波是所有 TEmn模式场
的总和,而 TM波是所有 TMmn模式场的总和 。
2,
1)
由式 （ 2 -2 -10） 和 （ 2 -2 -14）,矩形波导 TEmn和 TMmn模
的截止波数均为
22
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
??
b
n
a
mk ??
第 2章 规则金属波导
22
2
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?
?
?
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b
n
a
m
k c m m
??
对应截止波长为
c
c m n
c T Mc T E bnamKmnmn ?
??? ?
?
???
22 )/()/(
22
此时,相移常数为
2
1
2
??
?
?
??
?
?
??
c?
?
?
?
?
其中,λ=2π/k,为工作波长 。
第 2章 规则金属波导
可见当工作波长 λ小于某个模的截止波长 λc时,β2＞ 0,此模
可在波导中传输,故称为传导模 ; 当工作波长 λ大于某个模的截
止波长 λc时,β2＜ 0,即此模在波导中不能传输,称为截止模 。 一
个模能否在波导中传输取决于波导结构和工作频率 （ 或波长 ） 。
对相同的 m和 n,TEmn和 TMmn模具有相同的截止波长故又称为
简并模,虽然它们场分布不同,但具有相同的传输特性 。 图 2 -
3 给出了标准波导 BJ-32各模式截止波长分布图 。
[例 2 -1］ -设某矩形波导的尺寸为 a=8cm,b=4cm; 试求工
作频率在 3 GHz时该波导能传输的模式 。
解, -由 f=3 GHz,得
第 2章 规则金属波导
图 2 -3 BJ-32波导各模式截止波长分布图
第 2章 规则金属波导
)(1.0 m
f
c
???
?? ??? )(16.0210 mac T E
?? ??? )(08.0201 mbc T E
?? ??
?
? )(0715.0
2
2211
m
ba
a
c T M
可见, 该波导在工作频率为 3GHz时只能传输 TE10模 。
2) 主模 TE10
在导行波中截止波长 λc最长的导行模称为该导波系统的
主模,因而也能进行单模传输 。
第 2章 规则金属波导
矩形波导的主模为 TE10模,因为该模式具有场结构简单,
稳定, 频带宽和损耗小等特点,所以实用时几乎毫无例外地
工作在 TE10模式 。 下面着重介绍 TE10模式的场分布及其工作
特性 。
(1)TE10
将 m=1,n=0,kc=π/a,代入式 （ 2 -2 -10）,并考虑时间因
子 ejωt,可得 TE10模各场分量表达式
)
2
c o s (s i n10 ???
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???
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??
?
?? zwtx
a
Hw u aE y
)
2
c o s (s i n10 ???
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??
?
?? zwtx
a
HaH x
第 2章 规则金属波导
)c o s (c o s10 zwtx
a
HH x ?? ??
?
??
?
??
Ex=Ez=Hy=0
由此可见,场强与 y无关,即各分量沿 y轴均匀分布,而沿 x
方向的变化规律为
?
?
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?
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?? x
a
E Y
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?
?
?
?? x
a
H X
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?
?? x
a
H Z
?
s in
第 2章 规则金属波导
其分布曲线如图 2 - 4（ a） 所示,而沿 z方向的变化规律为
?
?
?
?
?
? ???
2
c o s
?
? zwtE Y
?
?
?
?
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? ???
2
c o s
?
? zwtH Z
? ?zwtH Z ??? c o s
其分布曲线如图 2 -4（ b） 所示 。 波导横截面和纵剖面上
的场分布如图 2 -4（ c） 和 （ d） 所示 。 由图可见,Hx和 Ey最大
值在同截面上出现,电磁波沿 z方向按行波状态变化 ;Ey,Hx和
Hz相位差为 90°,电磁波沿横向为驻波分布 。
第 2章 规则金属波导
图 2 – 4 矩形波导 TE10模的场分布图
第 2章 规则金属波导
(2)TE10
① 截止波长与相移常数,
将 m=1,n=0 代入式 （ 2 2 15）,得 TE10模截止波数为
kc=
于是截止波长为
而相移常数为
a
?
a
k cc T E
2
2
10
??
?
?
2)
2
(1
2
a
?
?
?
? ??
第 2章 规则金属波导
②
对 TE10模,其波导波长为
2)2/(1
12
a
g
??
??
?
??
而 TE10模的波阻抗为
ZTE10=
2)2/(1
120
a?
?
?
③
由式 （ 2-1- 15） 及 （ 2-1-16） 可得 TE10模的相速 vp和群
速 vg分别为
第 2章 规则金属波导
2)2/(1 a
vwv
p
?? ?
??
2)2/(1 av
d
dwv
g ?? ???
式中,v为自由空间光速 。
④ 传输功率,
由式 （ 2-1- 21） 得矩形波导 TE10模的传输功率为
10
42
1 2102
10 TE
y
TE Z
a b E
d x d yE
Z
p ?? ??
其中,E10= 是 Ey分量在波导宽边中心处的
振幅值 。 由此可得波导传输 TE10模时的功率容量为
10H
wua
?
第 2章 规则金属波导
222
10
2
1
44
10
?
?
?
?
?
????
a
abE
Z
abE
p br
TE
br
?
?
其中,Ebr为击穿电场幅值 。 因空气的击穿场强为 30kV/cm,
2
0 216.0 ?
?
?
?
?
???
a
abp br
?
可见, 波导尺寸越大,频率越高,则功率容量越大 。 而当
负载不匹配时,由于形成驻波,电场振幅变大,因此功率容量
会变小,则不匹配时的功率容量 P′br和匹配时的功率容量 Pbr的
关系为
?
br
br
p
p ??
第 2章 规则金属波导
其中,ρ为驻波系数 。
⑤ 衰减特性,
当电磁波沿传输方向传播时,由于波导金属壁的热损耗和
波导内填充的介质的损耗必然会引起能量或功率的递减 。 对
于空气波导,由于空气介质损耗很小,可以忽略不计,而导体损
耗是不可忽略的 。
设导行波沿 z方向传输时的衰减常数为 α,则沿线电场, 磁
场按 e-αz规律变化,即
E(z)=E0e-αz
H(z)=H0e-αz
第 2章 规则金属波导
所以传输功率按以下规律变化,
P=P0e-2αz (2 2 33)
上式两边对 z求导,
apeap
dz
dp w a z 22
0 ????
?
因沿线功率减少率等于传输系统单位长度上的损耗功
率 Pl,即
dz
dpp ??
1
比较式 （ 2 2 34） 和式 （ 2 2 35） 可得
p
pa
2
1??
第 2章 规则金属波导
由此可求得衰减常数 α。
在计算损耗功率时,因不同的导行模有不同的电流分布,
损耗也不同,根据上述分析,可推得矩形波导 TE10模的衰减常数
公式,
)/]()
2
(21[
2
1120
686.8 2
2
mdB
aa
b
a
R
a Sc
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?
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?
?
?
?
?
?
?
?
式中,RS= 为导体表面电阻,它取决于导体的
磁导率 μ,电导率 ζ和工作频率 f。
由式 （ 2,2,37） 可以看出,
① 衰减与波导的材料有关,因此要选导电率高的非铁磁材
料,使 RS尽量小。
?? /fu
第 2章 规则金属波导
② 增大波导高度 b能使衰减变小,但当 b＞ a/2时单模工作
频带变窄,故衰减与频带应综合考虑 。
③ 衰减还与工作频率有关,给定矩形波导尺寸时,随着频
率的提高先是减小,出现极小点,然后稳步上升 。
我们用 MATLAB编制了 TE10模衰减常数随频率变化关系
的计算程序,计算结果如图 2,5 所示 。
3,
选择矩形波导尺寸应考虑以下几个方面因素,
1)
保证在给定频率范围内的电磁波在波导中都能以单一的
TE10模传播,其它高次模都应截止 。 为此应满足,
第 2章 规则金属波导
图 2-5TE10 模衰减常数随频率变化曲线
第 2章 规则金属波导
λcTE20＜ λ＜ λcTE10
λcTE01＜ λ＜ λcTE10
将 TE10模, TE20模和 TE01模的截止波长代入上式得
a＜ λ＜ 2a
2b＜ λ＜ 2a
λ/2＜ a＜ λ
0＜ b＜ λ/2
或写作
即取 b＜ a/2。
2)
在传播所要求的功率时,波导不致于发生击穿。由式（ 2,
2,29）可知，适当增加 b可增加功率容量,故 b应尽可能大一些。
第 2章 规则金属波导
3)
通过波导后的微波信号功率不要损失太大 。 由式 （ 2, 2
27） 知,增大 b也可使衰减变小,故 b应尽可能大一些 。
综合上述因素,矩形波导的尺寸一般选为
a=0.7λ
b=(0.4-0.5)a (2, 2,39)
通常将 b=a/2的波导称为标准波导 ; 为了提高功率容量,选 b
＞ a/2这种波导称为高波导 ; 为了减小体积,减轻重量,有时也选
b＜ a/2的波导,这种波导称为扁波导 。
附录一给出了各种波导的参数表及与国外标准的对照表 。
第 2章 规则金属波导
2.3 圆形波导
若将同轴线的内导体抽走,则在一定条件下,由外导体所包
围的圆形空间也能传输电磁能量,这就是圆形波导,简称圆波导,
如图 2 - 6 所示 。 圆波导具有加工方便, 双极化, 低损耗等优点
广泛应用于远距离通信, 双极化馈线以及微波圆形谐振器等,
是一种较为常用的规则金属波导 。 下面着重来讨论圆波导中场
分布及基本传输特性 。
1,
与矩形波导一样,圆波导也只能传输 TE和 TM波型 。 设圆
形波导外导体内径为 a,并建立如图 2,6 所示的圆柱坐标 。
第 2章 规则金属波导
y
x
z
o
a
r
?
?
图 2-6 圆波导及其坐标系
第 2章 规则金属波导
1)TE
此时 Ez=0,Hz=Hoz(ρ,φ)e-jβz≠0,且满足
在圆柱坐标中,
2
2
22
2
2 11
???? ?
??
?
??
?
???
pt
0),(),()11( 22
2
22
2
??
?
??
?
??
?
? ????
???? OZCOZ
HKH
p
0),(),( 22 ??? ???? H o zkH o z ct
应用分离变量法,令
Hoz(ρ,φ)=R(ρ)Φ(φ)
代入式 （ 2, 3,2）,并除以 R(ρ)Φ(φ),得
第 2章 规则金属波导
0)()()()([
)(
1 222
2
2 ???? ??
?
?
?
? Rmk
d
PdR
d
PdR
PR c
0)()( 22
2
?? ??
?
?? m
d
d
要使上式成立,上式两边项必须均为常数,设该常数为 m2,
则得
R(ρ)=A1Jm(kcρ)+A2Nm(kcρ)
式中,Jm(x),Nm(x)分别为第一类和第二类 m阶贝塞尔函数
式 （ 2,3,5b） 的通解为
Φ(φ)=B1 cosmφ+B2sinmφ=
???
?
???
?
?
?
m
m
B
s in
c o s
第 2章 规则金属波导
式 （ 2,3, 6b） 中后一种表示形式是考虑到圆波导的轴对
称性,因此场的极化方向具有不确定性,使导行波的场分布在 φ
方向存在 cosmφ和 sinmφ两种可能的分布,它们独立存在,相互
正交,截止波长相同,构成同一导行模的极化简并模 。
另外,由于 ρ→ 0时 Nm(kcρ)→ -∞,故式 （ 2.3.6a） 中必然有
A2=0。 于是 Hoz(ρ,φ)的通解为
???
?
???
??
?
?
???
m
m
kBJAH cmoz
s i n
c o s
)(),( 1
由边界条件 ρ=a=0,由式 （ 2 – 3- 7） 得 J设 m
0| ??
?
? aH oz ?
?
第 2章 规则金属波导
Jm (x)的第 n个根为 μmn,则有
kca=μmn或 kc=
a
umn
n=0,1,2,3…,
于是圆波导 TE模纵向磁场 Hz基本解为
Hz(ρ,φ,z)=
jB zmn e
m
m
a
uB J mA ?
???
?
???
?
?
?
?
s i n
c o s
)(1
M=0,1,2,…; n=1,2,…,
令模式振幅 Hmn=A1B,则 Hz(ρ,φ,z)的通解为
zjmn
m
m n
mZ em
m
a
u
JHzH ?
?
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??? ?
?
?
?
?
??
?
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?
?
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)(),,(
0 1
第 2章 规则金属波导
于是可求得其它场分量,
zjmn
mmn
m n mn
P em
m
a
uJH
u
jw u m aE ?
?
?
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?
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2
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u
jw u m aE ?
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0 1
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???
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c o s
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)(
0 1
2
2
第 2章 规则金属波导
可见,圆波导中同样存在着无穷多种 TE模,不同的 m和 n代
表不同的模式,记作 TEmn,式中,m表示场沿圆周分布的整波数,
n表示场沿半径分布的最大值个数 。 此时波阻抗为
mn
mn
TE
TE
wu
H
E
z
??
? ??
式中,
2
2 ?
?
?
?
?
???
a
u
k mnT E m n?
2)TM波通过与 TE波相同的分析,可求得 TM波纵向电场
Ez(ρ,φ,z)
zjmn
m
m n
mnZ em
m
a
vJEzE ?
?
?
??? ?
?
?
?
?
???
?
???
?? ? ?
s i n
c o s
)(),,(
0 1
第 2章 规则金属波导
其中,υmn是 m阶贝塞尔函数 Jm(x)的第 n个根且 kcTMmn=υmn/a,
于是可求得其它场分量,
zjmn
mmn
m n mn
P em
m
a
vJE
v
ajE ?
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?
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0 1
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v
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0 1
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m
a
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v
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?
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???
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???
???? ? ?
c o s
s i n
)(
0 1
0?ZH
第 2章 规则金属波导
可见, 圆波导中存在着无穷多种 TM模,波型指数 m和 n的
意义与 TE模相同,
?
?
?
?
wH
E
Z mnTMT M m n ??
式中,相移常数 βTMmn 22
?
?
??
?
??
a
vK mn
2,
与矩形波导不同,圆波导的 TE波和 TM波的传输特性各不
相同。
1)
由前面分析,圆波导 TEmn模, TMmn模的截止波数分别为
第 2章 规则金属波导
a
uK mn
C T Em n ?
a
vK mn
C T M m n ?
式中,υmn和 μmn分别为 m阶贝塞尔函数及其一阶导数的第 n
个根 。 于是,各模式的截止波长分别为
mnC T E m n
T E m n u
a
K
??? 22 ??
mnC T M m n
T M m n v
a
K
??? 22 ??
在所有的模式中,TE11模截止波长最长,其次为 TM01模,三
种典型模式的截止波长分别为
第 2章 规则金属波导
λcTE11=3.4126a λcTM01=2.6127a λcTE01=1.6398a
图 2 - 7 给出了圆波导中各模式截止波长的分布图 。
2)
在圆波导中有两种简并模,EH 简并和极化简并 。
(1) EH
由于贝塞尔函数具有 J0′(x)=-J1(x)的性质,所以一阶贝塞尔
函数的根和零阶贝塞尔函数导数的根相等,即, μ0n=υ1n,故有
λcTE0n=λcTM1n,从而形成了 TE0n模和 TM1n模的简并 。 这种简并称
为 EH简并 。
第 2章 规则金属波导
图 2- 7 圆波导中各模式截止波长的分布图
第 2章 规则金属波导
(2)
由于圆波导具有轴对称性,对 m≠0的任意非圆对称模式,横
向电磁场可以有任意的极化方向而截止波数相同,任意极化方
向的电磁波可以看成是偶对称极化波和奇对称极化波的线性
组合 。
偶对称极化波和奇对称极化波具有相同的场分布,故称之
为极化简并 。 正因为存在极化简并,所以波在传播过程中由于
圆波导细微的不均匀而引起极化旋转,从而导致不能单模传输
同时,也正是因为有极化简并现象,圆波导可以构成极化分离
器, 极化衰减器等 。
第 2章 规则金属波导
3)
由式 （ 2.1.19） 可以导出 TEmn模和 TMmn模的传输功率分别为
)()1()(2 222
2
22 akJ
ak
m
Hz
k
a
p cm
c
mnTE
Cm
T E m n ??
?
?
?
)()(
2
2
2
2 akJ
z
E
k
a
p cm
TM
mn
Cm
T M m n ??
?
?
?
式中,δm= 2 m≠0
1 m=0
3,
由各模式截止波长分布图 （ 见图 2,7） 可知,
TE11模的截止波长最长,其次是 TM01模,
第 2章 规则金属波导
另外由于 TE01模场分布的特殊性,使之具有低损耗特点,为
此我们主要来介绍这三种模式的特点及用途 。
1) 主模 TE11模 TE11模的截止波长最长,是圆波导中的最低
次模,也是主模 。 它的场结构分布图如图 2, 8 所示 。 由图可见,
圆波导中 TE11模的场分布与矩形波导的 TE10模的场分布很相似,
因此工程上容易通过矩形波导的横截面逐渐过渡变为圆波导,
如图 2,9 所示,从而构成方圆波导变换器 。
但由于圆波导中极化简并模的存在,所以很难实现单模传
输,因此圆波导不太适合于远距离传输场合 。
第 2章 规则金属波导
图 2.8 圆波导 TE11场结构分布图
第 2章 规则金属波导
图 2,9 方圆波导变换器
第 2章 规则金属波导
2) 圆对称 TM01模 TM01模是圆波导的第一个高次模,其场分
布如图 2.10所示 。 由于它具有圆对称性故不存在极化简并模,
因此常作为雷达天线与馈线的旋转关节中的工作模式,另外因
其磁场只有 Hφ分量,故波导内壁电流只有纵向分量,因此它可
以有效地和轴向流动的电子流交换能量,由此将其应用于微波
电子管中的谐振腔及直线电子加速器中的工作模式 。
3) 低损耗的 TE01模 TE01模是圆波导的高次模式,比它低的
模式有 TE11,TM01,TE21模,它与 TM11模是简并模 。 它也是圆
对称模, 故无极化简并 。
第 2章 规则金属波导
图 2,10 圆波导 TM01场结构分布图
( a )
( b )
第 2章 规则金属波导
其电场分布如图 2,11 所示 。 由图可见,磁场只有径向和
轴向分量,故波导管壁电流无纵向分量,只有周向电流 。 因此,
当传输功率一定时,随着频率升高,管壁的热损耗将单调下降,
故其损耗相对其它模式来说是低的 。 因此可将工作在 TE01模的
圆波导用于毫米波的远距离传输或制作高 Q值的谐振腔 。
为了更好地说明 TE01模的低损耗特性,图 2 -12 给出了圆波
导三种模式的导体衰减曲线 。
第 2章 规则金属波导
图 2 – 11 圆波导 TE01场结构分布图
( a ) ( b )
第 2章 规则金属波导
图 2 –12 不同模式的导体衰减随频率变化曲线
第 2章 规则金属波导
2.4
前面分析了规则金属波导中可能存在的电磁场的各种模
式 。 那么, 如何在波导中产生这些导行模呢？ 这就涉及到波
导的激励 。 而另一方面, 要从波导中提取微波信息,即波导的
耦合 。 波导的激励与耦合就本质而言是电磁波的辐射和接收,
是微波源向波导内有限空间的辐射或在波导的有限空间内接
收微波信息 。 由于辐射和接收是互易的,因此激励与耦合具有
相同的场结构, 所以我们只介绍波导的激励 。 严格地用数学
方法来分析波导的激励问题比较困难,这里仅定性地对这一问
题作以说明 。
激励波导的方法通常有三种, 电激励, 磁激励和电流激励,
分述如下 。
第 2章 规则金属波导
1,
将同轴线内的导体延伸一小段, 沿电场方向插入矩形波导
内, 构成探针激励,如图 2.13(a)所示 。 由于这种激励类似于电
偶极子的辐射,故称电激励 。 在探针附近,由于电场强度会有 Ez
分量,电磁场分布与 TE10模有所不同,而必然有高次模被激发 。
但当波导尺寸只允许主模传输时,激发起的高次模随着探针位
置的远离快速衰减,因此不会在波导内传播 。 为了提高功率耦
合效率,在探针位置两边波导与同轴线的阻抗应匹配,为此往往
在波导一端接上一个短路活塞,如图 2,13(b)所示 。 调节探针插
入深度 d和短路活塞位置 l,使同轴线耦合到波导中去的功率达
到最大 。 短路活塞用以提供一个可调电抗以抵消和高次模相对
应的探针电抗 。
第 2章 规则金属波导
图 2,13 探针激励及其调配
第 2章 规则金属波导
2,磁激励
将同轴线的内导体延伸一小段后弯成环形,将其端部焊在
外导体上,然后插入波导中所需激励模式的磁场最强处,并使
小环法线平行于磁力线,如图 2, 14 所示 。 由于这种激励类似
于磁偶极子辐射,故称为磁激励 。 同样,也可连接一短路活塞
以提高功率耦合效率 。 但由于耦合环不容易和波导紧耦合,而
且匹配困难,频带较窄,最大耦合功率也比探针激励小,因此在
实际中常用探针耦合 。
3,
除了上述两种激励之外,在波导之间的激励往往采用小孔
耦合,即在两个波导的公共壁上开孔或缝,使一部分能量辐射
到另一波导去,以此建立所要的传输模式 。
第 2章 规则金属波导
图 2,14 磁激励示意图
TEM
激 励 环
a
b
第 2章 规则金属波导
由于波导开口处的辐射类似于电流元的辐射, 故称为电流
激励 。 小孔耦合最典型的应用是定向耦合器 。 它在主波导和耦
合波导的公共壁上开有小孔, 以实现主波导向耦合波导传送能
量,如图 2, 15 所示 。 另外小孔或缝的激励还可采用波导与谐
振腔之间的耦合, 两条微带之间的耦合等 。
第 2章 规则金属波导
图 2.15 波导的小孔耦合
