第五章 大数定理与中心极限定理
?,概率是频率的稳定值”。前面已经提到，当
随机试验的次数无限增大时，频率总在其概
率附近摆动，逼近某一定值。大数定理就是
从理论上说明这一结果。正态分布是概率论
中的一个重要分布，它有着非常广泛的应用。
中心极限定理阐明，原本不是正态分布的一
般随机变量总和的分布，在一定条件下可以
渐近服从正态分布。这两类定理是概率统计
中的基本理论，在概率统计中具有重要地位。
§ 1 大数定理
? ? 2
2
||
?
??? ???XP
? 定理（契比雪夫 (Chebyshev)不等式）,设随机变
量 X具有数学期望 E(X)=μ,方差 D(X)=σ2,则对于任
意正数 ε,有
? ? 2
2
1
?
??? ????? XP
§ 1.1 契比雪夫 (Chebyshev)不等式
?
??
???
??
??
||
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x
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?
??
????
??
??
||
}{}|{|
kx
kxXPXP
证明 (1)设 X的概率密度为 p(x),则有
(2)设离散型随机变量 X的分布律为 P{X=xk}=pk,则有
?
??
?
?
?? ?
?
||
2
2
)(
||
x
dxxp
x
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2
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k
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k
k px
4
1
4
2}4|20{|
2
2
????XP
? 例,在供暖的季节,住房的平均温度为 20度,标
准差为 2度,试估计住房温度与平均温度的偏差
的绝对值小于 4度的概率的下界,
解
}4|20{| ??XP
}4|20{|1 ???? XP
4
3
4
11 ???
例,已知随机变量 X 的数学期望为 E (X )= μ,方
差 2)( ??XD,当 ?? 2? 和 ?? 3? 时，试用 切比雪夫
不等式求概率 ? ??? ??XP 的近似值,
解
时当 ?? 2?
? ?
? ? 4
1
2
2 2
2
????
?
?
??XP
时当 ?? 3?
? ?
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1
3
3 2
2
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???XP
§ 1.2 大数定律
1}|)(11{|lim
11
??? ??
????
?
n
k
k
n
k
kn XEnXnP
? 定义,设 {Xk}是随机变量序列，数学期望
E(Xk)(k=1,2,...)存在，若对于任意 ε >0，有
则称随机变量序列 {Xn}服从大数定律,
1}|)(11{|lim
11
??? ??
????
?
n
k
k
n
k
kn XEnXnP
,1
1
?
?
?
n
k
kn XnX记
? 定理（契比雪夫 (Chebyshev)大数定律）,设 {Xk}是
两两不相关的随机变量序列,具有数学期望 E(Xk)和方
差 D(Xk)[k=1,2,...].若存在常数 C,使得 D(Xk)
≤C(k=1,2,…),则对于任意给定的 ε>0,恒有
证明
}|)(11{|lim
11
??? ??
????
n
k
k
n
k
kn XEnXnP所以
n
CXD
nXnDXD
n
k
k
n
k
kn ??? ??
?? 11
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???? ?? n
CXD
n
n
n
??
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??
n
k
k
n
k
kn XEnXnEXE
11
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}|)({|lim ????
?? nnn
XEXP
1}|1{|
1
l i m ????
???
??
n
k
k
n
X
n
P
? 推论 (契比雪夫大数定律的特殊情况 ):设 {Xk}是
两两不相关的随机变量序列,具有相同的数学期望
E(Xk)=μ和方差 D(Xk)=σ2(k=1,2,…),则对于任意给
定的 ε>0,恒有
注,
??? ??
??
n
k
k
n
k
k XEnXnE
11
)(
1
)
1
(
例, 设随机变量 ??,,,,
21 nXXX
相互独立，且有如
下表的分布律，问：对随机变量 ??,,,,
21 nXXX
可
否使用大数定理？
iX
2?
0
2
ip
4
1
2
1
4
1
),,,2,1( ?? ni ?
解 因为
??,,,,21 nXXX 相互独立,? ? 0?iXE, ? ? 12 ?iXE
又 ? ? ? ? ? ?? ? 22 iii XEXEXD ?? 101 ???, ? ???,,,2,1 ni ?
所以,满足切比雪夫大数定理的条件,可使用大数定理,
伯努里 大数定律, 设进行 n次独立重复试验，每
次试验中事件 A发生的概率为 p，记 fn为 n次试验中
事件 A发生的频率，则
??? npf
p
n
证明,设
?
?
?
?
0
1
iX
第 i次试验事件 A发生
第 i次试验事件 A不发生
则
)1()(,)( ppXDpXE ii ???
由切 比雪夫大数定律
p
n
X
f
P
n
i
i
n ??
?
? 1
§ 2 中心极限定理
? 在一定条件下,许多随机变量的极限分布是正态分
布,“若一个随机变量 X可以看着许多微小而独立的随
机因素作用的总后果,每一种因素的影响都很小,都有
不起压倒一切的主导作用,则 X一般都可以认为近似
地服从正态分布,”
? 例如对某物的长度进行测量,在测量时有许多随机
因素影响测量的结果,如温度和湿度等因素对测量仪
器的影响,使测量产生误差 X1;测量者观察时视线所产
生的误差 X1;测量者心理和生理上的变化产生的测量
误差 X3;… 显然这些误差是微小的、随机的,而且相互
没有影响,测量的总误差是上述各个因素产生的误差
之和,即 ∑Xi,
? 一般地,在研究许多随机因素产生的总影响时,很多
可以归结为研究相互独立的随机变量之和的分布问
题,而通常这种和的项数都很大,因此,需要构造一个
项数越来越多的随机变量和的序列,
,.,,2,1,
1
??
?
nX
n
i
i
? 我们关心的是当 n→∞ 时,随机变量和 ∑Xi的极限分
布是什么?由于直接研究 ∑Xi的极限分布不方便,故先
将其标准化为,
)(
)(
1
11
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??
?
??
?
?
n
i
i
n
i
i
n
i
i
n
XD
XEX
Y
再来研究随机变量序列 {Yn}的极限分布,
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k n
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n
k
k
n
k
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1
1 1
1
2
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t
n
n
2
2
2
1}{lim
?
? 定义,设 {Xk}为相互独立的随机变量序列,有
有限的数学期望 E(Xk)=μk和方差 D(Xk)=σk2,令
若对于一切实数 x,有
则称随机变量序列 {Xk}服从 中心极限定理,
?
?
?
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n
k
k
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k
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k
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1
1
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2
1
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t
n
n
n
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? 定理 (林德贝尔格 -勒维 (Lindeberg-Levy)定理 ):
设 {Xk}为相互独立的随机变量序列,服从同一分布,
且具有数学期望 E(Xk)=μ和方差 D(Xk)=σ2,则随机变
量
的分布函数 Fn(x),对于任意 x,满足
例, 将一颗骰子连掷 100次，则点数之和不少于
500的概率是多少？
解 设 Xk为第 k 次掷出的点数,k=1,2,…,100,则
X1,…,X 100独立同分布,
12
35
4
49
6
1
)(,
2
7
)(
6
1
2
11 ???? ?
?i
kXDXE
由中心极限定理
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12
35
10
2
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1}500{
1 0 0
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i
XP 0)78.8(1 ????
例,设随机变量 ??,,,,
21 nXXX
相互独立均服从泊松
分布 )2(?, 若随机变量 ?
?
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1 0 0
1
1 0 0
i
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，求 ? ?210190
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解 因为 iX 服从 )2(?, ?,2,1?i
即 ? ? 2
!
2 ??? e
kkXP
k
i,),2,1( ??k
所 以 2)(,2)( ?? ii XDXE, 100,,2,1 ??i
1 0 0Y 近似服从 ? ? ?????? 2210,2 0 0N,于是
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200190
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2
2
2
1
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? 定理 (De Moivre-Laplace中心极限定理 ):设随
机变量 Yn服从二项分布 Yn ~B(n,p),(o<p<1),则对
于任意 x,恒有
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21
2
2
1
}
)1(
{}
)1(
{ l i ml i m
?
证明 设 X1,X2,…,X n是 n个相互独立的服从 (0-1)分布
(P{Xi=0}=1-p,P{Xi=1}=p)的随机变量,则
Yn= X1+X2+…+X n
由于 E(Xi)=p,D(Xi)=p(1-p) (i=1,2,…,n),由此得
例, 设某妇产医院出生男孩的概率为 0,51 5,求在
100 00 个新生儿中，出生的女孩不少于男孩的概率,
解法 1 设 X为 10000个新生儿中男孩个数
则 X服从 B(n,p)，其中 n=10000,p=0.515
由德莫弗 -拉普拉斯中心极限定理，所求概率为
? ?5 0 0 0?XP
?
?
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5000
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np
pnp
npX
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5 0 0 0
pnp
np ? ? 00135.03
)515.01(515.010000
515.0100005000 ????
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个是男孩第
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），，，（ 1000021 ??i
则 ?
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? 1 0 0 0 0
1i
iXX,且 1 0 0 0 021,,,XXX ? 独立同分布
)( iXE?? 515.0)515.01(0515.01 ??????
? ? 222 )()()( iii XEXEXD ???? 22 5 1 5.05 1 5.01 ??? 2 4 9 7 7 5.0?
设 X为 10000个新生儿中男孩个数
则女孩不少于男孩的概率为
? ?5 0 0 0?XP
???
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???
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???
2 4 9 7 7 5.01 0 0 0 0
515.01 0 0 0 05000
2 4 9 7 7 5.01 0 0 0 0
515.01 0 0 0 0XP
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249775.010000
515.0100005000 ????
???
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???
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????
解法 2
12/10020
100
12/10020
520
20
1 ??
??
?
?
? V
V
Z k
k
348.0}105{348.0)387.0(1
2
1
1
}387.0
12/10020
100
{1}
12/10020
100105
12/10020
100
{}105{
3 8 7.0
2
2
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?
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??
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VPdte
V
P
V
PVP
t
即有
?
? 例,一加法器同时收到 20个噪声电压 Vk(k=1,2,…,20),
它们相互独立且都在区间 [0,10]上服从均匀分布,噪声
电压总和 V=V1+V2+…+V 20,求 P{V>105}的近似值,
? 解,易知 E(Vk)=5,D(Vk)=100/12,由独立同分布的中心极
限定理知
近似服从标准正态分布 N(0,1),于是
例, 在一家保险公司里有 10000个人参加寿
命保险，每人每年付 12元保险费。在一年内
一个人死亡的概率为 0.6%，死亡时其家属
可向保险公司领得 1000元，问,
(1)保险公司亏本的概率有多大？
(2)其他条件不变，为使保险公司一年的
利润不少于 60000元，赔偿金至多可设为多
少？
解 设 X表示一年内死亡的人数，则 X~B(n,p),
其中
n= 10000,p=0.6%,
设 Y表示保险公司一年的利润,
Y=10000?12-1000X
于是 由中心极限定理
(1)P{Y<0}=P{10000?12-1000X<0}
=1?P{X?120}
?1 ? ?(7.75)=0;
9.0}6 0 0 0 0{ ??YP
P{Y>60000}=P{10000?12-aX>60000}
=P{X?60000/a}?0.9;
9.0)
994.0006.010000
006.010000
60000
( ?
??
??
? a
（ 2）设赔偿金为 a元，则令
3 0 1 7?? a
由中心极限定理,上式等价于
?,概率是频率的稳定值”。前面已经提到，当
随机试验的次数无限增大时，频率总在其概
率附近摆动，逼近某一定值。大数定理就是
从理论上说明这一结果。正态分布是概率论
中的一个重要分布，它有着非常广泛的应用。
中心极限定理阐明，原本不是正态分布的一
般随机变量总和的分布，在一定条件下可以
渐近服从正态分布。这两类定理是概率统计
中的基本理论，在概率统计中具有重要地位。
§ 1 大数定理
? ? 2
2
||
?
??? ???XP
? 定理（契比雪夫 (Chebyshev)不等式）,设随机变
量 X具有数学期望 E(X)=μ,方差 D(X)=σ2,则对于任
意正数 ε,有
? ? 2
2
1
?
??? ????? XP
§ 1.1 契比雪夫 (Chebyshev)不等式
?
??
???
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||
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x
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?
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证明 (1)设 X的概率密度为 p(x),则有
(2)设离散型随机变量 X的分布律为 P{X=xk}=pk,则有
?
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k px
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? 例,在供暖的季节,住房的平均温度为 20度,标
准差为 2度,试估计住房温度与平均温度的偏差
的绝对值小于 4度的概率的下界,
解
}4|20{| ??XP
}4|20{|1 ???? XP
4
3
4
11 ???
例,已知随机变量 X 的数学期望为 E (X )= μ,方
差 2)( ??XD,当 ?? 2? 和 ?? 3? 时，试用 切比雪夫
不等式求概率 ? ??? ??XP 的近似值,
解
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§ 1.2 大数定律
1}|)(11{|lim
11
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?
n
k
k
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k
kn XEnXnP
? 定义,设 {Xk}是随机变量序列，数学期望
E(Xk)(k=1,2,...)存在，若对于任意 ε >0，有
则称随机变量序列 {Xn}服从大数定律,
1}|)(11{|lim
11
??? ??
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,1
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? 定理（契比雪夫 (Chebyshev)大数定律）,设 {Xk}是
两两不相关的随机变量序列,具有数学期望 E(Xk)和方
差 D(Xk)[k=1,2,...].若存在常数 C,使得 D(Xk)
≤C(k=1,2,…),则对于任意给定的 ε>0,恒有
证明
}|)(11{|lim
11
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kn XEnXnP所以
n
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? 推论 (契比雪夫大数定律的特殊情况 ):设 {Xk}是
两两不相关的随机变量序列,具有相同的数学期望
E(Xk)=μ和方差 D(Xk)=σ2(k=1,2,…),则对于任意给
定的 ε>0,恒有
注,
??? ??
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11
)(
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)
1
(
例, 设随机变量 ??,,,,
21 nXXX
相互独立，且有如
下表的分布律，问：对随机变量 ??,,,,
21 nXXX
可
否使用大数定理？
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解 因为
??,,,,21 nXXX 相互独立,? ? 0?iXE, ? ? 12 ?iXE
又 ? ? ? ? ? ?? ? 22 iii XEXEXD ?? 101 ???, ? ???,,,2,1 ni ?
所以,满足切比雪夫大数定理的条件,可使用大数定理,
伯努里 大数定律, 设进行 n次独立重复试验，每
次试验中事件 A发生的概率为 p，记 fn为 n次试验中
事件 A发生的频率，则
??? npf
p
n
证明,设
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1
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第 i次试验事件 A发生
第 i次试验事件 A不发生
则
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由切 比雪夫大数定律
p
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? 1
§ 2 中心极限定理
? 在一定条件下,许多随机变量的极限分布是正态分
布,“若一个随机变量 X可以看着许多微小而独立的随
机因素作用的总后果,每一种因素的影响都很小,都有
不起压倒一切的主导作用,则 X一般都可以认为近似
地服从正态分布,”
? 例如对某物的长度进行测量,在测量时有许多随机
因素影响测量的结果,如温度和湿度等因素对测量仪
器的影响,使测量产生误差 X1;测量者观察时视线所产
生的误差 X1;测量者心理和生理上的变化产生的测量
误差 X3;… 显然这些误差是微小的、随机的,而且相互
没有影响,测量的总误差是上述各个因素产生的误差
之和,即 ∑Xi,
? 一般地,在研究许多随机因素产生的总影响时,很多
可以归结为研究相互独立的随机变量之和的分布问
题,而通常这种和的项数都很大,因此,需要构造一个
项数越来越多的随机变量和的序列,
,.,,2,1,
1
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nX
n
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? 我们关心的是当 n→∞ 时,随机变量和 ∑Xi的极限分
布是什么?由于直接研究 ∑Xi的极限分布不方便,故先
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再来研究随机变量序列 {Yn}的极限分布,
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? 定义,设 {Xk}为相互独立的随机变量序列,有
有限的数学期望 E(Xk)=μk和方差 D(Xk)=σk2,令
若对于一切实数 x,有
则称随机变量序列 {Xk}服从 中心极限定理,
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? 定理 (林德贝尔格 -勒维 (Lindeberg-Levy)定理 ):
设 {Xk}为相互独立的随机变量序列,服从同一分布,
且具有数学期望 E(Xk)=μ和方差 D(Xk)=σ2,则随机变
量
的分布函数 Fn(x),对于任意 x,满足
例, 将一颗骰子连掷 100次，则点数之和不少于
500的概率是多少？
解 设 Xk为第 k 次掷出的点数,k=1,2,…,100,则
X1,…,X 100独立同分布,
12
35
4
49
6
1
)(,
2
7
)(
6
1
2
11 ???? ?
?i
kXDXE
由中心极限定理
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?
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??
?????
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12
35
10
2
7
100500
1}500{
1 0 0
1i
i
XP 0)78.8(1 ????
例,设随机变量 ??,,,,
21 nXXX
相互独立均服从泊松
分布 )2(?, 若随机变量 ?
?
?
1 0 0
1
1 0 0
i
iXY
，求 ? ?210190
1 0 0 ?? YP
,
解 因为 iX 服从 )2(?, ?,2,1?i
即 ? ? 2
!
2 ??? e
kkXP
k
i,),2,1( ??k
所 以 2)(,2)( ?? ii XDXE, 100,,2,1 ??i
1 0 0Y 近似服从 ? ? ?????? 2210,2 0 0N,于是
? ?210190 1 0 0 ?? YP ??
?
?
???
? ???
???
?
???
? ???
210
200190
210
200210
? ? 52.017 0 7.02 ????
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??
?
??
??
?
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dtex
pnp
npY
P
t
n
n
2
2
2
1
}
)1(
{l i m
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? 定理 (De Moivre-Laplace中心极限定理 ):设随
机变量 Yn服从二项分布 Yn ~B(n,p),(o<p<1),则对
于任意 x,恒有
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??
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??
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??
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dtex
pnp
npY
P
pnp
npX
P
t
n
n
n
i
i
n
21
2
2
1
}
)1(
{}
)1(
{ l i ml i m
?
证明 设 X1,X2,…,X n是 n个相互独立的服从 (0-1)分布
(P{Xi=0}=1-p,P{Xi=1}=p)的随机变量,则
Yn= X1+X2+…+X n
由于 E(Xi)=p,D(Xi)=p(1-p) (i=1,2,…,n),由此得
例, 设某妇产医院出生男孩的概率为 0,51 5,求在
100 00 个新生儿中，出生的女孩不少于男孩的概率,
解法 1 设 X为 10000个新生儿中男孩个数
则 X服从 B(n,p)，其中 n=10000,p=0.515
由德莫弗 -拉普拉斯中心极限定理，所求概率为
? ?5 0 0 0?XP
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
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)1(
5000
)1( pnp
np
pnp
npX
P
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
)1(
5 0 0 0
pnp
np ? ? 00135.03
)515.01(515.010000
515.0100005000 ????
?
?
?
?
?
?
?
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???
????
?
?
?
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个是女孩第
个是男孩第
i0
i1
iX
），，，（ 1000021 ??i
则 ?
?
? 1 0 0 0 0
1i
iXX,且 1 0 0 0 021,,,XXX ? 独立同分布
)( iXE?? 515.0)515.01(0515.01 ??????
? ? 222 )()()( iii XEXEXD ???? 22 5 1 5.05 1 5.01 ??? 2 4 9 7 7 5.0?
设 X为 10000个新生儿中男孩个数
则女孩不少于男孩的概率为
? ?5 0 0 0?XP
???
?
???
?
?
???
?
???
2 4 9 7 7 5.01 0 0 0 0
515.01 0 0 0 05000
2 4 9 7 7 5.01 0 0 0 0
515.01 0 0 0 0XP
? ? 00135.03
249775.010000
515.0100005000 ????
???
?
???
?
?
????
解法 2
12/10020
100
12/10020
520
20
1 ??
??
?
?
? V
V
Z k
k
348.0}105{348.0)387.0(1
2
1
1
}387.0
12/10020
100
{1}
12/10020
100105
12/10020
100
{}105{
3 8 7.0
2
2
????????
?
?
??
?
?
?
??
? ??
?
VPdte
V
P
V
PVP
t
即有
?
? 例,一加法器同时收到 20个噪声电压 Vk(k=1,2,…,20),
它们相互独立且都在区间 [0,10]上服从均匀分布,噪声
电压总和 V=V1+V2+…+V 20,求 P{V>105}的近似值,
? 解,易知 E(Vk)=5,D(Vk)=100/12,由独立同分布的中心极
限定理知
近似服从标准正态分布 N(0,1),于是
例, 在一家保险公司里有 10000个人参加寿
命保险，每人每年付 12元保险费。在一年内
一个人死亡的概率为 0.6%，死亡时其家属
可向保险公司领得 1000元，问,
(1)保险公司亏本的概率有多大？
(2)其他条件不变，为使保险公司一年的
利润不少于 60000元，赔偿金至多可设为多
少？
解 设 X表示一年内死亡的人数，则 X~B(n,p),
其中
n= 10000,p=0.6%,
设 Y表示保险公司一年的利润,
Y=10000?12-1000X
于是 由中心极限定理
(1)P{Y<0}=P{10000?12-1000X<0}
=1?P{X?120}
?1 ? ?(7.75)=0;
9.0}6 0 0 0 0{ ??YP
P{Y>60000}=P{10000?12-aX>60000}
=P{X?60000/a}?0.9;
9.0)
994.0006.010000
006.010000
60000
( ?
??
??
? a
（ 2）设赔偿金为 a元，则令
3 0 1 7?? a
由中心极限定理,上式等价于
