第二章 随机变量及其分布
§ 1 随机变量的概念与离散型随机变量
§ 1.1 随机变量的概念
? 为了全面地研究随机试验的结果,揭示客观存在
着的统计规律性,我们将随机试验的结果与实数
对应起来,将随机试验的结果数量化,引入随机
变量的概念,
在许多带有随机因素的实际问题中,我们往往
只关心某些数据,如电子元件的寿命、车站的候车
人数等等, 此外人们还发现建立数和人或其他事物
的对应关系会带来许多便利,比如每一个学生可以
用一个学号与之对应,城市的每一间房屋可以用一
个门牌号与之对应,工厂生产的同一种型号产品,比
如计算机,可以用一个代码与之对应, 同样,建立数
和基本事件的对应关系将有助于我们利用现有的
一些数学方法对随机现象作进一步的研究,
定义, 设随机试验 E 的样本空间 }{ ???,如果对任意
的基本事件 ???,有一个实数 )( ?XX ? 与之对应,就
称 X 为 随机变量,
? 引入随机变量后,就可以用随机变量 X描述
事件,一般对于任意的实数集合 L,{X ∈L} 表示
事件 {e|X(e)∈L},
通常,我们用大写字母 X,Y,Z等表示随机变量,
例,设 10 件产品中有 8 件合格品和 2 件不合格品,
从中随机抽取一件,令
?
?
?
?
，取到不合格品
， 取到合格品
0
1
X
则 X 是一个随机变量，它只取两个可能值 0 和 1,
如果我们把产品编号,1 到 8 号为合格品,9 到 10 号为
不合格品,样本空间可表示为
},,{
101
?? ???
,其中
i
?
表
示取到第 i 号产品, 这时基本事件与随机变量的对应
关系为
?
?
?
?
?
?
10,9,0
8,,1,1
)(
i
i
X
i
?
?
例,考察一个医院每天的就诊人数 X,则 X 是一个随
机变量,它的取值范围是 ?,2,1,0?X,
例,观察公交车站上乘客的等车时间 X,X 是一个随机
变量,它的取值范围是某一个区间,
例,记录中央电视台新闻联播节目的播出时间长度
X,则 X 也是一个随机变量，它的取值范围也是一
个区间,
§ 1.2 离散型随机变量
定义,如果随机变量 X 所有可能取的值只有有限
个或可列无限多个 ( 即可以和自然数集
},,,2,1{ ?? nN ? 中的元素 1 - 1 对应 ),则称 X 为 离散
型随机变量,
设离散型随机变量 X 所有可能取的值为
?,,21 xx,X 取值为 kx 的概率为
kk pxXP ?? )(
,?,2,1?k,
称为离散型随机变量 X 的 概率分布或分布律,
分布律还可以简单地表示为,
分布律具有以下性质,
?，， 21,0.1 ?? kp k
1.2
1
??
?
?k
kp
X x 1 x 2 … x k …
P p 1 p 2 … p k …
例, 实验室共有 40 台同类仪器,其中有 5 台仪器不能
正常工作, 某班实验课随机取其中的 34 台做实验,求
取到的不能正常工作的仪器台数 X 的分布律,
解 X 的分布律为,
510)(
34
40
34
355,，，， ????
?
k
C
CC
kXP
kk
X 0 1 2 3 4
P p ( 1 - p ) p ( 1 - p ) 2 p ( 1 - p ) 3 p ( 1 - p ) 4
X 0 1 2 3 4
P 0, 5 0, 2 5 0, 1 2 5 0, 0 6 2 5 0, 0 6 2 5
例,设一汽车在开往目的地的道路上需经过四个信号灯,每
个信号灯以 1/2的概率允许或禁止汽车通过,以 X表示汽车
首次停下时,它已通过的信号灯数 (设各信号灯的工作是相
互独立的 ),求 X的分布律,
解 以 p表示每个信号灯禁止汽车通过的概率,易知 X的分
布律为
? 或写成 P{X=k}=(1-p)kp,k=0,1,2,3;P{X=4}=(1-p)4,
? 以 p=1/2代入得
例, 设随机变量 X 具有分布律
5,4,3,2,1,)( ??? kakkXP
（ 1 ）确定常数 a,（ 2 ）计算 )2521( ?? XP 和 )21( ?? XP,
解 （ 1 ）由分布律的性质,得
1
2
65)( 5
1
5
1
????? ??
??
aakkXP
kk
15
1?a
,
(2)
)2521( ?? XP
)21( ?? XP
从而
)2()1( ???? XPXP
5
1
15
2
15
1 ???
5
1
15
2
15
1)2()1( ??????? XPXP
§ 2 0-1分布和二项分布
如果随机变量 X 只取两个值,就称 X 服从两点分布,
一般两点分布取值为 0 和 1,分布律为,
§ 2,1 0-1分布 (两点分布 )
X 0 1
Pk 1-p p
例, 射手每次射击的成绩在 9,5 环以上时被认为
射击成功, 如果每次射击成功的概率为 0,45,令
?
?
?
?
否则
当射击成功
,0
,1
X
则随机变量 X 服从 0 - 1 分布,分布律为
X 0 1
Pk 0.55 0.45
解 令
?
?
?
?
否则
取得合格品
,0
,1
X,则 X 服从 0 - 1 分布,
其分布律为
X 0 1
Pk 0.1 0.6+0.3
取得合格品的概率为 9.0)1( ??XP
例, 商店里有 10 张同类 CD 片,其中 6 张为一级品,3
张为二级品,1 张为不合格品, 顾客购买时任取其中一
张,求取得合格品的概率,
?
?
?
??
当取到正品时
当取到次品时
,1
,0
)( ?XX
?
?
?
??
当取到正品时
当取到次品时
,0
,1
)( ?YY
? 例,在 100件产品中,有 95件正品,5件次品,现从中
随机地取一件,假如取到每件产品的机会都相等,
?若定义随机变量 X为
则有 P{X=0}=0.05,P{X=1}=0.95
?若定义随机变量 Y
为
则有
P{Y=0}=0.95,P{Y=1}=0.05
?从中看到 X,Y都服从 (0-1)分布
将试验重复进行 n 次,每次试验中事件 A 或
者发生,或者不发生, 如果每次试验的结果互不影
响,则称这 n 次试验是相互独立的, 在 n 次重复、
独立试验中,不管哪一次试验,事件 A 发生的概率
保持不变,即不管在哪一次试 验中都有
pAPpAP ??? 1)(,)(
,
§ 2.2 贝努里试验和二项分布
独立试验序列是贝努里 (Ber n o u l l i ) 首先研究
的,故也称为 贝努里试验, 贝努里试验是一种很重
要的数学模型,它在实际中具有广泛的应用, 在 n
重贝努里试验中事件 A 发生的次数 X 是一个随
机变量,如果每次试验中 A 发生的概率为 p,称 X 服
从参 数为
pn,
的 二项分布 或 贝努里分布,记
X ~
),( pnB
,二项分布是概率论中的一种重要分布,
例, 将一枚均匀的骰子连续抛掷 3 次,考察六点出现
的次数及相应的概率,
解 设六点出现的次数为 X,则
设第 i 次抛掷中出现点 6 的事件为 3,2,1,?iA i,则
)61,3(~ BX
578704.0)65()61()65()()0( 30033321 ?????? CAAAPXP
)()1( 321321321 AAAAAAAAAPXP ???? 347222.0)65(61 213 ??? C
)()2( 321321321 AAAAAAAAAPXP ???? 0 6 9 4 4 4.0
6
5)
6
1( 22
3 ??? C
)()3( 321 AAAPXP ?? 0 0 4 6 3 0.0)
6
5()
6
1()
6
1( 033
3
3 ??? C
定理, 如果每次试验中 事件 A 发生的概率为
)10( ?? pp,则在 n 次贝努里试验中事件 A 恰好发生
k 次的概率为
nkqpCkP
knkk
nn
,,1,0,)( ???
?,
其中 pq ?? 1,
证 按独立事件的乘法公式,n 次试验中事件 A 在某
k 次 ( 例如前 k 次 ) 发生而其余 n - k 次不发生的概率应
等于
knk
knk
qpqqqppp ?
?
????????? ? ?? ?? ?? ?? ?? ?
因为我们只考虑事件 A 在 n 次试验中发生 k 次而
不论在哪 k 次发生,所以由组合论可知应有 k
nC
种
不同的方式,按概率加法定理,便得所求概率
knkk
nn qpCkP
???)(
即当随机变量 X ~ ),( pnB 时,
nkqpCkXP knkkn,,1,0,)( ????? ?
? X的概率分布表如下,
X 0 1 2 3 4 5
P
2 4 3
1 0 2 4
4 0 5
1 0 2 4
2 7 0
1 0 2 4
90
1 0 2 4
15
1 0 2 4
1
1 0 2 4
?例,在初三的一个班中,有 1/4的学生成绩优秀,
如果从班中随机地找出 5名学生,那么其中“成
绩优秀的学生数” X服从二项分布 X~B(5,1/4),
即
P{X=k}=C5k 0.25k (1-0.25)5-k
k=0,1,…,5
例, 一办公室内有 8 台计算机,在任一时刻每台计
算机被使用的概率为 0,6,计算机是否被使用相互独
立,问在同一时刻,
(1 ) 恰有 3 台计算机被使用的概率是多少?
(2 ) 至多有 2 台计算机被使用的概率是多少?
(3 ) 至少有 2 台计算机被使用的概率是多少?
解 设 X 为在同一时刻 8 台计算机中被使用的台数,
则 X ~ )6.0,8(B,于是
1239.04.06.0)3()1( 5338 ???? CXP
)2()1()0()2()2( 888 PPPXP ????
622
8
71
8
800
8 4.06.04.06.04.06.0 ?????? CCC
0498.0?
)1()0(1)2()3( 88 PPXP ????
71
8
800
8 4.06.04.06.01 ????? CC
9915.0?
X 0 1 2 3 4 5 6 7 8
P 0.0007 0.0079 0.0413 0.1239 0.2322 0.2787 0.2090 0.0896 0.0168
当 k 从 0 增加时,概率 )( kXP ? 经历了一个从小到大,
又从大变小的过程,事件,5?X,发生的概率最大,
我们称之为 最可能事件,,5 次”为 最可能次数,
一般地,若 X ~ ),( pnB,则当 pn )1( ? 是整数时,X 有两个最
可能次数 pn )1( ? 及 pn )1( ? - 1 ; 当 pn )1( ? 不是整数时,最可
能次数为 ? ?pn )1( ? ( 即 pn )1( ? 的整数部分 ),
§ 2.3 0-1分布和二项分布的关系
由于贝努里试验是 n 次相互独立的重复试验,每次
试验只有两个可能结果,即事件 A 发生或者不发生,
如果令
?
?
?
?
,否则
发生次试验中，第
0
1 Ai
X i
ni,,2,1 ??
则每一个 iX 都服从 0 - 1 分布,且有相同的分布律
X 0 1
Pi 1-p p
ni,,2,1 ??
n 次贝努里试验中 A 发生的次数
nXXXX ???? ?21
即 二项分布随机变量可以分解成 n 个 0 - 1 分布
随机变量之和,而且这 n 个随机变量的取值互不
影响, 反之,n 个取值互不影响的 0 - 1 分布随机变
量之和服从二项分布,
§ 3 泊松分布
如果随机变量 X 所有可能取值为 ?,2,1,0,而取各个
值的概率为
§ 3.1 泊松分布
?,2,1,0,
!
)( ??? ? ke
k
kXP
k
??
其中 0?? 为常数,则称 X 服从参数为 ? 的 泊松分布,记
X ~ )( ??,
泊松分布在实际中具有十分广泛的应用,例
如电话交换台在一个时间间隔内收到的电话呼
唤次数,某路段一个月内发生的交通事故的次数,
车站某时段等车人数及医院每天的就诊人数,在
一个时间间隔内某种放射性物质发出的、经过计
数器的
?
粒子数等都服从泊松分布, 泊松分布也是
概率论中的一种重要分布,
?,1,0,0)( ??? kkXP
1
!!
)(
00
?????? ???
?
?
?
?
??? ???? ?? eekeekkXP
k
k
k
k
易
知
例, 统计资料表明某路口每月交通事故发生次数
服从参数为 6 的泊松分布,求该路口一个月内至少
发生两起交通事故的概率,
解 设该路口每月发生的交通事故次数为 X,由题
设,X ~ )6(?,因此,所求概率为
)1()0(1)2( ?????? XPXPXP
9826.0
!1
6
!0
61 660 ?????? ?? ee即 该路口每月都要发生两起或两起以上交通事故
的概率为 0.9 8 26
例,某商店某种商品日销量 X ~ )5(?,试求以下事件的概率,
(1) 日销 3 件的概率 ;
(2) 日销量不超过 10 件的概率 ;
(3) 在已售出 1 件的条件下,求当日至少售出 3 件的概率,
解
?? )3( XP(1) ?? ?
?
?
?
? ??????
4
5-
3
5 e
!
5
!
5)4()3(
k
k
k
k
kekXPXP
140374.0734974.0875348.0 ???
(2)
9 8 6 3 0 5.00 1 3 6 9 5.01!51)11(1)10( 5
11
?????????? ?
?
?
? ekXPXP
k
k
)1(
)3(
)1(
)}1()3{()13(
?
??
?
??????
XP
XP
XP
XXPXXP
881286.0
993262.0
875348.0
!
5/
!
5
1
5
3
5 ????? ??
?
?
?
?
?
?
k
k
k
k
e
k
e
k
(3)
§ 3.2 二项分布的泊松逼近 二项分布的计算比较复杂, 如果 X ~
),( pnB,当
05.0,20 ?? pn 时,可利用泊松定理作近似计算,
?,2,1,
!
lim)(lim ???? ??
????
ke
k
qpCkXP
k
knkk
nnn
??
np??
泊松定理,
其中
? 例,设某人每次射击的命中率为 0.02.独立射击
400次,试求至少击中两次的概率,
? 解,将每次射击看成一次试验,设击中的次数为 X,
则 X~B(400,0.02),
? X的分布律为
P{X=k}=C400k× 0.02k× 0.98400-k,k=0,1,2,…,400
于是所求概率为
P{X≥2}=1-P{X=0}-P{X=1}
=1-0.98400-400× 0.02× 0.98399
?直接计算上式很麻烦,
例,某地有 2 5 0 0 人参加某种人寿保险,每人在年初
向保险公司交付保险金 200 元,若在一年内投保人
死亡,则由其家属从保险公司领取 5 万元,设该类投
保人死亡率为 0,2%,求保险公司获利不少于 10 万元
的概率,
解 设 X 为投保人中一年内的死亡人数,由题设
知 X ~ %)2.0,2 5 0 0(B, 若投保人中有 X 人死亡,则保险
公司将付出 X5 0 0 0 0 元,而这一年保险公司收入为
XX 500005 0 0 0 0 0500002500200 ???? 元,所求概率为
)8()10000050000500000( ???? XPXP
0 0 2.02 5 0 0
8
0 !
)002.02500( ??
?
?
?
? e
kk
k
kk
k
kC ?
?
?? ? 2 5 0 0
8
0
2 5 0 0 )998.0()002.0(
5
9 !
5
1 ?
?
?
??? e
kk
k 931906.0068094.01 ???
?
?
?
?
???
2
2.0
0 1 7 5.0!2.0}2{
k
k
k
eXP
? 例,设有 80台同类型设备,各台工作是相互独立的,发生故障
的概率都是 0.01,且一台设备的故障由一人处理,考虑两种配
备维修工人的方法,一是由 4人维护,每人负责 20台 ;二是由三
人共同维护 80台,试比较这两种方法在设备发生故障时不能
及时维修的概率的大小,
即有 P{A1+A2+A3+A4}≥0.0175
? 解 按第一种方法,以 X记“第 1人维护的 20台中同一时刻发
生故障的台数”,以事件 Ai={第 i人维护的 20台中发生故障不
能及时维修 }(i=1,2,3,4),则知 80台中发生故障不能及时维修的
概率为
P{A1+A2+A3+A4}≥P{A1}=P{X≥2} 而 X~B(20,0.01),这
时 λ=np=0.2,故有
? 解 按第二种方法,以 Y记 80台中在同一时刻发和故障的台
数,此时 Y ~B(80,0.01),λ=np=0.8,故 80台中发生故障不能及
时维修的概率为
?
?
?
?
???
4
8.0
0091.0
!
8.0}4{
k
k
k
eYP
? 所以第二种方法较第一种方法而言,不仅节约了人力,而
且设备发生故障时不能及时维修的概率要小得多,
? 例,设有 80台同类型设备,各台工作是相互独立的,发生故障
的概率都是 0.01,且一台设备的故障由一人处理,考虑两种配
备维修工人的方法,一是由 4人维护,每人负责 20台 ;二是由三
人共同维护 80台,试比较这两种方法在设备发生故障时不能
及时维修的概率的大小,
§ 4 随机变量的分布函数
§ 4.1 分布函数的定义
对于离散型随机变量,分布律可以用来表示其取各
个可能值的概率,但在实际问题中有许多非离散型
的随机变量,这一类随机变量的取 值是不可列的,
因而不能 像 离散型随机变量那样可以用分布律来
描述,但是我们需要求出它落在某个区间内的概率,
为此我们引入分布函数的概念,
定义, 设 X 是一随机变量,x 是任意实数,函数
)()( xXPxF ??
称为 X 的 分布函数, 随机变量 X 落在任意区间 ],( ba 内的概率可以由
分布函数表示为,
)()()()()( aFbFaXPbXPbXaP ????????
X -1 2 3
P 1 / 4 1 / 2 1 / 4
?
?
?
?
?
?
?
???
???
???
??
?
3,4/12/14/1
32,2/14/1
21,4/1
1,0
)(
x
x
x
x
xF
?
?
?
?
?
?
?
?
??
???
??
?
3,1
32,4/3
21,4/1
1,0
)(
x
x
x
x
xF
?例,设随机变量 X的分布律为
求 X的分布函数,并求
P{X≤1/2},P{3/2<X
≤5/2},P{2≤ X≤ 3},
解,由概率的有限可加性
得
即
? P{X≤1/2}=F(1/2)=1/4
? P{3/2<X ≤5/2}
=F(5/2)-F(3/2)
=3/4 -1/4=1/2
? P{2≤ X≤ 3}
= F(3)-F(2)+P{X=2}
=1-1/4+1/2=3/4
-1 1 2 3
0.25
0.5
1
x
F(x)
F(x)的示意图
§ 4.1.1 离散型随机变量分布函数的计算
? 设离散型随机变量分布律为
P{X=xk}=pk,k=1,2,…
由概率的可列可加性得 X的分布函数为
F(x)= P{X≤ x}=∑P{X≤ xk}=∑ pk
这里和式是对于所有满足 xk≤ x的 k求和,
F( x ) 是一个阶梯函数,它在 x 的每一个可能取值
点
kx
处发生间断,其跳跃度正好是
kp
§ 4.2 分布函数的性质
1, F( x ) 关于 x 单调不减,即当 21 xx ? 时,)()( 21 xFxF ? ;
2, 1)(0 ?? xF, 1)(lim)(,0)(lim)( ???????? ?????? xFFxFF xx ;
3, )()( aFbFbXaP ???? ）（ ; 4, F( x ) 关于 x 右连续,即对任意 ?????? 0x,
都有 )()(lim)0( 000 0 xFxFxF xx ??? ??,
例, 设随机变量 X 的分布函数为
?
?
?
?
?
?
?
?
??
???
??
?
4,1
42,7.0
21,2.0
1,0
)(
x
x
x
x
xF
,
(1 ) 求
)3( ?XP
,
)3
2
1
( ?? XP
及
)2( ?XP;
(2 ) 求 X 的分布律,
解 (1)
7.0)3()3( ??? FXP
)3
2
1( ?? XP 5.02.07.0)
2
1()3( ????? FF
)2(1)2( ???? XPXP
)02()02()2(1 ?????? FFF
8.05.07.01 ????
(2) 由于 )0()0()( 000 ????? xFxFXXP,可得
,2.002.0)1( ?????XP
故 X 的分布律为 X -1 2 4
Pk 0.2 0.5 0.3
)2()2(1 ????? XPXP
,5.02.07.0)2( ????XP
3.07.01)4( ????XP
§ 5 连续型随机变量 例, 设随机变量 X 在区间
],[ ba 上等可能地取值,求
X 的分布函数,
解 当 ax ? 时,,xX ?,是不可能事件,因此
当 bxa ?? 时,
0)()( ??? xXPxF
)()( xXPxF ??
ab
ax
?
??
)()( xXaPaXP ?????
)(0 xXaP ????
当 bx ? 时,,xX ?,是必然事件,从而
1)()( ??? xXPxF
综上所述
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
bx
bxa
ab
ax
ax
xF
,
，
,
1
0
)(
如果令
??
?
?
?
??
???
,其他
，
0
1
)(
)(
bxa
ab
dx
xdF
xf
则有
dttfxF x?
??
?
)()(
§ 5.1 连续型随机变量的定义
定义, 设随机变量 X,如果存在非负可积函数 f ( x ),
使对任意 ?????? x,都有
? ?????
x
dttfxXPxF
)()()(
,
则称 X 为 连续型随机变量,称 f ( x ) 为 X 的 概率密
度函数,简称密度函数或密度,
由微积分学知识可知,连续型随机变量的分布函数
是一个连续函数,
一个连续型随机变量的分布由它的密度函数所
决定,F ( x ) 的值在几何上可以表达为 t 轴 以上,曲线
y = f ( t ) 以下,直线 t = x 以左部分的面积,
设 X为连续型随机变量,则对任意的实数 a<b
)()()( aFbFbXaP ????
? ?? ???? ??? a bab dttfdttfdttf )()()(
即 X落在区间的概率为密度函数 y=f(t)与直线
t=a,t=b及 t轴所围面积,
因此,X取任意单点值 a的概率
0)( ?? aXP
从而
)()( bXaPbXaP ?????
)()( bXaPbXaP ??????
dttfaFbF b
a?
???
)()()(
§ 5.2 密度函数的性质
连续型随机变量的密度函数有如下性质,
0)(.1 ?xf
1)(.2 ??
??
??
dxxf
???? ba dxxfbXaP )()(.3
4,在 )( xf 的连续点上,有 )()( xfdx xdF ?
例, 设随机变量 X 的密度函数为
?
?
?
?
?
?
?
?
?
???
??
?
, 其他
，
，
0
1
2
1
66
2
1
02
)( xx
xx
xf
求分布函数 F ( x ),
解 f(x)的图形如图
当 x <0 时,
当 210 ?? x 时,
2
0
0 20)( xt d tdtxF x ??? ??
??
00)( ?? ? ?? x dtxF
当 121 ?? x 时,236)66(20)( 2212100 ??????? ??? ?? xxdttt d tdtxF x
当 x >1 时,
10)66(20)( 11 212100 ?????? ???? ?? x dtdttt d tdtxF
从而得
?
?
?
?
??
?
?
?
?
????
??
?
?
11
1
2
1
236
2
1
0
00
)(
2
2
x
xxx
xx
x
xF
,
，
,
,
例, 设随机变量 X 的密度函数为
?
?
? ???
?
,其他
，
0
10)1(
)(
xxAx
xf
(1 ) 确定常数 A ;
(2 ) 计算概率
)
2
1
1( ??? XP
,
解 由密度函数性质
(1)
AdxxAxdxxf 65)1()(1 1
0
???? ?? ??
??
,从而
5
6?A
(2)
? ????? 21 1 )()211( dxxfXP 51)1(560 2/100 1 ???? ? dxxxdx
例, 某 批 晶体管的使用寿命 X ( 以小时计 ) 具有密度
函数
?
?
?
?
?
?
?
?
1 0 00
1 0 0
1 0 0
)(
2
x
x
x
xf
，
，
任取其中 5 只,求,
(1 ) 使用最初 1 50 小时内,无一晶体管损坏的概率,
( 2 ) 使用最初 1 50 小时内,至多有一只晶体管损坏的
概率,
解 任一晶体管使用寿命超过 150小时的概率为
3
2100100)()150(
1 5 0
1 5 0 21 5 0
???????
??
????
??
x
dx
x
dxxfXPp
设 Y 为任取的 5 只晶体管中使用寿命超过 150 小时
的晶体管数,则 Y ~ )
3
2
,5(B, 故有
(1)
1 3 1 7.0)31()32()5( 0555 ???? CYP
(2) )5()4()4( ????? YPYPYP
4609.0)
3
1()
3
2(
3
1)
3
2( 055
5
44
5 ????? CC
?
?
?
?
?
???
??
?
其他,0
21,
10,
)( xxa
xx
xp
1)
2
(
2
)()(1
2
1
21
0
22
1
1
0
????????? ???
??
??
axaxxdxxax d xdxxp
?
?
?
?
?
???
??
?
其他,0
21,2
10,
)( xx
xx
xp
? ????? 2 5.1 1 2 5.0)2(}25.1{ dxxXP
? 例,试确定常数 a,使
为某个随机变量 X的概率密度,且计算事件 {1.5<X ≤2}的概率,
? 解 因
所以 a =2,
故
从而
§ 6 均匀分布和指数分布
§ 6.1 均匀分布
设连续型随机变量 X 具有密度函数
?
?
?
?
?
??
?
?
, 其他
，
0
1
)(
bxa
ab
xf
则称 X 服从 [ a,b ] 上的 均匀分布,记 X ~ U [ a,b ],
X~U[a,b]时,分布函数为
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
??
?
?
????
?
? ? ?
? ?
?
??
??
??
a b
a
x
b
a x
a
x
bxdtdt
ab
dt
bxadt
ab
dt
axdt
xF
，
,
,
0
1
0
1
0
0
)(
?
?
?
?
?
?
??
?
?
????
bx
bxa
ab
ax
ax
,
，
,
＝
1
0
均匀分布随机变量 X 的特点是 X 只在某一区间内
取值,且 X 落入该区间中任一相等长度的子区间内
的概率相同,即 X 落入任何子区间的概率仅与该子
区间的长度成正比,而与子区间的位置无关,
事实上,当 ],[],[ balxx ?? 时,
)( lxXxP ???
与 x的取值无关,
ab
l
ab
xlxdt
ab
lx
x ?
?
?
???
?
? ?
?
1
例, 设长途客车到达某一个中途停靠站的时间 T
在 12 点 10 分至 12 点 45 分之间都是等可能的,
某旅客于 12 点 30 分到达车站,等候半个小时后离
开,求他在这段时间能赶上客车的概率,
解 客车停靠时间 T~U[12:10,12:45],其密度函数为
??
?
?
?
???
??
, 其他
，
0
45:1210:12
35
1
1045
1
)(
t
tf
所求概率为 )50:1220:12( ?? TP
7
5
35
145
20
?? ? dt
?
?
?
?
?
??
??
其他,0
1 1 0 0900,
9001 1 0 0
1
)(
x
xp
5.0
200
1}1050950{ 1 0 5 0
9 5 0
???? ? dxRP
? 例,设电阻值 R是一个随机变量,均匀分布在 900
欧至 1100欧,求 R的概率密度及 R落在 950欧至 1050
欧的概率,
解 R的概率密度为
故有
§ 6.2 指数分布
如果随机变量 X 具有密度函数
?
?
?
?
?
?
?
00
0
)(
x
xe
xf
x
，
，
?
?
则称随机变量 X 服从参数为 λ 的 指数分布,其
中 λ >0 为 某 一常数,
指数分布的分布函数为
?
?
?
?
??
?
?
00
01
)(
x
xe
xF
x
,
， ?
指数分布在在实际中有广泛的应用,如电子元件的
寿命,随机服务系统的服务时间等都服从指数分布,
?
?
?
?
?
?
?
.0,0
,0,
)(
3
x
xKe
xp
x
?
?
?
?
?
?
?
0,0
0,
)(
3
x
xKe
xp
x
1
0
3 ?? ?? ? dxKe x
?
?
?
?
?
?
?
.0,0
,0,3
)(
3
x
xe
xp
x
7 4 0 8.03)(}1.0{
1.0
3
1.0
???? ?? ?? ??? dxedxxpXP x
?例,设随机变量 X具有概率密度
试确定常数 K,并求 P{X>0.1},
解 由于
即有
解得 K=3.于是 X的概率密度为
例, 设某种电子元件的寿命 X ( 以年记 ) 服从参数 λ =3
的指数分布,求
( 1 ) 寿命在 0,5 年和 1 年之间的概率 ;
( 2 ) 寿命超过 2 年的概率 ;
( 3 ) 设已经正常使用了 α 年,求还能够继续使用 β 年
的概率,
解 （ 1） )15.0( ?? XP
（ 2） )2( ?XP
35.11
5.0
31
5.0
33 ???? ????? ? eeedxe xx
6
2
3
2
33 ?????? ? ???? ? eedxe xx
（ 3）
)( ??? ??? XXP
?
?
??
3
3
)(3
?
?
??
?? e
e
e
由 )()(13 ??? ????? XPFe,知元件寿命至少为 β 的概率
等于已使用时间为 α 的条件下,剩余寿命至少为 β
的概率,这一性质被称为 指数分布的无记忆性,
)(
)(
?
??
?
??
?
XP
XP
)(
),(
?
???
?
???
?
XP
XXP
)(1
)(1
?
??
F
F
?
??
?
§ 7 正态分布
正态分布是一种最常见的随机变量,正态分布
的一些性质与特点使其在概率论与数理统计理论
中有特别重要的地位,
§ 7.1 正态分布的概念
如果随机变量 X 的概率密度为
???????
?
?
xexf
x
,
2
1
)(
2
2
2
)(
?
?
??
其中 )0(,???? 为常数,则称 X 服从参数为 ??,的 正
态分布 ( 或高斯分布 ),记为 X ~ ),( 2??N
正态分布 ),( 2??N 密度函数 )( xf 的图形关于直线
??x 对称,即对任意常数 a,)()( afaf ??? ??, ??x
时,)( xf 取到最大值
??2
1,
当
1,0 ?? ??
,即 X ~
)1,0(N
时,称 X 服从 标准正态分布,
标准正态分布的专用符号,
密度函数 ??????? ? xex
x
,
2
1
)(
2
2
?
?
分布函数
dtexXPx
t
x
2
2
2
1
)()(
?
??
?????
??
由于积分 dte tx 2 2
2
1 ?
???
?
不能用常规方法计算,我们把分
布函数 )( x? 的值编制成表格
(1) 当 0?x 时，由标准正态分布表可以函数 )( x? 的
数值
(2 ) 已知 b 求 a 使 ba ?? )(,反过来查标准正态分布
表可得 a 的值, 如 9750.0)( ?? a,查表得 96.1?a
( 3 ) 当 0?a 时,利用标准正态分布密度函数 )( x? 图
形的对称性 可 得
)(1)( aa ?????
§ 7.2 一般正态分布概率的计算
定理, 设随机变量 X 服从正态分布 ),( 2??N,则 X 的
分布函数与标准正态分布函数成立以下关系,
)(
2
1
)(
2
2
2
)(
?
?
??
?
?
?
??? ?
??
?
? x
dtexF
x
t
证 dtexF x t?
??
?
?
?
2
2
2
)(
2
1)( ??
??
令 st ??
?
?
于是
dtexF
x
t
? ??
?
?
?
2
2
2
)(
2
1
)( ?
?
?? dse
sx
?
??
?
?
??
?
?
???
2
2
2
1
)(
?
???? x
推论, 若 X ~ ),( 2??N,则对任意实数 ba ?,有
)()()(
?
?
?
? ?
??
?
????
ab
bXaP
例, 设 X ~ )1 0 0,50(N,计算 )6245( ?? XP 和 )1050( ??XP,
解 )45()62()6245( FFXP ????
)]5.0(1[)2.1()5.0()2.1( ??????????
5764.06915.018849.0 ????
)6040()1050( ????? XPXP
1)1(2)]1(1[)1()1()1( ?????????????
6 8 2 6.018 4 1 3.02 ????
)10 5045()10 5062( ??????
)
10
5040()
10
5060( ??????
例, 设 X ~ )36,40(N,求 1x,使 45.0)( 1 ?? xXP,
解
45.0)6 40()()( 111 ?????? xxFxXP
由于 5.0)0( ??,5.045.0 ? 及分布函数的单调性知 0
6
401 ??x
所以
)
6
40( 1 ??? x
查表得
13.06 401 ??? x
从而 22.3940613.0
1 ?????x
55.045.01)
6
40(1 1 ??????? x
例, 设 X ~ )36,40(N,求 2x,使 14.0)( 2 ?? xXP,
解 由 )(1)(
22 xFxXP ???
知
86.0)
6
402 ??? x（
查表得
08.1
6
402 ??x
从而
48.4640608.12 ????x
在自然现象中,大量随机变量都服从或近似服从正
态分布, 在概率论和数理统计的理论研究和实际
应用中正态分布随机变量起着极其重要的作用,
14.0)
6
40(1 2 ????? x
}
5.0
9089
5.0
90{}89{ ????? XPXP
?例,将一温度调节器放置在贮存着某种液体的容器
内,调节器整定在 d℃,液体的温度 X(以 ℃ 计 )是随
机变量,且 X~ N(d,0.52),
(1)若 d=90,求 X小于 89的概率,
(2)若要求保持液体的温度至少为 80 ℃ 的概
率不低于 0.99,问 d至少为多少?
解 (1)所求概率为
)2(1)2()
5.0
9089( ?????????
0 2 2 8.09 7 7 2.01 ???
}5.0805.0{}80{99.0 ddXPXP ??????
解 (2)所求的 d 应满足
即 Φ[(80-d)/0.5] ≤1 -0.99=0.01
故 (80-d)/0.5 ≤ -2.327，即 d>81.1635
?例,将一温度调节器放置在贮存着某种液体的容器内,调
节器整定在 d℃,液体的温度 X(以 ℃ 计 )是随机变量,且
X~N(d,0.52),
(1)若 d=90,求 X小于 89的概率,
(2)若要求保持液体的温度至少为 80 ℃ 的概率不低于
0.99,问 d至少为多少?
)5.080(1}5.0805.0{1 dddXP ?????????
§ 8 随机变量函数的分布
如果已知随机变量 X的分布,另一随机变量 Y=g(X)
是 X的函数,如何求 Y的分布,
§ 8.1 离散型随机变量函数的分布
设 X 为离散型随机变量,其分布律为
?,2,1,)( ??? ipxXP ii
,
随机变量
)( XgY ?
,从而 Y 的所有可能取值为
?,2,1),( ?? ixgy ii
,因此 Y 也是离散型随机变量, 注意到
ji ?
时,也有可能出现
)()( ji xgxg ?
的情况,故 Y 的分布律为
?,2,1),()(
)(
???? ?
?
ixXPyYP
ik
yxg
ki
X -1 0 1 2
P 0, 2 0, 3 0, 1 0, 4
Y 0 1 4
P 0, 1 0, 7 0, 2
例,设随机变量 X的分布律如下表,试求 Y=(X-1)2的
分布律,
解 Y所有可能取的值为 0,1,4.由
P{Y=0}=P{(X-1)2 =0}=P{X=1}=0.1
P{Y=1}=P{(X-1)2 =1}=P{{X=0}+{X=2}}
=P{X=0}+P{X=2}=0.7
P{Y=4}=P{(X-1)2 =4}=P{X=-1}=0.2
即得 Y的分布律为
§ 8.2连续型随机变量函数的分布
设 X 为连续型随机变量,已知其分布函数 )( xF
X
和密
度函数 )( xf
X
,随机变量 )( XgY ?,要求 Y 的分布函数
)( yF Y 和密度函数 )( yf Y,
? 在许多实际问题中, 常需要考虑随机变量函数的
分布,如在一些试验中,所关心的随机变量往往不能
直接测量得到,而是某个能直接测量的随机变量的
函数,在本节中,我们将讨论如何由已知的随机变量
X的分布去求它的函数 Y=f(X)分布,
例,设 X服从参数为 λ 的泊松分布,试求 Y=f(X)的分
布列,其中
?
?
?
?
?
?
??
为奇数
为偶数
x
x
x
xf
,1
0,0
,1
)(
解 易知 Y的可能取值为 -1,0,1,且有
??
?
?
?
??
? ?
??????
0
12
0 )!12(
}12{}1{
k
k
k
ekkXPYP ??
P{Y=0}=P{X=0}=e-λ
??
?
?
?
?
?
????
1
2
1 )!2(
}2{}1{
k
k
k
e
k
kXPYP ??
?
?
?
?
?
??
?
其他,0
40,
8)(
x
x
xp
X
求随机变量 Y=2X+8的概率密度,
解 先求 Y=2X+8的分布函数 FY(y),
}82{}{)( yXPyYPyF Y ?????
于是得 Y=2X+8的概率密度为
)
2
8)(
2
8()( ???? yypyp
XY
例,设随机变量 X具有概率密度
?
?
??
???? 2
8
)(}2 8{
y
X dxxp
yXP
??
?
?
?
?
?
??
?
?
?
其他,0
4
2
8
0,
2
1
)
2
8
(
8
1 yy
??
?
?
? ???
?
其他,0
168,
32
8 yy
例,设随机变量 X具有概率密度 pX(x),-∞< x<∞ 求
Y=X2的概率密度,
解 先求 Y 的分布函数 FY(y),由于 Y=X2 ≥ ０,
故当 y≤0 时,FY(y)=0,当 y>0时有
dxxpyXyP
yXPyYPyF
y
y
X
Y
? ??????
????
)(}{
}{}{)(
2
于是得 Y的概率密度为
0) ],()([
2
1
0,,0{)(
???
??
yypyp
y
yY
XX
yp
例, 设随机变量 X ~ ),( 2??N,求 baXY ?? )0( ?a 的
密度函数,
解 先根据 Y与 X的函数关系式求 Y的分布函数,
)()()( ybaXPyYPyF Y ?????
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
0),(1)(
0),()(
a
a
by
F
a
by
XP
a
a
by
F
a
by
XP
X
X
若
若
????????
??
?
?
?
?
ye
a
e
a
a
abya
by
,
2
1
2
1 2
2
2
2
)(2
)]([
2
)(
?
?
?
?
????
))(,( 2?? aabN ?
即 Y~
从而
?
?
?
?
?
??
?
?
??
?
??
0,
1
)(
0,
1
)(
)(
)(
a
aa
by
f
a
aa
by
f
dy
ydF
yf
X
X
Y
Y
若
若
aa
byf
X
1)( ???
例, 设随机变量 X ~ )1,0(U,求 12 2 ?? XY 的密度函数,
解 X的取值范围为 (0,1),从而 Y的取值范围为 (1,3)
当 1<y<3时,Y的分布函数为
)12()()( 2 yXPyYPyF Y ?????
)2 1()2 1()2 12 1( ??????????? yFyFyXyP XX
由于 x<0时,0)( ?xF
X
从而
0)2 1( ??? yF X
因此当 1<y<3时,
)
2
1()( ?? yFyF
XY
而 1?Y 和 3?Y 是 不
可能事件,从而有
??
?
?
?
??
?
??
????
， 其他
，
0
31
14
2
122
1)
2
1()()( y
y
y
yf
dy
ydF
yf XYY
§ 1 随机变量的概念与离散型随机变量
§ 1.1 随机变量的概念
? 为了全面地研究随机试验的结果,揭示客观存在
着的统计规律性,我们将随机试验的结果与实数
对应起来,将随机试验的结果数量化,引入随机
变量的概念,
在许多带有随机因素的实际问题中,我们往往
只关心某些数据,如电子元件的寿命、车站的候车
人数等等, 此外人们还发现建立数和人或其他事物
的对应关系会带来许多便利,比如每一个学生可以
用一个学号与之对应,城市的每一间房屋可以用一
个门牌号与之对应,工厂生产的同一种型号产品,比
如计算机,可以用一个代码与之对应, 同样,建立数
和基本事件的对应关系将有助于我们利用现有的
一些数学方法对随机现象作进一步的研究,
定义, 设随机试验 E 的样本空间 }{ ???,如果对任意
的基本事件 ???,有一个实数 )( ?XX ? 与之对应,就
称 X 为 随机变量,
? 引入随机变量后,就可以用随机变量 X描述
事件,一般对于任意的实数集合 L,{X ∈L} 表示
事件 {e|X(e)∈L},
通常,我们用大写字母 X,Y,Z等表示随机变量,
例,设 10 件产品中有 8 件合格品和 2 件不合格品,
从中随机抽取一件,令
?
?
?
?
，取到不合格品
， 取到合格品
0
1
X
则 X 是一个随机变量，它只取两个可能值 0 和 1,
如果我们把产品编号,1 到 8 号为合格品,9 到 10 号为
不合格品,样本空间可表示为
},,{
101
?? ???
,其中
i
?
表
示取到第 i 号产品, 这时基本事件与随机变量的对应
关系为
?
?
?
?
?
?
10,9,0
8,,1,1
)(
i
i
X
i
?
?
例,考察一个医院每天的就诊人数 X,则 X 是一个随
机变量,它的取值范围是 ?,2,1,0?X,
例,观察公交车站上乘客的等车时间 X,X 是一个随机
变量,它的取值范围是某一个区间,
例,记录中央电视台新闻联播节目的播出时间长度
X,则 X 也是一个随机变量，它的取值范围也是一
个区间,
§ 1.2 离散型随机变量
定义,如果随机变量 X 所有可能取的值只有有限
个或可列无限多个 ( 即可以和自然数集
},,,2,1{ ?? nN ? 中的元素 1 - 1 对应 ),则称 X 为 离散
型随机变量,
设离散型随机变量 X 所有可能取的值为
?,,21 xx,X 取值为 kx 的概率为
kk pxXP ?? )(
,?,2,1?k,
称为离散型随机变量 X 的 概率分布或分布律,
分布律还可以简单地表示为,
分布律具有以下性质,
?，， 21,0.1 ?? kp k
1.2
1
??
?
?k
kp
X x 1 x 2 … x k …
P p 1 p 2 … p k …
例, 实验室共有 40 台同类仪器,其中有 5 台仪器不能
正常工作, 某班实验课随机取其中的 34 台做实验,求
取到的不能正常工作的仪器台数 X 的分布律,
解 X 的分布律为,
510)(
34
40
34
355,，，， ????
?
k
C
CC
kXP
kk
X 0 1 2 3 4
P p ( 1 - p ) p ( 1 - p ) 2 p ( 1 - p ) 3 p ( 1 - p ) 4
X 0 1 2 3 4
P 0, 5 0, 2 5 0, 1 2 5 0, 0 6 2 5 0, 0 6 2 5
例,设一汽车在开往目的地的道路上需经过四个信号灯,每
个信号灯以 1/2的概率允许或禁止汽车通过,以 X表示汽车
首次停下时,它已通过的信号灯数 (设各信号灯的工作是相
互独立的 ),求 X的分布律,
解 以 p表示每个信号灯禁止汽车通过的概率,易知 X的分
布律为
? 或写成 P{X=k}=(1-p)kp,k=0,1,2,3;P{X=4}=(1-p)4,
? 以 p=1/2代入得
例, 设随机变量 X 具有分布律
5,4,3,2,1,)( ??? kakkXP
（ 1 ）确定常数 a,（ 2 ）计算 )2521( ?? XP 和 )21( ?? XP,
解 （ 1 ）由分布律的性质,得
1
2
65)( 5
1
5
1
????? ??
??
aakkXP
kk
15
1?a
,
(2)
)2521( ?? XP
)21( ?? XP
从而
)2()1( ???? XPXP
5
1
15
2
15
1 ???
5
1
15
2
15
1)2()1( ??????? XPXP
§ 2 0-1分布和二项分布
如果随机变量 X 只取两个值,就称 X 服从两点分布,
一般两点分布取值为 0 和 1,分布律为,
§ 2,1 0-1分布 (两点分布 )
X 0 1
Pk 1-p p
例, 射手每次射击的成绩在 9,5 环以上时被认为
射击成功, 如果每次射击成功的概率为 0,45,令
?
?
?
?
否则
当射击成功
,0
,1
X
则随机变量 X 服从 0 - 1 分布,分布律为
X 0 1
Pk 0.55 0.45
解 令
?
?
?
?
否则
取得合格品
,0
,1
X,则 X 服从 0 - 1 分布,
其分布律为
X 0 1
Pk 0.1 0.6+0.3
取得合格品的概率为 9.0)1( ??XP
例, 商店里有 10 张同类 CD 片,其中 6 张为一级品,3
张为二级品,1 张为不合格品, 顾客购买时任取其中一
张,求取得合格品的概率,
?
?
?
??
当取到正品时
当取到次品时
,1
,0
)( ?XX
?
?
?
??
当取到正品时
当取到次品时
,0
,1
)( ?YY
? 例,在 100件产品中,有 95件正品,5件次品,现从中
随机地取一件,假如取到每件产品的机会都相等,
?若定义随机变量 X为
则有 P{X=0}=0.05,P{X=1}=0.95
?若定义随机变量 Y
为
则有
P{Y=0}=0.95,P{Y=1}=0.05
?从中看到 X,Y都服从 (0-1)分布
将试验重复进行 n 次,每次试验中事件 A 或
者发生,或者不发生, 如果每次试验的结果互不影
响,则称这 n 次试验是相互独立的, 在 n 次重复、
独立试验中,不管哪一次试验,事件 A 发生的概率
保持不变,即不管在哪一次试 验中都有
pAPpAP ??? 1)(,)(
,
§ 2.2 贝努里试验和二项分布
独立试验序列是贝努里 (Ber n o u l l i ) 首先研究
的,故也称为 贝努里试验, 贝努里试验是一种很重
要的数学模型,它在实际中具有广泛的应用, 在 n
重贝努里试验中事件 A 发生的次数 X 是一个随
机变量,如果每次试验中 A 发生的概率为 p,称 X 服
从参 数为
pn,
的 二项分布 或 贝努里分布,记
X ~
),( pnB
,二项分布是概率论中的一种重要分布,
例, 将一枚均匀的骰子连续抛掷 3 次,考察六点出现
的次数及相应的概率,
解 设六点出现的次数为 X,则
设第 i 次抛掷中出现点 6 的事件为 3,2,1,?iA i,则
)61,3(~ BX
578704.0)65()61()65()()0( 30033321 ?????? CAAAPXP
)()1( 321321321 AAAAAAAAAPXP ???? 347222.0)65(61 213 ??? C
)()2( 321321321 AAAAAAAAAPXP ???? 0 6 9 4 4 4.0
6
5)
6
1( 22
3 ??? C
)()3( 321 AAAPXP ?? 0 0 4 6 3 0.0)
6
5()
6
1()
6
1( 033
3
3 ??? C
定理, 如果每次试验中 事件 A 发生的概率为
)10( ?? pp,则在 n 次贝努里试验中事件 A 恰好发生
k 次的概率为
nkqpCkP
knkk
nn
,,1,0,)( ???
?,
其中 pq ?? 1,
证 按独立事件的乘法公式,n 次试验中事件 A 在某
k 次 ( 例如前 k 次 ) 发生而其余 n - k 次不发生的概率应
等于
knk
knk
qpqqqppp ?
?
????????? ? ?? ?? ?? ?? ?? ?
因为我们只考虑事件 A 在 n 次试验中发生 k 次而
不论在哪 k 次发生,所以由组合论可知应有 k
nC
种
不同的方式,按概率加法定理,便得所求概率
knkk
nn qpCkP
???)(
即当随机变量 X ~ ),( pnB 时,
nkqpCkXP knkkn,,1,0,)( ????? ?
? X的概率分布表如下,
X 0 1 2 3 4 5
P
2 4 3
1 0 2 4
4 0 5
1 0 2 4
2 7 0
1 0 2 4
90
1 0 2 4
15
1 0 2 4
1
1 0 2 4
?例,在初三的一个班中,有 1/4的学生成绩优秀,
如果从班中随机地找出 5名学生,那么其中“成
绩优秀的学生数” X服从二项分布 X~B(5,1/4),
即
P{X=k}=C5k 0.25k (1-0.25)5-k
k=0,1,…,5
例, 一办公室内有 8 台计算机,在任一时刻每台计
算机被使用的概率为 0,6,计算机是否被使用相互独
立,问在同一时刻,
(1 ) 恰有 3 台计算机被使用的概率是多少?
(2 ) 至多有 2 台计算机被使用的概率是多少?
(3 ) 至少有 2 台计算机被使用的概率是多少?
解 设 X 为在同一时刻 8 台计算机中被使用的台数,
则 X ~ )6.0,8(B,于是
1239.04.06.0)3()1( 5338 ???? CXP
)2()1()0()2()2( 888 PPPXP ????
622
8
71
8
800
8 4.06.04.06.04.06.0 ?????? CCC
0498.0?
)1()0(1)2()3( 88 PPXP ????
71
8
800
8 4.06.04.06.01 ????? CC
9915.0?
X 0 1 2 3 4 5 6 7 8
P 0.0007 0.0079 0.0413 0.1239 0.2322 0.2787 0.2090 0.0896 0.0168
当 k 从 0 增加时,概率 )( kXP ? 经历了一个从小到大,
又从大变小的过程,事件,5?X,发生的概率最大,
我们称之为 最可能事件,,5 次”为 最可能次数,
一般地,若 X ~ ),( pnB,则当 pn )1( ? 是整数时,X 有两个最
可能次数 pn )1( ? 及 pn )1( ? - 1 ; 当 pn )1( ? 不是整数时,最可
能次数为 ? ?pn )1( ? ( 即 pn )1( ? 的整数部分 ),
§ 2.3 0-1分布和二项分布的关系
由于贝努里试验是 n 次相互独立的重复试验,每次
试验只有两个可能结果,即事件 A 发生或者不发生,
如果令
?
?
?
?
,否则
发生次试验中，第
0
1 Ai
X i
ni,,2,1 ??
则每一个 iX 都服从 0 - 1 分布,且有相同的分布律
X 0 1
Pi 1-p p
ni,,2,1 ??
n 次贝努里试验中 A 发生的次数
nXXXX ???? ?21
即 二项分布随机变量可以分解成 n 个 0 - 1 分布
随机变量之和,而且这 n 个随机变量的取值互不
影响, 反之,n 个取值互不影响的 0 - 1 分布随机变
量之和服从二项分布,
§ 3 泊松分布
如果随机变量 X 所有可能取值为 ?,2,1,0,而取各个
值的概率为
§ 3.1 泊松分布
?,2,1,0,
!
)( ??? ? ke
k
kXP
k
??
其中 0?? 为常数,则称 X 服从参数为 ? 的 泊松分布,记
X ~ )( ??,
泊松分布在实际中具有十分广泛的应用,例
如电话交换台在一个时间间隔内收到的电话呼
唤次数,某路段一个月内发生的交通事故的次数,
车站某时段等车人数及医院每天的就诊人数,在
一个时间间隔内某种放射性物质发出的、经过计
数器的
?
粒子数等都服从泊松分布, 泊松分布也是
概率论中的一种重要分布,
?,1,0,0)( ??? kkXP
1
!!
)(
00
?????? ???
?
?
?
?
??? ???? ?? eekeekkXP
k
k
k
k
易
知
例, 统计资料表明某路口每月交通事故发生次数
服从参数为 6 的泊松分布,求该路口一个月内至少
发生两起交通事故的概率,
解 设该路口每月发生的交通事故次数为 X,由题
设,X ~ )6(?,因此,所求概率为
)1()0(1)2( ?????? XPXPXP
9826.0
!1
6
!0
61 660 ?????? ?? ee即 该路口每月都要发生两起或两起以上交通事故
的概率为 0.9 8 26
例,某商店某种商品日销量 X ~ )5(?,试求以下事件的概率,
(1) 日销 3 件的概率 ;
(2) 日销量不超过 10 件的概率 ;
(3) 在已售出 1 件的条件下,求当日至少售出 3 件的概率,
解
?? )3( XP(1) ?? ?
?
?
?
? ??????
4
5-
3
5 e
!
5
!
5)4()3(
k
k
k
k
kekXPXP
140374.0734974.0875348.0 ???
(2)
9 8 6 3 0 5.00 1 3 6 9 5.01!51)11(1)10( 5
11
?????????? ?
?
?
? ekXPXP
k
k
)1(
)3(
)1(
)}1()3{()13(
?
??
?
??????
XP
XP
XP
XXPXXP
881286.0
993262.0
875348.0
!
5/
!
5
1
5
3
5 ????? ??
?
?
?
?
?
?
k
k
k
k
e
k
e
k
(3)
§ 3.2 二项分布的泊松逼近 二项分布的计算比较复杂, 如果 X ~
),( pnB,当
05.0,20 ?? pn 时,可利用泊松定理作近似计算,
?,2,1,
!
lim)(lim ???? ??
????
ke
k
qpCkXP
k
knkk
nnn
??
np??
泊松定理,
其中
? 例,设某人每次射击的命中率为 0.02.独立射击
400次,试求至少击中两次的概率,
? 解,将每次射击看成一次试验,设击中的次数为 X,
则 X~B(400,0.02),
? X的分布律为
P{X=k}=C400k× 0.02k× 0.98400-k,k=0,1,2,…,400
于是所求概率为
P{X≥2}=1-P{X=0}-P{X=1}
=1-0.98400-400× 0.02× 0.98399
?直接计算上式很麻烦,
例,某地有 2 5 0 0 人参加某种人寿保险,每人在年初
向保险公司交付保险金 200 元,若在一年内投保人
死亡,则由其家属从保险公司领取 5 万元,设该类投
保人死亡率为 0,2%,求保险公司获利不少于 10 万元
的概率,
解 设 X 为投保人中一年内的死亡人数,由题设
知 X ~ %)2.0,2 5 0 0(B, 若投保人中有 X 人死亡,则保险
公司将付出 X5 0 0 0 0 元,而这一年保险公司收入为
XX 500005 0 0 0 0 0500002500200 ???? 元,所求概率为
)8()10000050000500000( ???? XPXP
0 0 2.02 5 0 0
8
0 !
)002.02500( ??
?
?
?
? e
kk
k
kk
k
kC ?
?
?? ? 2 5 0 0
8
0
2 5 0 0 )998.0()002.0(
5
9 !
5
1 ?
?
?
??? e
kk
k 931906.0068094.01 ???
?
?
?
?
???
2
2.0
0 1 7 5.0!2.0}2{
k
k
k
eXP
? 例,设有 80台同类型设备,各台工作是相互独立的,发生故障
的概率都是 0.01,且一台设备的故障由一人处理,考虑两种配
备维修工人的方法,一是由 4人维护,每人负责 20台 ;二是由三
人共同维护 80台,试比较这两种方法在设备发生故障时不能
及时维修的概率的大小,
即有 P{A1+A2+A3+A4}≥0.0175
? 解 按第一种方法,以 X记“第 1人维护的 20台中同一时刻发
生故障的台数”,以事件 Ai={第 i人维护的 20台中发生故障不
能及时维修 }(i=1,2,3,4),则知 80台中发生故障不能及时维修的
概率为
P{A1+A2+A3+A4}≥P{A1}=P{X≥2} 而 X~B(20,0.01),这
时 λ=np=0.2,故有
? 解 按第二种方法,以 Y记 80台中在同一时刻发和故障的台
数,此时 Y ~B(80,0.01),λ=np=0.8,故 80台中发生故障不能及
时维修的概率为
?
?
?
?
???
4
8.0
0091.0
!
8.0}4{
k
k
k
eYP
? 所以第二种方法较第一种方法而言,不仅节约了人力,而
且设备发生故障时不能及时维修的概率要小得多,
? 例,设有 80台同类型设备,各台工作是相互独立的,发生故障
的概率都是 0.01,且一台设备的故障由一人处理,考虑两种配
备维修工人的方法,一是由 4人维护,每人负责 20台 ;二是由三
人共同维护 80台,试比较这两种方法在设备发生故障时不能
及时维修的概率的大小,
§ 4 随机变量的分布函数
§ 4.1 分布函数的定义
对于离散型随机变量,分布律可以用来表示其取各
个可能值的概率,但在实际问题中有许多非离散型
的随机变量,这一类随机变量的取 值是不可列的,
因而不能 像 离散型随机变量那样可以用分布律来
描述,但是我们需要求出它落在某个区间内的概率,
为此我们引入分布函数的概念,
定义, 设 X 是一随机变量,x 是任意实数,函数
)()( xXPxF ??
称为 X 的 分布函数, 随机变量 X 落在任意区间 ],( ba 内的概率可以由
分布函数表示为,
)()()()()( aFbFaXPbXPbXaP ????????
X -1 2 3
P 1 / 4 1 / 2 1 / 4
?
?
?
?
?
?
?
???
???
???
??
?
3,4/12/14/1
32,2/14/1
21,4/1
1,0
)(
x
x
x
x
xF
?
?
?
?
?
?
?
?
??
???
??
?
3,1
32,4/3
21,4/1
1,0
)(
x
x
x
x
xF
?例,设随机变量 X的分布律为
求 X的分布函数,并求
P{X≤1/2},P{3/2<X
≤5/2},P{2≤ X≤ 3},
解,由概率的有限可加性
得
即
? P{X≤1/2}=F(1/2)=1/4
? P{3/2<X ≤5/2}
=F(5/2)-F(3/2)
=3/4 -1/4=1/2
? P{2≤ X≤ 3}
= F(3)-F(2)+P{X=2}
=1-1/4+1/2=3/4
-1 1 2 3
0.25
0.5
1
x
F(x)
F(x)的示意图
§ 4.1.1 离散型随机变量分布函数的计算
? 设离散型随机变量分布律为
P{X=xk}=pk,k=1,2,…
由概率的可列可加性得 X的分布函数为
F(x)= P{X≤ x}=∑P{X≤ xk}=∑ pk
这里和式是对于所有满足 xk≤ x的 k求和,
F( x ) 是一个阶梯函数,它在 x 的每一个可能取值
点
kx
处发生间断,其跳跃度正好是
kp
§ 4.2 分布函数的性质
1, F( x ) 关于 x 单调不减,即当 21 xx ? 时,)()( 21 xFxF ? ;
2, 1)(0 ?? xF, 1)(lim)(,0)(lim)( ???????? ?????? xFFxFF xx ;
3, )()( aFbFbXaP ???? ）（ ; 4, F( x ) 关于 x 右连续,即对任意 ?????? 0x,
都有 )()(lim)0( 000 0 xFxFxF xx ??? ??,
例, 设随机变量 X 的分布函数为
?
?
?
?
?
?
?
?
??
???
??
?
4,1
42,7.0
21,2.0
1,0
)(
x
x
x
x
xF
,
(1 ) 求
)3( ?XP
,
)3
2
1
( ?? XP
及
)2( ?XP;
(2 ) 求 X 的分布律,
解 (1)
7.0)3()3( ??? FXP
)3
2
1( ?? XP 5.02.07.0)
2
1()3( ????? FF
)2(1)2( ???? XPXP
)02()02()2(1 ?????? FFF
8.05.07.01 ????
(2) 由于 )0()0()( 000 ????? xFxFXXP,可得
,2.002.0)1( ?????XP
故 X 的分布律为 X -1 2 4
Pk 0.2 0.5 0.3
)2()2(1 ????? XPXP
,5.02.07.0)2( ????XP
3.07.01)4( ????XP
§ 5 连续型随机变量 例, 设随机变量 X 在区间
],[ ba 上等可能地取值,求
X 的分布函数,
解 当 ax ? 时,,xX ?,是不可能事件,因此
当 bxa ?? 时,
0)()( ??? xXPxF
)()( xXPxF ??
ab
ax
?
??
)()( xXaPaXP ?????
)(0 xXaP ????
当 bx ? 时,,xX ?,是必然事件,从而
1)()( ??? xXPxF
综上所述
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
bx
bxa
ab
ax
ax
xF
,
，
,
1
0
)(
如果令
??
?
?
?
??
???
,其他
，
0
1
)(
)(
bxa
ab
dx
xdF
xf
则有
dttfxF x?
??
?
)()(
§ 5.1 连续型随机变量的定义
定义, 设随机变量 X,如果存在非负可积函数 f ( x ),
使对任意 ?????? x,都有
? ?????
x
dttfxXPxF
)()()(
,
则称 X 为 连续型随机变量,称 f ( x ) 为 X 的 概率密
度函数,简称密度函数或密度,
由微积分学知识可知,连续型随机变量的分布函数
是一个连续函数,
一个连续型随机变量的分布由它的密度函数所
决定,F ( x ) 的值在几何上可以表达为 t 轴 以上,曲线
y = f ( t ) 以下,直线 t = x 以左部分的面积,
设 X为连续型随机变量,则对任意的实数 a<b
)()()( aFbFbXaP ????
? ?? ???? ??? a bab dttfdttfdttf )()()(
即 X落在区间的概率为密度函数 y=f(t)与直线
t=a,t=b及 t轴所围面积,
因此,X取任意单点值 a的概率
0)( ?? aXP
从而
)()( bXaPbXaP ?????
)()( bXaPbXaP ??????
dttfaFbF b
a?
???
)()()(
§ 5.2 密度函数的性质
连续型随机变量的密度函数有如下性质,
0)(.1 ?xf
1)(.2 ??
??
??
dxxf
???? ba dxxfbXaP )()(.3
4,在 )( xf 的连续点上,有 )()( xfdx xdF ?
例, 设随机变量 X 的密度函数为
?
?
?
?
?
?
?
?
?
???
??
?
, 其他
，
，
0
1
2
1
66
2
1
02
)( xx
xx
xf
求分布函数 F ( x ),
解 f(x)的图形如图
当 x <0 时,
当 210 ?? x 时,
2
0
0 20)( xt d tdtxF x ??? ??
??
00)( ?? ? ?? x dtxF
当 121 ?? x 时,236)66(20)( 2212100 ??????? ??? ?? xxdttt d tdtxF x
当 x >1 时,
10)66(20)( 11 212100 ?????? ???? ?? x dtdttt d tdtxF
从而得
?
?
?
?
??
?
?
?
?
????
??
?
?
11
1
2
1
236
2
1
0
00
)(
2
2
x
xxx
xx
x
xF
,
，
,
,
例, 设随机变量 X 的密度函数为
?
?
? ???
?
,其他
，
0
10)1(
)(
xxAx
xf
(1 ) 确定常数 A ;
(2 ) 计算概率
)
2
1
1( ??? XP
,
解 由密度函数性质
(1)
AdxxAxdxxf 65)1()(1 1
0
???? ?? ??
??
,从而
5
6?A
(2)
? ????? 21 1 )()211( dxxfXP 51)1(560 2/100 1 ???? ? dxxxdx
例, 某 批 晶体管的使用寿命 X ( 以小时计 ) 具有密度
函数
?
?
?
?
?
?
?
?
1 0 00
1 0 0
1 0 0
)(
2
x
x
x
xf
，
，
任取其中 5 只,求,
(1 ) 使用最初 1 50 小时内,无一晶体管损坏的概率,
( 2 ) 使用最初 1 50 小时内,至多有一只晶体管损坏的
概率,
解 任一晶体管使用寿命超过 150小时的概率为
3
2100100)()150(
1 5 0
1 5 0 21 5 0
???????
??
????
??
x
dx
x
dxxfXPp
设 Y 为任取的 5 只晶体管中使用寿命超过 150 小时
的晶体管数,则 Y ~ )
3
2
,5(B, 故有
(1)
1 3 1 7.0)31()32()5( 0555 ???? CYP
(2) )5()4()4( ????? YPYPYP
4609.0)
3
1()
3
2(
3
1)
3
2( 055
5
44
5 ????? CC
?
?
?
?
?
???
??
?
其他,0
21,
10,
)( xxa
xx
xp
1)
2
(
2
)()(1
2
1
21
0
22
1
1
0
????????? ???
??
??
axaxxdxxax d xdxxp
?
?
?
?
?
???
??
?
其他,0
21,2
10,
)( xx
xx
xp
? ????? 2 5.1 1 2 5.0)2(}25.1{ dxxXP
? 例,试确定常数 a,使
为某个随机变量 X的概率密度,且计算事件 {1.5<X ≤2}的概率,
? 解 因
所以 a =2,
故
从而
§ 6 均匀分布和指数分布
§ 6.1 均匀分布
设连续型随机变量 X 具有密度函数
?
?
?
?
?
??
?
?
, 其他
，
0
1
)(
bxa
ab
xf
则称 X 服从 [ a,b ] 上的 均匀分布,记 X ~ U [ a,b ],
X~U[a,b]时,分布函数为
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
??
?
?
????
?
? ? ?
? ?
?
??
??
??
a b
a
x
b
a x
a
x
bxdtdt
ab
dt
bxadt
ab
dt
axdt
xF
，
,
,
0
1
0
1
0
0
)(
?
?
?
?
?
?
??
?
?
????
bx
bxa
ab
ax
ax
,
，
,
＝
1
0
均匀分布随机变量 X 的特点是 X 只在某一区间内
取值,且 X 落入该区间中任一相等长度的子区间内
的概率相同,即 X 落入任何子区间的概率仅与该子
区间的长度成正比,而与子区间的位置无关,
事实上,当 ],[],[ balxx ?? 时,
)( lxXxP ???
与 x的取值无关,
ab
l
ab
xlxdt
ab
lx
x ?
?
?
???
?
? ?
?
1
例, 设长途客车到达某一个中途停靠站的时间 T
在 12 点 10 分至 12 点 45 分之间都是等可能的,
某旅客于 12 点 30 分到达车站,等候半个小时后离
开,求他在这段时间能赶上客车的概率,
解 客车停靠时间 T~U[12:10,12:45],其密度函数为
??
?
?
?
???
??
, 其他
，
0
45:1210:12
35
1
1045
1
)(
t
tf
所求概率为 )50:1220:12( ?? TP
7
5
35
145
20
?? ? dt
?
?
?
?
?
??
??
其他,0
1 1 0 0900,
9001 1 0 0
1
)(
x
xp
5.0
200
1}1050950{ 1 0 5 0
9 5 0
???? ? dxRP
? 例,设电阻值 R是一个随机变量,均匀分布在 900
欧至 1100欧,求 R的概率密度及 R落在 950欧至 1050
欧的概率,
解 R的概率密度为
故有
§ 6.2 指数分布
如果随机变量 X 具有密度函数
?
?
?
?
?
?
?
00
0
)(
x
xe
xf
x
，
，
?
?
则称随机变量 X 服从参数为 λ 的 指数分布,其
中 λ >0 为 某 一常数,
指数分布的分布函数为
?
?
?
?
??
?
?
00
01
)(
x
xe
xF
x
,
， ?
指数分布在在实际中有广泛的应用,如电子元件的
寿命,随机服务系统的服务时间等都服从指数分布,
?
?
?
?
?
?
?
.0,0
,0,
)(
3
x
xKe
xp
x
?
?
?
?
?
?
?
0,0
0,
)(
3
x
xKe
xp
x
1
0
3 ?? ?? ? dxKe x
?
?
?
?
?
?
?
.0,0
,0,3
)(
3
x
xe
xp
x
7 4 0 8.03)(}1.0{
1.0
3
1.0
???? ?? ?? ??? dxedxxpXP x
?例,设随机变量 X具有概率密度
试确定常数 K,并求 P{X>0.1},
解 由于
即有
解得 K=3.于是 X的概率密度为
例, 设某种电子元件的寿命 X ( 以年记 ) 服从参数 λ =3
的指数分布,求
( 1 ) 寿命在 0,5 年和 1 年之间的概率 ;
( 2 ) 寿命超过 2 年的概率 ;
( 3 ) 设已经正常使用了 α 年,求还能够继续使用 β 年
的概率,
解 （ 1） )15.0( ?? XP
（ 2） )2( ?XP
35.11
5.0
31
5.0
33 ???? ????? ? eeedxe xx
6
2
3
2
33 ?????? ? ???? ? eedxe xx
（ 3）
)( ??? ??? XXP
?
?
??
3
3
)(3
?
?
??
?? e
e
e
由 )()(13 ??? ????? XPFe,知元件寿命至少为 β 的概率
等于已使用时间为 α 的条件下,剩余寿命至少为 β
的概率,这一性质被称为 指数分布的无记忆性,
)(
)(
?
??
?
??
?
XP
XP
)(
),(
?
???
?
???
?
XP
XXP
)(1
)(1
?
??
F
F
?
??
?
§ 7 正态分布
正态分布是一种最常见的随机变量,正态分布
的一些性质与特点使其在概率论与数理统计理论
中有特别重要的地位,
§ 7.1 正态分布的概念
如果随机变量 X 的概率密度为
???????
?
?
xexf
x
,
2
1
)(
2
2
2
)(
?
?
??
其中 )0(,???? 为常数,则称 X 服从参数为 ??,的 正
态分布 ( 或高斯分布 ),记为 X ~ ),( 2??N
正态分布 ),( 2??N 密度函数 )( xf 的图形关于直线
??x 对称,即对任意常数 a,)()( afaf ??? ??, ??x
时,)( xf 取到最大值
??2
1,
当
1,0 ?? ??
,即 X ~
)1,0(N
时,称 X 服从 标准正态分布,
标准正态分布的专用符号,
密度函数 ??????? ? xex
x
,
2
1
)(
2
2
?
?
分布函数
dtexXPx
t
x
2
2
2
1
)()(
?
??
?????
??
由于积分 dte tx 2 2
2
1 ?
???
?
不能用常规方法计算,我们把分
布函数 )( x? 的值编制成表格
(1) 当 0?x 时，由标准正态分布表可以函数 )( x? 的
数值
(2 ) 已知 b 求 a 使 ba ?? )(,反过来查标准正态分布
表可得 a 的值, 如 9750.0)( ?? a,查表得 96.1?a
( 3 ) 当 0?a 时,利用标准正态分布密度函数 )( x? 图
形的对称性 可 得
)(1)( aa ?????
§ 7.2 一般正态分布概率的计算
定理, 设随机变量 X 服从正态分布 ),( 2??N,则 X 的
分布函数与标准正态分布函数成立以下关系,
)(
2
1
)(
2
2
2
)(
?
?
??
?
?
?
??? ?
??
?
? x
dtexF
x
t
证 dtexF x t?
??
?
?
?
2
2
2
)(
2
1)( ??
??
令 st ??
?
?
于是
dtexF
x
t
? ??
?
?
?
2
2
2
)(
2
1
)( ?
?
?? dse
sx
?
??
?
?
??
?
?
???
2
2
2
1
)(
?
???? x
推论, 若 X ~ ),( 2??N,则对任意实数 ba ?,有
)()()(
?
?
?
? ?
??
?
????
ab
bXaP
例, 设 X ~ )1 0 0,50(N,计算 )6245( ?? XP 和 )1050( ??XP,
解 )45()62()6245( FFXP ????
)]5.0(1[)2.1()5.0()2.1( ??????????
5764.06915.018849.0 ????
)6040()1050( ????? XPXP
1)1(2)]1(1[)1()1()1( ?????????????
6 8 2 6.018 4 1 3.02 ????
)10 5045()10 5062( ??????
)
10
5040()
10
5060( ??????
例, 设 X ~ )36,40(N,求 1x,使 45.0)( 1 ?? xXP,
解
45.0)6 40()()( 111 ?????? xxFxXP
由于 5.0)0( ??,5.045.0 ? 及分布函数的单调性知 0
6
401 ??x
所以
)
6
40( 1 ??? x
查表得
13.06 401 ??? x
从而 22.3940613.0
1 ?????x
55.045.01)
6
40(1 1 ??????? x
例, 设 X ~ )36,40(N,求 2x,使 14.0)( 2 ?? xXP,
解 由 )(1)(
22 xFxXP ???
知
86.0)
6
402 ??? x（
查表得
08.1
6
402 ??x
从而
48.4640608.12 ????x
在自然现象中,大量随机变量都服从或近似服从正
态分布, 在概率论和数理统计的理论研究和实际
应用中正态分布随机变量起着极其重要的作用,
14.0)
6
40(1 2 ????? x
}
5.0
9089
5.0
90{}89{ ????? XPXP
?例,将一温度调节器放置在贮存着某种液体的容器
内,调节器整定在 d℃,液体的温度 X(以 ℃ 计 )是随
机变量,且 X~ N(d,0.52),
(1)若 d=90,求 X小于 89的概率,
(2)若要求保持液体的温度至少为 80 ℃ 的概
率不低于 0.99,问 d至少为多少?
解 (1)所求概率为
)2(1)2()
5.0
9089( ?????????
0 2 2 8.09 7 7 2.01 ???
}5.0805.0{}80{99.0 ddXPXP ??????
解 (2)所求的 d 应满足
即 Φ[(80-d)/0.5] ≤1 -0.99=0.01
故 (80-d)/0.5 ≤ -2.327，即 d>81.1635
?例,将一温度调节器放置在贮存着某种液体的容器内,调
节器整定在 d℃,液体的温度 X(以 ℃ 计 )是随机变量,且
X~N(d,0.52),
(1)若 d=90,求 X小于 89的概率,
(2)若要求保持液体的温度至少为 80 ℃ 的概率不低于
0.99,问 d至少为多少?
)5.080(1}5.0805.0{1 dddXP ?????????
§ 8 随机变量函数的分布
如果已知随机变量 X的分布,另一随机变量 Y=g(X)
是 X的函数,如何求 Y的分布,
§ 8.1 离散型随机变量函数的分布
设 X 为离散型随机变量,其分布律为
?,2,1,)( ??? ipxXP ii
,
随机变量
)( XgY ?
,从而 Y 的所有可能取值为
?,2,1),( ?? ixgy ii
,因此 Y 也是离散型随机变量, 注意到
ji ?
时,也有可能出现
)()( ji xgxg ?
的情况,故 Y 的分布律为
?,2,1),()(
)(
???? ?
?
ixXPyYP
ik
yxg
ki
X -1 0 1 2
P 0, 2 0, 3 0, 1 0, 4
Y 0 1 4
P 0, 1 0, 7 0, 2
例,设随机变量 X的分布律如下表,试求 Y=(X-1)2的
分布律,
解 Y所有可能取的值为 0,1,4.由
P{Y=0}=P{(X-1)2 =0}=P{X=1}=0.1
P{Y=1}=P{(X-1)2 =1}=P{{X=0}+{X=2}}
=P{X=0}+P{X=2}=0.7
P{Y=4}=P{(X-1)2 =4}=P{X=-1}=0.2
即得 Y的分布律为
§ 8.2连续型随机变量函数的分布
设 X 为连续型随机变量,已知其分布函数 )( xF
X
和密
度函数 )( xf
X
,随机变量 )( XgY ?,要求 Y 的分布函数
)( yF Y 和密度函数 )( yf Y,
? 在许多实际问题中, 常需要考虑随机变量函数的
分布,如在一些试验中,所关心的随机变量往往不能
直接测量得到,而是某个能直接测量的随机变量的
函数,在本节中,我们将讨论如何由已知的随机变量
X的分布去求它的函数 Y=f(X)分布,
例,设 X服从参数为 λ 的泊松分布,试求 Y=f(X)的分
布列,其中
?
?
?
?
?
?
??
为奇数
为偶数
x
x
x
xf
,1
0,0
,1
)(
解 易知 Y的可能取值为 -1,0,1,且有
??
?
?
?
??
? ?
??????
0
12
0 )!12(
}12{}1{
k
k
k
ekkXPYP ??
P{Y=0}=P{X=0}=e-λ
??
?
?
?
?
?
????
1
2
1 )!2(
}2{}1{
k
k
k
e
k
kXPYP ??
?
?
?
?
?
??
?
其他,0
40,
8)(
x
x
xp
X
求随机变量 Y=2X+8的概率密度,
解 先求 Y=2X+8的分布函数 FY(y),
}82{}{)( yXPyYPyF Y ?????
于是得 Y=2X+8的概率密度为
)
2
8)(
2
8()( ???? yypyp
XY
例,设随机变量 X具有概率密度
?
?
??
???? 2
8
)(}2 8{
y
X dxxp
yXP
??
?
?
?
?
?
??
?
?
?
其他,0
4
2
8
0,
2
1
)
2
8
(
8
1 yy
??
?
?
? ???
?
其他,0
168,
32
8 yy
例,设随机变量 X具有概率密度 pX(x),-∞< x<∞ 求
Y=X2的概率密度,
解 先求 Y 的分布函数 FY(y),由于 Y=X2 ≥ ０,
故当 y≤0 时,FY(y)=0,当 y>0时有
dxxpyXyP
yXPyYPyF
y
y
X
Y
? ??????
????
)(}{
}{}{)(
2
于是得 Y的概率密度为
0) ],()([
2
1
0,,0{)(
???
??
yypyp
y
yY
XX
yp
例, 设随机变量 X ~ ),( 2??N,求 baXY ?? )0( ?a 的
密度函数,
解 先根据 Y与 X的函数关系式求 Y的分布函数,
)()()( ybaXPyYPyF Y ?????
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
0),(1)(
0),()(
a
a
by
F
a
by
XP
a
a
by
F
a
by
XP
X
X
若
若
????????
??
?
?
?
?
ye
a
e
a
a
abya
by
,
2
1
2
1 2
2
2
2
)(2
)]([
2
)(
?
?
?
?
????
))(,( 2?? aabN ?
即 Y~
从而
?
?
?
?
?
??
?
?
??
?
??
0,
1
)(
0,
1
)(
)(
)(
a
aa
by
f
a
aa
by
f
dy
ydF
yf
X
X
Y
Y
若
若
aa
byf
X
1)( ???
例, 设随机变量 X ~ )1,0(U,求 12 2 ?? XY 的密度函数,
解 X的取值范围为 (0,1),从而 Y的取值范围为 (1,3)
当 1<y<3时,Y的分布函数为
)12()()( 2 yXPyYPyF Y ?????
)2 1()2 1()2 12 1( ??????????? yFyFyXyP XX
由于 x<0时,0)( ?xF
X
从而
0)2 1( ??? yF X
因此当 1<y<3时,
)
2
1()( ?? yFyF
XY
而 1?Y 和 3?Y 是 不
可能事件,从而有
??
?
?
?
??
?
??
????
， 其他
，
0
31
14
2
122
1)
2
1()()( y
y
y
yf
dy
ydF
yf XYY
