第六章 数理统计基础
? 与概率论一样,数理统计也是研究大量
随机现象的统计规律的一门数学学科,
它以概率论为理论基础,根据试验或观
察得到的数据,对研究对象的客观规律
性作出种种合理的估计和科学的推断,
§ 1 数理统计中的几个概念
§ 1.1 总体与个体
? 我们将研究对象的全体所构成的一个集合称为 总
体 或 母体,而把组成总体的每一单元成员称为 个体,
?如为研究某厂生产的电子元件的使用寿命分布情
况，则总体为该厂生产的所有电子元件，而每一个
该厂生产的电子元件都是一个个体, 若总体中包含
有限个个体，称为有限总体；若总体中包含无限个
个体，称为无限总体,
? 在数理统计中,我们将研究对象的某项数量指标的
值的全体称为 总体,总体中的每个元素称为 个体,
? 比如，对电子元件我们主要关心的是其使用寿命,
而该厂生产的所有电子元件的使用寿命取值的全体
，就构成了研究对象的全体，即总体，显然它是一
个随机变量，常用 X表示,
? 为方便起见，今后我们把总体与随机变量 X等同
起来看，即总体就是某随机变量 X可能取值的全体,
它客观上存在一个分布，但我们对其分布一无所知
，或部分未知，正因为如此，才有必要对总体进行
研究,
§ 1.2 简单随机样本
? 对总体进行研究，首先需要获取总体的有关信息,
一般采用两种方法,
? 一是全面调查,如人口普查，该方法常要消耗大量
的人力、物力、财力,有时甚至是不可能的，如测试
某厂生产的所有电子元件的使用寿命,
? 二是抽样调查, 抽样调查是按照一定的方法，从
总体 X中抽取 n个个体,这是我们对总体掌握的信息,
数理统计就是要利用这一信息，对总体进行分析、
估计、推断,因此，要求抽取的这 n个个体应具有很
好的代表性,
? 按机会均等的原则随机地从客观存在的总体
中抽取一些个体进行观察或测试的过程称为 随
机抽样,从总体中抽出的部分个体,叫做总体的一
个 样本,
? 从总体中抽取样本时,不仅要求每一个个体被抽
到的机会均等,同时还要求每次的抽取是独立的,
即每次抽样的结果不影响其他各次的抽样结果,
同时也不受其他各次抽样结果的影响,这种抽样
方法称为 简单随机抽样,由简单随机抽样得到的
样本叫做 简单随机样本,往后如不作特别说明,提
到“样本”总是指简单随机样本,
? 从总体 X中抽取一个个体,就是对随机变量 X进行
一次试验,抽取 n个个体就是对随机变量 X进行 n次
试验,分别记为 X1,X2,…,X n.则样本就是 n维随机变
量 (X1,X2,…,X n).在一次抽样以后,(X1,X2,…,X n)就
有了一组确定的值 (x1,x2,…,x n),称为 样本观测值,样
本观测值 (x1,x2,…,x n)可以看着一个随机试验的一
个结果,它的一切可能结果的全体构成一个样本空
间,称为 子样空间,
简单随机样本具有以下两条重要性质,
（ 1 ）
nX，XX,,,21 ?
间相互独立；
（ 2 ）
nX，XX,,,21 ?
与总体具有相同分布,
?
?
? ?
n
i
in xFxxxF
1
21 )(),...,,(
?
?
? ?
n
i
in xpxxxp
1
21 )(),...,,(
? 定义,设 X是具有分布函数 F(x)的随机变量,若
X1,X2,…,X n是具有同一分布函数 F(x)的相互独立的
随机变量,则称 (X1,X2,…,X n) 为从分布函数 (或总体
F(x),或总体 X)得到的 容量为 n的简单随机样本,简
称样本,它们的观察值 (x1,x2,…,x n )称为 样本值,又称
为 X的 n个独立的观察值,
? 若 (X1,X2,…,X n) 为 X的一个样本,则 (X1,X2,…,X n)
的联合分布函数为
? 若 X具有概率密度 p(x),则 (X1,X2,…,X n )的联合概
率密度函数为
总体、样本、样本观察值的关系
总体
样本 样本观察值
理论分布
统计是从手中已有的资料 —— 样本观察值，去推断
总体的情况 —— 总体分布。样本是联系两者的桥梁
。总体分布决定了样本取值的概率规律，也就是样
本取到样本观察值的规律，因而可以用样本观察值
去推断总体
§ 1.3 统计量
? 定义,设 (X1,X2,…,X n )是来自总体 X的一个样
本,f(X1,X2,…,X n)是关于 X1,X2,…,X n的一个连续函数
且 f(X1,X2,…,X n)中不含有任何未知参数,则称
f(X1,X2,…,X n)是样本 (X1,X2,…,X n )的一个 统计量,
? 设 (x1,x2,…,x n )是相应于样本 (X1,X2,…,X n )的样
本值,则 f(x1,x2,…,x n)称是 f(X1,X2,…,X n)的 观察值,
§ 1.3 常用的统计量
?
?
?
n
i
iXnX
1
1:样本均值
? 设 (X1,X2,…,X n)是来自总体 X的一个样本,则
?
?
?
?
?
n
i
i XXnS
1
2)(
1
1
:样本标准差
?
?
?
?
?
n
i
i XXnS
1
22 )(
1
1:样本方差
,...2,11:
1
?? ?
?
kX
n
Ak
n
i
k
ik阶原点矩样本
,...2,1)(1:
1
??? ?
?
kXX
n
Bk
n
i
k
ik阶中心矩样本
?
?
?
n
i
ixnx
1
1:样本均值观察值
? 设（ x1,x2,…,xn）是样本 (X1,X2,…,X n)的观察值,则
?
?
?
?
?
n
i
i xxns
1
2)(
1
1
:样本标准差观察值
?
?
?
?
?
n
i
i xxns
1
22 )(
1
1:样本方差观察值
,...2,11:
1
?? ?
?
kx
n
ak
n
i
k
ik阶原点矩观察值样本
,...2,1)(1:
1
??? ?
?
kxx
n
bk
n
i
k
ik阶中心矩观察值样本
? 若总体均值 E(X)存在，总体方差 D(X)存在，则
由 X1,X2,?,X n的独立性及同分布性，有
? ? ? ? ? ? ? ?12 nE X E X E X E X? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ?12 nD X D X D X D X? ? ? ?
由于 k
n
kk XXX ?,,
21
也具有相互独立性及与 kX
同分布性,于是
? ? ? ? ? ?12 ()k k k knE X E X E X E X? ? ? ?
n
XDXE
2
)()(
?
???
证明
??
??
????
n
i
i
n
i
i XEnXnEXE
11
)(1)1()(
? 定理,设总体 X的均值为 μ,方差为 σ2,(X1,X2,…,X n)
是 X的一个样本,则有
2
1
2
1
1)(1)1()( ???? ??
?? n
XD
n
X
n
DXD
n
i
i
n
i
i
22 )( ??SE
? 定理,设总体 X的均值为 E(X)=μ,方差 D(X)=σ2,
(X1,X2,…,X n)是 X的一个样本,则有
证明
?
?
?
?
?
? ?
?
? ?
?
2
1
2 )(
1
1)( n
i
i XXnESE
?
?
?
?
?
? ???
?
? ?
?
n
i
i XnXnE
1
22 ])()([
1
1 ??
])()([11 22
1
?? ????? ?
?
XnEXEn
n
i
i
?
?
?
?
?
? ???
?
? ?
?
n
i
i XXnE
1
2)]()[(
1
1 ??
2
2
2
1
)(
1
1])()([
1
1 ??? ???
?
??
?
? ?
? n
nn
n
XnDXD
n
n
i
i
n
XDXE
2
)()(
?
???
).,(~
2
n
NX ??故有
又服从正态分布因为证明,X
).,(~,
),(~),...,,(:
2
2
21
n
NX
NXXXX
n
?
?
???
则样本均值的一个样本
是来自总体设定理
例, 从正态总体 )25,( ?N 中抽取容量为 16 的样本，
试求样本均值 X 与总体均值 ? 之差的绝对值小于 2
的概率,
解
( ),( ) 2 5 1 6,E X D X???
因为
).
16
25,(~ ?NX故有
? ? ? ?22 1, 6
2 5 1 6 2 5 1 6
X
P X P P U
?
?
???
??? ? ? ? ? ?
??
( 1, 6 ) ( 1, 6 ) 2 ( 1, 6 ) 1 2 0, 9 4 5 2 1 0, 8 9 0 4? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
§ 2 数理统计中常用的三个分布
§ 2.1 χ2分布
§ 2.1.1 χ2分布的概念
定义, 若随机变量 X 具有密度函数,
2 1 2
2
1
0
2 ( 2 )()
00
nx
n
x e x
nfx
x
??
?
?
?
??
?
?
?
?
其中，
?
??
??
??
0
1
)( dtetm
tm 称为 ? 函数，则称 X 服从自
由度 n 的 2? 分布，记为
)(~ 2 nxX
,
χ2分布的的密度函数的示意图
§ 2.1.2 χ2分布的构造
? 定理,设 X1,X2,…,X n是相互独立的随机变量,
且 Xi~N(0,1),则统计量
)(~..,2222212 nXXX n ?? ????
.
),(~,22
平均数方和的标准正态随机变量的
个相互独立可分解为则若反之 nXn??
§ 2.1.3 χ2分布的性质
nXEXEE
n
i
i
n
i
i ???? ??
?? 1
2
1
22 )()()(
? 定理,设 χ12 ~χ2(n1),χ22 ~ χ2(n2),且 χ12与 χ22相互独
立,则 χ12 + χ22 ~ χ2(n1 + n2),
证明 由 Γ分布的可加性即可证明,
? 定理,若 χ2 ~ χ2(n),则 E(χ2)=n,D(χ2)=2n,
证明 因 Xi~N(0,1),故 E(Xi2)=D(Xi)=1;
D(Xi2)=E (Xi4)-[E(Xi2)]2=3-1=2,i=1,2,…,n
于是
nXDXDD
n
i
i
n
i
i 2)()()(
1
2
1
22 ???? ??
??
§ 2.1.4 χ2分布的上分位点
对于 ??(0,1)给定,称满足条件,
? ? ????
??
??? ?
?
)(
22
2
)()(
n
dxxfP nn
的点 χn2(?)为 χn2分布的上 ?分位点,
?
??2(n)
§ 2.2 T分布
§ 2.2.1 T分布的概念
定义, 若随机变量 X 具有 密度函数,
2)1(
2
1
)2(
]2)1([
)(
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
n
n
x
nn
n
xf
?
,?????? x
则称 X 为服从自由度 n 的 T 分布,记为 )(~ ntX,
T分布的的密度函数的示意图
§ 2.2.2 T分布的构造
定理,设 X ~N (0,1 ),
)(~
2
nY ?
，且 X 与 Y 相互独
立，则
)(~
/
nt
nY
X
T ?
反之，若 T ~ t ( n ),则有相互独立的 X ~N ( 0,1 ),
)(~
2
nY ?
使
nY
X
T
/
?
§ 2.2.3 T分布的性质
(1) f(t)关于 t=0(纵轴 )对称，且
E(T)=0,D(T)>0
?????
?
???
?
??
x,e
2
1)t()t(fl i m 2t
n
2
(2) f(t)的极限为 N(0,1)的密度函数，即
§ 2.2.4 T分布的上分位点
设 T～ t(n),对于 ??(0,1)给定,称满足条件,
? ? ?
?
? ??? ?
?
)(
)()(
nt
dttfntTP
的点 tn(?)为 t分布的上 ?分位点,
t?(n)
?
注,
)()(1 ntnt ?? ???
)(1 nt ?? )( nt
?
§ 2.3 F分布
§ 2.3.1 F分布的概念
定义：设随机变量 X 具有密度函数,
11
12
2 2 1
1 2 1 2
( ) 2
1 2 1 2
[ ( ) 2 ] ( )
0
() ( 2 ) ( 2 ) [1 ( ) ]
00
nn
nn
n n n n x
x
fx n n n x n
x
?
?
? ??
?
?
? ? ? ?
?
?
?
?
则称 X 服从第一自由度为
1n
，第二自由度为
2n
的
F 分布, 记为
),(~ 21 nnFF
,
F分布的的密度函数的示意图
(n1,n2)=(10,40)
(n1,n2)=(11,3)
O
§ 2.3.2 F分布的构造
? 定理,设 X ~ χ2(n1),Y ~ χ2(n2),且 X,Y独立,则随机
变量
),(~
/
/
21
2
1 nnF
nY
nX
F ?
.
/
/
)(~),(~
),,(~,
2
1
2
2
1
2
21
nY
nX
FnYnX
nnFF
?使
量则有相互独立的随机变若反之
??
§ 2.3.3 F分布的性质
),(
1),(
12
211 nnFnnF
?
? ??
定理,
?? ??? ? 1)},({ 211 nnFFP
证明,设 F~F(n1,n2),则
?
?
???
?
1}
),(
11
{
211 nnFF
P
),(~1 12 nnF
F
?
?
??
?
}
),(
11{
211 nnFF
P
?? ?? )},(1{ 12 nnF
F
P
得证 !
§ 2.3.4 F分布的上分位点
设 F (n1,n2),对于给定的 a,0<a<1,称满足条件
的点 F? (n1,n2)为 F分布的上 ?分位点,
O F?(n1,n2)
?
?
?
? ??? ?
?
),(21 21
d)()},({
nnF
yypnnFFP
例,设 ),,,(
1021 XXX ?
是来自总体 )3.0,0( 2N 的样本,
求 ?
?
?
?
?
?
??
?
10
1
2 44.1
i
iXP
,
解 将 10,,2,1,??iX i 标准化得 10,,2,1),1,0(~
3.0
0 ??? iNX i,
由 2? 分布的构造知,)10(~
3.0
2
210
1
??
?
??????
i
iX,
因此有
?
?
??
?
? ??
?
10
1
2 44.1
i
iXP ??
?
?
?
??
?
?
?
??
?
??
?
?? ?
?
10
1
2
09.0
44.1
3.0i
iXP
??
?
?
?
??
?
?
?
??
?
??
?
?? ?
?
10
1
2
16
3.0i
iXP 1.0?
例, 设
921,,,XXX ?
和
921,,,YYY ?
是来自同一总体
N(0,9) 的两个独立的样本,统计量,
??
??
?
9
1
2
9
1
)(
i
i
i
i YXZ
试确定 Z的分布,
解 由样本的同分布性知,
9,,2,1),9,0(~),9,0(~ ??iNYNX ii
由此得,
)1,0(~91
9
1
NX
i
i?
? )9(~93
2
9
1
229
1
???
??
??
?
??
?
?
i
i
i
i YY
由 t分布的构造知,
)9(~
9
9
9
1
9
1
2
9
1
9
1
2
9
1 tZ
Y
X
Y
X
i
i
i
i
i
i
i
i
??
?
?
?
?
?
?
?
?
,
,10,)P ( X
),1,0(~
分位点为标准正态分布的上则称点
满足条件若设
?
??
?
?
?
u
u
uNX
????
57.2
6 4 5.1u
u
57.2
6 4 5.1u
9 9 5.0
0, 9 5
-1
0 0 5.0
0, 0 5
??
??
??
?
?
u
u
u
??
查表可知
0
x
)(x?
?
?u??1u
§ 3 一个正态总体下的统计量的分布
n
XDXE
2
)()(
?
???
).,(~
2
n
NX ??故有
).,(~,
),(~),...,,(:
2
2
21
n
NX
NXXXX
n
?
?
??
则样本均值的一个样本
是来自总体设定理
证明
又服从正态分布因为,X
)1(~
)(
)1(
)2(
2
2
1
2
2
2
?
?
?
?
?
?
? n
XX
Sn
n
i
i
?
??
? 定理,设 (X1,X2,…,X n)是来自总体 X~N(μ,σ2)的
一个样本,则;)1( 2 相互独立与样本方差样本均值 SX?
)1(~)( ?? nt
S
nX ?
)1,0(~
)(
/
,),(~
2
N
Xn
n
X
n
NX
?
?
?
??
?
?
?
?
即因为
)1(~
)(
)1( 2
2
1
2
2
2
?
?
?
? ? ?
n
XX
Sn
n
i
i
?
??
又
且它们表示的随机变量是相互独立的,故
则本方差分别为其样本均值与样与一个样本
的是来自总体设定理
,,
),(~),...,,(:
2
2
21
SX
NXXXX n ???
证明
)1(~
/)(
)1(
)1(
2
2
?
?
?
?
?
?
? nt
S
nX
n
Sn
n
X
T
?
?
?
?
例, 设总体 ),3(~ 2?NX,有 n = 1 0 的样本,样本方差 42 ?s,
求样本均值 X 落在 2, 1 2 5 3 到 3, 8 7 4 7 之间的概率,
解
)9(~
10/2
3 tX
nS
X ??? ?
)8 7 4 7.31 2 5 3.2( ?? XP
.3830.1
102
33830.1
???
?
???
?
????? XP
由分布表得
3 8 3 0.1)9(1.0 ?t
8.01.021)8747.31253.2( ?????? XP
???
?
???
? ?
?????
102
38747.3
102
3
102
31253.2 XP
例, 设总体 )4,(~ ?NX,有样本
nXXX,,,21 ?
,当样本容
量 n 为多大时,使,95.0)1.0|(| ??? ?XP
解
)1,0(~
/2
N
n
X
n
X ?
?
? ???
( 0, 0 5 ) ( 1 0, 9 5 ) / 2 0, 9 7 5n? ? ? ?
)1.0|(| ?? ?XP ???
?
???
? ?????
nn
X
n
P
/2
1.0
/2/2
1.0 ?
)05.0()05.0( nn ????? 95.01)05.0(2 ???? n
所以
由于,( 1, 9 6 ) 0, 9 7 5??,即 96.105.0 ?n,
于是得 1 5 3 6, 6n ?,1537?
例, 设
1021,,,XXX ?
是来自总体 )4,(~ ?NX 的样本,
求样本方差 2S 大于 2, 6 2 2 的概率,
解
)9(~4 )110( 2
2
?S?
2 2 29 9 9( 2, 6 2 2 ) 2, 6 2 2 5, 8 9 9 5,
4 4 4P S P S P S
? ? ? ?? ? ? ? ? ?
? ? ? ?? ? ? ?
查表得
8 9 9.5)9(2 75.0 ?x
则有 75.0)622.2(
2 ??SP
由于
§ 4 两个正态总体下的统计量的分布
??
??
??
??
?
?
??
?
?
??
YY
XX
n
i
i
Y
Y
n
i
i
Y
YYnY
n
i
i
X
X
n
i
i
X
XX
nX
YY
n
SY
n
Y
NYYYY
XX
n
SX
n
X
NX
XXXYX
1
22
1
2
21
1
22
1
2
21
)(
1
1
,
1
,),(~),...,,(
)(
1
1
,
1
:),(~
),...,,(,
的一个样本是来自总体
的一个样本总体
是来自相互独立与设总体
??
??
)1,0(~
//
)()(
22
N
nn
YX
YYXX
YX
??
??
?
???
定理,
证
独立与由于 ),(~),(~
22
Y
Y
Y
X
X
X nNYnNX
?
?
?
?
),(~
22
Y
Y
X
X
YX nnNYX
??
?? ???所以
)1,0(~
//
)()(
22
N
nn
YX
YYXX
YX
??
??
?
???
因此
)2(~
11
)()(
??
?
???
YX
YX
w
YX nnt
nn
S
YX ??
2
)1()1( 222
??
???
?
YX
YYXX
W
nn
SnSn
S
其中
? 注,此定理只有在两个总体的方差相等时才成立,
则本方差分别为其样本均值与样与一个样本
的是来自总体值与样本方差
分别为其样本均与的一个样本总体
是来自相互独立与设总体定理;,
),(~),...,,(;
,),(~
),...,,(,:
2
2
21
22
21
Y
YnY
XX
nX
SY
NYYYY
SXNX
XXXYX
??
??
?
),(~
2
X
X nNX
??
)1,0(~
11
)()(
N
nn
YX
U
YX
YX
??
?????
?
?
),(~
2
Y
Y nNY
??
)1(~
)1( 2
2
2
?
?
X
X nSn X ?
? )1(~
)1( 2
2
2
?
?
Y
Y nSn Y ?
?
)2(~)1()1( 22
2
2
2
??????
?
YX
YYXX nnSnSnV ?
??
)2(~
11
)()(
)2/(
??
?
???
?
??
? YX
YX
w
YX
YX
nnt
nn
S
YX
nnV
U
T
??
? 证明, (1)因为
所以
(2)因为
(3)故
所以
)1,1(~2
2
2
2
???? YX
X
Y
Y
X nnF
S
S
F
?
?
)1,1(~2
2
??? YX
Y
X nnF
S
S
F
特别,当 σX2 = σY2时,有
则为其样本方差
的一个样本是来自总体
为其样本方差的一个样本自总体
是来相互独立与设总体定理;
,),(~),...,,(;,),(~
),...,,(,:
2
2
21
22
21
Y
YYnY
XXX
nX
S
NYYYY
SNX
XXXYX
??
??
?
证
)1(~
)1( 2
2
2
?
?
X
X
X nSn X ?
? )1(~
)1( 2
2
2
?
?
Y
Y
Y nSn Y ?
?
),(~
)1/(
)1(
)1/(
)1(
2
2
2
2
YX
Y
Y
Y
X
X
X
nnF
n
Sn
n
Sn
Y
X
?
?
?
?
?
?
),(~2
2
2
2
YX
X
Y nnF
S
S
Y
X
?
?
?
由 F分布的构造知
即
由于
且相互独立
例, 设总体 )1,5(~),1,6(~ NYNX 有 10
21 ?? nn
的两个独
立样本，求两个样本均值之差 YX ? 小于 1,3 的概率,
解
)1,0(~
10/110/1
)56()( NYX
?
???
)3.1( ?? YXP
???
?
???
?
?
???
?
????
10/110/1
)56(3.1
10/110/1
)56()( YXP
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
???
? 67.0
10/110/1
)56()( YX
P
7486.0)67.0( ???
例, 设总体 ),5(~),,6(~ 2
2
2
1 ?? NYNX
有 10
21 ?? nn
的两
个独立样本,9816.0,9130.0 2
2
2
1 ?? ss
,求两个样本均
值之差 YX ? 小于 1, 3 的概率,
解
)18(~
10/110/1
)56()( t
S
YX
?
???
?
其中
2
)1()1(
21
2
22
2
112
??
????
nn
SnSnS
? 29733.018
9816.099130.09 ?????
则
)3.1( ?? YXP ? ? ? ? ? ?
???
?
???
?
?
???
?
????
10/110/19733.0
563.1
10/110/19733.0
56YXP
? ? ? ?
???
?
???
? ?
?
???? 6884.0
10/110/19733.0
56YXP
6 8 8 4.0)18(25.0 ?t ? ? 75.025.013.1 ????? YXP
例, 设总体 )5,(~),3,(~ ?? NYNX 有 15,
21 ?? nn
的两个
独立样本，求两个 样本 方 差 之 比 2
2
2
1 / SS
YX ? 大 于
1,2 7 2 的概率,
解
)14,9(~
3
5
2
2
2
1 F
S
S ?
22
11 551, 2 7 2 1, 2 7 2
33
SSPP? ? ? ?? ? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ?
??
?
?
??
?
?
??? 12.2
3
5
2
2
2
1
S
SP
? ? 12.214,91.0 ?F
1.02 7 2.12
2
2
1 ?
???
?
???
?
?
S
SP
因为
所以
查表得
因此
? 与概率论一样,数理统计也是研究大量
随机现象的统计规律的一门数学学科,
它以概率论为理论基础,根据试验或观
察得到的数据,对研究对象的客观规律
性作出种种合理的估计和科学的推断,
§ 1 数理统计中的几个概念
§ 1.1 总体与个体
? 我们将研究对象的全体所构成的一个集合称为 总
体 或 母体,而把组成总体的每一单元成员称为 个体,
?如为研究某厂生产的电子元件的使用寿命分布情
况，则总体为该厂生产的所有电子元件，而每一个
该厂生产的电子元件都是一个个体, 若总体中包含
有限个个体，称为有限总体；若总体中包含无限个
个体，称为无限总体,
? 在数理统计中,我们将研究对象的某项数量指标的
值的全体称为 总体,总体中的每个元素称为 个体,
? 比如，对电子元件我们主要关心的是其使用寿命,
而该厂生产的所有电子元件的使用寿命取值的全体
，就构成了研究对象的全体，即总体，显然它是一
个随机变量，常用 X表示,
? 为方便起见，今后我们把总体与随机变量 X等同
起来看，即总体就是某随机变量 X可能取值的全体,
它客观上存在一个分布，但我们对其分布一无所知
，或部分未知，正因为如此，才有必要对总体进行
研究,
§ 1.2 简单随机样本
? 对总体进行研究，首先需要获取总体的有关信息,
一般采用两种方法,
? 一是全面调查,如人口普查，该方法常要消耗大量
的人力、物力、财力,有时甚至是不可能的，如测试
某厂生产的所有电子元件的使用寿命,
? 二是抽样调查, 抽样调查是按照一定的方法，从
总体 X中抽取 n个个体,这是我们对总体掌握的信息,
数理统计就是要利用这一信息，对总体进行分析、
估计、推断,因此，要求抽取的这 n个个体应具有很
好的代表性,
? 按机会均等的原则随机地从客观存在的总体
中抽取一些个体进行观察或测试的过程称为 随
机抽样,从总体中抽出的部分个体,叫做总体的一
个 样本,
? 从总体中抽取样本时,不仅要求每一个个体被抽
到的机会均等,同时还要求每次的抽取是独立的,
即每次抽样的结果不影响其他各次的抽样结果,
同时也不受其他各次抽样结果的影响,这种抽样
方法称为 简单随机抽样,由简单随机抽样得到的
样本叫做 简单随机样本,往后如不作特别说明,提
到“样本”总是指简单随机样本,
? 从总体 X中抽取一个个体,就是对随机变量 X进行
一次试验,抽取 n个个体就是对随机变量 X进行 n次
试验,分别记为 X1,X2,…,X n.则样本就是 n维随机变
量 (X1,X2,…,X n).在一次抽样以后,(X1,X2,…,X n)就
有了一组确定的值 (x1,x2,…,x n),称为 样本观测值,样
本观测值 (x1,x2,…,x n)可以看着一个随机试验的一
个结果,它的一切可能结果的全体构成一个样本空
间,称为 子样空间,
简单随机样本具有以下两条重要性质,
（ 1 ）
nX，XX,,,21 ?
间相互独立；
（ 2 ）
nX，XX,,,21 ?
与总体具有相同分布,
?
?
? ?
n
i
in xFxxxF
1
21 )(),...,,(
?
?
? ?
n
i
in xpxxxp
1
21 )(),...,,(
? 定义,设 X是具有分布函数 F(x)的随机变量,若
X1,X2,…,X n是具有同一分布函数 F(x)的相互独立的
随机变量,则称 (X1,X2,…,X n) 为从分布函数 (或总体
F(x),或总体 X)得到的 容量为 n的简单随机样本,简
称样本,它们的观察值 (x1,x2,…,x n )称为 样本值,又称
为 X的 n个独立的观察值,
? 若 (X1,X2,…,X n) 为 X的一个样本,则 (X1,X2,…,X n)
的联合分布函数为
? 若 X具有概率密度 p(x),则 (X1,X2,…,X n )的联合概
率密度函数为
总体、样本、样本观察值的关系
总体
样本 样本观察值
理论分布
统计是从手中已有的资料 —— 样本观察值，去推断
总体的情况 —— 总体分布。样本是联系两者的桥梁
。总体分布决定了样本取值的概率规律，也就是样
本取到样本观察值的规律，因而可以用样本观察值
去推断总体
§ 1.3 统计量
? 定义,设 (X1,X2,…,X n )是来自总体 X的一个样
本,f(X1,X2,…,X n)是关于 X1,X2,…,X n的一个连续函数
且 f(X1,X2,…,X n)中不含有任何未知参数,则称
f(X1,X2,…,X n)是样本 (X1,X2,…,X n )的一个 统计量,
? 设 (x1,x2,…,x n )是相应于样本 (X1,X2,…,X n )的样
本值,则 f(x1,x2,…,x n)称是 f(X1,X2,…,X n)的 观察值,
§ 1.3 常用的统计量
?
?
?
n
i
iXnX
1
1:样本均值
? 设 (X1,X2,…,X n)是来自总体 X的一个样本,则
?
?
?
?
?
n
i
i XXnS
1
2)(
1
1
:样本标准差
?
?
?
?
?
n
i
i XXnS
1
22 )(
1
1:样本方差
,...2,11:
1
?? ?
?
kX
n
Ak
n
i
k
ik阶原点矩样本
,...2,1)(1:
1
??? ?
?
kXX
n
Bk
n
i
k
ik阶中心矩样本
?
?
?
n
i
ixnx
1
1:样本均值观察值
? 设（ x1,x2,…,xn）是样本 (X1,X2,…,X n)的观察值,则
?
?
?
?
?
n
i
i xxns
1
2)(
1
1
:样本标准差观察值
?
?
?
?
?
n
i
i xxns
1
22 )(
1
1:样本方差观察值
,...2,11:
1
?? ?
?
kx
n
ak
n
i
k
ik阶原点矩观察值样本
,...2,1)(1:
1
??? ?
?
kxx
n
bk
n
i
k
ik阶中心矩观察值样本
? 若总体均值 E(X)存在，总体方差 D(X)存在，则
由 X1,X2,?,X n的独立性及同分布性，有
? ? ? ? ? ? ? ?12 nE X E X E X E X? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ?12 nD X D X D X D X? ? ? ?
由于 k
n
kk XXX ?,,
21
也具有相互独立性及与 kX
同分布性,于是
? ? ? ? ? ?12 ()k k k knE X E X E X E X? ? ? ?
n
XDXE
2
)()(
?
???
证明
??
??
????
n
i
i
n
i
i XEnXnEXE
11
)(1)1()(
? 定理,设总体 X的均值为 μ,方差为 σ2,(X1,X2,…,X n)
是 X的一个样本,则有
2
1
2
1
1)(1)1()( ???? ??
?? n
XD
n
X
n
DXD
n
i
i
n
i
i
22 )( ??SE
? 定理,设总体 X的均值为 E(X)=μ,方差 D(X)=σ2,
(X1,X2,…,X n)是 X的一个样本,则有
证明
?
?
?
?
?
? ?
?
? ?
?
2
1
2 )(
1
1)( n
i
i XXnESE
?
?
?
?
?
? ???
?
? ?
?
n
i
i XnXnE
1
22 ])()([
1
1 ??
])()([11 22
1
?? ????? ?
?
XnEXEn
n
i
i
?
?
?
?
?
? ???
?
? ?
?
n
i
i XXnE
1
2)]()[(
1
1 ??
2
2
2
1
)(
1
1])()([
1
1 ??? ???
?
??
?
? ?
? n
nn
n
XnDXD
n
n
i
i
n
XDXE
2
)()(
?
???
).,(~
2
n
NX ??故有
又服从正态分布因为证明,X
).,(~,
),(~),...,,(:
2
2
21
n
NX
NXXXX
n
?
?
???
则样本均值的一个样本
是来自总体设定理
例, 从正态总体 )25,( ?N 中抽取容量为 16 的样本，
试求样本均值 X 与总体均值 ? 之差的绝对值小于 2
的概率,
解
( ),( ) 2 5 1 6,E X D X???
因为
).
16
25,(~ ?NX故有
? ? ? ?22 1, 6
2 5 1 6 2 5 1 6
X
P X P P U
?
?
???
??? ? ? ? ? ?
??
( 1, 6 ) ( 1, 6 ) 2 ( 1, 6 ) 1 2 0, 9 4 5 2 1 0, 8 9 0 4? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
§ 2 数理统计中常用的三个分布
§ 2.1 χ2分布
§ 2.1.1 χ2分布的概念
定义, 若随机变量 X 具有密度函数,
2 1 2
2
1
0
2 ( 2 )()
00
nx
n
x e x
nfx
x
??
?
?
?
??
?
?
?
?
其中，
?
??
??
??
0
1
)( dtetm
tm 称为 ? 函数，则称 X 服从自
由度 n 的 2? 分布，记为
)(~ 2 nxX
,
χ2分布的的密度函数的示意图
§ 2.1.2 χ2分布的构造
? 定理,设 X1,X2,…,X n是相互独立的随机变量,
且 Xi~N(0,1),则统计量
)(~..,2222212 nXXX n ?? ????
.
),(~,22
平均数方和的标准正态随机变量的
个相互独立可分解为则若反之 nXn??
§ 2.1.3 χ2分布的性质
nXEXEE
n
i
i
n
i
i ???? ??
?? 1
2
1
22 )()()(
? 定理,设 χ12 ~χ2(n1),χ22 ~ χ2(n2),且 χ12与 χ22相互独
立,则 χ12 + χ22 ~ χ2(n1 + n2),
证明 由 Γ分布的可加性即可证明,
? 定理,若 χ2 ~ χ2(n),则 E(χ2)=n,D(χ2)=2n,
证明 因 Xi~N(0,1),故 E(Xi2)=D(Xi)=1;
D(Xi2)=E (Xi4)-[E(Xi2)]2=3-1=2,i=1,2,…,n
于是
nXDXDD
n
i
i
n
i
i 2)()()(
1
2
1
22 ???? ??
??
§ 2.1.4 χ2分布的上分位点
对于 ??(0,1)给定,称满足条件,
? ? ????
??
??? ?
?
)(
22
2
)()(
n
dxxfP nn
的点 χn2(?)为 χn2分布的上 ?分位点,
?
??2(n)
§ 2.2 T分布
§ 2.2.1 T分布的概念
定义, 若随机变量 X 具有 密度函数,
2)1(
2
1
)2(
]2)1([
)(
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
n
n
x
nn
n
xf
?
,?????? x
则称 X 为服从自由度 n 的 T 分布,记为 )(~ ntX,
T分布的的密度函数的示意图
§ 2.2.2 T分布的构造
定理,设 X ~N (0,1 ),
)(~
2
nY ?
，且 X 与 Y 相互独
立，则
)(~
/
nt
nY
X
T ?
反之，若 T ~ t ( n ),则有相互独立的 X ~N ( 0,1 ),
)(~
2
nY ?
使
nY
X
T
/
?
§ 2.2.3 T分布的性质
(1) f(t)关于 t=0(纵轴 )对称，且
E(T)=0,D(T)>0
?????
?
???
?
??
x,e
2
1)t()t(fl i m 2t
n
2
(2) f(t)的极限为 N(0,1)的密度函数，即
§ 2.2.4 T分布的上分位点
设 T～ t(n),对于 ??(0,1)给定,称满足条件,
? ? ?
?
? ??? ?
?
)(
)()(
nt
dttfntTP
的点 tn(?)为 t分布的上 ?分位点,
t?(n)
?
注,
)()(1 ntnt ?? ???
)(1 nt ?? )( nt
?
§ 2.3 F分布
§ 2.3.1 F分布的概念
定义：设随机变量 X 具有密度函数,
11
12
2 2 1
1 2 1 2
( ) 2
1 2 1 2
[ ( ) 2 ] ( )
0
() ( 2 ) ( 2 ) [1 ( ) ]
00
nn
nn
n n n n x
x
fx n n n x n
x
?
?
? ??
?
?
? ? ? ?
?
?
?
?
则称 X 服从第一自由度为
1n
，第二自由度为
2n
的
F 分布, 记为
),(~ 21 nnFF
,
F分布的的密度函数的示意图
(n1,n2)=(10,40)
(n1,n2)=(11,3)
O
§ 2.3.2 F分布的构造
? 定理,设 X ~ χ2(n1),Y ~ χ2(n2),且 X,Y独立,则随机
变量
),(~
/
/
21
2
1 nnF
nY
nX
F ?
.
/
/
)(~),(~
),,(~,
2
1
2
2
1
2
21
nY
nX
FnYnX
nnFF
?使
量则有相互独立的随机变若反之
??
§ 2.3.3 F分布的性质
),(
1),(
12
211 nnFnnF
?
? ??
定理,
?? ??? ? 1)},({ 211 nnFFP
证明,设 F~F(n1,n2),则
?
?
???
?
1}
),(
11
{
211 nnFF
P
),(~1 12 nnF
F
?
?
??
?
}
),(
11{
211 nnFF
P
?? ?? )},(1{ 12 nnF
F
P
得证 !
§ 2.3.4 F分布的上分位点
设 F (n1,n2),对于给定的 a,0<a<1,称满足条件
的点 F? (n1,n2)为 F分布的上 ?分位点,
O F?(n1,n2)
?
?
?
? ??? ?
?
),(21 21
d)()},({
nnF
yypnnFFP
例,设 ),,,(
1021 XXX ?
是来自总体 )3.0,0( 2N 的样本,
求 ?
?
?
?
?
?
??
?
10
1
2 44.1
i
iXP
,
解 将 10,,2,1,??iX i 标准化得 10,,2,1),1,0(~
3.0
0 ??? iNX i,
由 2? 分布的构造知,)10(~
3.0
2
210
1
??
?
??????
i
iX,
因此有
?
?
??
?
? ??
?
10
1
2 44.1
i
iXP ??
?
?
?
??
?
?
?
??
?
??
?
?? ?
?
10
1
2
09.0
44.1
3.0i
iXP
??
?
?
?
??
?
?
?
??
?
??
?
?? ?
?
10
1
2
16
3.0i
iXP 1.0?
例, 设
921,,,XXX ?
和
921,,,YYY ?
是来自同一总体
N(0,9) 的两个独立的样本,统计量,
??
??
?
9
1
2
9
1
)(
i
i
i
i YXZ
试确定 Z的分布,
解 由样本的同分布性知,
9,,2,1),9,0(~),9,0(~ ??iNYNX ii
由此得,
)1,0(~91
9
1
NX
i
i?
? )9(~93
2
9
1
229
1
???
??
??
?
??
?
?
i
i
i
i YY
由 t分布的构造知,
)9(~
9
9
9
1
9
1
2
9
1
9
1
2
9
1 tZ
Y
X
Y
X
i
i
i
i
i
i
i
i
??
?
?
?
?
?
?
?
?
,
,10,)P ( X
),1,0(~
分位点为标准正态分布的上则称点
满足条件若设
?
??
?
?
?
u
u
uNX
????
57.2
6 4 5.1u
u
57.2
6 4 5.1u
9 9 5.0
0, 9 5
-1
0 0 5.0
0, 0 5
??
??
??
?
?
u
u
u
??
查表可知
0
x
)(x?
?
?u??1u
§ 3 一个正态总体下的统计量的分布
n
XDXE
2
)()(
?
???
).,(~
2
n
NX ??故有
).,(~,
),(~),...,,(:
2
2
21
n
NX
NXXXX
n
?
?
??
则样本均值的一个样本
是来自总体设定理
证明
又服从正态分布因为,X
)1(~
)(
)1(
)2(
2
2
1
2
2
2
?
?
?
?
?
?
? n
XX
Sn
n
i
i
?
??
? 定理,设 (X1,X2,…,X n)是来自总体 X~N(μ,σ2)的
一个样本,则;)1( 2 相互独立与样本方差样本均值 SX?
)1(~)( ?? nt
S
nX ?
)1,0(~
)(
/
,),(~
2
N
Xn
n
X
n
NX
?
?
?
??
?
?
?
?
即因为
)1(~
)(
)1( 2
2
1
2
2
2
?
?
?
? ? ?
n
XX
Sn
n
i
i
?
??
又
且它们表示的随机变量是相互独立的,故
则本方差分别为其样本均值与样与一个样本
的是来自总体设定理
,,
),(~),...,,(:
2
2
21
SX
NXXXX n ???
证明
)1(~
/)(
)1(
)1(
2
2
?
?
?
?
?
?
? nt
S
nX
n
Sn
n
X
T
?
?
?
?
例, 设总体 ),3(~ 2?NX,有 n = 1 0 的样本,样本方差 42 ?s,
求样本均值 X 落在 2, 1 2 5 3 到 3, 8 7 4 7 之间的概率,
解
)9(~
10/2
3 tX
nS
X ??? ?
)8 7 4 7.31 2 5 3.2( ?? XP
.3830.1
102
33830.1
???
?
???
?
????? XP
由分布表得
3 8 3 0.1)9(1.0 ?t
8.01.021)8747.31253.2( ?????? XP
???
?
???
? ?
?????
102
38747.3
102
3
102
31253.2 XP
例, 设总体 )4,(~ ?NX,有样本
nXXX,,,21 ?
,当样本容
量 n 为多大时,使,95.0)1.0|(| ??? ?XP
解
)1,0(~
/2
N
n
X
n
X ?
?
? ???
( 0, 0 5 ) ( 1 0, 9 5 ) / 2 0, 9 7 5n? ? ? ?
)1.0|(| ?? ?XP ???
?
???
? ?????
nn
X
n
P
/2
1.0
/2/2
1.0 ?
)05.0()05.0( nn ????? 95.01)05.0(2 ???? n
所以
由于,( 1, 9 6 ) 0, 9 7 5??,即 96.105.0 ?n,
于是得 1 5 3 6, 6n ?,1537?
例, 设
1021,,,XXX ?
是来自总体 )4,(~ ?NX 的样本,
求样本方差 2S 大于 2, 6 2 2 的概率,
解
)9(~4 )110( 2
2
?S?
2 2 29 9 9( 2, 6 2 2 ) 2, 6 2 2 5, 8 9 9 5,
4 4 4P S P S P S
? ? ? ?? ? ? ? ? ?
? ? ? ?? ? ? ?
查表得
8 9 9.5)9(2 75.0 ?x
则有 75.0)622.2(
2 ??SP
由于
§ 4 两个正态总体下的统计量的分布
??
??
??
??
?
?
??
?
?
??
YY
XX
n
i
i
Y
Y
n
i
i
Y
YYnY
n
i
i
X
X
n
i
i
X
XX
nX
YY
n
SY
n
Y
NYYYY
XX
n
SX
n
X
NX
XXXYX
1
22
1
2
21
1
22
1
2
21
)(
1
1
,
1
,),(~),...,,(
)(
1
1
,
1
:),(~
),...,,(,
的一个样本是来自总体
的一个样本总体
是来自相互独立与设总体
??
??
)1,0(~
//
)()(
22
N
nn
YX
YYXX
YX
??
??
?
???
定理,
证
独立与由于 ),(~),(~
22
Y
Y
Y
X
X
X nNYnNX
?
?
?
?
),(~
22
Y
Y
X
X
YX nnNYX
??
?? ???所以
)1,0(~
//
)()(
22
N
nn
YX
YYXX
YX
??
??
?
???
因此
)2(~
11
)()(
??
?
???
YX
YX
w
YX nnt
nn
S
YX ??
2
)1()1( 222
??
???
?
YX
YYXX
W
nn
SnSn
S
其中
? 注,此定理只有在两个总体的方差相等时才成立,
则本方差分别为其样本均值与样与一个样本
的是来自总体值与样本方差
分别为其样本均与的一个样本总体
是来自相互独立与设总体定理;,
),(~),...,,(;
,),(~
),...,,(,:
2
2
21
22
21
Y
YnY
XX
nX
SY
NYYYY
SXNX
XXXYX
??
??
?
),(~
2
X
X nNX
??
)1,0(~
11
)()(
N
nn
YX
U
YX
YX
??
?????
?
?
),(~
2
Y
Y nNY
??
)1(~
)1( 2
2
2
?
?
X
X nSn X ?
? )1(~
)1( 2
2
2
?
?
Y
Y nSn Y ?
?
)2(~)1()1( 22
2
2
2
??????
?
YX
YYXX nnSnSnV ?
??
)2(~
11
)()(
)2/(
??
?
???
?
??
? YX
YX
w
YX
YX
nnt
nn
S
YX
nnV
U
T
??
? 证明, (1)因为
所以
(2)因为
(3)故
所以
)1,1(~2
2
2
2
???? YX
X
Y
Y
X nnF
S
S
F
?
?
)1,1(~2
2
??? YX
Y
X nnF
S
S
F
特别,当 σX2 = σY2时,有
则为其样本方差
的一个样本是来自总体
为其样本方差的一个样本自总体
是来相互独立与设总体定理;
,),(~),...,,(;,),(~
),...,,(,:
2
2
21
22
21
Y
YYnY
XXX
nX
S
NYYYY
SNX
XXXYX
??
??
?
证
)1(~
)1( 2
2
2
?
?
X
X
X nSn X ?
? )1(~
)1( 2
2
2
?
?
Y
Y
Y nSn Y ?
?
),(~
)1/(
)1(
)1/(
)1(
2
2
2
2
YX
Y
Y
Y
X
X
X
nnF
n
Sn
n
Sn
Y
X
?
?
?
?
?
?
),(~2
2
2
2
YX
X
Y nnF
S
S
Y
X
?
?
?
由 F分布的构造知
即
由于
且相互独立
例, 设总体 )1,5(~),1,6(~ NYNX 有 10
21 ?? nn
的两个独
立样本，求两个样本均值之差 YX ? 小于 1,3 的概率,
解
)1,0(~
10/110/1
)56()( NYX
?
???
)3.1( ?? YXP
???
?
???
?
?
???
?
????
10/110/1
)56(3.1
10/110/1
)56()( YXP
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
???
? 67.0
10/110/1
)56()( YX
P
7486.0)67.0( ???
例, 设总体 ),5(~),,6(~ 2
2
2
1 ?? NYNX
有 10
21 ?? nn
的两
个独立样本,9816.0,9130.0 2
2
2
1 ?? ss
,求两个样本均
值之差 YX ? 小于 1, 3 的概率,
解
)18(~
10/110/1
)56()( t
S
YX
?
???
?
其中
2
)1()1(
21
2
22
2
112
??
????
nn
SnSnS
? 29733.018
9816.099130.09 ?????
则
)3.1( ?? YXP ? ? ? ? ? ?
???
?
???
?
?
???
?
????
10/110/19733.0
563.1
10/110/19733.0
56YXP
? ? ? ?
???
?
???
? ?
?
???? 6884.0
10/110/19733.0
56YXP
6 8 8 4.0)18(25.0 ?t ? ? 75.025.013.1 ????? YXP
例, 设总体 )5,(~),3,(~ ?? NYNX 有 15,
21 ?? nn
的两个
独立样本，求两个 样本 方 差 之 比 2
2
2
1 / SS
YX ? 大 于
1,2 7 2 的概率,
解
)14,9(~
3
5
2
2
2
1 F
S
S ?
22
11 551, 2 7 2 1, 2 7 2
33
SSPP? ? ? ?? ? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ?
??
?
?
??
?
?
??? 12.2
3
5
2
2
2
1
S
SP
? ? 12.214,91.0 ?F
1.02 7 2.12
2
2
1 ?
???
?
???
?
?
S
SP
因为
所以
查表得
因此
