概率论与数理统计
配套教材：苏德矿等，概率论与
数理统计，高等教育出版社
概率论产生于 17世纪，本来是由保险事业发
展而产生的，但是来自赌博者的请求，却是数学
家们思考概率论问题的源泉, 早在 1654年，有一
个赌徒梅勒向当时的数学家帕斯卡提出了一个使
他苦恼了很久的问题：“两个赌徒相约赌若干局，
谁先赢 m局就算获胜，全部赌本就归胜者，但是
当其中一个人甲赢了 a(a<m)局的时候，赌博中止，
问赌本应当如何分配才算合理？”
概率论在物理、化学、生物、生态、天文、
地质、医学等学科中，在控制论、信息论、电子
技术、预报、运筹等工程技术中的应用都非常广
泛。
序言
? 自然界和社会上发生的现象是多种多样的,在
观察、分析、研究各种现象时,通常我们将它们
分为两类,
(1)可事前预言的，即在准确地重复某些条件下，
它的结果总是肯定的，或者根据它过去的状况，
在相同条件下完全可以预言将来的发展，例如，
在标准大气压下，纯水加热到 100℃ 必然沸腾 ;向
空中抛掷一颗骰子，骰子必然会下落 ;在没有外
力作用下，物体必然静止或作匀速直线运动 ;太
阳每天必然从东边升起，西边落下等等，称这一
类现象为确定性现象或必然现象,
第一章 随机事件及其概率
? 人们经过长期实践和深入研究之后,发现随机
现象在个别试验中,偶然性起着支配作用,呈现出
不确定性,但在相同条件下的大量重复试验中,却
呈现出某种规律性,随机现象的这种规律性我们
称之为统计规律性,概率论与数理统计 是研究和
揭示随机现象的统计规律性的一门数学学科,
(2)在个别试验中呈现不确定的结果，而在相同
条件下大量重复试验中呈现规律性的现象称为 随
机现象 (或 偶然现象 ).例如,在相同条件下,抛掷
一枚硬币,其结果可能是正面朝上,也可能是反面
朝上,并且在每次抛掷之前无法确定抛掷的结果
是什么,
§ 1 随机事件
?在一定条件下，并不总是出现相同结果的现象
称为 随机现象,
§ 1.1 随机试验与样本空间
（ 1）抛一枚硬币,有可能正面 H朝上，也有可能
反面 T朝上,
（ 2）抛一粒骰子,出现的点数,
（ 3）一只灯泡使用的寿命,
?在相同条件下可以重复的随机现象称为 随机试验
(Random experiment),
随机试验简称试验，并记之以英文字母 E,称试
验的每一个结果为样本点，并称全体样本点的集
合为试验的样本空间，样本点与样本空间分别用
希腊字母 ω 和 Ω 表示,
例, 设试验 E,将一枚硬币连掷两次，观察两次中
出现正面、反面的情况，此试验有 4 种结果，即 4
个样本点，样本空间是
Ω = ｛（正，正），（正，反），（反，正），（反，反）｝
其中样本点（正，正）表示第一，二次均掷出正面，其余类推,
?随机试验具有以下特点,
(1)可以在相同条件下重复进行 ;
(2)每次试验的可能结果不止一个,并且事先
明确试验的所有可能结果 ;
(3)进行一次试验之前不能确定哪一个结果会
出现,
试验的样本空间的实例
?E1:抛一枚硬币,观察正面 H、反面 T出现的情况,
则样本空间为
Ω1 ={H,T}
?E2:将一枚硬币抛掷三次,观察正面 H、反面 T出
现的情况,则样本空间为
Ω 2={HHH,HHT,HTH,THH,HTT,THT,TTH,TTT}
?E3:将一枚硬币抛掷三次,观察正面 H出现的次
数,则样本空间为
Ω 3={0,1,2,3}
?E7:记录某地一昼夜的最高温度和最低温度,则
样本空间为
Ω 7={(x,y)|T0≤x≤y≤T 1}
这里 x表示最低温度,y表示最高温度 ;并设这一
地区的温度不会小于 T0,不会大于 T1,
?E4:抛一粒骰子,观察出现的点数,则样本空间为
Ω 4={1,2,3,4,5,6}
?E5:记录电话交换台一分钟内接到的呼唤次数,
则样本空间为
Ω 5={0,1,2,3,… }
?E6:在一批灯泡中任意抽取一只,测试它的寿命,
则样本空间为
Ω 6={t|t≥0}
E 8, 从装有三个白球（记为 1, 2, 3 号）与两个
黑球（记为 4, 5 号）的袋中任取两个球,
（ 1 ） 如果观察取出的两个球的颜色,设 样本点,
ω 0 表示“取出两个白球”
ω 1 表示“取出一个白球与一个黑球”
ω 2 表示“取出两个黑球”
于是样本空间是由三个样本点构成的集合
? ?2108 ω,ω,ω?? ?
E 8, 从装有三个白球（记为 1, 2, 3 号）与两个
黑球（记为 4, 5 号）的袋中任取两个球,
（ 2 ）如果观察取出的两个球的号码，则样本点,
ω ij 表 示“取出第 i 号与第 j 号球” ? )51 ??? ji
于是样本空间是由 10C 25 ? 个样本点构成的集合
? ?453534252423151413128 ω,ω,ω,ω,ω,ω,ω,ω,ω,ω? ??
这个例子表明,试验的样本点与样本空间是根据
试验的内容而确定的,
例,抛二粒骰子的样本空间为,
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
)6,6()5,6()4,6()3,6()2,6()1,6(
)6,5()5,5()4,5()3,5()2,5()1,5(
)6,4()5,4()4,4()3,4()2,4()1,4(
)6,3()5,3()4,3()3,3()2,3()1,3(
)6,2()5,2()4,2()3,2()2,2()1,2(
)6,1()5,1()4,1()3,1()2,1()1,1(
§ 1.2 随机事件 (random event)
（ 6）空集 ? 称为 不可能事件 (Impossible event ),
（ 5）样本空间 Ω 称为 必然事件 (Certain event),
（ 4）由样本空间中的单个元素组成的子集称为
基本事件 (Basic events),
?随机现象的某些样本点组成的集合称为 随机事
件,简称 事件,
（ 2） 事件 A发生 当且仅当 A中的某个样本点出现,
（ 1）任一事件 A是相应样本空间的一个子集,
（ 3）事件可用集合 A表示，也可用语言描述,
? 例,对于试验 E2:将一枚硬币抛掷三次,
观察正面 H,反面 T出现的情况,
A2={HHH,TTT}
（ 2）事件 A2:“三次出现同一面,,则
A1={HHH,HHT,HTH,HTT}
（ 1）事件 A1:“第一次出现的是正面 H”,则
A2={HHT,HTH,THH}
（ 3）事件 A3:“出现二次正面,,则
? 例,对于试验 E6:在一批灯泡中任意抽取
一只,测试它的寿命,
B={t|0≤t<1000}
? 事件 B:“寿命小于 1000小时,,则
? 例,对于试验 E7:记录某地一昼夜的最高
温度和最低温度,
C={(x,y)|y-x=10,T0≤x≤y≤T 1}
? 事件 C:“最高温度与最低温度相差 10
度,,则
§ 1.3 事件的关系
(Relation of events )
? 设试验 E的样本空间为 Ω,而
A,B,Ak(k=1,2,… )是 Ω 的子集,
? 事件是一个集合,因而事件间的关系与事件
的运算自然按照集合论中集合之间的关系和集
合运算来处理,根据, 事件发生, 的含义,下面
给出事件的关系和运算在概率论中的提法,
§ 1.3.1 包含关系 (Inclusion relation)
?定义,若属于 A的
样本点必属于 B,
则称事件 B包含事
件 A,记为 A ? B,
?即事件 A发生必然
导致事件 B发生,
?例,抛一粒骰子，事件 A=“出现 4点”,B=“出现
偶数点”,
则事件 A发生必然导致 B发生，所以 A ? B,
事件 A 是 B 的子事件即 AB ?,换一说法：如果
事件 B 不发生必导致事件 A 也不发生,
由于必然事件在每一次试验中都发生，所以对任
何一个随机事件 A 都有
ΩA ???
,
§ 1.3.2 相等关系 (equivalent relation)
?定义,若属于 A的样本点必属于 B,且属于 B的样
本点必属于 A,则称事件 A与事件 B相等, 记为
A= B,
A＝ B ? A?B且 B?A
?例,抛二粒骰子,A=“二粒骰子点数之和为奇数”，
B=“二粒骰子的点数为一奇一偶”,
则事件 A发生必然导致 B发生，而且 B发生必然
导致 A发生，所以 A = B,
§ 1.3.3 互不相容 (Incompatible events)
?定义,若事件 A与
事件 B没有相同的
样本点,则称事件
A与 B互不相容,
?A与 B互不相容，
即事件 A与事件 B
不可能同时发生,
?A与 B互不相容 ? AB=?
§ 1.4.1 事件的并
(Union of events)
?定义,由事件 A与 B中所有
样本点（相同的样本点只
计入一次）组成的新事件
称为事件 A与 B的 并,
§ 1.4 事件的运算 (operation of events )
（ 1） A∪ B={x|x∈ A或 x∈ B}
（ 2）当且仅当 A,B中至
少有一个发生时,事件 A∪ B
发生,
?例,抛一粒骰子，事件 A=“出现点数不超过 3”，
B=“出现偶数点”,
则 A={1,2,3},B={2,4,6},
所以,A∪ B={1,2,3,4,6}
例, 有两门火炮同时向一个目标各射击一次，设
A 表示甲火炮击中目标,B 表示乙火炮击中目标,
C 表示目标被击中，则 C 表示意味着事件 A 或 B
至少有一个发生，即,
BAC ??
§ 1.4.2 事件的交
(Product of events)
?定义,由事件 A与 B中
公共的样本点组成的
新事件称为事件 A与 B
的 交,
（ 2）当且仅当 A与 B同时
发生时,事件 AB发生,
（ 1） A∩B=AB
={x|x∈ A且 x∈ B}
?例,抛一粒骰子，事件 A=“出现点数不超过 3”，
B=“出现偶数点”,
则 A={1,2,3},B={2,4,6},
所以,A∩B={2}
类似地 n 个事件 A 1, A 2,?,A n 同时发生这一
事件称为事件 A 1, A 2,?,A n 的积事件（交事件），
记作 A 1 A 2 ? A n 或
?
n
i
iA
1
i
n
1i
AΠ
?
?
?
§ 1.4.3 事件的差 (Difference of events)
? 定义,由事件 A中而不 B中的样本点组成的新事
件称为事件 A对 B的 差,
（ 1） A-B={x|x∈ A且 x∈ B}
（ 2）当且仅当 A发生,而 B不发生时,事件 A-B发生,
?例,抛一粒骰子，事件 A=“出现点数不超过 3”，
B=“出现偶数点”,
则 A={1,2,3},B={2,4,6},
所以,A-B={1,3} 问,B-A=？
A - B 是由属于 A 但不属于 B 的样本点组成的集合
§ 1.4.4 对立事件
(Opposite events)
? 定义,由在 Ω中而不
在 A中的样本点组成
的新事件称为 A的 对
立事件,
（ 1）事件 A与 B互为
对立事件 ? A∪ B= Ω
且 AB=?,
BABA ??
（ 2） A的 对立事件记
作 B=ā,
?例,抛一粒骰子，事件 A=“出现点数不超过 3”,
则 A={1,2,3}，而 Ω={1,2,3,4,5,6,},
所以,ā ={4,5,6}
事件 B 是事件 A 的对立事件（或逆事件） 是指 事
件 A 与 B 互不相容，并且它们中必有一事件发生，
即 ??BA ?, ?BA ? φ, 同 时,事件 A 也是事件 B 的对
立事件（或逆事件）记作,AB ? 或 BA ?,
显然,AA ?, ?AA φ, ΩAA ??
§ 1.4.5 事件运算的规则
1、交换律 (Exchange law),
A?B＝ B?A,AB＝ BA
2、结合律 (Combination law),
(A?B)?C＝ A?(B?C),
(AB)C＝ A(BC)
3、分配律 (Distributive law),
(A?B)C＝ (AC)?(BC),
(AB)?C＝ (A?C)(B?C)
4,De Morgan对偶律 (Dual law),
.,
,
????
???
k
k
k
k
k
k
k
k AAAA
BAABBABA
??
??
可推广
完备事件组
若事件 A 1, A 2,?,A n 两两互不相容，且
ΩAAA n21 ?????
,则称 n 个事件 A 1, A 2,?,A n
构成一个完备事件组,
例,掷一颗骰子，观察点数，令 A 表示掷出奇数点,B 表示
掷出点数不超过 3, C 表示掷出点数大于 2, D 表示掷出 5 点,
A= ｛ 1, 3, 5 ｝,B= ｛ 1, 2, 3 ｝,C= ｛ 3, 4, 5, 6 ｝,D= ｛ 5 ｝
?BA ? {1, 2, 3, 5}, ΩCB ??, A B = {1, 3}, B D = φ
?A {2, 4, 6}, ?CA {4, 6}, A - B = {5}, B - A = {2}
例,某人连续购买体育彩票，令事件 A, B, C 分别
表示其第一、二、三、次所买的彩票中奖，试用 A,
B, C 及其运算表示下列事件,
C
CBA
CBACBACBA ??
CBA ??
A B CBCACBACABCACAB ????? B?
ABC
（ 1）第三次未中奖
（ 2）第三次才中奖
（ 3）恰有一次中奖
（ 4）至少有一次中奖
（ 5）不止一次中奖
（ 6）至多中奖二次
§ 2 随机事件的概率
? 定义,随机事件 A发生可能性大小的度量 (数值 ),
称为 A发生的概率,记作 P(A),
? 对于一个随机事件 (必然事件和不可能事
件除外 )来说,它在一次试验中可能发生,也可
能不发生,我们希望知道某些事件在一次试验
中发生的可能性究竟有多大,找到一个合适的
数来表示事件在一次试验中发生的可能性大
小,
§ 2.1 概率的公理化定义
定义,设 Ω 为一个样本空间, 如果对任一事件 A,赋
予一个实数 P(A).如果集合函数 P(.)满足下列条件,
（ 1)非负性公理：对于每一事件 A,有 P(A)≥0;
(2)正则性公理,P(Ω)=1;
(3)可列可加性公理,设 A1,A2,… 是互不相容的
事件,即对于 i≠j,AiAj=?,i,j=1,2,…,则有
则称 P（ A）为事件 A的 概率 (Probability),
?
?
?
?
?
?
11
)()(
i
i
i
i APAP ?
§ 2.2 概率的统计定义
(The statistic definition of probability)
? 定义,在相同的条件下,进行了 n次试验,在这 n次
试验中,事件 A发生的次数 nA称为事件 A发生的 频数,
比值 nA/n称为事件 A发生的 频率,并记为 fn(A),
频率具有下述性质,
（ 1） 0≤f n(A)≤ 1;
（ 2） fn(Ω )=1;
（ 3） 若 A1,A2,…,Ak是两两互不相容的事件,则
§ 2.2.1 频率 (Frequency)
?
??
?
k
i
ini
k
i
n AfAf
11
)()( ?
历史上抛掷匀质硬币的若干结果
§ 2.2.2 概率的统计定义
试验者 抛掷次数 n 正面出现次 数 m 正面出现频 率 m/n
德,摩尔根 2048 1061 0.518
蒲丰 4040 2048 0.5069
皮尔逊 12000 6019 0.5016
皮尔逊 24000 12012 0.5005
维尼 30000 14994 0.4998
? 定义,在相同的条件下,进行了 n次重复
试验,在这 n次试验中,事件 A发生了 nA次,
当试验的次数 n很大时,如果事件 A发生的
频率 fn(A)=nA/n稳定在某一数值 p的附近摆
动,而且随着试验次数的增大,这种摆动的
幅度越变越小,则称数值 p为事件 A在这组
条件下发生的概率,记作 P(A)=p.这样定义
的概率称为 统计概率,
性质 1:P(?)=0,
§ 2.3 概率的性质
证明, 设 A n = ? (n = 1,2,… ),则 ???
?
?
1i
i
A,
且对于 ???
ji AAji,
,
?
?
?
?
?
???
11
)()()(
i
i
i
i APAPP ?
?
?
?
??
1
)(
i
P
于是由可列可加性得
又由 P(?)≥0得,P(?)=0
证明, 令 An+1=An+2=… =?,则由 可列可 加性 及
P(?)=0得
性质 2,若 有限个事 件 A 1,A 2,…,A n 是两两互不相容
的事件,则有
P(A 1 ∪ A 2 ∪ … ∪ A n )=P(A 1 )+P(A 2 )+ … +P(A n )
上式称为概率的 有限可加性,
)()(
111
???
?
????
??
nj
n
i
i
n
i
i APAP
??
?
???
???
11
)()(
nj
n
i
i PAP
0)(
11
??
?
???
??
nj
n
i
iAP ?
?
?
n
i
iAP
1
)(
即
性质 3:对于任一事件 A,有
)(1)( APAP ??
证明, 因为 ??AA ?,且 ??AA,因此有
)()()()(1 APAPAAPP ????? ?
)(1)( APAP ??
证明,由 A ? B知 B=A∪(B -A),且 A(B-A)=?,
性质 4:设 A,B是两个事件,若 A ? B,则有
P(B-A)=P(B)-P(A)
推论,若 A ? B，则 P(B)≥P(A)
证明,由 P(B)=P(A)+P(B-A)
又由概率的定义知 P(B-A)≥0
因此有
P(B)≥P(A)
因此由概率的有限可加性得
P(B)=P(A)+P(B-A)
从而有 P(B-A)=P(B)-P(A)
证明,因为 A-B=A-AB,且 AB ? A
性质 6:对于任意两事件 A,B，有
P(A-B)=P(A)-P(AB)
故 P(A-B)=P(A-AB)=P(A)-P(AB)
证明,因为 A ? Ω,因此有
P(A)≤P( Ω)=1
性质 5:对于任一事件 A,有
P(A)≤1
证明,因为 A∪ B=A∪ (B-AB),且 A(B-AB)=?,AB? B
故 P(A∪ B)=P(A)+P(B-AB)=P(A)+P(B)-P(AB)
)...()1(...)(
)()()(
21
1
1
111
n
n
nkji
kji
nji
ji
n
i
ii
n
i
AAAPAAAP
AAPAPAP
?
????
?????
????
??
?
???
性质 7:对于任意两事件 A,B，有
P(A∪B)=P(A)+P(B) -P(AB)
上式称为概率的 加法公式,
?概率的加法公式可推广到多个事件的情况,
设 A,B,C是任意三个事件，则有
P(A∪ B∪ C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(BC)-P(CA)+P(ABC)
?一般,对于任意 n个事件 A1,A2,…,A n,有
§ 3 古典概型与几何概率
? 具有以上两个特点的随机试验称为 古典概型,也
称为 等可能概型,
? 在概率论发展的初期主要研究具有如下两个特
点的随机试验,
(1)试验的样本空间的元素只有有限个 ;
(2)试验中每个基本事件发生的可能性相同,
§ 3.1 古典概型
例, 掷一枚均匀的硬币，只有“正面向上”或“反
面向上”两种结果，而且这两种结果出现的可能性
相同，均为 1/2
例, 从 1 0 0 件同类型的产品中，任意抽取 1 件进
行质量检查，则共有 1 0 0 种抽法，且每种出现的
可能性大小相同，均是 1%,
古典概型的计算公式
? 因此，若事件 A={ei1}∪ {ei2}∪ … ∪ {eik}包含 k个
基本事件,则有 P(A)=k/n,
? 设随机试验的样本空间为 Ω ={e1,e2,…,en},由
于在试验中每个基本事件发生的可能性相同,即有
P({e1})=P({e2})=… =P({en})
? 又由于基本事件是两两不相容的,于是有
1=P(Ω )=P({e1}∪ {e2}∪ … ∪ {en})
=P({e1})+ P({e2})+… +P({en})
=nP({ei}) i=1,2,…,n
? 所以 P({ei})=1/n
i=1,2,…,n
? 即样本空间有 4个样本点,而随机事件 A1包含 2
个样本点,随机事件 A2包含 3个样本点,故
P(A1)=2/4=1/2
P(A2)=3/4
? 例,将一枚硬币抛掷二次,设事件 A1为, 恰有
一次出现正面, ; 事件 A2为, 至少有一次出现正
面,,求 P(A1)和 P(A2),
? 解,正面记为 H,反面记为 T,则随机试验的样本
空间为
Ω ={HH,HT,TH,TT}
而 A1={HT,TH}
A2={HH,HT,TH}
例, 抛掷一颗匀质骰子，观察出现的点数，求出
现的点数是不小于 3的偶数的概率,
解 设 A表示出现的点数是大小于 3的偶数，则基
本事件总数 n=6,A包含的基本事件是“出现 4点”
和“出现 6点”即 m=2，故
3
1
6
2
P ( A ) ??
§ 3.2 排列与组合公式
乘法原理,设完成一件事需分两步，第一步有
n1种方法,第二步有 n2种方法，则完成这件事共
有 n1n2种方法 A B C
加法原理,设完成一件事可有两种途径，第
一种途径有 n1种方法，第二种途径有 n2种方
法，则完成这件事共有 n1+n2种方法。
A B
有重复排列,从含有 n个元素的集合中随机抽
取 k 次，每次取一个，记录其结果后放回，
将记录结果排成一列,
共有 nk种排列方式,
无重复排列,从含有 n个元素的集合中随机抽
取 k 次，每次取一个，取后不放回，将所取
元素排成一列,
共有 Pnk=n(n-1)… (n-k+1)种排列方式,
组合,从含有 n个元素的集合中随机抽取 k个,
k ) !(nk!
n!
k!
P
k
n
C
k
nk
n
?
????
?
?
??
?
?
?
共有 种取法,
重复组合,从含有 n个元素的集合中随机抽取 k
个，每次取一个，记录其结果后放回,
)!(nk!
1 ) !-k(n
k
1-kn
C k 1-kn
1?
?
???
?
?
??
?
? ?
??
共有 种取法,
例, 设在 100 件产品中，有 4 件次品，其余均为
正品，求
（ 1 ）这批产品的次品率；
（ 2 ）任取 3 件，全是正品的概率；
（ 3 ）任取 3 件，恰好有 2 件正品的概率,
解 设 A 为“任取 1 件产品取到次品”，
iA
表示“任
取 3 件产品取到 i 件正品”,3,2,1,0?i,
（ 1 ）基本事件总数 n 1 = 1 00, A 包含的基本事件数
m A =4
故 04.0
100
4P ( A ) ??
（ 2 ）基本事件总数 31002 Cn ?, 3A 包含的基本事件数 396C
8836.0
C
C
)P ( A
3
1 0 0
3
96
3 ??
故
故
（ 3 ）基本事件总数仍为 3
100C
，事件
2A
包含的基本事
件数 1
4
2
96 CC
1128.0
C
C
)P ( A
3
1 0 0
1
4
2
96
2 ??
C
例, 用 0,1,2,3,4,5 这六个数字排成三位数，求
（ 1 ）没有相同数字的三位数的概率,
（ 2 ）没有相同数字的三位偶数的概率,
解 设 A=没有相同数字的三位数,B表示没有相同
数字的三位偶数，则基本事件总数 n=5× 6× 6=180
（ 1）事件 A包含的基本事件数为 mA=5× 5× 4
9
5
665
455P ( A ) ?
??
???
（ 2）事件 B包含的基本事件数为 mB=4× 4× 2+5× 4=52
45
13
665
52P ( B ) ?
???
所以
所以
例, 设
2
1P ( B ),
4
1P ( A ) ??,就下列三种情况（ 1 ） A 与 B
互不相容；（ 2 ） BA ? ；（ 3 ）
8
1P ( A B ) ?,求 P （ B - A ）,
解 （ 1）由于 A与 B互不相容，即 AB=φ
则 BA ?
所以
2
1P ( B )A)P ( B ???
（ 2） BA ?
则有
4
1P ( A )P ( B )A)P ( B ????
（ 3）
( A B )BABAB ????
则有
8
3P ( A B )P ( B )A)P ( B ????
15
!2
56
)!26(!2
!62
6 ?
??
?
?? Cn
8241214 ???? CCm
15
8
)( 2
6
1
2
1
4 ??
C
CC
AP
? 例,设有同类产品 6件,其中有 4件合格品,2件不
合格品,从 6件产品中任意抽取 2件,求抽得合格品和
不合格品各一件的概率,
? 解,设 A={抽得合格品和不合格品各一件 }.因为
基本事件总数等于从 6件可以区别的产品中任取 2件
的组合数目,故有基本事件总数
且每一基本事件发生是等可能的,
? 事件 A发生是指从 4件合格品和 2件不合格品中各
抽出一件,抽取方法数,即使事件 A发生的基本事件
数为
所以事件 A发生的概率为
? 解法 1:把 a只黑球 b只白球视为可分辨的,把 a+b
只球摸出来依次排在一直线的 a+b个位置上,则可能
的排列法相当于把 a+b个元素进行全排列,即基本事
件总数为 n=(a+b)!.而有利于事件 Ak的场合相当于
在第 k个位置上放一个黑球 (共有 a种选择 ),而在其
余的 a+b-1个位置上,由其余的 a+b-1个球任意排列,
共有 m=a(a+b-1)!种排法,所以
ba
a
ba
baaAP
k ???
???
)!(
)!1()(
?例,袋中有 a只黑球,b只白球,它们除了颜色不同
外,其它方面全同,现在随机地把球一只只摸出来,
求第 k次摸出的一只是黑球 (事件 Ak)的概率,
ba
a
C
CAP
a
ba
a
ba
k ???
?
?
??
1
1)(
?这两种不同的解法,主要在于选取的样本空间不同
,而最后的答案是相同的,
解法 2,把 a 只黑球看作没有区别,b 只白球也没有区
别,把 a+ b 只球摸出来依次排在一直线的 a+b 个位置
上, 若把 a 只黑球的位置固定下来,则其它位置必然为
白球, 而黑球在 a+b 个位置中的放法共有 a
ba
C
?
,作为基
本事件总数, 有利于 A 的场合是在第 k 个位置上固定
一个黑球,其余的 a - 1 个黑球在其余的 a+b - 1 个位置
上放置,共有 1
1
?
??
a
ba
C
种放法, 因此
例, 设盒中 有 3个白球,2个红球，现从盒
中任 抽 2个 球，求取到一红一白的概率。
答,取到一红一白的概率为 0.6。
N =C52,K =C31 C21,
P(A) =C31 C21 / C52 =0.6,
解, 设 A-----取到一红一白
一般地，设盒中有 N个球，其中有 M个白球，从
中任 抽 n个 球，则这 n个 球中恰有 k白球的概率是
n
N
kn
MN
k
M
C
CC
P
?
??
例：将 3个球随机的放入 3个盒子中去，问,
（ 1）每盒恰有一球的概率是多少？
（ 2）空一盒的概率是多少？
解, 设 A:每盒恰有一球,B:空一盒,
N = 33,K = 3!,P(A) = 2/9,
P(B) = 1－ P{空两合 }－ P{全有球 }
= 1－ 3/33－ 2/9 = 2/3,
一般地，把 n个 球随机地分配到 m个盒子中去 (n?m)，
则每盒至多 有一 球的概率是,
n
n
m
m
P
p ?
思考题 某班级有 n 个人 (n?365),问至少有两个
人的生日在同一天的概率有多大？
例, 30名学生中有 3名运动员，将这 30名学生平均分
成 3组，求,
（ 1）每组有一名运动员的概率；
（ 2） 3名运动员集中在一个组的概率。
解,设 A:每组有一名运动员 ;B,3名运动员集中在一组
1 0 !1 0 !1 0 !
3 0 !
CCCN 101010201030 ??
203
50
N
9!9!9!
27!
3!
P ( A ) ??
N
CCC3
P ( B )
10
10
10
20
7
27??
!!,,,,
!
1 m
nn
n
一般地，把 n个 球随机地分成 m组
(n>m),要求第 i 组恰有 ni个球 (i=1,…m),
共有分法,
1.有放回抽样,第一次取一件产品观察其是否合
格后放回袋中,第二次再取一件产品,
2.不放回抽样, 第一次取一件产品后不放回袋中
,第二次再取一件产品,
试由上面两种抽样方法,求,
1.取到两件合格品的概率 ;
2.取到两件相同质量产品的概率 ;
3.取到的两件产品中至少有一件合格品的概率,
例,一只口袋中,装有 10件同类晶体管,其中有 8件合
格品,2件次品,从口袋中取产品 2次,每次取一件,考
虑两种情况,
解,设 A={取到两件合格品 },B={取到两件次品 },C={取到两件
相同质量的产品 },D={取到的两件产品中至少有一件合格品 }
(1)有放回抽样,第一次从 10件产品中抽 1件有 10种抽取方
法,第二次从 10件产品中抽 1件也有 10种抽取方法,故有
10× 10种可能的取法,每一种取法是一基本事件,且发生的
可能性是相同的,所以基本事件总数为 n=10× 10=100,
使 A发生的基本事件是第一次抽到合格品,且第二次也抽
到合格品,共有 mA=8× 8=64种取法,于是
P(A)= mA/n=64/100
同理 B包含的基本事件数 mB=2× 2=4.所以
P(B)= mB /n=4/100
由于 C=A+B,且 AB=?,所以
P(C)=P(A+B)=P(A)+P(B)=0.64+0.04=0.68
P(D)=1-P(B)=1-0.04=0.96
(2)不放回抽样, 第一次从 10件产品中抽 1件有 10种抽取
方法,第二次从 9件产品中抽 1件有 9种抽取方法,故有
10× 9种可能的取法,所以样本空间的基本事件总数为
n=10× 9=90,
两次均抽到合格品共有 mA=8× 7=56种取法,即 A包含的基本
事件数为 56.于是
P(A)=56/90
同理 B包含的基本事件数 mB=2× 1=2.所以
P(B)=2/90
由于 C=A∪ B,且 AB=?,所以
P(C)=P(A∪ B)=P(A)+P(B)=0.622+0.022=0.644
P(D)=1-P(B)=1-0.022=0.978
解,设 A={指定的 n个盒子各有一球 },
B={恰有 n个盒子各有一球 },
由于每个球都可以放入 N个盒子中的任一个,共有 N种不同
的放法,于是 n个球放进盒子就有 Nn种不同的放法,而每一
放法就是一个基本事件,且发生的可能性是相同的,所以基
本事件总数为 Nn个
nNCn!
n
n
N
N
Cn
BP
!
)( ?
例,将 n个球随机地放入 N(N≥n) 个盒子中去,每个球都能以同
样的概率 1/N落入 N个盒子中的每一个,试求,
1.指定的 n个盒子各有一球的概率 ;
2.恰有 n个盒子各有一球的概率,
指定的 n个盒子各有一球,共有 n(n-1)(n-2)… 1=n!种可能
的放法,于是
P(A)=n!/Nn
恰有 n个盒子各有一球,共有 可能的放法,于是
有许多问题和本例具有相同的数学模型,如历史上有名的
,生日问题,,假设每个人的生日在一年 365天中的任一
天是等可能的,那么随机选取 n(n≤365) 个人,令 A={n个人
中至少有两个人的生日相同 },则 Ac={ n个人的生日全不
相同 }.而
)!365(365
!365
365
!)( 3 6 5
n
CnAP
nn
n
c
?
??
)!3 6 5(3 6 5
!3 6 51)(
n
AP n
?
??
经计算可得下述结果,
n 10 20 23 30 40 50 100
P(A) 0.12 0.41 0.51 0.71 0.89 0.97 0.9999997
故得 P(A)=333/2000 P(B)=250/2000
因而所求的概率为
例,在 1至 2000的整数中随机地取一个数,问取到的整数既不
能被 6整除,又不能被 8整除的概率是多少?
解,设 A={取到的数能被 6整除 },B={取到的数能被 8整除 },
由于 333<2000/6<334 2000/8=250
又由于一个数同时能被 6与 8整除,就相当于能被 24整除,因
此由 83<2000/24<84
得 P(AB)=83/2000
)BA(P1)BA(P)BA(P ?? ???
)AB(P)B(P)A(P1 ????
=1-333/2000-250/2000+83/2000=3/4
? 设样本空间 Ω为一有界几何体, 事件 A包含于
Ω,用 L表示几何体的测度,
§ 3.3 几何概率
注,当几何体为一线段时，测度为长度；当几何体
为平面上的某一区域时，测度为面积；当几何体
为空间的某一区域时，测度为体积,
?定义,设事件 A为样本空间 Ω中的某个小区域，
如果它的测度为 L(A)，且点落入 A中的可能性大
小与 L(A)成正比，而与 A的位置及形状无关,则事
件 A的概率 为
P(A)=L(A)/L(Ω)
这一类概率通常称作 几何概率,
? 解,以 x,y分别表示甲乙两人到达的时刻,那末
0?x?T,0?y?T,
若以 x,y表示平面上点的坐标，则,
? 例,(会面问题 )甲,乙两人相约在 0到 T这段时间内,
在预定地点会面, 先到的人等候另一个人,经过时
间 t(t<T)后离去, 设每人在 0到 T这段时间内各时刻
到达该地是等可能的,且两人到达的时刻互不牵连,
求甲,乙两人能会面的概率,
（ 1）所有基本事件可以用一边长为 T正方形
内所有点表示,
（ 2）两人能会面的条件是 |x-y|?t,
由等可能性知，所求
概率为
O t T x
t
T
A
2
2
22
11
)(
?
?
?
?
?
?
???
??
??
T
t
T
tTT
正方形面积
阴影部分面积
P(A)= SA / SΩ
?
?
S
S
AP A)(
例,(Buffon投针问题 ) 1777年法国科学家蒲丰提出
了下列著名问题，这是几何概率的一个早期例子,
平面上画着一些平行线，它们之间的距离都等于
a，向此平面任投一长度为 l(l<a)的针，试求此针与
任一平行线相交的概率,
? 解,以 x表示针的中点与
最近一条平行线间的距
离,又以 φ 表示针与此直
线间的交角,
?易知样本空间满足,
2
0 ax ?? ?? ??0
a
l
a
dl
g
p
?
?
??
2
2
1
s i n
2
1
G
??
?
＝
的面积
的面积
?s in
2
lx ?
满足这个不等式的区域为图中用阴影部分 g
它是平面上一个矩 形
?针与平行线相交 的充要条件是
所求的概率为
蒙特卡罗 (Monte-Carlo)法
an
lN2
??
?a
l
AP
N
n 2
)( ??
由频率 n/N 作为概率 P(A ) 的估计值，得
从而 得
1
30°
解：设
在如图所示的边长为 2 的正方形中 随 机投点，求该
点落在三角形区域的概率，由此估计无理数 3 的值,
则由投点的随机性,这是一个几何概型的概率
计算问题, 样本空间 Ω 所对应正方形区域的面
为 42 2 ?,事件 A 所对应区域的面积为
2
3
?
?
?
?
?
?
?
该点落在三角形区域
在正方形内随机投点
A
由几何概型概率的计算公式，得
8
3
)( ?AP
()n PA
N
?
8
3
?
N
n
N
n8
3 ?
如此，可以估算所求无理数的数值。
在正方形区域内随机取点 N次，数出落在三角形区
域内的次数 n,用事件发生的频率估计其概率得,
§ 4乘法公式与全概率公式
? 例,将一枚硬币抛掷两次,观察其出现正反面的
情况,设事件 A={至少有一次为正面 H},事件 B={两
次掷出同一面 },求已知事件 A发生的条件下事件 B
发生的概率,
)(
)()|(
AP
ABPABP ?
? 解,样本空间为 Ω={HH,HT,TH,TT},B={HH,TT},
A={HH,HT,TH}.若记已知事件 A发生的条件下事件 B
发生的概率为 P(B|A),则有 P(B|A)=1/3
易知 P(A)=3/4,P(AB)=1/4,
P(B|A)=1/3=(1/4)/(3/4),
故有
§ 4.1 条件概率
例,某厂有甲，乙两个车间生产同一种型号的产品，
结果如 下 表，从这 1 0 0 件产品任取一件，设 A 表
示取到合格品,B 表示取到甲车间产品，则 A 表示
取到次品,B 表示取到乙车间产品，求 P （ A ）,P
（ B ）,P （ AB ）,B)P ( A,
合 格 品 数 次 品 数 总 数
甲车间产品数 54 6 60
乙车间产品数 32 8 40
总 数 86 14 100
解
86.0
100
86P ( A ) ??
6.0
1 0 0
60
P ( B ) ??
54.0
100
54P ( A B ) ??
而求 P(A|B)实质上是求在事件 B发生的条件下 A
发生的概率（即甲车间生产的合格品率），由
于甲车间产品有 60件，而其中合格品有 54件
所以
9.0
60
54
B)|P ( A ??
从此例看出，
B)P ( AP ( A ) ?
，这是因为 P （ A ）是整
批产品中的合格品率，这时样本空间是该厂生产的
100 件产品中考虑的，所以 P （ A ） =0, 8 6,而
B)P ( A
是已知事件 B 发生的条件下,A 发生 的概率，即是
求甲车间产品中的合格品率，此时是在缩小了的样
本空间（甲车间生产的 60 件产品）中考虑，进一
步分析，还可以发现
P ( B )
P ( A B )
100
60
100
54
60
54
B)|P ( A ???
? 对于一般的古典概型,设试验的基本事件总
数为 n,A所包含的基本事件数为 m(m>0),AB所包
含的基本事件数为 k,记已知事件 A发生的条件
下事件 B发生的概率为 P(B|A),则有
)(
)()|(
AP
ABP
m
kABP ??
? 对于几何概型，如果在正方形内等可能投点，
若已知 B发生，则 A发生的概率为
)(
)(
/
/
)|(
BP
ABP
SS
SS
S
S
ABP
B
AB
B
AB ???
?
?
§ 4.1 条件概率 (Conditional Probability)
定义,设 A,B是两个事件,且 P(A)>0,称
)(
)()|(
AP
ABPABP ?
为在事件 A发生的条件下事件 B发生的 条件概率,
?条件概率是指在事件 A发生的条件下，另一事
件 B发生的概率，记用 P（ B|A）,
条件概率的性质
条件概率符合概率定义中的三个条件,即
?(1)对于任一事件 B,有 P(B|A)≥0;
?(2)P(Ω|A)=1;
?(3)可列可加性,设 B1,B2,… 是两两互不相容
的事件,则有
P[(B1|A） ∪ （ B2|A） ∪ … ]=P(B1|A)+P(B2|A)+…
?因此,概率中的一些重要结果都适用于条件概率,
例, 市场上供应的灯泡中，甲厂产品占 7 0 %,乙厂
占 3 0 %,甲厂产品的合格品率是 9 5 %,乙厂的合格品
率是 8 0 %,若用事件 B, B 分别表示甲、乙两厂的
产品,A 表示产品为合格品，试求下列事件的概率：
P （ B ）,)BP(,
B)P ( A
，
)BP ( A
，
)BAP(
，
B)AP(
，
)BAP(
,
解 依题意 P（ B） =70%
%30)BP( ?
95%B)P ( A ? 80%)BP ( A ?
%5)BAP( ? %20)BAP( ?
例, 考虑恰有两个小孩的家庭，若已知某一家有
男孩求这家有两个男孩的概率；若已知某家第一
个是男孩，求这家有两个男孩（相当于第二个也
是男孩）的概率（假定生男生女为等可能）
解：设 B 表示有男孩,A 表示有两个男孩,B 1 表示第一
个是男孩，我们有
Ω ={ （男，男），（男，女），（女，男），（女，女） }
B={ （男，男），（男，女），（女，男） }, A= { （男，男） }
B 1 ={ （男，男），（男，女） }
于是得
43P ( B ) ? 4
1P ( A )P ( A B ) ??
4
1P ( A ))P ( A B
1 ??
所求的两个条件概率为
3
1
4
3
4
1
P ( B )
P ( AB )
B)|P ( A ???
2
1
2
1
4
1
)P ( B
)P ( AB
)B|P ( A
1
1
1 ???
?例,设 100件产品中有 5件次品,从中任取两次,每
次取一件,作不放回抽样,设 A={第一次抽到合格
品 },B={第二次抽到次品 },求 P(B|A),
? 解法 1:在 A已发生的条件下,产品数变为 99件,
其中次品数仍为 5件,所以
P(B|A)=5/99
? 解法 2:从 100件产品中连续抽取 2件 (抽后不放
回 ),其样本空间 S的基本事件总数为 100× 99,使
AB发生的基本事件数为 95× 5,
于是 P(AB)=(95× 5)/(100× 99),又 P(A)=95/100
故有 P(B|A)=5/99
? 解法 3:因为样本空间 Ω的基本事件总数为
100× 99
其中使 A发生的基本事件数为
95× 5+ 95× 94
在 A发生的条件下 B发生的基本事件数为
95× 5
所以
P(B|A)=5/99
?例,设 100件产品中有 5件次品,从中任取两次,每
次取一件,作不放回抽样,设 A={第一次抽到合格
品 },B={第二次抽到次品 },求 P(B|A),
§ 4.2 概率的乘法公式
由条件概率定义可得下面定理
? 乘法定理,若 P(A)>0,则有
P(AB)=P(B|A)P(A)
上式称为 乘法公式 (Multiplication formula),
? 乘法公式可以推广到任意有限个事件的情况,
? 设 A1,A2,…,An为试验 E中的 n个事件,且
P(A1A2… An-1)>0,
则有
P(A1A2… An)=
P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)… P(An|A1A2… An-1)
例, 一个盒子中有 6只白球,4只黑球，从中不放
回地每次任取 1只，连取 3次，求第三次才取得白
球的概率,
解 设事件 A i 表示第 i 次取得白球（ i = 1, 2, 3 ）
按题意即指第一次取得黑球，第二次取得黑球，
第三次取得白球也就是事件
321 AAA
易知
10
4)AP(
1 ? 9
3)A|AP(
12 ? 8
6)AA|P ( A
213 ?
)AAAP( 321 )AA|) P ( AA|A) P (AP(
213121?
8
6
9
3
10
4 ???
例,袋中装有两个红球和三个白球,从中依次取出
两个,求两个都是红球的概率,
?解,设 A1={第一次取得红球 },A2={第二次取得红
球 },
?(1)若用, 不放回抽样,,则
P(A1A2)=P(A1)P(A2|A1)=(2/5)× (1/4)=0.1
?(2)若用, 有放回抽样,,则
P(A1A2)=P(A1)P(A2|A1)=(2/5)× (2/5)=0.16
? 例,设某光学仪器厂制造的透镜,第一次落下时打
破的概率为 1/2;若第一次落下未打破,第二次落
下时打破的概率为 7/10;若前二次落下未打破,第
三次落下时打破的概率为 9/10.试求透镜落下三
次而未打破的概率,
?解法 1,设 Ai={ 透镜第 i 次落下未打
破 }(i=1,2,3),B={透镜落下三次而未打破 },则
B=A1A2A3,故有
?P(B)=P(A1A2A3)=P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)
=(1-1/2)(1-7/10)(1-9/10)=3/200
例,设某光学仪器厂制造的透镜,第一次落下时打破的概
率为 1/2;若第一次落下未打破,第二次落下时打破的概率
为 7/10;若前二次落下未打破,第三次落下时打破的概率
为 9/10.试求透镜落下三次而未打破的概率,
? 解法 2,按题意知
321211
AAAAAAB ???
? 而
321211
,,AAAAAA
是两两互不相容的事件,故有
?
)()()()(
321211
AAAPAAPAPBP ???
?
)|()|()()|()()()(
2131211211
AAAPAAPAPAAPAPAPBP ???
= 1 / 2 + 7 / 1 0 ( 1 - 1/2)+9 / 10 (1 - 1/2)(1 - 7/1 0)
= 1 9 7 / 2 0 0
所以
2 0 0
3
2 0 0
1 9 7
1)(1)( ????? BPBP
? 例,一个盒子中有 n(n>1)只晶体管,其中有一只
次品,随机地取一只测试,直到找到次品为止,求
在第 k(1≤k≤n) 次测试出次品的概率,
?解,设 Ai={第 i次测试的是正品 },Bk={第 k次测试
到次品 },则
P(Bk)=P(A1A2...Ak-1āk)
=P(A1) P(A2| A1)..,P(Ak-1 |A1A2...Ak-2)
P(āk|A1A2...Ak-1)
=[(n-1)/n][(n-2)/(n-1)]…
[(n-k+1)/(n-k+2)][1/(n-k+1)]
=1/n (1≤k≤n)
? 例：有外形相同的球分装三个盒子，每
盒 10个。其中，第一个盒子中有 7个球标
有字母 A,3个球标有字母 B；第二个盒
子中有红球和白球各 5个；第三个盒子中
有红球 8个，白球 2个。试验按如下规则
进行：先在第一个盒子中任取一球，若
取得标有字母 A的球，则在第二个盒子中
任取一球；若第一次取得标有字母 B的球，
则在第三个盒子中任取一球。如果第二
次取出的球是红球，则称试验成功。求
试验成功的概率。
? 解,令 A={从第一个盒子中取得标有字母 A的球 },
B={从第一个盒子中取得标有字母 B的球 },
R={第二次取出的球是红球 },
W={第二次取出的球是白球 }。
则易知,P(A)=7/10,P(B)=3/10,
P(R|A)=1/2,P(W|A)=1/2,
P(R|B)=4/5,P(W|B)=1/5
于是,试验成功的概率为
P(R)=P(RS)=P[R(A+B)]=P(RA+RB)
=P(RA)+P(RB)
=P(A) P(R|A)+P(B) P(R|B)
=(7/10)(1/2)+(3/10)(4/5)=0.59
? 计算过程如下图的概率树,
红 P(R|A)=0.5
第二次
A P(A)=0.7 白 P(W|A)=0.5
第一次 红 P(R|B)=0.8
B P(B)=0.3
第二次
白 P(W|B)=0.2
§ 4.3 全概率公式
? 定义,设 Ω为试验 E的样本空间,B1,B2,…,Bn为 E
的一组事件,若
( 1)BiBj=?,i≠j,i,j= 1,2,…,n;
( 2)B1∪B 2∪ … ∪B n=Ω
? 则称 B1,B2,…,Bn为样本空间 Ω的一个 划分,
? 若 B1,B2,…,Bn是样本空间 Ω的一个划分,那么,
对于每次试验,事件 B1,B2,…,Bn中必有一个且
仅有一个发生,
? 定理,设 Ω为试验 E的样本空间,B1,B2,…,Bn为样
本空间 Ω的一个划分,A为 E的一个事件,且
P(Bi)>0(i=1,2,…,n),则
P(A)=P(B1)P(A|B1)+P(B2)P(A|B2)+… +P(Bn)P(A|Bn)
上式称为 全概率公式 (Complete probability
formula),
?证明,因为
A=AΩ=A(B1 ∪ B2 ∪ … ∪ Bn)=AB1 ∪ AB2 ∪ … ∪ ABn
由假设 BiBj=?,i≠j,知
(ABi)(ABj)=?,i≠j,且 P(Bi)>0(i=1,2,…,n),得到
P(A)=P(AB1)+P(AB2)+… +P(ABn)
=P(B1)P(A|B1)+P(B2)P(A|B2)+… +P(Bn)P(A|Bn)
例, 有十个袋子，各袋中装球的情况如下,
（ 1 ）两个袋子中各装有 2 个白球与 4 个黑球；
（ 2 ）三个袋子中各装有 3 个白球与 3 个黑球；
（ 3 ）五个袋 子中各装有 4 个白球与 2 个黑球,
任选一个袋子，并从其中任取 2 个球，求取出的
2 个球都是白球的概率,
解 设事件 A表示取出的 2个球都是白球，事件 Bi
表示所选袋子中装球的情况属于第 i种（ i=1,2,3）
10
2)P (B
1 ?
易知
10
3)P ( B
2 ? 10
5)P ( B
3 ?
15
1
C
C
)B|P ( A
2
6
2
2
1 ?? 15
3
C
C
)B|P ( A
2
6
2
3
2 ??
15
6
C
C
)B|P ( A
2
6
2
4
3 ??
于是按全概率公式所求的概率
?
?
?
3
1
ii )B|) P ( AP ( BP ( A )
i
273.0
15
6
10
5
10
3
10
3
15
1
10
2 ???????
例, 某工厂生产的产品以 1 0 0 个为一批，进行抽样
检查时，只从每批中抽取 10 个来检查，如果发现
其中有次品，则认为这批产品是不合格的假定每一
批产品中的次品最多不超过 4 个，并且其中恰有
i (i =0, 1, 2, 3, 4) 个次品的概率如下 表,求各批产
品通过检查的概率,
一批产品中有次品数 0 1 2 3 4
概 率 0,1 0,2 0,4 0,2 0,1
解 设事件 Bi是一批产品中有 i个次品（ i=0,1，
2,3,4），设事件 A是这批产品通过检查，即
抽样检查的 10个产品都是合格品
则有 P（ A|B0） =1
9 0 0.0
C
C
)B|P ( A
10
100
10
99
1 ??
8 0 9.0
C
C)B|P ( A
10
1 0 0
10
98
2 ?? 7 2 7.0
C
C)B|P ( A
10
100
10
97
3 ??
652.0
C
C
)B|P ( A
10
1 0 0
10
96
4 ??
所求的概率
? ??
?
4
1
ii 8142.0)B|) P ( AP ( BP ( A )
i
? 例,有三个形状相同的箱子,在第一个箱中有两个正品,
一个次品 ;在第二个箱中有三个正品,一个次品 ;在第三
个箱中有两个正品,两个次品,现从任何一个箱子中,任
取一件产品,求取得的是正品的概率,
?解,设 Bi={从第 i个箱子中取到产品 }(i=1,2,3),A={取
得正品 }.由题意知 Ω=B1+B2+B3且 B1,B2,B3是两两互不相
容的事件,
P(B1)=P(B2)=P(B3)=1/3
P(A|B1)=2/3,P(A|B2)=3/4,P(A|B3)=2/4=1/2
由全概率公式得
P(A)=P(B1)P(A|B1)+P(B2)P(A|B2)+P(B3)P(A|B3)
=0.64
§ 4.4 贝叶斯公式 (Bayesian formula)
? 在全概率公式中我们知道,引起事件 A发
生的原因有 B1,B2,…,Bn等多种,在实际
问题中,常遇到已知事件 A已经发生,要
求出事件 A发生是由某种原因 Bk引起的
概率 P(Bk|A),
? 例：有外形相同的球分装三个盒子，每盒
10个。其中，第一个盒子中有 7个球标有
字母 A,3个球标有字母 B；第二个盒子中
有红球和白球各 5个；第三个盒子中有红
球 8，白球 2个。试验按如下规则进行：先
在第一个盒子中任取一球，若取得标有字
母 A的球，则在第二个盒子中任取一球；
若第一次取得标有字母 B的球，则在第三
个盒子中任取一球。如果第二次取出的球
是红球，则称试验成功。若试验成功，求
第二次取出的红球是从第二个盒子取得的
概率。
? 解,P(A|R)=P(AR)/P(R)
=P(A)P(R|A)/P(R)
=0.7× 0.5/0.59
=35/59
? 假若我们事先没有求出 P(R),则一般有,
P(A|R)=P(AR)/P(R)
=P(A)P(R|A)/P(R)
=P(A)P(R|A)/[P(A) P(R|A)+P(B) P(R|B)]
证明,由条件概率的定义及全概率公式有
ni
BAPBP
BAPBP
ABP
n
j
jj
ii
i,...,2,1
)|()(
)|()(
)|(
1
?
?
?
ni
BAPBP
BAPBP
AP
ABP
ABP
n
j
jj
iii
i,...,2,1
)|()(
)|()(
)(
)(
)|(
1
???
?
?
定理, 设 Ω 为试验 E 的样本空间,B 1,B 2,?,B n
为样本空间 Ω 的一个划分,A 为 E 的一个事
件,且 P( A) >0,P( B i ) >0 (i = 1,2,?,n),则
上式称为 贝叶斯 (逆概率 )公式,
例,无线电通讯中,发报台分别以概率 0.6和 0.4发
出信号,,”和, -”.由于干扰,发出信号,,”时,
收报台以概率 0.98收到信号,,”,发出信号, -”
时,收报台以概率 0.99收到信号, -”.求在收报
台收到信号, -”的条件下,发报台发出信号,,”
的概率,
029.0
99.04.002.06.0
02.06.0
)|()()|()(
)|()(
)(
)(
)|(
222121
121
2
12
21
?
???
?
?
?
?
?
BAPBPBAPBP
BAPBP
AP
BAP
ABP
?解,设 B1={发出信号,.”},B2={发出信号,-
”},A1={收到信号,.”},A2={收到信号,-”}.由于
B1B2=?,B1∪ B2= Ω,A2=A2B1 ∪ A2B2,于是
?解,由贝叶斯公式得
P(C|A) =P(AC)/P(A)
例, 根据以往的临床录,某种诊断癌症的的试验具有如
下的效果, 若记 A={ 试验反应为阳性 },C={ 被诊断者患有
癌症 },则有 P(A|C )=0,95,)|( CAP =0.95,现在对自然人群
进行普查,设被试验的人患有癌症的概率 P(C)=0.005,试
求 P(C|A),
=0.005× 0.95/[0.005× 0.95+(1-0.005× (1-0.95)]
=0.087
)]|()()|()(/[)|()( CAPCPCAPCPCAPCP ??
§ 5 事件的独立性
? 设 A,B是两事件,若 P(A)>0,可以定义
P(B|A).一般,A的发生对 B发生的概率是
有影响的,这时 P(B|A)≠P(B),若 A的发生
对 B 发 生 的 概 率 没 有 影 响,则有
P(B|A)=P(B),这时有
P(AB)=P(A)P(B|A)=P(A)P(B),
? 例,分别掷两枚硬币,观察其出现正面 (H)和反
面 (T) 的情况, 设事件 A={甲币出现正面
H},B={乙币出现正面 H},则试验的样本空间为
Ω={HH,HT,TH,TT}
A={HH,HT},B={HH,TH},AB={HH}
所以
P(A)=2/4=1/2,P(B)=2/4=1/2,
P(B|A)=1/2,P(AB)=1/4
从而有 P(B|A)=P(B),P(AB)=P(A)P(B).事实上,显
然甲币是否出现正面与乙币是否出现正面是互
不影响的,
例, 一个袋子中装有 6 只黑球,4 只白球，采用有
放回的方式摸球，求
（ 1 ）第一次摸到黑球的条件下，第二次摸到黑
球的概率；
（ 2 ）第二次摸到黑球的概率,
解 设 A表示第一次摸到黑,B表示第二次摸黑球，则
（ 1）
10
6P (A ) ?
2
2
10
6P ( A B ) ?
所以
10
6
10
6
10
6
A)|P ( B
2
2
??
（ 2）
B)AP(P ( A B )B)AP ( A BP ( B ) ????
)A|) P ( BAP(A)|P ( A ) P ( B ??
10
6
10
6
10
4
10
6
10
6
?????
注意到 P（ B|A） =P（ B）即事件 A发生与否对事件 B
发生的概率没有影响，从直观上看，这是很自然的，
因为我们采用的是有放回的摸球，第二次摸球时袋
中球的构成与第一次摸球时完全相同，因此，第一
次摸球的结果当然不会影响第二次摸球，在这种场
合下我们说事件 A与事件 B相互独立,
§ 5.1 两个事件的独立性
? 定义,设 A,B是两事件,如果具有等式
P(AB)=P(A)P(B)
则称 A,B为 相互独立 (Mutual independence)的事件,
定义, 设 A,B为任意两个随机事件，如果
P（ B|A） =P（ B）
即事件 B发生的可能性不受事件 A的影响，则称事
件 B对于事件 A独立,
? 定理,零概率事件与任何事件都是互相独
立的,
证明,设 P(A)=0,B为任一事件,
因为
AB ? A
所以
0=P(AB)≤P(A)
故
P(AB)=0=0P(B)=P(A)P(B)
? 定理,概率为 1的事件与任何事件都是互相独立的,
证明,设 P(A)=1,B为任一事件,则
1=P(A)≤P(A+B)≤1
所以 P(A+B)=1
又 P(A∪ B)=P(A)+P(B)-P(AB)
故 P(AB)=P(B)=P(A)P(B)
证明,
? 定理, 若事件 A 与事件 B 相互独立,则 A 与
B,A 与 B,A 与 B 也相互独立,
"," 独立与相互独立只证 BABA ?
??BB ?因为
BAABBBAAA ???? ???? )(所以
??BAAB ?又因为
)()()( BAPABPAP ??因此
)()()( ABPAPBAP ??所以 )()()( BPAPAP ??
)](1)[( BPAP ?? )()( BPAP?
? 定理,若 P(A)>0,P(B)>0,则 A,B相互独立与 A,B
互不相容不能同时成立,
证明,(1)若 A,B相互独立,则
P(AB)=P(A)P(B)≠0
即 A,B是相容的,
(2)若 A,B互不相容,则
AB=?,P(AB)=0,
因此 0=P(AB)≠ P(A)P(B)>0
? 定理,设 A,B是两事件,且 P(A)>0.则 A,B相互独
立的充要条件是 P(B|A)=P(B)
证明,(必要性 )若 A,B相互独立,即
P(AB)=P(A)P(B),
又 P(A)>0,则
P(B|A)=P(AB)/P(A)
=P(A)P(B)/P(A)
=P(B)
(充分性 )若 P(B|A)=P(B),则
P(AB)=P(A)P(B|A)=P(A)P(B)
? 例,甲, 乙两个战士打靶,甲的命中率为 0.9,乙
的命中率为 0.85,两人同时射击同一目标,各打
一枪,求目标被击中的概率,
解,设 A={甲击中目标 },B={乙击中目
标 },C={目标被击中 },则
P(C)=P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)
=P(A+B)=P(A)+P(B)-P(A)P(B)
=0.9+0.85-0.9× 0.85=0.985
? 例,设一个产品分二道工序独立生产,第一道工
序的次品率为 10%,第二道工序的次品率为 3%.
问该产品的次品率是多少?
)()()()( 2121 APAPAAPAP ??
?解法 1:设 A={任取一件产品为正品 },B={任取一
件产品为次品 },Ai={第 i道工序为正品 }(i=1,2),
则
=(1-10%)(1-3%)=0.873
所以 P(B)=1-P(A)=1-0.873=0.127
)](1)][(1[ 21 APAP ???
? 解法 2,
? 例,设一个产品分二道工序独立生产,第一道工
序的次品率为 10%,第二道工序的次品率为 3%.
问该产品的次品率是多少?
)()( 21 AAPBP ??
)()()( 2121 AAPAPAP ????
)()()()( 2121 APAPAPAP ???
=10%+3%-10%× 3%
=0.127
§ 5.2多个事件的独立性
? 定义,设 A,B,C是三事件,如果具有等式
P(AB)=P(A)P(B)
P(BC)=P(B)P(C)
P(CA)=P(C)P(A)
则 称 三 事 件 A,B,C 两 两 独 立 （ independence
between them ）,
?定义,设 A,B,C是三事件,如果具有等式
P(AB)=P(A)P(B)
P(BC)=P(B)P(C)
P(CA)=P(C)P(A)
P(ABC)=P(A)P(B)P(C)
则称三事件 A,B,C为 相互独立 （ independence
each other ）的事件,
定义,设 A1,A2,…,An是 n个事件,如果对于任意
的 1≤i<j≤n 有
P(AiAj)=P(Ai)P(Aj)
则称这 n个事件 A1,A2,…,An是 两两独立的,
?定义,设 A1,A2,…,A n是 n个事件,如果对于任意
k(1<k≤n),任意 1≤i1<i2<…<ik≤n,具有等式
P(Ai1Ai2…A ik)=P(Ai1)P(Ai2)…P(A ik)
则称 A1,A2,…,A n为 相互独立 的事件,
注意,一组事件两两独立并不能保证它们相互独立,
? 例,设袋中有 4个球,其中 1个涂成白色,1个涂成红
色,1个涂成黄色,1个涂有白,红,黄三种颜色,今
从袋中任取一球,设
A={取出的球涂有白色 },B={取出的球涂有红
色 },C={取出的球涂有黄色 }
试验证事件 A,B,C两两独立,但不相互独立,
验证,易知
P(A)=P(B)=P(C)=1/2,
P(AB)=P(BC)=P(CA)=1/4
所以 P(AB)=P(A)P(B)
P(BC)=P(B)P(C)
P(CA)=P(C)P(A)
即事件 A,B,C两两独立,
但是
P(ABC)=1/4≠
P(A)P(B)P(C)=1/8
P(ABC)≠ P(A)P(B)P(C)
故 A,B,C不相互独立,
§ 5.3 系统的可靠性
? 独立性的作用在系统的可靠性分析中体现
得最为完美,假设某系统由若干个元件联结
而成,而每个元件可能正常工作,也可能失
效,我们称元件能正常工作的概率为该元件
的可靠性,而系统的可靠性是该系统能正常
工作的概率,在下面我们假设各元件是否能
正常工作是相互独立的,记 Ai={第 i个元件
正常工作 },P(Ai)=pi,i=1,2,…,n,由假设 A1,
A2,…,An 相互独立,
串联系统的可靠性
? 由 n 个元件串联而成的系统,只要有一个
元件失效,该系统就失效,因此串联系统的
可靠性为,
p串 =P(A1A2 …A n )
= P(A1) P( A2 ) … P( An )
= p1 p2,.,pn
元件 1 元件 2 元件 n
并联系统的可靠性
? 由 n 个元件并联而成的系统,
只要有一个元件正常工作,则
该系统就不会失效,因此并联
系统的可靠性为,
? 示意图
元件 1
元件 2
元件 n
)( 21 nAAApp ?????并
)(1 21 nAAApp ???并
)()()(1 21 nAPAPApp ???并
)1()1)(1(1 21 npppp ????? ?并
? 例,设由 5个元件组成的系
统如图 1所示,元件的可靠性
分别为 p1,p2,...,p5, 求系
统的可靠性,
? 示意图 1
1 3
2 4
5
示意图 2
1
2
3
4
解,记 Ai={第 i个元件正常工
作 },i=1,2,…,5
(1)若元件 5正常工作,则系统
变为如图 2,它的可靠性为
[1-(1- p1)(1- p2)] [1-(1- p3)(1- p4)]
(2)若元件 5失效,则系统变为如图 3
示意图 3
1
2
3
4
它的可靠性为 1-(1- p1 p3)(1- p2 p4)
由全概率公式知,原系统的可靠性为
p5[1-(1- p1)(1- p2)] [1-(1- p3)(1- p4)]
+(1- p5)[1-(1- p1 p3)(1- p2 p4)]
例, 加工某一种零件需要经过三道工序，设三道工
序的次品率分别为 2%, 3%, 5%,假设各道序是
互不影响的，求加工出来的零件的次品率,
解,设事件 Ai为第 i道工序出现次品（ i=1,2,3），
因为加工出来的零件是次品（设为事件 A），也就
是至少一道工序出现次品
所以有
321 AAAA ???
)AAAP(1)AP(1P ( A ) 321 ??????
=1-98%× 97%× 95%=0.09693
)A) P (A) P (AP(1 321??
方法 1,
方法 2,
)AAP ( AP ( A ) 321 ???
)P ( A)P ( A)P ( A 321 ???
)AAP ( A 321?
)AP ( A)AP ( A)AP ( A 323121 ???
))P(AP ( A))P(AP ( A))P(AP ( A 323121 ???
)P ( A)P ( A)P ( A 321 ???
)) P ( A) P ( AP ( A 321?
=2%+3%+5%-2%× 3%-2%× 5%-3%× 5%
+2%× 3%× 5% =0.09693
例,某彩票每周开奖一次，每一次提供十万分
之一的中奖机会，若你每周买一张彩票，尽管你
坚持十年（每年 52周）之久，你从未中过一次奖
的概率是多少？
解 按假设，每次中奖的概率是 10-5
于是每次未中奖的概率是 1-10-5
十年共购买彩票 520次，每次开奖都是相互独立的
故十年中未中过奖（每次都未中奖）的概率是
P=（ 1-10-5） 520≈0.9948
? 例,设有 8门大炮独立地同时向一目标各射击一
次,若有不少于 2发炮弹命中目标时,目标就被
击毁,如果每门炮命中目标的概率为 0.6,求目
标被击毁的概率,
解,8门大炮独立地同时向一目标各射击一次,相当
于 8重贝努里试验,所求概率为
p= p8(2)+ p8(3)+…+ p 8(8)
=1- p8(0)- p8(1)
=1- C800.60× 0.48+C810.61× 0.47
=0.991
? 例,某人有一串 m把外形相同的钥匙,其中只有一
把能打开家门,有一天该人醉后回家,下意识地
每次从 m把钥匙中随便拿一把去开门,问该人在
第 k次才把门打开的概率是多少?
解,设 A={被取的钥匙能打开门 }
B={第 k次才把门打开 }
由于
P(A)=1/m,P(ā)=1-1/m
B= āā,.,ā A
所以
P(B)=(1/m)[(1-1/m)k-1]
? 例,甲, 乙, 丙三人独立地向同一飞机射击,设三人射
中飞机的概率分别为 0.4,0.5,0.7;一人射中飞机被击
落的概率为 0.2,两人射中飞机被击落的概率为 0.6,三
人射中,则飞机被击落,求飞机被击落的概率,
?解,设 Bi={有 i人射中 }(i=1,2,3),A={飞机被击落 }.则
?P(B1)=0.4× (1-0.5)× (1-0.7)+(1-0.4)× 0.5× (1-0.7)
+(1-0.4)× (1-0.5)× 0.7=0.36
P(B2)=0.4× 0.5× (1-0.7)+0.4× (1-0.5)× 0.7
+(1-0.4)× 0.5× 0.7=0.41
P(B3)=0.4× 0.5× 0.7=0.14
?P(A|B1)=0.2 P(A|B2)=0.6 P(A|B3)=1
且 B1,B2,B3两两互不相容,故有由全概率公式得
P(A)=P(B1)P(A|B1)+P(B2)P(A|B2)+P(B3)P(A|B3)
=0.36× 0.2+0.41× 0.6+0.14× 1=0.458
配套教材：苏德矿等，概率论与
数理统计，高等教育出版社
概率论产生于 17世纪，本来是由保险事业发
展而产生的，但是来自赌博者的请求，却是数学
家们思考概率论问题的源泉, 早在 1654年，有一
个赌徒梅勒向当时的数学家帕斯卡提出了一个使
他苦恼了很久的问题：“两个赌徒相约赌若干局，
谁先赢 m局就算获胜，全部赌本就归胜者，但是
当其中一个人甲赢了 a(a<m)局的时候，赌博中止，
问赌本应当如何分配才算合理？”
概率论在物理、化学、生物、生态、天文、
地质、医学等学科中，在控制论、信息论、电子
技术、预报、运筹等工程技术中的应用都非常广
泛。
序言
? 自然界和社会上发生的现象是多种多样的,在
观察、分析、研究各种现象时,通常我们将它们
分为两类,
(1)可事前预言的，即在准确地重复某些条件下，
它的结果总是肯定的，或者根据它过去的状况，
在相同条件下完全可以预言将来的发展，例如，
在标准大气压下，纯水加热到 100℃ 必然沸腾 ;向
空中抛掷一颗骰子，骰子必然会下落 ;在没有外
力作用下，物体必然静止或作匀速直线运动 ;太
阳每天必然从东边升起，西边落下等等，称这一
类现象为确定性现象或必然现象,
第一章 随机事件及其概率
? 人们经过长期实践和深入研究之后,发现随机
现象在个别试验中,偶然性起着支配作用,呈现出
不确定性,但在相同条件下的大量重复试验中,却
呈现出某种规律性,随机现象的这种规律性我们
称之为统计规律性,概率论与数理统计 是研究和
揭示随机现象的统计规律性的一门数学学科,
(2)在个别试验中呈现不确定的结果，而在相同
条件下大量重复试验中呈现规律性的现象称为 随
机现象 (或 偶然现象 ).例如,在相同条件下,抛掷
一枚硬币,其结果可能是正面朝上,也可能是反面
朝上,并且在每次抛掷之前无法确定抛掷的结果
是什么,
§ 1 随机事件
?在一定条件下，并不总是出现相同结果的现象
称为 随机现象,
§ 1.1 随机试验与样本空间
（ 1）抛一枚硬币,有可能正面 H朝上，也有可能
反面 T朝上,
（ 2）抛一粒骰子,出现的点数,
（ 3）一只灯泡使用的寿命,
?在相同条件下可以重复的随机现象称为 随机试验
(Random experiment),
随机试验简称试验，并记之以英文字母 E,称试
验的每一个结果为样本点，并称全体样本点的集
合为试验的样本空间，样本点与样本空间分别用
希腊字母 ω 和 Ω 表示,
例, 设试验 E,将一枚硬币连掷两次，观察两次中
出现正面、反面的情况，此试验有 4 种结果，即 4
个样本点，样本空间是
Ω = ｛（正，正），（正，反），（反，正），（反，反）｝
其中样本点（正，正）表示第一，二次均掷出正面，其余类推,
?随机试验具有以下特点,
(1)可以在相同条件下重复进行 ;
(2)每次试验的可能结果不止一个,并且事先
明确试验的所有可能结果 ;
(3)进行一次试验之前不能确定哪一个结果会
出现,
试验的样本空间的实例
?E1:抛一枚硬币,观察正面 H、反面 T出现的情况,
则样本空间为
Ω1 ={H,T}
?E2:将一枚硬币抛掷三次,观察正面 H、反面 T出
现的情况,则样本空间为
Ω 2={HHH,HHT,HTH,THH,HTT,THT,TTH,TTT}
?E3:将一枚硬币抛掷三次,观察正面 H出现的次
数,则样本空间为
Ω 3={0,1,2,3}
?E7:记录某地一昼夜的最高温度和最低温度,则
样本空间为
Ω 7={(x,y)|T0≤x≤y≤T 1}
这里 x表示最低温度,y表示最高温度 ;并设这一
地区的温度不会小于 T0,不会大于 T1,
?E4:抛一粒骰子,观察出现的点数,则样本空间为
Ω 4={1,2,3,4,5,6}
?E5:记录电话交换台一分钟内接到的呼唤次数,
则样本空间为
Ω 5={0,1,2,3,… }
?E6:在一批灯泡中任意抽取一只,测试它的寿命,
则样本空间为
Ω 6={t|t≥0}
E 8, 从装有三个白球（记为 1, 2, 3 号）与两个
黑球（记为 4, 5 号）的袋中任取两个球,
（ 1 ） 如果观察取出的两个球的颜色,设 样本点,
ω 0 表示“取出两个白球”
ω 1 表示“取出一个白球与一个黑球”
ω 2 表示“取出两个黑球”
于是样本空间是由三个样本点构成的集合
? ?2108 ω,ω,ω?? ?
E 8, 从装有三个白球（记为 1, 2, 3 号）与两个
黑球（记为 4, 5 号）的袋中任取两个球,
（ 2 ）如果观察取出的两个球的号码，则样本点,
ω ij 表 示“取出第 i 号与第 j 号球” ? )51 ??? ji
于是样本空间是由 10C 25 ? 个样本点构成的集合
? ?453534252423151413128 ω,ω,ω,ω,ω,ω,ω,ω,ω,ω? ??
这个例子表明,试验的样本点与样本空间是根据
试验的内容而确定的,
例,抛二粒骰子的样本空间为,
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
)6,6()5,6()4,6()3,6()2,6()1,6(
)6,5()5,5()4,5()3,5()2,5()1,5(
)6,4()5,4()4,4()3,4()2,4()1,4(
)6,3()5,3()4,3()3,3()2,3()1,3(
)6,2()5,2()4,2()3,2()2,2()1,2(
)6,1()5,1()4,1()3,1()2,1()1,1(
§ 1.2 随机事件 (random event)
（ 6）空集 ? 称为 不可能事件 (Impossible event ),
（ 5）样本空间 Ω 称为 必然事件 (Certain event),
（ 4）由样本空间中的单个元素组成的子集称为
基本事件 (Basic events),
?随机现象的某些样本点组成的集合称为 随机事
件,简称 事件,
（ 2） 事件 A发生 当且仅当 A中的某个样本点出现,
（ 1）任一事件 A是相应样本空间的一个子集,
（ 3）事件可用集合 A表示，也可用语言描述,
? 例,对于试验 E2:将一枚硬币抛掷三次,
观察正面 H,反面 T出现的情况,
A2={HHH,TTT}
（ 2）事件 A2:“三次出现同一面,,则
A1={HHH,HHT,HTH,HTT}
（ 1）事件 A1:“第一次出现的是正面 H”,则
A2={HHT,HTH,THH}
（ 3）事件 A3:“出现二次正面,,则
? 例,对于试验 E6:在一批灯泡中任意抽取
一只,测试它的寿命,
B={t|0≤t<1000}
? 事件 B:“寿命小于 1000小时,,则
? 例,对于试验 E7:记录某地一昼夜的最高
温度和最低温度,
C={(x,y)|y-x=10,T0≤x≤y≤T 1}
? 事件 C:“最高温度与最低温度相差 10
度,,则
§ 1.3 事件的关系
(Relation of events )
? 设试验 E的样本空间为 Ω,而
A,B,Ak(k=1,2,… )是 Ω 的子集,
? 事件是一个集合,因而事件间的关系与事件
的运算自然按照集合论中集合之间的关系和集
合运算来处理,根据, 事件发生, 的含义,下面
给出事件的关系和运算在概率论中的提法,
§ 1.3.1 包含关系 (Inclusion relation)
?定义,若属于 A的
样本点必属于 B,
则称事件 B包含事
件 A,记为 A ? B,
?即事件 A发生必然
导致事件 B发生,
?例,抛一粒骰子，事件 A=“出现 4点”,B=“出现
偶数点”,
则事件 A发生必然导致 B发生，所以 A ? B,
事件 A 是 B 的子事件即 AB ?,换一说法：如果
事件 B 不发生必导致事件 A 也不发生,
由于必然事件在每一次试验中都发生，所以对任
何一个随机事件 A 都有
ΩA ???
,
§ 1.3.2 相等关系 (equivalent relation)
?定义,若属于 A的样本点必属于 B,且属于 B的样
本点必属于 A,则称事件 A与事件 B相等, 记为
A= B,
A＝ B ? A?B且 B?A
?例,抛二粒骰子,A=“二粒骰子点数之和为奇数”，
B=“二粒骰子的点数为一奇一偶”,
则事件 A发生必然导致 B发生，而且 B发生必然
导致 A发生，所以 A = B,
§ 1.3.3 互不相容 (Incompatible events)
?定义,若事件 A与
事件 B没有相同的
样本点,则称事件
A与 B互不相容,
?A与 B互不相容，
即事件 A与事件 B
不可能同时发生,
?A与 B互不相容 ? AB=?
§ 1.4.1 事件的并
(Union of events)
?定义,由事件 A与 B中所有
样本点（相同的样本点只
计入一次）组成的新事件
称为事件 A与 B的 并,
§ 1.4 事件的运算 (operation of events )
（ 1） A∪ B={x|x∈ A或 x∈ B}
（ 2）当且仅当 A,B中至
少有一个发生时,事件 A∪ B
发生,
?例,抛一粒骰子，事件 A=“出现点数不超过 3”，
B=“出现偶数点”,
则 A={1,2,3},B={2,4,6},
所以,A∪ B={1,2,3,4,6}
例, 有两门火炮同时向一个目标各射击一次，设
A 表示甲火炮击中目标,B 表示乙火炮击中目标,
C 表示目标被击中，则 C 表示意味着事件 A 或 B
至少有一个发生，即,
BAC ??
§ 1.4.2 事件的交
(Product of events)
?定义,由事件 A与 B中
公共的样本点组成的
新事件称为事件 A与 B
的 交,
（ 2）当且仅当 A与 B同时
发生时,事件 AB发生,
（ 1） A∩B=AB
={x|x∈ A且 x∈ B}
?例,抛一粒骰子，事件 A=“出现点数不超过 3”，
B=“出现偶数点”,
则 A={1,2,3},B={2,4,6},
所以,A∩B={2}
类似地 n 个事件 A 1, A 2,?,A n 同时发生这一
事件称为事件 A 1, A 2,?,A n 的积事件（交事件），
记作 A 1 A 2 ? A n 或
?
n
i
iA
1
i
n
1i
AΠ
?
?
?
§ 1.4.3 事件的差 (Difference of events)
? 定义,由事件 A中而不 B中的样本点组成的新事
件称为事件 A对 B的 差,
（ 1） A-B={x|x∈ A且 x∈ B}
（ 2）当且仅当 A发生,而 B不发生时,事件 A-B发生,
?例,抛一粒骰子，事件 A=“出现点数不超过 3”，
B=“出现偶数点”,
则 A={1,2,3},B={2,4,6},
所以,A-B={1,3} 问,B-A=？
A - B 是由属于 A 但不属于 B 的样本点组成的集合
§ 1.4.4 对立事件
(Opposite events)
? 定义,由在 Ω中而不
在 A中的样本点组成
的新事件称为 A的 对
立事件,
（ 1）事件 A与 B互为
对立事件 ? A∪ B= Ω
且 AB=?,
BABA ??
（ 2） A的 对立事件记
作 B=ā,
?例,抛一粒骰子，事件 A=“出现点数不超过 3”,
则 A={1,2,3}，而 Ω={1,2,3,4,5,6,},
所以,ā ={4,5,6}
事件 B 是事件 A 的对立事件（或逆事件） 是指 事
件 A 与 B 互不相容，并且它们中必有一事件发生，
即 ??BA ?, ?BA ? φ, 同 时,事件 A 也是事件 B 的对
立事件（或逆事件）记作,AB ? 或 BA ?,
显然,AA ?, ?AA φ, ΩAA ??
§ 1.4.5 事件运算的规则
1、交换律 (Exchange law),
A?B＝ B?A,AB＝ BA
2、结合律 (Combination law),
(A?B)?C＝ A?(B?C),
(AB)C＝ A(BC)
3、分配律 (Distributive law),
(A?B)C＝ (AC)?(BC),
(AB)?C＝ (A?C)(B?C)
4,De Morgan对偶律 (Dual law),
.,
,
????
???
k
k
k
k
k
k
k
k AAAA
BAABBABA
??
??
可推广
完备事件组
若事件 A 1, A 2,?,A n 两两互不相容，且
ΩAAA n21 ?????
,则称 n 个事件 A 1, A 2,?,A n
构成一个完备事件组,
例,掷一颗骰子，观察点数，令 A 表示掷出奇数点,B 表示
掷出点数不超过 3, C 表示掷出点数大于 2, D 表示掷出 5 点,
A= ｛ 1, 3, 5 ｝,B= ｛ 1, 2, 3 ｝,C= ｛ 3, 4, 5, 6 ｝,D= ｛ 5 ｝
?BA ? {1, 2, 3, 5}, ΩCB ??, A B = {1, 3}, B D = φ
?A {2, 4, 6}, ?CA {4, 6}, A - B = {5}, B - A = {2}
例,某人连续购买体育彩票，令事件 A, B, C 分别
表示其第一、二、三、次所买的彩票中奖，试用 A,
B, C 及其运算表示下列事件,
C
CBA
CBACBACBA ??
CBA ??
A B CBCACBACABCACAB ????? B?
ABC
（ 1）第三次未中奖
（ 2）第三次才中奖
（ 3）恰有一次中奖
（ 4）至少有一次中奖
（ 5）不止一次中奖
（ 6）至多中奖二次
§ 2 随机事件的概率
? 定义,随机事件 A发生可能性大小的度量 (数值 ),
称为 A发生的概率,记作 P(A),
? 对于一个随机事件 (必然事件和不可能事
件除外 )来说,它在一次试验中可能发生,也可
能不发生,我们希望知道某些事件在一次试验
中发生的可能性究竟有多大,找到一个合适的
数来表示事件在一次试验中发生的可能性大
小,
§ 2.1 概率的公理化定义
定义,设 Ω 为一个样本空间, 如果对任一事件 A,赋
予一个实数 P(A).如果集合函数 P(.)满足下列条件,
（ 1)非负性公理：对于每一事件 A,有 P(A)≥0;
(2)正则性公理,P(Ω)=1;
(3)可列可加性公理,设 A1,A2,… 是互不相容的
事件,即对于 i≠j,AiAj=?,i,j=1,2,…,则有
则称 P（ A）为事件 A的 概率 (Probability),
?
?
?
?
?
?
11
)()(
i
i
i
i APAP ?
§ 2.2 概率的统计定义
(The statistic definition of probability)
? 定义,在相同的条件下,进行了 n次试验,在这 n次
试验中,事件 A发生的次数 nA称为事件 A发生的 频数,
比值 nA/n称为事件 A发生的 频率,并记为 fn(A),
频率具有下述性质,
（ 1） 0≤f n(A)≤ 1;
（ 2） fn(Ω )=1;
（ 3） 若 A1,A2,…,Ak是两两互不相容的事件,则
§ 2.2.1 频率 (Frequency)
?
??
?
k
i
ini
k
i
n AfAf
11
)()( ?
历史上抛掷匀质硬币的若干结果
§ 2.2.2 概率的统计定义
试验者 抛掷次数 n 正面出现次 数 m 正面出现频 率 m/n
德,摩尔根 2048 1061 0.518
蒲丰 4040 2048 0.5069
皮尔逊 12000 6019 0.5016
皮尔逊 24000 12012 0.5005
维尼 30000 14994 0.4998
? 定义,在相同的条件下,进行了 n次重复
试验,在这 n次试验中,事件 A发生了 nA次,
当试验的次数 n很大时,如果事件 A发生的
频率 fn(A)=nA/n稳定在某一数值 p的附近摆
动,而且随着试验次数的增大,这种摆动的
幅度越变越小,则称数值 p为事件 A在这组
条件下发生的概率,记作 P(A)=p.这样定义
的概率称为 统计概率,
性质 1:P(?)=0,
§ 2.3 概率的性质
证明, 设 A n = ? (n = 1,2,… ),则 ???
?
?
1i
i
A,
且对于 ???
ji AAji,
,
?
?
?
?
?
???
11
)()()(
i
i
i
i APAPP ?
?
?
?
??
1
)(
i
P
于是由可列可加性得
又由 P(?)≥0得,P(?)=0
证明, 令 An+1=An+2=… =?,则由 可列可 加性 及
P(?)=0得
性质 2,若 有限个事 件 A 1,A 2,…,A n 是两两互不相容
的事件,则有
P(A 1 ∪ A 2 ∪ … ∪ A n )=P(A 1 )+P(A 2 )+ … +P(A n )
上式称为概率的 有限可加性,
)()(
111
???
?
????
??
nj
n
i
i
n
i
i APAP
??
?
???
???
11
)()(
nj
n
i
i PAP
0)(
11
??
?
???
??
nj
n
i
iAP ?
?
?
n
i
iAP
1
)(
即
性质 3:对于任一事件 A,有
)(1)( APAP ??
证明, 因为 ??AA ?,且 ??AA,因此有
)()()()(1 APAPAAPP ????? ?
)(1)( APAP ??
证明,由 A ? B知 B=A∪(B -A),且 A(B-A)=?,
性质 4:设 A,B是两个事件,若 A ? B,则有
P(B-A)=P(B)-P(A)
推论,若 A ? B，则 P(B)≥P(A)
证明,由 P(B)=P(A)+P(B-A)
又由概率的定义知 P(B-A)≥0
因此有
P(B)≥P(A)
因此由概率的有限可加性得
P(B)=P(A)+P(B-A)
从而有 P(B-A)=P(B)-P(A)
证明,因为 A-B=A-AB,且 AB ? A
性质 6:对于任意两事件 A,B，有
P(A-B)=P(A)-P(AB)
故 P(A-B)=P(A-AB)=P(A)-P(AB)
证明,因为 A ? Ω,因此有
P(A)≤P( Ω)=1
性质 5:对于任一事件 A,有
P(A)≤1
证明,因为 A∪ B=A∪ (B-AB),且 A(B-AB)=?,AB? B
故 P(A∪ B)=P(A)+P(B-AB)=P(A)+P(B)-P(AB)
)...()1(...)(
)()()(
21
1
1
111
n
n
nkji
kji
nji
ji
n
i
ii
n
i
AAAPAAAP
AAPAPAP
?
????
?????
????
??
?
???
性质 7:对于任意两事件 A,B，有
P(A∪B)=P(A)+P(B) -P(AB)
上式称为概率的 加法公式,
?概率的加法公式可推广到多个事件的情况,
设 A,B,C是任意三个事件，则有
P(A∪ B∪ C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(BC)-P(CA)+P(ABC)
?一般,对于任意 n个事件 A1,A2,…,A n,有
§ 3 古典概型与几何概率
? 具有以上两个特点的随机试验称为 古典概型,也
称为 等可能概型,
? 在概率论发展的初期主要研究具有如下两个特
点的随机试验,
(1)试验的样本空间的元素只有有限个 ;
(2)试验中每个基本事件发生的可能性相同,
§ 3.1 古典概型
例, 掷一枚均匀的硬币，只有“正面向上”或“反
面向上”两种结果，而且这两种结果出现的可能性
相同，均为 1/2
例, 从 1 0 0 件同类型的产品中，任意抽取 1 件进
行质量检查，则共有 1 0 0 种抽法，且每种出现的
可能性大小相同，均是 1%,
古典概型的计算公式
? 因此，若事件 A={ei1}∪ {ei2}∪ … ∪ {eik}包含 k个
基本事件,则有 P(A)=k/n,
? 设随机试验的样本空间为 Ω ={e1,e2,…,en},由
于在试验中每个基本事件发生的可能性相同,即有
P({e1})=P({e2})=… =P({en})
? 又由于基本事件是两两不相容的,于是有
1=P(Ω )=P({e1}∪ {e2}∪ … ∪ {en})
=P({e1})+ P({e2})+… +P({en})
=nP({ei}) i=1,2,…,n
? 所以 P({ei})=1/n
i=1,2,…,n
? 即样本空间有 4个样本点,而随机事件 A1包含 2
个样本点,随机事件 A2包含 3个样本点,故
P(A1)=2/4=1/2
P(A2)=3/4
? 例,将一枚硬币抛掷二次,设事件 A1为, 恰有
一次出现正面, ; 事件 A2为, 至少有一次出现正
面,,求 P(A1)和 P(A2),
? 解,正面记为 H,反面记为 T,则随机试验的样本
空间为
Ω ={HH,HT,TH,TT}
而 A1={HT,TH}
A2={HH,HT,TH}
例, 抛掷一颗匀质骰子，观察出现的点数，求出
现的点数是不小于 3的偶数的概率,
解 设 A表示出现的点数是大小于 3的偶数，则基
本事件总数 n=6,A包含的基本事件是“出现 4点”
和“出现 6点”即 m=2，故
3
1
6
2
P ( A ) ??
§ 3.2 排列与组合公式
乘法原理,设完成一件事需分两步，第一步有
n1种方法,第二步有 n2种方法，则完成这件事共
有 n1n2种方法 A B C
加法原理,设完成一件事可有两种途径，第
一种途径有 n1种方法，第二种途径有 n2种方
法，则完成这件事共有 n1+n2种方法。
A B
有重复排列,从含有 n个元素的集合中随机抽
取 k 次，每次取一个，记录其结果后放回，
将记录结果排成一列,
共有 nk种排列方式,
无重复排列,从含有 n个元素的集合中随机抽
取 k 次，每次取一个，取后不放回，将所取
元素排成一列,
共有 Pnk=n(n-1)… (n-k+1)种排列方式,
组合,从含有 n个元素的集合中随机抽取 k个,
k ) !(nk!
n!
k!
P
k
n
C
k
nk
n
?
????
?
?
??
?
?
?
共有 种取法,
重复组合,从含有 n个元素的集合中随机抽取 k
个，每次取一个，记录其结果后放回,
)!(nk!
1 ) !-k(n
k
1-kn
C k 1-kn
1?
?
???
?
?
??
?
? ?
??
共有 种取法,
例, 设在 100 件产品中，有 4 件次品，其余均为
正品，求
（ 1 ）这批产品的次品率；
（ 2 ）任取 3 件，全是正品的概率；
（ 3 ）任取 3 件，恰好有 2 件正品的概率,
解 设 A 为“任取 1 件产品取到次品”，
iA
表示“任
取 3 件产品取到 i 件正品”,3,2,1,0?i,
（ 1 ）基本事件总数 n 1 = 1 00, A 包含的基本事件数
m A =4
故 04.0
100
4P ( A ) ??
（ 2 ）基本事件总数 31002 Cn ?, 3A 包含的基本事件数 396C
8836.0
C
C
)P ( A
3
1 0 0
3
96
3 ??
故
故
（ 3 ）基本事件总数仍为 3
100C
，事件
2A
包含的基本事
件数 1
4
2
96 CC
1128.0
C
C
)P ( A
3
1 0 0
1
4
2
96
2 ??
C
例, 用 0,1,2,3,4,5 这六个数字排成三位数，求
（ 1 ）没有相同数字的三位数的概率,
（ 2 ）没有相同数字的三位偶数的概率,
解 设 A=没有相同数字的三位数,B表示没有相同
数字的三位偶数，则基本事件总数 n=5× 6× 6=180
（ 1）事件 A包含的基本事件数为 mA=5× 5× 4
9
5
665
455P ( A ) ?
??
???
（ 2）事件 B包含的基本事件数为 mB=4× 4× 2+5× 4=52
45
13
665
52P ( B ) ?
???
所以
所以
例, 设
2
1P ( B ),
4
1P ( A ) ??,就下列三种情况（ 1 ） A 与 B
互不相容；（ 2 ） BA ? ；（ 3 ）
8
1P ( A B ) ?,求 P （ B - A ）,
解 （ 1）由于 A与 B互不相容，即 AB=φ
则 BA ?
所以
2
1P ( B )A)P ( B ???
（ 2） BA ?
则有
4
1P ( A )P ( B )A)P ( B ????
（ 3）
( A B )BABAB ????
则有
8
3P ( A B )P ( B )A)P ( B ????
15
!2
56
)!26(!2
!62
6 ?
??
?
?? Cn
8241214 ???? CCm
15
8
)( 2
6
1
2
1
4 ??
C
CC
AP
? 例,设有同类产品 6件,其中有 4件合格品,2件不
合格品,从 6件产品中任意抽取 2件,求抽得合格品和
不合格品各一件的概率,
? 解,设 A={抽得合格品和不合格品各一件 }.因为
基本事件总数等于从 6件可以区别的产品中任取 2件
的组合数目,故有基本事件总数
且每一基本事件发生是等可能的,
? 事件 A发生是指从 4件合格品和 2件不合格品中各
抽出一件,抽取方法数,即使事件 A发生的基本事件
数为
所以事件 A发生的概率为
? 解法 1:把 a只黑球 b只白球视为可分辨的,把 a+b
只球摸出来依次排在一直线的 a+b个位置上,则可能
的排列法相当于把 a+b个元素进行全排列,即基本事
件总数为 n=(a+b)!.而有利于事件 Ak的场合相当于
在第 k个位置上放一个黑球 (共有 a种选择 ),而在其
余的 a+b-1个位置上,由其余的 a+b-1个球任意排列,
共有 m=a(a+b-1)!种排法,所以
ba
a
ba
baaAP
k ???
???
)!(
)!1()(
?例,袋中有 a只黑球,b只白球,它们除了颜色不同
外,其它方面全同,现在随机地把球一只只摸出来,
求第 k次摸出的一只是黑球 (事件 Ak)的概率,
ba
a
C
CAP
a
ba
a
ba
k ???
?
?
??
1
1)(
?这两种不同的解法,主要在于选取的样本空间不同
,而最后的答案是相同的,
解法 2,把 a 只黑球看作没有区别,b 只白球也没有区
别,把 a+ b 只球摸出来依次排在一直线的 a+b 个位置
上, 若把 a 只黑球的位置固定下来,则其它位置必然为
白球, 而黑球在 a+b 个位置中的放法共有 a
ba
C
?
,作为基
本事件总数, 有利于 A 的场合是在第 k 个位置上固定
一个黑球,其余的 a - 1 个黑球在其余的 a+b - 1 个位置
上放置,共有 1
1
?
??
a
ba
C
种放法, 因此
例, 设盒中 有 3个白球,2个红球，现从盒
中任 抽 2个 球，求取到一红一白的概率。
答,取到一红一白的概率为 0.6。
N =C52,K =C31 C21,
P(A) =C31 C21 / C52 =0.6,
解, 设 A-----取到一红一白
一般地，设盒中有 N个球，其中有 M个白球，从
中任 抽 n个 球，则这 n个 球中恰有 k白球的概率是
n
N
kn
MN
k
M
C
CC
P
?
??
例：将 3个球随机的放入 3个盒子中去，问,
（ 1）每盒恰有一球的概率是多少？
（ 2）空一盒的概率是多少？
解, 设 A:每盒恰有一球,B:空一盒,
N = 33,K = 3!,P(A) = 2/9,
P(B) = 1－ P{空两合 }－ P{全有球 }
= 1－ 3/33－ 2/9 = 2/3,
一般地，把 n个 球随机地分配到 m个盒子中去 (n?m)，
则每盒至多 有一 球的概率是,
n
n
m
m
P
p ?
思考题 某班级有 n 个人 (n?365),问至少有两个
人的生日在同一天的概率有多大？
例, 30名学生中有 3名运动员，将这 30名学生平均分
成 3组，求,
（ 1）每组有一名运动员的概率；
（ 2） 3名运动员集中在一个组的概率。
解,设 A:每组有一名运动员 ;B,3名运动员集中在一组
1 0 !1 0 !1 0 !
3 0 !
CCCN 101010201030 ??
203
50
N
9!9!9!
27!
3!
P ( A ) ??
N
CCC3
P ( B )
10
10
10
20
7
27??
!!,,,,
!
1 m
nn
n
一般地，把 n个 球随机地分成 m组
(n>m),要求第 i 组恰有 ni个球 (i=1,…m),
共有分法,
1.有放回抽样,第一次取一件产品观察其是否合
格后放回袋中,第二次再取一件产品,
2.不放回抽样, 第一次取一件产品后不放回袋中
,第二次再取一件产品,
试由上面两种抽样方法,求,
1.取到两件合格品的概率 ;
2.取到两件相同质量产品的概率 ;
3.取到的两件产品中至少有一件合格品的概率,
例,一只口袋中,装有 10件同类晶体管,其中有 8件合
格品,2件次品,从口袋中取产品 2次,每次取一件,考
虑两种情况,
解,设 A={取到两件合格品 },B={取到两件次品 },C={取到两件
相同质量的产品 },D={取到的两件产品中至少有一件合格品 }
(1)有放回抽样,第一次从 10件产品中抽 1件有 10种抽取方
法,第二次从 10件产品中抽 1件也有 10种抽取方法,故有
10× 10种可能的取法,每一种取法是一基本事件,且发生的
可能性是相同的,所以基本事件总数为 n=10× 10=100,
使 A发生的基本事件是第一次抽到合格品,且第二次也抽
到合格品,共有 mA=8× 8=64种取法,于是
P(A)= mA/n=64/100
同理 B包含的基本事件数 mB=2× 2=4.所以
P(B)= mB /n=4/100
由于 C=A+B,且 AB=?,所以
P(C)=P(A+B)=P(A)+P(B)=0.64+0.04=0.68
P(D)=1-P(B)=1-0.04=0.96
(2)不放回抽样, 第一次从 10件产品中抽 1件有 10种抽取
方法,第二次从 9件产品中抽 1件有 9种抽取方法,故有
10× 9种可能的取法,所以样本空间的基本事件总数为
n=10× 9=90,
两次均抽到合格品共有 mA=8× 7=56种取法,即 A包含的基本
事件数为 56.于是
P(A)=56/90
同理 B包含的基本事件数 mB=2× 1=2.所以
P(B)=2/90
由于 C=A∪ B,且 AB=?,所以
P(C)=P(A∪ B)=P(A)+P(B)=0.622+0.022=0.644
P(D)=1-P(B)=1-0.022=0.978
解,设 A={指定的 n个盒子各有一球 },
B={恰有 n个盒子各有一球 },
由于每个球都可以放入 N个盒子中的任一个,共有 N种不同
的放法,于是 n个球放进盒子就有 Nn种不同的放法,而每一
放法就是一个基本事件,且发生的可能性是相同的,所以基
本事件总数为 Nn个
nNCn!
n
n
N
N
Cn
BP
!
)( ?
例,将 n个球随机地放入 N(N≥n) 个盒子中去,每个球都能以同
样的概率 1/N落入 N个盒子中的每一个,试求,
1.指定的 n个盒子各有一球的概率 ;
2.恰有 n个盒子各有一球的概率,
指定的 n个盒子各有一球,共有 n(n-1)(n-2)… 1=n!种可能
的放法,于是
P(A)=n!/Nn
恰有 n个盒子各有一球,共有 可能的放法,于是
有许多问题和本例具有相同的数学模型,如历史上有名的
,生日问题,,假设每个人的生日在一年 365天中的任一
天是等可能的,那么随机选取 n(n≤365) 个人,令 A={n个人
中至少有两个人的生日相同 },则 Ac={ n个人的生日全不
相同 }.而
)!365(365
!365
365
!)( 3 6 5
n
CnAP
nn
n
c
?
??
)!3 6 5(3 6 5
!3 6 51)(
n
AP n
?
??
经计算可得下述结果,
n 10 20 23 30 40 50 100
P(A) 0.12 0.41 0.51 0.71 0.89 0.97 0.9999997
故得 P(A)=333/2000 P(B)=250/2000
因而所求的概率为
例,在 1至 2000的整数中随机地取一个数,问取到的整数既不
能被 6整除,又不能被 8整除的概率是多少?
解,设 A={取到的数能被 6整除 },B={取到的数能被 8整除 },
由于 333<2000/6<334 2000/8=250
又由于一个数同时能被 6与 8整除,就相当于能被 24整除,因
此由 83<2000/24<84
得 P(AB)=83/2000
)BA(P1)BA(P)BA(P ?? ???
)AB(P)B(P)A(P1 ????
=1-333/2000-250/2000+83/2000=3/4
? 设样本空间 Ω为一有界几何体, 事件 A包含于
Ω,用 L表示几何体的测度,
§ 3.3 几何概率
注,当几何体为一线段时，测度为长度；当几何体
为平面上的某一区域时，测度为面积；当几何体
为空间的某一区域时，测度为体积,
?定义,设事件 A为样本空间 Ω中的某个小区域，
如果它的测度为 L(A)，且点落入 A中的可能性大
小与 L(A)成正比，而与 A的位置及形状无关,则事
件 A的概率 为
P(A)=L(A)/L(Ω)
这一类概率通常称作 几何概率,
? 解,以 x,y分别表示甲乙两人到达的时刻,那末
0?x?T,0?y?T,
若以 x,y表示平面上点的坐标，则,
? 例,(会面问题 )甲,乙两人相约在 0到 T这段时间内,
在预定地点会面, 先到的人等候另一个人,经过时
间 t(t<T)后离去, 设每人在 0到 T这段时间内各时刻
到达该地是等可能的,且两人到达的时刻互不牵连,
求甲,乙两人能会面的概率,
（ 1）所有基本事件可以用一边长为 T正方形
内所有点表示,
（ 2）两人能会面的条件是 |x-y|?t,
由等可能性知，所求
概率为
O t T x
t
T
A
2
2
22
11
)(
?
?
?
?
?
?
???
??
??
T
t
T
tTT
正方形面积
阴影部分面积
P(A)= SA / SΩ
?
?
S
S
AP A)(
例,(Buffon投针问题 ) 1777年法国科学家蒲丰提出
了下列著名问题，这是几何概率的一个早期例子,
平面上画着一些平行线，它们之间的距离都等于
a，向此平面任投一长度为 l(l<a)的针，试求此针与
任一平行线相交的概率,
? 解,以 x表示针的中点与
最近一条平行线间的距
离,又以 φ 表示针与此直
线间的交角,
?易知样本空间满足,
2
0 ax ?? ?? ??0
a
l
a
dl
g
p
?
?
??
2
2
1
s i n
2
1
G
??
?
＝
的面积
的面积
?s in
2
lx ?
满足这个不等式的区域为图中用阴影部分 g
它是平面上一个矩 形
?针与平行线相交 的充要条件是
所求的概率为
蒙特卡罗 (Monte-Carlo)法
an
lN2
??
?a
l
AP
N
n 2
)( ??
由频率 n/N 作为概率 P(A ) 的估计值，得
从而 得
1
30°
解：设
在如图所示的边长为 2 的正方形中 随 机投点，求该
点落在三角形区域的概率，由此估计无理数 3 的值,
则由投点的随机性,这是一个几何概型的概率
计算问题, 样本空间 Ω 所对应正方形区域的面
为 42 2 ?,事件 A 所对应区域的面积为
2
3
?
?
?
?
?
?
?
该点落在三角形区域
在正方形内随机投点
A
由几何概型概率的计算公式，得
8
3
)( ?AP
()n PA
N
?
8
3
?
N
n
N
n8
3 ?
如此，可以估算所求无理数的数值。
在正方形区域内随机取点 N次，数出落在三角形区
域内的次数 n,用事件发生的频率估计其概率得,
§ 4乘法公式与全概率公式
? 例,将一枚硬币抛掷两次,观察其出现正反面的
情况,设事件 A={至少有一次为正面 H},事件 B={两
次掷出同一面 },求已知事件 A发生的条件下事件 B
发生的概率,
)(
)()|(
AP
ABPABP ?
? 解,样本空间为 Ω={HH,HT,TH,TT},B={HH,TT},
A={HH,HT,TH}.若记已知事件 A发生的条件下事件 B
发生的概率为 P(B|A),则有 P(B|A)=1/3
易知 P(A)=3/4,P(AB)=1/4,
P(B|A)=1/3=(1/4)/(3/4),
故有
§ 4.1 条件概率
例,某厂有甲，乙两个车间生产同一种型号的产品，
结果如 下 表，从这 1 0 0 件产品任取一件，设 A 表
示取到合格品,B 表示取到甲车间产品，则 A 表示
取到次品,B 表示取到乙车间产品，求 P （ A ）,P
（ B ）,P （ AB ）,B)P ( A,
合 格 品 数 次 品 数 总 数
甲车间产品数 54 6 60
乙车间产品数 32 8 40
总 数 86 14 100
解
86.0
100
86P ( A ) ??
6.0
1 0 0
60
P ( B ) ??
54.0
100
54P ( A B ) ??
而求 P(A|B)实质上是求在事件 B发生的条件下 A
发生的概率（即甲车间生产的合格品率），由
于甲车间产品有 60件，而其中合格品有 54件
所以
9.0
60
54
B)|P ( A ??
从此例看出，
B)P ( AP ( A ) ?
，这是因为 P （ A ）是整
批产品中的合格品率，这时样本空间是该厂生产的
100 件产品中考虑的，所以 P （ A ） =0, 8 6,而
B)P ( A
是已知事件 B 发生的条件下,A 发生 的概率，即是
求甲车间产品中的合格品率，此时是在缩小了的样
本空间（甲车间生产的 60 件产品）中考虑，进一
步分析，还可以发现
P ( B )
P ( A B )
100
60
100
54
60
54
B)|P ( A ???
? 对于一般的古典概型,设试验的基本事件总
数为 n,A所包含的基本事件数为 m(m>0),AB所包
含的基本事件数为 k,记已知事件 A发生的条件
下事件 B发生的概率为 P(B|A),则有
)(
)()|(
AP
ABP
m
kABP ??
? 对于几何概型，如果在正方形内等可能投点，
若已知 B发生，则 A发生的概率为
)(
)(
/
/
)|(
BP
ABP
SS
SS
S
S
ABP
B
AB
B
AB ???
?
?
§ 4.1 条件概率 (Conditional Probability)
定义,设 A,B是两个事件,且 P(A)>0,称
)(
)()|(
AP
ABPABP ?
为在事件 A发生的条件下事件 B发生的 条件概率,
?条件概率是指在事件 A发生的条件下，另一事
件 B发生的概率，记用 P（ B|A）,
条件概率的性质
条件概率符合概率定义中的三个条件,即
?(1)对于任一事件 B,有 P(B|A)≥0;
?(2)P(Ω|A)=1;
?(3)可列可加性,设 B1,B2,… 是两两互不相容
的事件,则有
P[(B1|A） ∪ （ B2|A） ∪ … ]=P(B1|A)+P(B2|A)+…
?因此,概率中的一些重要结果都适用于条件概率,
例, 市场上供应的灯泡中，甲厂产品占 7 0 %,乙厂
占 3 0 %,甲厂产品的合格品率是 9 5 %,乙厂的合格品
率是 8 0 %,若用事件 B, B 分别表示甲、乙两厂的
产品,A 表示产品为合格品，试求下列事件的概率：
P （ B ）,)BP(,
B)P ( A
，
)BP ( A
，
)BAP(
，
B)AP(
，
)BAP(
,
解 依题意 P（ B） =70%
%30)BP( ?
95%B)P ( A ? 80%)BP ( A ?
%5)BAP( ? %20)BAP( ?
例, 考虑恰有两个小孩的家庭，若已知某一家有
男孩求这家有两个男孩的概率；若已知某家第一
个是男孩，求这家有两个男孩（相当于第二个也
是男孩）的概率（假定生男生女为等可能）
解：设 B 表示有男孩,A 表示有两个男孩,B 1 表示第一
个是男孩，我们有
Ω ={ （男，男），（男，女），（女，男），（女，女） }
B={ （男，男），（男，女），（女，男） }, A= { （男，男） }
B 1 ={ （男，男），（男，女） }
于是得
43P ( B ) ? 4
1P ( A )P ( A B ) ??
4
1P ( A ))P ( A B
1 ??
所求的两个条件概率为
3
1
4
3
4
1
P ( B )
P ( AB )
B)|P ( A ???
2
1
2
1
4
1
)P ( B
)P ( AB
)B|P ( A
1
1
1 ???
?例,设 100件产品中有 5件次品,从中任取两次,每
次取一件,作不放回抽样,设 A={第一次抽到合格
品 },B={第二次抽到次品 },求 P(B|A),
? 解法 1:在 A已发生的条件下,产品数变为 99件,
其中次品数仍为 5件,所以
P(B|A)=5/99
? 解法 2:从 100件产品中连续抽取 2件 (抽后不放
回 ),其样本空间 S的基本事件总数为 100× 99,使
AB发生的基本事件数为 95× 5,
于是 P(AB)=(95× 5)/(100× 99),又 P(A)=95/100
故有 P(B|A)=5/99
? 解法 3:因为样本空间 Ω的基本事件总数为
100× 99
其中使 A发生的基本事件数为
95× 5+ 95× 94
在 A发生的条件下 B发生的基本事件数为
95× 5
所以
P(B|A)=5/99
?例,设 100件产品中有 5件次品,从中任取两次,每
次取一件,作不放回抽样,设 A={第一次抽到合格
品 },B={第二次抽到次品 },求 P(B|A),
§ 4.2 概率的乘法公式
由条件概率定义可得下面定理
? 乘法定理,若 P(A)>0,则有
P(AB)=P(B|A)P(A)
上式称为 乘法公式 (Multiplication formula),
? 乘法公式可以推广到任意有限个事件的情况,
? 设 A1,A2,…,An为试验 E中的 n个事件,且
P(A1A2… An-1)>0,
则有
P(A1A2… An)=
P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)… P(An|A1A2… An-1)
例, 一个盒子中有 6只白球,4只黑球，从中不放
回地每次任取 1只，连取 3次，求第三次才取得白
球的概率,
解 设事件 A i 表示第 i 次取得白球（ i = 1, 2, 3 ）
按题意即指第一次取得黑球，第二次取得黑球，
第三次取得白球也就是事件
321 AAA
易知
10
4)AP(
1 ? 9
3)A|AP(
12 ? 8
6)AA|P ( A
213 ?
)AAAP( 321 )AA|) P ( AA|A) P (AP(
213121?
8
6
9
3
10
4 ???
例,袋中装有两个红球和三个白球,从中依次取出
两个,求两个都是红球的概率,
?解,设 A1={第一次取得红球 },A2={第二次取得红
球 },
?(1)若用, 不放回抽样,,则
P(A1A2)=P(A1)P(A2|A1)=(2/5)× (1/4)=0.1
?(2)若用, 有放回抽样,,则
P(A1A2)=P(A1)P(A2|A1)=(2/5)× (2/5)=0.16
? 例,设某光学仪器厂制造的透镜,第一次落下时打
破的概率为 1/2;若第一次落下未打破,第二次落
下时打破的概率为 7/10;若前二次落下未打破,第
三次落下时打破的概率为 9/10.试求透镜落下三
次而未打破的概率,
?解法 1,设 Ai={ 透镜第 i 次落下未打
破 }(i=1,2,3),B={透镜落下三次而未打破 },则
B=A1A2A3,故有
?P(B)=P(A1A2A3)=P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)
=(1-1/2)(1-7/10)(1-9/10)=3/200
例,设某光学仪器厂制造的透镜,第一次落下时打破的概
率为 1/2;若第一次落下未打破,第二次落下时打破的概率
为 7/10;若前二次落下未打破,第三次落下时打破的概率
为 9/10.试求透镜落下三次而未打破的概率,
? 解法 2,按题意知
321211
AAAAAAB ???
? 而
321211
,,AAAAAA
是两两互不相容的事件,故有
?
)()()()(
321211
AAAPAAPAPBP ???
?
)|()|()()|()()()(
2131211211
AAAPAAPAPAAPAPAPBP ???
= 1 / 2 + 7 / 1 0 ( 1 - 1/2)+9 / 10 (1 - 1/2)(1 - 7/1 0)
= 1 9 7 / 2 0 0
所以
2 0 0
3
2 0 0
1 9 7
1)(1)( ????? BPBP
? 例,一个盒子中有 n(n>1)只晶体管,其中有一只
次品,随机地取一只测试,直到找到次品为止,求
在第 k(1≤k≤n) 次测试出次品的概率,
?解,设 Ai={第 i次测试的是正品 },Bk={第 k次测试
到次品 },则
P(Bk)=P(A1A2...Ak-1āk)
=P(A1) P(A2| A1)..,P(Ak-1 |A1A2...Ak-2)
P(āk|A1A2...Ak-1)
=[(n-1)/n][(n-2)/(n-1)]…
[(n-k+1)/(n-k+2)][1/(n-k+1)]
=1/n (1≤k≤n)
? 例：有外形相同的球分装三个盒子，每
盒 10个。其中，第一个盒子中有 7个球标
有字母 A,3个球标有字母 B；第二个盒
子中有红球和白球各 5个；第三个盒子中
有红球 8个，白球 2个。试验按如下规则
进行：先在第一个盒子中任取一球，若
取得标有字母 A的球，则在第二个盒子中
任取一球；若第一次取得标有字母 B的球，
则在第三个盒子中任取一球。如果第二
次取出的球是红球，则称试验成功。求
试验成功的概率。
? 解,令 A={从第一个盒子中取得标有字母 A的球 },
B={从第一个盒子中取得标有字母 B的球 },
R={第二次取出的球是红球 },
W={第二次取出的球是白球 }。
则易知,P(A)=7/10,P(B)=3/10,
P(R|A)=1/2,P(W|A)=1/2,
P(R|B)=4/5,P(W|B)=1/5
于是,试验成功的概率为
P(R)=P(RS)=P[R(A+B)]=P(RA+RB)
=P(RA)+P(RB)
=P(A) P(R|A)+P(B) P(R|B)
=(7/10)(1/2)+(3/10)(4/5)=0.59
? 计算过程如下图的概率树,
红 P(R|A)=0.5
第二次
A P(A)=0.7 白 P(W|A)=0.5
第一次 红 P(R|B)=0.8
B P(B)=0.3
第二次
白 P(W|B)=0.2
§ 4.3 全概率公式
? 定义,设 Ω为试验 E的样本空间,B1,B2,…,Bn为 E
的一组事件,若
( 1)BiBj=?,i≠j,i,j= 1,2,…,n;
( 2)B1∪B 2∪ … ∪B n=Ω
? 则称 B1,B2,…,Bn为样本空间 Ω的一个 划分,
? 若 B1,B2,…,Bn是样本空间 Ω的一个划分,那么,
对于每次试验,事件 B1,B2,…,Bn中必有一个且
仅有一个发生,
? 定理,设 Ω为试验 E的样本空间,B1,B2,…,Bn为样
本空间 Ω的一个划分,A为 E的一个事件,且
P(Bi)>0(i=1,2,…,n),则
P(A)=P(B1)P(A|B1)+P(B2)P(A|B2)+… +P(Bn)P(A|Bn)
上式称为 全概率公式 (Complete probability
formula),
?证明,因为
A=AΩ=A(B1 ∪ B2 ∪ … ∪ Bn)=AB1 ∪ AB2 ∪ … ∪ ABn
由假设 BiBj=?,i≠j,知
(ABi)(ABj)=?,i≠j,且 P(Bi)>0(i=1,2,…,n),得到
P(A)=P(AB1)+P(AB2)+… +P(ABn)
=P(B1)P(A|B1)+P(B2)P(A|B2)+… +P(Bn)P(A|Bn)
例, 有十个袋子，各袋中装球的情况如下,
（ 1 ）两个袋子中各装有 2 个白球与 4 个黑球；
（ 2 ）三个袋子中各装有 3 个白球与 3 个黑球；
（ 3 ）五个袋 子中各装有 4 个白球与 2 个黑球,
任选一个袋子，并从其中任取 2 个球，求取出的
2 个球都是白球的概率,
解 设事件 A表示取出的 2个球都是白球，事件 Bi
表示所选袋子中装球的情况属于第 i种（ i=1,2,3）
10
2)P (B
1 ?
易知
10
3)P ( B
2 ? 10
5)P ( B
3 ?
15
1
C
C
)B|P ( A
2
6
2
2
1 ?? 15
3
C
C
)B|P ( A
2
6
2
3
2 ??
15
6
C
C
)B|P ( A
2
6
2
4
3 ??
于是按全概率公式所求的概率
?
?
?
3
1
ii )B|) P ( AP ( BP ( A )
i
273.0
15
6
10
5
10
3
10
3
15
1
10
2 ???????
例, 某工厂生产的产品以 1 0 0 个为一批，进行抽样
检查时，只从每批中抽取 10 个来检查，如果发现
其中有次品，则认为这批产品是不合格的假定每一
批产品中的次品最多不超过 4 个，并且其中恰有
i (i =0, 1, 2, 3, 4) 个次品的概率如下 表,求各批产
品通过检查的概率,
一批产品中有次品数 0 1 2 3 4
概 率 0,1 0,2 0,4 0,2 0,1
解 设事件 Bi是一批产品中有 i个次品（ i=0,1，
2,3,4），设事件 A是这批产品通过检查，即
抽样检查的 10个产品都是合格品
则有 P（ A|B0） =1
9 0 0.0
C
C
)B|P ( A
10
100
10
99
1 ??
8 0 9.0
C
C)B|P ( A
10
1 0 0
10
98
2 ?? 7 2 7.0
C
C)B|P ( A
10
100
10
97
3 ??
652.0
C
C
)B|P ( A
10
1 0 0
10
96
4 ??
所求的概率
? ??
?
4
1
ii 8142.0)B|) P ( AP ( BP ( A )
i
? 例,有三个形状相同的箱子,在第一个箱中有两个正品,
一个次品 ;在第二个箱中有三个正品,一个次品 ;在第三
个箱中有两个正品,两个次品,现从任何一个箱子中,任
取一件产品,求取得的是正品的概率,
?解,设 Bi={从第 i个箱子中取到产品 }(i=1,2,3),A={取
得正品 }.由题意知 Ω=B1+B2+B3且 B1,B2,B3是两两互不相
容的事件,
P(B1)=P(B2)=P(B3)=1/3
P(A|B1)=2/3,P(A|B2)=3/4,P(A|B3)=2/4=1/2
由全概率公式得
P(A)=P(B1)P(A|B1)+P(B2)P(A|B2)+P(B3)P(A|B3)
=0.64
§ 4.4 贝叶斯公式 (Bayesian formula)
? 在全概率公式中我们知道,引起事件 A发
生的原因有 B1,B2,…,Bn等多种,在实际
问题中,常遇到已知事件 A已经发生,要
求出事件 A发生是由某种原因 Bk引起的
概率 P(Bk|A),
? 例：有外形相同的球分装三个盒子，每盒
10个。其中，第一个盒子中有 7个球标有
字母 A,3个球标有字母 B；第二个盒子中
有红球和白球各 5个；第三个盒子中有红
球 8，白球 2个。试验按如下规则进行：先
在第一个盒子中任取一球，若取得标有字
母 A的球，则在第二个盒子中任取一球；
若第一次取得标有字母 B的球，则在第三
个盒子中任取一球。如果第二次取出的球
是红球，则称试验成功。若试验成功，求
第二次取出的红球是从第二个盒子取得的
概率。
? 解,P(A|R)=P(AR)/P(R)
=P(A)P(R|A)/P(R)
=0.7× 0.5/0.59
=35/59
? 假若我们事先没有求出 P(R),则一般有,
P(A|R)=P(AR)/P(R)
=P(A)P(R|A)/P(R)
=P(A)P(R|A)/[P(A) P(R|A)+P(B) P(R|B)]
证明,由条件概率的定义及全概率公式有
ni
BAPBP
BAPBP
ABP
n
j
jj
ii
i,...,2,1
)|()(
)|()(
)|(
1
?
?
?
ni
BAPBP
BAPBP
AP
ABP
ABP
n
j
jj
iii
i,...,2,1
)|()(
)|()(
)(
)(
)|(
1
???
?
?
定理, 设 Ω 为试验 E 的样本空间,B 1,B 2,?,B n
为样本空间 Ω 的一个划分,A 为 E 的一个事
件,且 P( A) >0,P( B i ) >0 (i = 1,2,?,n),则
上式称为 贝叶斯 (逆概率 )公式,
例,无线电通讯中,发报台分别以概率 0.6和 0.4发
出信号,,”和, -”.由于干扰,发出信号,,”时,
收报台以概率 0.98收到信号,,”,发出信号, -”
时,收报台以概率 0.99收到信号, -”.求在收报
台收到信号, -”的条件下,发报台发出信号,,”
的概率,
029.0
99.04.002.06.0
02.06.0
)|()()|()(
)|()(
)(
)(
)|(
222121
121
2
12
21
?
???
?
?
?
?
?
BAPBPBAPBP
BAPBP
AP
BAP
ABP
?解,设 B1={发出信号,.”},B2={发出信号,-
”},A1={收到信号,.”},A2={收到信号,-”}.由于
B1B2=?,B1∪ B2= Ω,A2=A2B1 ∪ A2B2,于是
?解,由贝叶斯公式得
P(C|A) =P(AC)/P(A)
例, 根据以往的临床录,某种诊断癌症的的试验具有如
下的效果, 若记 A={ 试验反应为阳性 },C={ 被诊断者患有
癌症 },则有 P(A|C )=0,95,)|( CAP =0.95,现在对自然人群
进行普查,设被试验的人患有癌症的概率 P(C)=0.005,试
求 P(C|A),
=0.005× 0.95/[0.005× 0.95+(1-0.005× (1-0.95)]
=0.087
)]|()()|()(/[)|()( CAPCPCAPCPCAPCP ??
§ 5 事件的独立性
? 设 A,B是两事件,若 P(A)>0,可以定义
P(B|A).一般,A的发生对 B发生的概率是
有影响的,这时 P(B|A)≠P(B),若 A的发生
对 B 发 生 的 概 率 没 有 影 响,则有
P(B|A)=P(B),这时有
P(AB)=P(A)P(B|A)=P(A)P(B),
? 例,分别掷两枚硬币,观察其出现正面 (H)和反
面 (T) 的情况, 设事件 A={甲币出现正面
H},B={乙币出现正面 H},则试验的样本空间为
Ω={HH,HT,TH,TT}
A={HH,HT},B={HH,TH},AB={HH}
所以
P(A)=2/4=1/2,P(B)=2/4=1/2,
P(B|A)=1/2,P(AB)=1/4
从而有 P(B|A)=P(B),P(AB)=P(A)P(B).事实上,显
然甲币是否出现正面与乙币是否出现正面是互
不影响的,
例, 一个袋子中装有 6 只黑球,4 只白球，采用有
放回的方式摸球，求
（ 1 ）第一次摸到黑球的条件下，第二次摸到黑
球的概率；
（ 2 ）第二次摸到黑球的概率,
解 设 A表示第一次摸到黑,B表示第二次摸黑球，则
（ 1）
10
6P (A ) ?
2
2
10
6P ( A B ) ?
所以
10
6
10
6
10
6
A)|P ( B
2
2
??
（ 2）
B)AP(P ( A B )B)AP ( A BP ( B ) ????
)A|) P ( BAP(A)|P ( A ) P ( B ??
10
6
10
6
10
4
10
6
10
6
?????
注意到 P（ B|A） =P（ B）即事件 A发生与否对事件 B
发生的概率没有影响，从直观上看，这是很自然的，
因为我们采用的是有放回的摸球，第二次摸球时袋
中球的构成与第一次摸球时完全相同，因此，第一
次摸球的结果当然不会影响第二次摸球，在这种场
合下我们说事件 A与事件 B相互独立,
§ 5.1 两个事件的独立性
? 定义,设 A,B是两事件,如果具有等式
P(AB)=P(A)P(B)
则称 A,B为 相互独立 (Mutual independence)的事件,
定义, 设 A,B为任意两个随机事件，如果
P（ B|A） =P（ B）
即事件 B发生的可能性不受事件 A的影响，则称事
件 B对于事件 A独立,
? 定理,零概率事件与任何事件都是互相独
立的,
证明,设 P(A)=0,B为任一事件,
因为
AB ? A
所以
0=P(AB)≤P(A)
故
P(AB)=0=0P(B)=P(A)P(B)
? 定理,概率为 1的事件与任何事件都是互相独立的,
证明,设 P(A)=1,B为任一事件,则
1=P(A)≤P(A+B)≤1
所以 P(A+B)=1
又 P(A∪ B)=P(A)+P(B)-P(AB)
故 P(AB)=P(B)=P(A)P(B)
证明,
? 定理, 若事件 A 与事件 B 相互独立,则 A 与
B,A 与 B,A 与 B 也相互独立,
"," 独立与相互独立只证 BABA ?
??BB ?因为
BAABBBAAA ???? ???? )(所以
??BAAB ?又因为
)()()( BAPABPAP ??因此
)()()( ABPAPBAP ??所以 )()()( BPAPAP ??
)](1)[( BPAP ?? )()( BPAP?
? 定理,若 P(A)>0,P(B)>0,则 A,B相互独立与 A,B
互不相容不能同时成立,
证明,(1)若 A,B相互独立,则
P(AB)=P(A)P(B)≠0
即 A,B是相容的,
(2)若 A,B互不相容,则
AB=?,P(AB)=0,
因此 0=P(AB)≠ P(A)P(B)>0
? 定理,设 A,B是两事件,且 P(A)>0.则 A,B相互独
立的充要条件是 P(B|A)=P(B)
证明,(必要性 )若 A,B相互独立,即
P(AB)=P(A)P(B),
又 P(A)>0,则
P(B|A)=P(AB)/P(A)
=P(A)P(B)/P(A)
=P(B)
(充分性 )若 P(B|A)=P(B),则
P(AB)=P(A)P(B|A)=P(A)P(B)
? 例,甲, 乙两个战士打靶,甲的命中率为 0.9,乙
的命中率为 0.85,两人同时射击同一目标,各打
一枪,求目标被击中的概率,
解,设 A={甲击中目标 },B={乙击中目
标 },C={目标被击中 },则
P(C)=P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)
=P(A+B)=P(A)+P(B)-P(A)P(B)
=0.9+0.85-0.9× 0.85=0.985
? 例,设一个产品分二道工序独立生产,第一道工
序的次品率为 10%,第二道工序的次品率为 3%.
问该产品的次品率是多少?
)()()()( 2121 APAPAAPAP ??
?解法 1:设 A={任取一件产品为正品 },B={任取一
件产品为次品 },Ai={第 i道工序为正品 }(i=1,2),
则
=(1-10%)(1-3%)=0.873
所以 P(B)=1-P(A)=1-0.873=0.127
)](1)][(1[ 21 APAP ???
? 解法 2,
? 例,设一个产品分二道工序独立生产,第一道工
序的次品率为 10%,第二道工序的次品率为 3%.
问该产品的次品率是多少?
)()( 21 AAPBP ??
)()()( 2121 AAPAPAP ????
)()()()( 2121 APAPAPAP ???
=10%+3%-10%× 3%
=0.127
§ 5.2多个事件的独立性
? 定义,设 A,B,C是三事件,如果具有等式
P(AB)=P(A)P(B)
P(BC)=P(B)P(C)
P(CA)=P(C)P(A)
则 称 三 事 件 A,B,C 两 两 独 立 （ independence
between them ）,
?定义,设 A,B,C是三事件,如果具有等式
P(AB)=P(A)P(B)
P(BC)=P(B)P(C)
P(CA)=P(C)P(A)
P(ABC)=P(A)P(B)P(C)
则称三事件 A,B,C为 相互独立 （ independence
each other ）的事件,
定义,设 A1,A2,…,An是 n个事件,如果对于任意
的 1≤i<j≤n 有
P(AiAj)=P(Ai)P(Aj)
则称这 n个事件 A1,A2,…,An是 两两独立的,
?定义,设 A1,A2,…,A n是 n个事件,如果对于任意
k(1<k≤n),任意 1≤i1<i2<…<ik≤n,具有等式
P(Ai1Ai2…A ik)=P(Ai1)P(Ai2)…P(A ik)
则称 A1,A2,…,A n为 相互独立 的事件,
注意,一组事件两两独立并不能保证它们相互独立,
? 例,设袋中有 4个球,其中 1个涂成白色,1个涂成红
色,1个涂成黄色,1个涂有白,红,黄三种颜色,今
从袋中任取一球,设
A={取出的球涂有白色 },B={取出的球涂有红
色 },C={取出的球涂有黄色 }
试验证事件 A,B,C两两独立,但不相互独立,
验证,易知
P(A)=P(B)=P(C)=1/2,
P(AB)=P(BC)=P(CA)=1/4
所以 P(AB)=P(A)P(B)
P(BC)=P(B)P(C)
P(CA)=P(C)P(A)
即事件 A,B,C两两独立,
但是
P(ABC)=1/4≠
P(A)P(B)P(C)=1/8
P(ABC)≠ P(A)P(B)P(C)
故 A,B,C不相互独立,
§ 5.3 系统的可靠性
? 独立性的作用在系统的可靠性分析中体现
得最为完美,假设某系统由若干个元件联结
而成,而每个元件可能正常工作,也可能失
效,我们称元件能正常工作的概率为该元件
的可靠性,而系统的可靠性是该系统能正常
工作的概率,在下面我们假设各元件是否能
正常工作是相互独立的,记 Ai={第 i个元件
正常工作 },P(Ai)=pi,i=1,2,…,n,由假设 A1,
A2,…,An 相互独立,
串联系统的可靠性
? 由 n 个元件串联而成的系统,只要有一个
元件失效,该系统就失效,因此串联系统的
可靠性为,
p串 =P(A1A2 …A n )
= P(A1) P( A2 ) … P( An )
= p1 p2,.,pn
元件 1 元件 2 元件 n
并联系统的可靠性
? 由 n 个元件并联而成的系统,
只要有一个元件正常工作,则
该系统就不会失效,因此并联
系统的可靠性为,
? 示意图
元件 1
元件 2
元件 n
)( 21 nAAApp ?????并
)(1 21 nAAApp ???并
)()()(1 21 nAPAPApp ???并
)1()1)(1(1 21 npppp ????? ?并
? 例,设由 5个元件组成的系
统如图 1所示,元件的可靠性
分别为 p1,p2,...,p5, 求系
统的可靠性,
? 示意图 1
1 3
2 4
5
示意图 2
1
2
3
4
解,记 Ai={第 i个元件正常工
作 },i=1,2,…,5
(1)若元件 5正常工作,则系统
变为如图 2,它的可靠性为
[1-(1- p1)(1- p2)] [1-(1- p3)(1- p4)]
(2)若元件 5失效,则系统变为如图 3
示意图 3
1
2
3
4
它的可靠性为 1-(1- p1 p3)(1- p2 p4)
由全概率公式知,原系统的可靠性为
p5[1-(1- p1)(1- p2)] [1-(1- p3)(1- p4)]
+(1- p5)[1-(1- p1 p3)(1- p2 p4)]
例, 加工某一种零件需要经过三道工序，设三道工
序的次品率分别为 2%, 3%, 5%,假设各道序是
互不影响的，求加工出来的零件的次品率,
解,设事件 Ai为第 i道工序出现次品（ i=1,2,3），
因为加工出来的零件是次品（设为事件 A），也就
是至少一道工序出现次品
所以有
321 AAAA ???
)AAAP(1)AP(1P ( A ) 321 ??????
=1-98%× 97%× 95%=0.09693
)A) P (A) P (AP(1 321??
方法 1,
方法 2,
)AAP ( AP ( A ) 321 ???
)P ( A)P ( A)P ( A 321 ???
)AAP ( A 321?
)AP ( A)AP ( A)AP ( A 323121 ???
))P(AP ( A))P(AP ( A))P(AP ( A 323121 ???
)P ( A)P ( A)P ( A 321 ???
)) P ( A) P ( AP ( A 321?
=2%+3%+5%-2%× 3%-2%× 5%-3%× 5%
+2%× 3%× 5% =0.09693
例,某彩票每周开奖一次，每一次提供十万分
之一的中奖机会，若你每周买一张彩票，尽管你
坚持十年（每年 52周）之久，你从未中过一次奖
的概率是多少？
解 按假设，每次中奖的概率是 10-5
于是每次未中奖的概率是 1-10-5
十年共购买彩票 520次，每次开奖都是相互独立的
故十年中未中过奖（每次都未中奖）的概率是
P=（ 1-10-5） 520≈0.9948
? 例,设有 8门大炮独立地同时向一目标各射击一
次,若有不少于 2发炮弹命中目标时,目标就被
击毁,如果每门炮命中目标的概率为 0.6,求目
标被击毁的概率,
解,8门大炮独立地同时向一目标各射击一次,相当
于 8重贝努里试验,所求概率为
p= p8(2)+ p8(3)+…+ p 8(8)
=1- p8(0)- p8(1)
=1- C800.60× 0.48+C810.61× 0.47
=0.991
? 例,某人有一串 m把外形相同的钥匙,其中只有一
把能打开家门,有一天该人醉后回家,下意识地
每次从 m把钥匙中随便拿一把去开门,问该人在
第 k次才把门打开的概率是多少?
解,设 A={被取的钥匙能打开门 }
B={第 k次才把门打开 }
由于
P(A)=1/m,P(ā)=1-1/m
B= āā,.,ā A
所以
P(B)=(1/m)[(1-1/m)k-1]
? 例,甲, 乙, 丙三人独立地向同一飞机射击,设三人射
中飞机的概率分别为 0.4,0.5,0.7;一人射中飞机被击
落的概率为 0.2,两人射中飞机被击落的概率为 0.6,三
人射中,则飞机被击落,求飞机被击落的概率,
?解,设 Bi={有 i人射中 }(i=1,2,3),A={飞机被击落 }.则
?P(B1)=0.4× (1-0.5)× (1-0.7)+(1-0.4)× 0.5× (1-0.7)
+(1-0.4)× (1-0.5)× 0.7=0.36
P(B2)=0.4× 0.5× (1-0.7)+0.4× (1-0.5)× 0.7
+(1-0.4)× 0.5× 0.7=0.41
P(B3)=0.4× 0.5× 0.7=0.14
?P(A|B1)=0.2 P(A|B2)=0.6 P(A|B3)=1
且 B1,B2,B3两两互不相容,故有由全概率公式得
P(A)=P(B1)P(A|B1)+P(B2)P(A|B2)+P(B3)P(A|B3)
=0.36× 0.2+0.41× 0.6+0.14× 1=0.458
