第八章 假设检验
? 假设检验是对总体的分布函数的形式或分布中某
些参数做出某种假设,然后通过抽取样本,构造适
当的统计量,对假设的正确性进行判断的过程,
? 前面我们讨论了在总体分布族已知的情况下,如
何根据样本去得到参数的优良估计,但有时,我们并
不需要估计某个参数的具体值而只需验证它是否满
足某个条件,这就是统计假设检验问题,
假设检验
?
参数假设检验
非参数假设检验
这类问题称作假设检验问题,
总体分布已知,
检验关于未知参数
的某个假设
总体分布未知时的
假设检验问题
在本章中, 我们将讨论不同于参数估计
的另一类重要的统计推断问题, 这就是根据
样本的信息检验关于总体的某个假设是否
正确,
让我们先看一个例子,
这一讲我们讨论对参数的假设检验,
例,某工厂生产 10欧姆的电阻,根据以往生产
的电阻实际情况,可以认为其电阻值
X～ N(?,?2),标准差 σ =0.1.现在随机抽取
10个电阻,测得它们的电阻值为,
9.9,10.1,10.2,9.7,9.9,9.9,10,
10.5,10.1,10.2,
试问,从这些样本,我们能否认为该厂生
产的电阻的平均值 ?为 10欧姆?
?确定总体,记 X为该厂生产的电阻的测量值,
根据假设,X ～ N(?,?2),这里 ?=0.1,
?明确任务, 通过样本推断 X的均值 μ 是否等
于 10欧姆,
?假设,上面的任务就是要通过样本去检验
,X的均值 μ =10” 这样一个假设是否成
立,(在数理统计中 把,X的均值 μ =10” 这样
一个待检验的假设记作, H0:μ =10”称为
,原假设, 或, 零假设,
问题怎么建立,
原假设的对立面是,X的均值 μ ≠ 10”
记作, H1:μ ≠ 10”称为, 对立假设, 或
,备择假设,,把它们合写在一起就是,
H0:μ =10 H1:μ ≠ 10
解决问题的思路分析,
? ∵ 样本均值是 μ 的一个良好估计,
∴ 如果 μ =10,即原假设成立时,那么,
|10| ?X 应该比较小, 反之,如果它过于大,那么想
必是原假设不成立,
|10| ?X 的大小可以用来检验原假设是否成立,
这里的问题是,我们如何确定常数 K呢
合理的思路是找出一个界限 K,
细致的分析,
∵ n=10 ?=0.1
当 KX ?? |10| 时,我们就接受原假设 H 0,
当 KX ?? |10| 时,我们就 拒绝 原假设 H 0,
)1,0(~
/
N
n
X
U
?
??
?由于
)1,0(~
10/1.0
NXU ????
于是,当原假设 H0:μ =10 成立时,有,
为确定常数 K,现在我们考虑一个相当小的正
数 ?(理由下面讲 ).例如 ? =0.05,
于是,当原假设 H0:μ =10 成立时,有,
)1,0(~
10/1.0
10 NXU ??
?? ???
?
?
??
?
?
?
?
2/
10/1.0
10
u
X
P
? ? ?? ???? 10/1.010 2/uXP
10/1.02/ ??? ?uK取
我们就拒绝原假设 H0:μ =10,
我们就接受原假设 H0:μ =10,
现在我们就得到检验准则如下,
时当 KX ?? 10
时当 KX ?? 10
10/1.02/ ?? ?uK其中
下面我们指出这很符合人们的逻辑,实际上这
种思维也叫, 带概率性质的反证法
? 带概率性质的反证法的逻辑是,
如果假设 H0是正确 的 话,出现一个 概率很小
的事件,则以很大的把握否定假设 H0,
通常的反证法设定一个假设以后,如果出现
的事实与之矛盾,(即如果这个假设是正确的 话,
出现一个概率等于 0的事件 )则绝对地否定假设,
例,用精确方法测量某化工厂排放的气体中有害
气体的含量服从正态分布 X ~N ( 2 3,4 ),现用一简便
方法测量 6 次得一组数据 2 3,2 1,1 9,2 4,1 8,1 8 ( 单位,
十万分之一 ),问用简便方法测得的有害气体含量
是否有系统偏差?
分析,用简便方法测得有害气体含量 X ~ N( μ,4 )
为了判断用简便方法测得的有害气体含量是否有
系统偏差，提出两个相互对立的假设
H 0, μ = μ 0 =2 3,H 1, μ ≠ 2 3
若 H 0 成立,则
若取 α =0,05,则
P{ | U |> u
α /2 }= α,即 P{ | U | >1.96 }= 0,05
一般认为, 小概率事件在一次实验中是不会发生的
将样本观测值代入 U 得 06.3
/2
23 ???
n
xu
小概率事件在一次实验中发生了,故假设不合情理,
即, 否定原假设,简便方法测得均值有系统偏差,
)1,0(~
/
0 N
n
XU
?
???
?定义,任何一个关于总体分布的假设称为 统计假设,
简称 假设,
?若总体的分布类型已知,只要对一个或几个未知参
数作出假设,就可以完全确定总体的分布,
?定义,只涉及到总体分布的未知参数的统计假设称
为 参数假设,
?在实际问题中,我们有时不知总体分布的类型,需
要对未知分布函数或者它的某些特征提出假设,
?定义,对总体的未知分布函数或者它的某些特征提
出的统计假设,称为 非参数假设,
§ 1 假设检验的概念与步骤
?检验法则的建立原则上依赖于小概率事件,其思
想是先假设 H0是正确的,在 H0正确的假设下构造一
个事件 A,使 A在 H0正确的条件下发生的概率很小,
即 P{A|H0}很小,而一般认为,一个概率很小的事
件在一次试验中是几乎不可能发生的,,进行一次
试验,若 A竟然发生,则 H0的正确性值得怀疑,因而
决定拒绝原假设 H0,
§ 1.1 假设检验的基本思想
?统计假设检验问题的一般提法是,在给定备择假
设 H1下对原假设 H0作出判断,若拒绝原假设 H0,则接
受备择假设,否则就接受原假设 H0,
? 在 H0对 H1的检验问题中要作出某种判断,必须从样
本 (X1,X2,...,Xn)出发制定一个法则,一旦样本观察
值 (x1,x2,...,xn)确定,可利用所构造的法则作出判断,
拒绝 H0还是拒绝 H1.这种法则称为 H0对 H1的一个检验
法则,简称为一个 检验法则,或一个 检验,
? 检验法则本质上就是把样本空间划分为两个互不相
交的子集 C和 C*,使得当样本 (X1,X2,...,Xn)的观察值
(x1,x2,...,xn)∈ C时,将拒绝原假设 H0,若 (x1,x2,...,xn)∈ C*,
则接受原假设,这样的划分构成一个准则,称样本空间
的子集 C为检验的 临界域 (或 拒绝域 ),
? 一类错误是,当 H0为真时,因为尽管事件 {A|H0}是
小概率事件,但仍有可能发生,即样本观察值
(x1,x2,...,xn)∈ C时,按检验法则将拒绝原假设 H0,这
种错误称为 第一类错误,犯第一类错误的概率即为
我们选定的小概率事件的概率 P{A|H0}=α,称为犯
第一类错误的概率或 拒真概率,即
? 根据检验法则,若 A发生则拒绝 H0,否则接受 H0.
这不免要犯二类错误,
§ 1.2 假设检验中的二类错误
P{拒绝 H0 |H0为真 }= P{A|H0}
=P{(x1,x2,...,xn)∈ C |H0为真 } =α
? 另一类错误是,当原假设 H0不真,即 H1为真时,A
也有可能不发生,即样本观察值 (x1,x2,...,xn)∈ C*,按
检验法则将接受原假设 H0,这种错误称为 第二类
错误,犯第二类错误的概率 P{ā|H1}=β,称为犯第二
类错误的概率或 受伪概率,即
P{接受 H0 |H1为真 }= P{ā|H1}
=P{(x1,x2,...,xn)∈ C* |H1为真 } = β
假设检验的两类错误
P{拒绝 H0|H0为真 }=α
P{接受 H0|H0不真 }=β
犯两类错误的概率,
显著性水平 α 为犯第一类错误的概率,
H0为真
实际情况
决定
拒绝 H0
接受 H0
H0不真
第一类错误 正确
正确 第二类错误
?我们当然希望独两类错误的概率 α 与 β 都很小,但
在样本容量 n固定时是无法做到的,基于这种情况,
且因为人们常常把拒绝 H0比错误地接受 H0看得更重
些,因此人们希望在控制犯第一类错误的概率 α 的
条件下,尽量使犯第二类错误的概率 β 小,但这也是
不容易的,有时甚至是不可能的,于是人们不得不降
低要求,只对犯第一类错误的概率 α 加以限制,而不
考虑犯第二错误的概率,在这种原则下,寻找临界域
C时只涉及原假设 H0,而不涉及备择假设 H1,这种统
计假设问题称为 显著性检验 问题,
?对给定的犯第一类错误的概率 α 称为 显著性水平,
?(1) 根据问题的要求建立原假设 H0和备择假设 H1;
§ 1.3 假设检验的方法步骤
?(2) 选取一个适当的统计量 T(X1,X2,...,Xn),要求 T不
含任何参数,以便计算 H0为真时的条件概率 ;
?(3) 给定显著性水平 α,求出使 P{T∈ C|H0}≤α的临界
域 C;
?(4) 若样本观察值 T(x1,x2,...,xn)∈ C,则拒绝原假设 H0,
否则接受 H0,
§ 2 一个正态总体的假设检验
§ 2.1 方差已知时总体均值的双侧假设检验
0100
2
0
2
2
21
:,:
,
,),(),...,,(
??????
???
???
HH
NXXX
n
要检验假设为已知常数
的样本是取自正态总体设
}|{|
,
,:
,
0
0
000
KXC
XH
X
????
?
????
??
所以临界域应有形式太远波动而不偏离
附近随机地应在则样本均值为真
如果原假设的无偏估计为由于样本均值
)1,0(~
/0
0 N
n
X
U
?
??
?由于
n
x
u
xxx
n
/
),...,,(
0
0
21
?
??
?
算出再根据样本观察值
}|{|
}|{|
,
,
2/
2/
2/
?
?
?
?
?
uUC
uUP
u
??
??
这样就得到了临界域
使
可查出相应的临界值下于是在给定显著性水平
找临界值 uα/2示意图
0
?/2
u?/2
?/2
?u?/2
..
,;
.:,||,
0
002/
?
??
?
率恰好等于此时犯第一类错误的概异
原假设无差认为此时的总体均值与否则接受
原假设有明显差异认为总体的均值此时与
则拒绝原假设即若
H
HuuCu ????
? 例,设某厂一车间生产的钮扣,其直径据经验服从正
态分布 N(μ,5.22).为了检验这一车间生产是否正常,现
抽取容量 n=100的样本,得样本均值为 26.56,要求在显
著性水平 α=0.05下检验假设 H0:μ0=26,
26:,26,10 ?? ?? HH 备择假设提出原假设
)1,0(~
100/2.5
26
N
X
U
?
?建立统计量
解
05.0}96.1|
100/2.5
26
{|
96.1,05.0
0 2 5.02/
??
?
???
X
P
uu
即
查得对于给定的显著性水平
?
?
.,
96.108.1
100/2.5
2656.26
100/2.5
26
||
0
认为生产是正常的从而接受原假设
而
H
x
u ??
?
?
?
?
例, 根据以往的经验和资料分析,某砖厂所生产的
砖的抗断强度
121XN ?～ （, ）
,今从该厂所生产的一批
砖中随机取六块,测得抗断强度（ k g / c m
2
）如下,
3 2, 5 6,2 9, 6 6,3 1, 6 4,3 0, 0 0,3 1, 8 7,3 1, 0 3,
可否认为这批砖的平均抗断强度为 3 2, 5 ( k g / c m
2
）?
( 取 05.0?? ),
解 需检验假设为
5.325.32 10 ?? ??,，,HH
由样本得
96.105.3
621.1
5.323.31
??
?
?u
因而，在显著性水平 α=0.05下，应拒绝原假设
即不能认为这批产品的平均抗断强度为 32.5（ kg/cm2）
查表得
0, 0 2 5 1, 9 6u ?
拒绝域为
? ?96.1?? UC
右边检验,H 0, μ = μ 0 ( 或 H 0, μ ≤ μ 0 ) 与 H 1, μ > μ 0
左边检验,H 0, μ = μ 0 ( 或 H 0, μ ≥ μ 0 ) 与 H 1, μ < μ 0
这种形式的假设检验问题叫单边检验, 它们也很
有实用意义,
§ 2.2 方差已知时总体均值的单侧假设检验 例如, 工厂生产的一种产品的某项指标平均值为 μ 0,
采用了新技术或新配方后,被认为产品质量提高了,
该指标的平均值 ? 应该随之上升,
我们想看看 ? 是否有显著上升,
于是问题就是检验,
H0:μ =μ 0 ━━ 即新技术或新配方对于提高产品质
量无效果,还是
H1:μ >μ 0 ━━ 即新技术或新配方确实有效,提高
了产品质量,
解决问题的思路,
如果 μ =μ 0,即原假设成立时,那么,
就不应该太大,反之,如果它过于大,那么想必是原假
设不成立,
0??X
当原假设 H0:μ =μ 0 成立时,有,
)1,0(~
/0
0 N
n
X
U
?
??
?
求解,
?
?
?
? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
u
n
X
P
/0
0
? ? ??? ? ???? nuXP /00
拒绝域为 ? ?nuXC /
00 ?? ? ????
例, 微波炉在炉门关闭时的辐射量是一个重要的质
量指标, 某厂该质量指标服从正态分布
),(
2
??N
，长期
以来 22 1.0??,且均值都符合要求不超过 0,1 2,为检
查近期产品的质量，抽查了 25 台，得其炉门关闭时
的辐射量的均值 0, 1 2 0 3x ? 。试问在 05.0?? 水平上炉
门关闭时的辐射量是否升高了？
解 建立假设 12.0:12.0,0100 ???? ???? HH
取统计量
n
XU
?
? 0??
分布未知
但由题设
)1,0(~ N
n
XU
?
????
U ? 中含有未知参数 μ,无法直接计算 U ? 的值, 但我
们发现，当
0H
成立时,UU ??
因而事件 ? ? ? ?U u U u
???? ? ?
故 ? ? ? ?P U u P U u
?? ?? ? ?
在 H0真实的前提下，由 X
Pu
n
?
?
?
?
?????
????
????
可知
?
?
?
? ???
?
?
???
?
?? u
n
XP 0
因而拒绝域
? ?nuXu
n
XC ??
?
?
?? ????
?
?
?
?
?
?
??? 00
查正态分布函数表知
1, 6 4u ? ?
由于
0, 0 5
1 9 0, 1 2 0 3 0, 1 2 0, 0 1 5 1, 6 4
0, 1 2 5
xUu
n?
??? ? ? ? ?
因而在 05.0?? 水平下，不能拒绝原假设 12.0:
0 ??H
,
即可以认为当前生产的微波炉关门时的辐射量无
明显升高,
例, 某厂生产需用玻璃纸作包装,按规定供应商供
应的玻璃纸的横向延伸率不应低于 65, 已知该指标
服从正态分布,方差 一直稳定于 5, 5, 从近期来货中
抽查了 100 个样品,得样本均值,5 5, 0 6x ?,试问在
05.0?? 水平上能否接受这批玻璃纸？
解 建立假设 65:,65:
10 ?? ?? HH
拒绝域应取作 ? ?
Uu???
由样本求得
0, 0 5
0
5 5, 0 6 6 5 1 8, 0 7 1, 6 4 5
5, 5 1 0 0
x
n
?
?
??? ? ? ? ? ? ? ?
故应拒绝 H0，不能接受这批玻璃纸,
0100
2
2
21
:,:
,
,),(),...,,(
????
?
??
?? HH
NXXX
n
要检验假设为未知常数
的样本是取自正态总体设
}|{|
,
,:
,
0
0
000
KXC
XH
X
???
?
?
?
???
?
所以临界域应有形式太远波动而不偏离
附近随机地应在则样本均值为真
如果原假设的无偏估计为由于样本均值
§ ２,3方差未知时总体均值的双侧假设检验
) },1(|{|
)}1(|{|
),1(,
,)(
1
1
)1(~
/
,
2/
2/
2/
1
22
0
0
???
???
?
?
?
?
?
?
?
?
?
nttC
nttP
nt
XX
n
S
nt
nS
X
t
H
n
i
i
?
?
?
?
?
?
这样就得到了临界域
使可查出相应的临界值下
于是在给定显著性水平其中
为真时当
ns
x
t
xxx
n
/
),...,,(
0
21
??
?
算出再根据样本观察值
找临界值 tα/2示意图
0
?/2 ?/2
?t?/2(n?1) t?/2(n?1)
..
,;
.
:),1(||,
0
0
02/
?
??
?
率恰好等于此时犯第一类错误的概无差异
原假设认为此时的总体均值与否则接受异
原假设有明显差认为总体的均值此时与
则拒绝原假设即若
H
HnttCt
?
???
.818.5,06.45
,100
,65:,
,:例
00
??
?
sx
HX
测得样本观察值的均值的样本体中抽出容量为
从总现要检验服从正态分布延伸率
假设其横向延伸率检验某种型号玻璃纸的
?
65:65,10 ?? ?? HH提出假设
05.0}98.1|
100/
65
{|
98.1,05.0
9 7 5.02/
??
?
???
S
X
P
tt
即
查得对于给定的显著性水平
?
?
.
,
98.127.34
100/818.5
6506.45
100/
65
||
0
指标要求
没有达到认为这批玻纸的延伸率从而拒绝原假设
而
H
s
x
t ??
?
?
?
?
)1(~
100/
65
?
?
nt
S
X
建立统计量
解
例, 某糖厂用自动打包机打包，每包标
准重量为 100 公斤，每天开工后需检验
一次打包机是否正常工作，某日开工后
测得九包重量为
99.3, 98.7, 100.5, 101.2, 98.3,
99.7, 99.5, 102.1, 100.5
假设 每 包的重量服从正态分布, 在显著
性水平为 05.0?? 下，打包机工作是否正
常？
由观测值得
3 0 6 0.205.0
9212.1
10098.99
??
?
?t
故样本没有落入拒绝域，应接受 H0，即可以认为
打包机工作正常
解 建立假设 100100 10 ?? ??,，,HH
3060.2)8(,05.0,9 025.0 ??? tn ?
故此问题的拒绝域为 ? ?
3060.2?T
检验 H0:μ =μ 0 H1:μ >μ 0
§ 2.４ 方差未知时总体均值的单侧假设检验
当原假设 H0:μ =μ 0 成立时,有,
)1(~
/
0 ??? nt
nS
XT ?
?
?
? ?
?
?
?
?
?
?
??
?
)1(
/
0 nt
nS
X
P
?? ? ?
?
?
?
?
?
? ??? )1(
0 ntn
S
XP
)1(0 ??? nt
n
sx
??
拒绝域为
例,某厂生产一种工业用绳,其质量指标是绳子所
承受的最大拉力,假定该指标服从正态分布,
原来该厂生产的这种绳子平均最大拉力 μ 0
=15公斤,现在采用了一种新的原材料,厂方称这种
原材料提高了绳子的质量,也就是说绳子所承受的
最大拉力 μ 比 15公斤大了,
为了检验该厂的结论是否真实,从其新产品中
随机抽取 50件,测得它们承受的最大拉力的平均值
为 15.8公斤,样本标准差 S=0.5公斤,取显著性水平
? =0.01,
问从这些样本看,我们能否接受厂方的结论,即
新原材料是否确实提高了绳子的质量?
问题归结为检验如下假设
H0:μ =15 H1:μ >15 (方差 ?2未知 )
此处 n=50,? =0.01,标准差 S=0.5,
解
查不到 t0.01(49),利用性质,
给定 ?,t?(n)关于自由度 n是单调下降的,
我们查 t0.01(45)=2.41,
则 t0.01(49)<t0.01(45)= 2.41
)49(
50
5.0
)45(
50
5.0
41.2
50
5.0
8.0158.15
01.001.0
0
tt
x
????
?????? ?
∴ 我们拒绝原假设,认为新的原材料确实提高了绳
子所能承受的最大拉力,
检验 H0:μ ≤ μ 0 H1:μ >μ 0
取统计量
nS
XT 0???
但在 H0成立的条件下
)1(~ ?
?
?? nt
nS
X
T
?
且有 ? ? ? ?,T T T c T c??? ? ? ?
故
?
??
?? ?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
)1()1(0 nt
nS
X
Pnt
nS
X
P
拒绝域为
?
?
?
?
?
?
???? )1(0 nt
nS
XC
?
?
分布未知
例, 根据某地环境保护法规定，倾入河流的废水中
某种有毒化学物质的平均含量不得超过 3 p p m 。该地
区环保组织沿河个厂进行检查，测得每日倾入河流
的废水中该种有毒化学物质的含量。某厂连日的记
录为,
3.1, 3, 2, 3, 3, 2, 9, 3.5, 3, 4, 2, 5, 4, 3,
2, 9, 3, 6, 3.2, 3, 0, 2, 7, 3, 5, 2,9
试在显著性水平
05.0??
上判断该厂是否符合 环保
规定（假定废水中该种有毒化学物质的含量
),(~
2
??NX
）,
解 提出假设 3:,3:
10 ?? ?? HH
7 6 1 3.1)14(05.0 ?t查表得
故拒绝域为 ? ?
7613.1?T
再根据样本求得 22 436.0,2.3 ?? sx
从而有
7 6 1 3.17 7 6 6.1
15436.0
32.3 ????t
样本落入拒绝域，所以否定
0H
，因此在 05.0?? 水平
上该厂废水中有毒化学物质的含量超标，不符合环
保规定，应采取措施来降低废水中该种有毒化学物
质的含量,
表, 一个正态总体均值的假设检验 (显著性水平为 α)
检验法 条件
0H
1H
检验统计量 拒绝域
U
检验
2?
已知
0
0
0
??
??
??
?
?
?
0
0
0
??
??
??
?
?
?
n
X
U
?
?
0
?
?
Uu ??
Uu ???
2Uu ??
t
检验
2?
未知
0
0
0
??
??
??
?
?
?
0
0
0
??
??
??
?
?
?
nS
X
T
??
?
)1( ?? ntT ?
)1( ??? ntT ?
))1(2 ?? ntT ?
§ 2.5 均值已知时的方差的双边假设检验
2
0
2
1
2
0
2
0
0
2
21
:,:
,
,),(),...,,(
????
??
??
??
?
HH
NXXX
n
要检验假设为已知常数
的样本是取自正态总体设
.1
)(
1
,,,
)(
1
,
2
0
1
2
0
0
2
1
2
00
的附近随机地波动应该在
统计量为真时当因此的无偏估计方差
是总体样本方差已知时当
?
?
?
???
?
?
?
?
?
??
n
i
i
n
i
i
X
n
H
XX
n
)(~
)(
,
2
2
0
1
2
0
2
0
n
X
H
n
i
i
?
?
?
?
?
?
?
?
统计量下在假设
? ? ? ?
? ? ? ?
.2/
,,
,.
,
,0,0,
,
21
21
2121
22
2
11
2
2121
2
2
1
2
?????
??
??
????????
??????????
????
取
所以一般很复杂和但这样计算最优的率尽可能地小
的概一般应使犯第二类错误的选取和而和定出
和就需要由水平
给定了显著性因此临界域的形式为
KK
KPKP
KK ?
2/)}({
2/)}({
),(
)(,
2
2/1
2
2
2/
2
2
2/1
2
2/
???
???
?
??
?
?
?
?
??
??
?
?
nP
nP
n
n
即和
查出两个临界值对于给定的显著性水平
)}({)}({ 2 2/122 2/2 nnC ?? ???? ???? ?
这样得到临界域为
.
,),()(
,),...,,(
0
0
2
2/1
22
2/
2
22
21
H
Hnn
xxx
n
原假设
否则就接受就拒绝或
的值若的值计算由样本观察值
??
????
??
?
??
?
找临界值示意图
?/2
)(2 2/ n??)(2 2/1 n?? ?
?/2
§ 2.6 均值未知时的方差的双边假设检验
2
0
2
1
2
0
2
0
2
21
:,:
,
,),(),...,,(
????
?
??
?? HH
NXXX
n
要检验假设为未知常数
的样本是取自正态总体设
.1
)(
1
1
,,.
)(
1
1
,
2
0
1
2
0
2
1
2
的附近随机地波动应该在
统计量为真时当因此的无偏估计方差
是总体样本方差未知时当
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
n
i
i
n
i
i
XX
n
H
XXX
n
)1(~
)(
)1(
,
2
2
0
1
2
2
0
2
2
0
?
?
?
?
?
?
?
n
XX
Sn
H
n
i
i
?
??
?
统计量下在假设
2/)}1({
2/)}1({
),1(
)1(,
2
2/1
2
2
2/
2
2
2/1
2
2/
???
???
?
??
?
?
?
?
???
???
?
?
?
?
nP
nP
n
n
即和
查出两个临界值对于给定的显著性水平
)}1({)}1({ 2 2/122 2/2 ????? ? nnC ?? ???? ?
这样得到临界域为
.
,),1()1(
,),...,,(
0
0
2
2/1
22
2/
2
22
21
H
Hnn
xxx
n
接受原假设
否则就就拒绝或
的值若的值计算由样本观察值
????
? ??
????
??
:
,31.18.0:
,
,.18.0
),,(:
2
0
2
0
2
测得数据如下表所示
个零件的为此抽取这车床所加工
即检验假设原来加工精度一下这一车床是否保持
要检验经过一段时间生产后原来加工精度
服从正态分布一车床加工零件的长度例
???
??
???
nH
N
零件长度 x i 1 0, 1 1 0, 3 1 0, 6 1 1, 2 1 1, 5 1 1, 8 1 2, 0
频数 n i 1 3 7 10 6 3 1
.
,05.0:
单侧的情形
由题意只要考虑下在给定显著性水平解 ??
.8.43)30(.
05.0)}30({
2
05.0
2
05.0
2
?
??
?
??
查表得定出临界值
由 P
)30(8.435.44
18.0
)(
2
05.0
7
1
2
2
?? ???
?
?
?
?i
ii
xxn
由样本观察值计算出
.
.0
度变差
段时间后精这说明自动车床工作一因此拒绝原假设 H
例, 已知维尼纶纤度在正常情况下服从方差为
22
0
0, 0 4 8? ?
的正态分布，某日抽取五根纤维，测得
其纤度为
1, 3 2, 1, 55, 1, 3 6, 1, 4 0, 1, 4 4
问这一天纤度的分布的方差是否正常？ )1.0( ??
解 需检验的假设为
2 2 2 20 0 1 0HH? ? ? ???：,,
488.9)4(,711.0)4(,1.0,5 2 05.02 95.0 ???? ???n
拒绝域为 ? ?488.971.0 22 ?? ?? 或
现由样本求得 4 8 8.95.13
0 4 8.0
0 7 8.04
2
2 ?????
故拒绝 H0，即认为这一天纤度的分布不正常,
§ 2.7 方差的单边假设检验
2
0
2
1
2
0
2
0
2
21
:,:
,
,),(),...,,(
????
?
??
?? HH
NXXX
n
要检验假设为未知常数
的样本是取自正态总体设
当 H0为真时有
??
?
?
? ??
?
??
?
?
?
??
?
?
?
????
?
?
?
?
?
?
??? )1()1()1()1( 22
2
2
2
0
2
nSnPnSnP
因此,如果根据所给样本值 nxxx,,,21 ? 计算有
)1(
)(
)1( 2
2
0
1
2
2
0
2
??
?
?
?
?
? n
xx
sn
n
i
i
??
??
则拒绝原假设 2020, ?? ?H,否则接受原假设 2020, ?? ?H,
例, 某种导线的电阻服从
),( 2??N
,μ 未知，其中
一个质量指标是电阻标准差不得大于 0, 0 0 5 Ω, 现
从中抽取了九根导线测其电阻，测得样本标准差
s = 0, 0 0 6 6,试问在 α = 0, 0 5 水平上能否认为这批导
线的电阻波动合格？
解 建立假设 2 2 2 2
01,0, 0 0 5,,0, 0 0 5HH????
5 0 7.15)8(2 95.0 ??查表得
拒绝域为 ? ?507.152 ?? ?W
现由样本求得 507.1594.13
005.0
0066.08
2
2
2 ?????
故可接受原假设,在 α=0.05水平上认为这批导线的电
阻波动合格
表, 一个正态总体方差的假设检验 (显著性水平为 α)
检验法 条件
0H
1H
检验统计量 拒绝域
2?
检验
?
未知
2
0
2
2
0
2
2
0
2
??
??
??
?
?
?
2
0
2
2
0
2
2
0
2
??
??
??
?
?
?
2
0
2
2 )1(
?
?
Sn ?
?
)1(22 ?? n???
)1(212 ?? ? n???
)1(
))1(
2
21
2
2
2
2
??
??
?
n
n
?
?
??
?? 或
§ 3 两个正态总体的假设检验
.
,),(),...,,(
,),(),...,,(
2
2221
2
1121
2
1
两个样本相互独立
且这的样本是取自正态总体设
的样本是取自正态总体设
??
??
NYYY
NXXX
n
n
??
??
??
??
?
?
??
?
?
??
22
11
1
2
2
2
2
12
1
2
1
2
1
11
)(
1
11
)(
1
11
n
i
i
n
i
i
n
i
i
n
i
i
YY
n
SY
n
Y
XX
n
SX
n
X
方差的无偏估计分别为令这两个样本的均值与
要检验假设已知与,2221 ??
§ 3.1 方差已知时均值的双侧假设检验
211210,,,???? ?? HH
因为
)1,0(~
)()(
2
2
2
1
2
1
21 N
nn
YX
??
??
?
???
)1,0(~
)(
2
2
2
1
2
1
N
nn
YX
U
??
?
?
?
当 H0成立时，统计量
从而,对于给定的显著性水平 α,拒绝域为
2
22
12
12
XY
Vu
nn
?
??
??
??
?
????
??
?
??
根据样本值计算出的统计量 U 的观察值,若值
落在区间
22,uu ???????
之外，则拒绝
0H
，否则接受
0H
,
例, 从两个教学班各随机选取 14 名学生进行数学测
验，第一教学班与第二教学班的测验结果分别如下,
第一教学班,91, 80, 76, 98, 95, 92, 90,
91, 80, 92, 1 0 0, 92, 98, 98
第二教学班,90, 91, 80, 92, 92, 94, 96,
93, 95, 69, 90, 92, 94, 96
已知两教学班数学成绩的方差分别为 57 与 53,在
显著性水平
05.0??
下，可认为这两个教学班的学生
的数学测验成绩有差异？
解 设第一教学班的数学成绩 )57,(~
1?NX
第二教学班的数学成绩 )53,(~ 2?NY
12 1 4,0, 0 5 9 0, 9 2 9,9 0, 2 8 6n n x y?? ? ? ? ?
建立假设
211210 ???? ??,，,HH
查正态分布表，求出临界值 0, 0 2 5 1, 9 6u ?
0, 0 2 5
22
12
12
( ) 9 0, 9 2 9 9 0, 2 8 6
0, 2 2 9 3
5 7 5 3
1 4 1 4
XY
Uu
nn
??
??
? ? ? ?
??
接受 H0，认为两个教学班的数学成绩无显著差异,
§ 3.2 方差已知时均值的单侧假设检验
211210 ???? ??,，,HH
要检验假设已知与,2221 ??
因为
)1,0(~
)()(
2
2
2
1
2
1
21 N
nn
YX
??
??
?
???
且在 H0成立时
2
2
2
1
2
1
21
2
2
2
1
2
1
)()()(
nn
YX
nn
YX
??
??
??
?
???
?
?
?
12
2 2 2 2
1 2 1 2
1 2 1 2
( ) ( )() XYXY
P u P u
n n n n
??
??
?
? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ??? ? ? ?
? ? ? ?? ? ? ?
? ? ? ?
??
? ? ? ?
? ? ? ?
所以
因而拒绝域
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
u
nn
YX
C
2
2
2
1
2
1
)(
例, 某化工厂为了提高某种化学药品的质量，提出
了两种工艺方案，为了研究哪一种方案好，分别用
两种工艺各进行了 50 试验，测得甲方案的关键指标
的样本均值为 1 7 4, 3 4 克,测得乙方案的关键指标的
样本均值为 1 7 2, 4 2 克，假设两种工艺方案的关键指
标都服从正态分布，其标准差相应为 5, 3 5 克和 6, 1 1
克。问该化学药品质量的关键指标甲方案是否比乙
方案要高一些？ ( α = 0, 0 5 )
解 设 X为甲方案的关键指标值则
)35.5,(~ 21?NX
问题可以归结为假设 211210 ???? ??,，,HH
正态分布表得
0, 0 5 1, 6 4u ?
由于
64.167.1
50
11.635.5
42.17234.174)(
22
2
2
2
1
2
1
??
?
?
?
?
?
?
nn
yx
u
??
因此拒绝 H0，接受 H1，即认为甲方案的关键指标
值比乙方案的关键指标值要高一些,
)11.6,(~ 22?NY设 Y为乙方案的关键指标值则
.
2
)1()1(
)2(~
11
,
21
2
22
2
112
21
21
0
??
???
?
??
?
?
?
nn
SnSn
S
nnt
nn
S
YX
t
H
w
w
其中
为真时因为当
§ 3.3 方差未知时均值的双侧假设检验
211210,,,???? ?? HH
要检验假设未知,2221 ?? ?
}.2(|{|
}2(|{|
),2(
,
212/
212/
212/
????
????
??
nnttC
nnttP
nnt
?
?
?
?
?
这样就得到了临界域
使界值
可查出相应的临下于是在给定显著性水平
21
2121
11
),,...,,(),,...,,(
21
nn
s
yx
t
yyyxxx
w
nn
?
?
?
算出
再根据样本观察值
.
.
,;
.:,||,
0
2102/
?
??
?
率恰好等于
此时犯第一类错误的概为两个总体均值无差异
认否则接受明显差异认为两个总体的均值有
则拒绝原假设即若
H
HttCt ???
.
,
10890.410560.9
059.2,063.2
,10
050.2:
6262
态分布假设轴直径的分布是正
工的轴直径是否有差异试检验这相隔两小时加
值和方差分别为
测得其均的两个样本量为现在每隔两小时各取容
毫米的轴直径为在一台自动车床上加工例
??
????
??
YX
ss
yx
，
YXYX
YX
HH ????
?
???
??
??
:,:
,
10
2
222
是为未知参数需要检验的
床可以认为由于样本取自同一台车
)2(~
11
??
?
?
YX
YX
W
nnt
nn
S
YX
建立统计量
01.0}878.2|
11
{|
878.2,01.0
0 0 5.02/
??
?
?
???
YX
W
nn
S
YX
P
tt
即
查得对于给定的显著性水平
?
?
解
..
,
878.23.3
21010
1089.491056.99
059.2063.2
11
||
||
0
66
的影响而生产不稳定可能是自动车床受时间异
上有差认为这两个样本在生产于是拒绝原假设
而
H
nn
s
yx
t
YX
W
??
??
?????
?
?
?
?
?
??
例,羊毛品在处理前与处理后分别抽样分析其含
脂率如下
处理前 0, 1 9,0, 1 8,0, 2 1,0, 3 0,
0, 4 1,0, 1 2,0, 2 7
处理后 0, 1 5,0, 1 3,0, 0 7,0, 2 4,
0, 1 9,0, 0 8,0, 1 2,0, 0 6
若处理前后的含脂率均服从正态分布，且假设标准
差不变, 问处理前后含脂率的平均值是否有显著变
化？ （ α = 0, 0 5 ）
解 设羊毛品在处理前后其含脂率分别为 X与 Y,且
），（～），，（～ 222211 ???? NYNX 未知且 2
2
2
1 ?? ?
检验的假设为
211210 ???? ??,，,HH
查表得 1 6 0 4.2)13(0 2 5.0 ?t
0 7 9 5.0,0 0 3 9.0,0 0 9 1.0,13.0,24.0 22221 ????? wsssyx
拒绝域的形式为 ? ?1604.2?? TW
计算得 1 6 0 4.26 7 3 5.2 ??t
故拒绝 H0,认为处理前后含脂率的平均值有显著变化,
§ 3.4 方差未知时均值的单侧假设检验
要检验假设未知,2221 ?? ?
211210 ???? ??,，,HH
211210 ???? ??,，,HH
以例子说明
例, 某地区高考负责人想知道某年来自城市中学
考生的平均成绩是否比来自农村中学考生的平均
成绩高，已知总体服从正态分布且方差相同，从
抽样得到的资料：（ 05.0?? ）
城市考生,2
11
8 5, 5,4 2, 9 4 4,1 0x s n? ? ?
农村考生,2
22
8 8, 9,3 7, 4 3 3,1 0y s n? ? ?
解 城市考生平均成绩 ),(~
211 ??NX
农村考生平均成绩 ),(~ 2
22 ??NY
2
2
2
1 ?? ?
且
建立假设
211210 ???? ??,，,HH
检验统计量为
21
11
nn
S
YX
T
w ?
?
?
查分布表得 7 3 4 1.1
05.0 ?? tt ?
由于
05.0
21
734.11 9 9 2 5.1
11
tt
nn
S
yx
t
w
?????
?
?
? ?
故接受 H0，表示无充分的证据显示来自城市的
中学考生的平均成绩比来自农村的中学考生的
平均成绩要高一些,
表, 两个正态总体均值的假设检验 (显著性水平为 α）
检验法 条件
0H
1H
检验统计量 拒绝域
U 检验
2
2
2
1,??
已知
21
21
21
??
??
??
?
?
?
21
21
21
??
??
??
?
?
?
2
2
2
1
2
1
)(
nn
YX
U
??
?
?
?
Uu ??
Uu ???
2Uu ??
T 检验
2
2
2
1,??
未知，但
2
2
2
1 ?? ?
21
21
21
??
??
??
?
?
?
21
21
21
??
??
??
?
?
?
21
11
nn
S
YX
T
w
?
?
?
其中
2
)1()1(
21
2
22
2
112
??
???
?
nn
SnSn
S
w
)1( ?? ntT ?
)1( ??? ntT ?
)1(
2
?? ntT
?
22
1
22
0
21
2
221
2
121
:,:
,,,
,),(),...,,(
,),(),...,,(
2
1
YXYX
Yn
Xn
HH
NYYY
NXXX
????
??
??
??
??
要检验假设为未知常数两个样本相互独立
且这的样本是取自正态总体设
的样本是取自正态总体设
??
??
??
??
?
?
??
?
?
??
22
11
1
2
2
2
12
1
2
1
2
11
)(
1
11
)(
1
11
n
i
iY
n
i
i
n
i
iX
n
i
i
YY
n
SY
n
Y
XX
n
SX
n
X
方差的无偏估计分别为令这两个样本的均值与
§ 3.5 两个正态总体方差的双侧假设检验
}/{}/{
,1
1/,:
,,,
2
22
1
22
2222
0
2222
KSSKSSC
SSH
SS
YXYX
YXYX
YXYX
???
?
?
所以临界域应有形式太远偏离
附近随机地波动而不应在则为真
如果原假设的无偏估计分别为由于
??
??
).1,1()1,1(
2/)}1,1({
2/)}1,1({
,
)1,1(~
,:
212/212/1
212/1
212/
212
2
22
0
????
????
????
???
?
?
?
nnFnnF
nnFFP
nnFFP
nnF
S
S
F
H
Y
X
YX
??
?
?
?
?
?
??
和定出两个临界值
由对于给定的显著性水平
统计量为真时当
.,
),1,1()1,1(
,),...,,(
00
212/212/1
21
HH
nnFfnnFf
FFxxx
n
否则就接受原假设绝
就拒或
的值若的值计算由样本观察值
??????
? ??
.
)1,1(
1
)1,1(
)1,1(
122/
212/1
212/
给出而
分布表直接查出可由其中
??
???
???
?
nnF
nnF
FnnF
?
?
?
O x
p(x)
)1,1( 212/1 ??? nnF ?
α/2 α/2
分布的密度曲线)1,1( 21 ?? nnF
)1,1( 212/ ?? nnF ?
.
10890.410560.9
059.2,063.2
,10
.
,050.2:
6262
差异工的轴直径方差是否有试检验这相隔两小时加
为测得其均值和方差分别的两个样本容量为
现在每隔两小时各取态分布假设轴直径的分布是正
毫米的轴直径为在一台自动车床上加工例
??
????
??
YX
ss
yx
95.1
1089.4
1056.9
.:,:
6
6
22
1
22
0
?
?
?
?
??
?
?
f
HH
YXYX
由样本观察值算出
检验假设 ????解
18.3
1
)9,9(
1
)9,9(
18.3)9,9(
,1.0
05.0
95.0
05.0
??
?
?
F
F
F
查表计算得给定显著性水平 ?
)9,9(18.395.1
18.3
1
)9,9(
05.095.0
FfF ?????
由此知
.
,0
方差无显著差异
从而认为两个总体的因此不能拒绝原假设 H
例,羊毛品在处理前与处理后分别抽样分析其含
脂率如下
处理前 0, 1 9,0, 1 8,0, 2 1,0, 3 0,
0, 4 1,0, 1 2,0, 2 7
处理后 0, 1 5,0, 1 3,0, 0 7,0, 2 4,
0, 1 9,0, 0 8,0, 1 2,0, 0 6
若处理前后的含脂率均服从正态分布，且假设标准
差不变, 问处理前后含脂率的 方 差 是否 相 等？ ( α
= 0, 0 5 )
解 检验的假设为 2
221122210,,,???? ?? HH
12.5)7,6(,175.0)7,6(,8,7,05.0 0 2 5.09 7 5.021 ????? FFnn?
22
120, 0 0 9 1,0, 0 0 3 9,ss??
故拒绝域为 ? ?0, 1 7 5 5, 1 2W F F? ? ?或
由样本计算得
333.2
0 0 3 9.0
0 0 9 1.0
2
2
2
1 ???
s
sf
显然没有落在拒绝域中，为此认为处理前后的含脂
率的方差相等,
§ 3.6 两个正态总体方差的单侧假设检验
对于假设
2
2
2
10, ?? ?H
选用统计量
2
2
2
1
S
S
F ?
)1,1~ 212
2
2
2
2
1
2
1 ???? nnF
S
S
F （
?
?
在假设 H0成立时 FF ??
??? ????????? )}1,1({)}1,1({ 2121 nnFFPnnFFP
从而得 H0的拒绝域为
但是
从而
?
?
?
?
?
?
???? )1,1( 212
2
2
1 nnF
S
SC
?
分布未知
例, 用老工艺生产的机械零件方差较大，抽查了 25
个零件，得 2
1 6, 4 7s ?
，现改用新工艺生产，抽查 25 个
零件，得 2
2 3, 1 9s ?
，设两种生产过程皆服从正态分布，
问新工艺的精度是否比老工艺显著地好？ )05.0( ??
解 设旧工艺的精度
设新工艺的精度
），（ 211~ ??NX
），（ 222~ ??NY
且 X,Y相互独立
检验的假设 2
2
2
11
2
2
2
10,,,???? ?? HH
98.1)24,24(208.219.3 47.6 05.02
2
2
1 ????? F
s
sf
查表及计算得
故拒绝 H0,新工艺的精度比老工艺的精度显著地好,
检验法 条件
0H
1H
检验统计量 拒绝域
F 检验
21,??
未知
2
2
2
1
2
2
2
1
2
2
2
1
??
??
??
?
?
?
2
2
2
1
2
2
2
1
2
2
2
1
??
??
??
?
?
?
2
2
2
1
S
S
F ?
)1,1( 21 ??? nnFF ?
)1,1( 211 ??? ? nnFF ?
)1,1(
)1,1(
212
2121
???
???
?
nnFF
nnFF
?
?
或
表, 两个正态总体方差的假设检验 (显著性水平为 α）
? 假设检验是对总体的分布函数的形式或分布中某
些参数做出某种假设,然后通过抽取样本,构造适
当的统计量,对假设的正确性进行判断的过程,
? 前面我们讨论了在总体分布族已知的情况下,如
何根据样本去得到参数的优良估计,但有时,我们并
不需要估计某个参数的具体值而只需验证它是否满
足某个条件,这就是统计假设检验问题,
假设检验
?
参数假设检验
非参数假设检验
这类问题称作假设检验问题,
总体分布已知,
检验关于未知参数
的某个假设
总体分布未知时的
假设检验问题
在本章中, 我们将讨论不同于参数估计
的另一类重要的统计推断问题, 这就是根据
样本的信息检验关于总体的某个假设是否
正确,
让我们先看一个例子,
这一讲我们讨论对参数的假设检验,
例,某工厂生产 10欧姆的电阻,根据以往生产
的电阻实际情况,可以认为其电阻值
X～ N(?,?2),标准差 σ =0.1.现在随机抽取
10个电阻,测得它们的电阻值为,
9.9,10.1,10.2,9.7,9.9,9.9,10,
10.5,10.1,10.2,
试问,从这些样本,我们能否认为该厂生
产的电阻的平均值 ?为 10欧姆?
?确定总体,记 X为该厂生产的电阻的测量值,
根据假设,X ～ N(?,?2),这里 ?=0.1,
?明确任务, 通过样本推断 X的均值 μ 是否等
于 10欧姆,
?假设,上面的任务就是要通过样本去检验
,X的均值 μ =10” 这样一个假设是否成
立,(在数理统计中 把,X的均值 μ =10” 这样
一个待检验的假设记作, H0:μ =10”称为
,原假设, 或, 零假设,
问题怎么建立,
原假设的对立面是,X的均值 μ ≠ 10”
记作, H1:μ ≠ 10”称为, 对立假设, 或
,备择假设,,把它们合写在一起就是,
H0:μ =10 H1:μ ≠ 10
解决问题的思路分析,
? ∵ 样本均值是 μ 的一个良好估计,
∴ 如果 μ =10,即原假设成立时,那么,
|10| ?X 应该比较小, 反之,如果它过于大,那么想
必是原假设不成立,
|10| ?X 的大小可以用来检验原假设是否成立,
这里的问题是,我们如何确定常数 K呢
合理的思路是找出一个界限 K,
细致的分析,
∵ n=10 ?=0.1
当 KX ?? |10| 时,我们就接受原假设 H 0,
当 KX ?? |10| 时,我们就 拒绝 原假设 H 0,
)1,0(~
/
N
n
X
U
?
??
?由于
)1,0(~
10/1.0
NXU ????
于是,当原假设 H0:μ =10 成立时,有,
为确定常数 K,现在我们考虑一个相当小的正
数 ?(理由下面讲 ).例如 ? =0.05,
于是,当原假设 H0:μ =10 成立时,有,
)1,0(~
10/1.0
10 NXU ??
?? ???
?
?
??
?
?
?
?
2/
10/1.0
10
u
X
P
? ? ?? ???? 10/1.010 2/uXP
10/1.02/ ??? ?uK取
我们就拒绝原假设 H0:μ =10,
我们就接受原假设 H0:μ =10,
现在我们就得到检验准则如下,
时当 KX ?? 10
时当 KX ?? 10
10/1.02/ ?? ?uK其中
下面我们指出这很符合人们的逻辑,实际上这
种思维也叫, 带概率性质的反证法
? 带概率性质的反证法的逻辑是,
如果假设 H0是正确 的 话,出现一个 概率很小
的事件,则以很大的把握否定假设 H0,
通常的反证法设定一个假设以后,如果出现
的事实与之矛盾,(即如果这个假设是正确的 话,
出现一个概率等于 0的事件 )则绝对地否定假设,
例,用精确方法测量某化工厂排放的气体中有害
气体的含量服从正态分布 X ~N ( 2 3,4 ),现用一简便
方法测量 6 次得一组数据 2 3,2 1,1 9,2 4,1 8,1 8 ( 单位,
十万分之一 ),问用简便方法测得的有害气体含量
是否有系统偏差?
分析,用简便方法测得有害气体含量 X ~ N( μ,4 )
为了判断用简便方法测得的有害气体含量是否有
系统偏差，提出两个相互对立的假设
H 0, μ = μ 0 =2 3,H 1, μ ≠ 2 3
若 H 0 成立,则
若取 α =0,05,则
P{ | U |> u
α /2 }= α,即 P{ | U | >1.96 }= 0,05
一般认为, 小概率事件在一次实验中是不会发生的
将样本观测值代入 U 得 06.3
/2
23 ???
n
xu
小概率事件在一次实验中发生了,故假设不合情理,
即, 否定原假设,简便方法测得均值有系统偏差,
)1,0(~
/
0 N
n
XU
?
???
?定义,任何一个关于总体分布的假设称为 统计假设,
简称 假设,
?若总体的分布类型已知,只要对一个或几个未知参
数作出假设,就可以完全确定总体的分布,
?定义,只涉及到总体分布的未知参数的统计假设称
为 参数假设,
?在实际问题中,我们有时不知总体分布的类型,需
要对未知分布函数或者它的某些特征提出假设,
?定义,对总体的未知分布函数或者它的某些特征提
出的统计假设,称为 非参数假设,
§ 1 假设检验的概念与步骤
?检验法则的建立原则上依赖于小概率事件,其思
想是先假设 H0是正确的,在 H0正确的假设下构造一
个事件 A,使 A在 H0正确的条件下发生的概率很小,
即 P{A|H0}很小,而一般认为,一个概率很小的事
件在一次试验中是几乎不可能发生的,,进行一次
试验,若 A竟然发生,则 H0的正确性值得怀疑,因而
决定拒绝原假设 H0,
§ 1.1 假设检验的基本思想
?统计假设检验问题的一般提法是,在给定备择假
设 H1下对原假设 H0作出判断,若拒绝原假设 H0,则接
受备择假设,否则就接受原假设 H0,
? 在 H0对 H1的检验问题中要作出某种判断,必须从样
本 (X1,X2,...,Xn)出发制定一个法则,一旦样本观察
值 (x1,x2,...,xn)确定,可利用所构造的法则作出判断,
拒绝 H0还是拒绝 H1.这种法则称为 H0对 H1的一个检验
法则,简称为一个 检验法则,或一个 检验,
? 检验法则本质上就是把样本空间划分为两个互不相
交的子集 C和 C*,使得当样本 (X1,X2,...,Xn)的观察值
(x1,x2,...,xn)∈ C时,将拒绝原假设 H0,若 (x1,x2,...,xn)∈ C*,
则接受原假设,这样的划分构成一个准则,称样本空间
的子集 C为检验的 临界域 (或 拒绝域 ),
? 一类错误是,当 H0为真时,因为尽管事件 {A|H0}是
小概率事件,但仍有可能发生,即样本观察值
(x1,x2,...,xn)∈ C时,按检验法则将拒绝原假设 H0,这
种错误称为 第一类错误,犯第一类错误的概率即为
我们选定的小概率事件的概率 P{A|H0}=α,称为犯
第一类错误的概率或 拒真概率,即
? 根据检验法则,若 A发生则拒绝 H0,否则接受 H0.
这不免要犯二类错误,
§ 1.2 假设检验中的二类错误
P{拒绝 H0 |H0为真 }= P{A|H0}
=P{(x1,x2,...,xn)∈ C |H0为真 } =α
? 另一类错误是,当原假设 H0不真,即 H1为真时,A
也有可能不发生,即样本观察值 (x1,x2,...,xn)∈ C*,按
检验法则将接受原假设 H0,这种错误称为 第二类
错误,犯第二类错误的概率 P{ā|H1}=β,称为犯第二
类错误的概率或 受伪概率,即
P{接受 H0 |H1为真 }= P{ā|H1}
=P{(x1,x2,...,xn)∈ C* |H1为真 } = β
假设检验的两类错误
P{拒绝 H0|H0为真 }=α
P{接受 H0|H0不真 }=β
犯两类错误的概率,
显著性水平 α 为犯第一类错误的概率,
H0为真
实际情况
决定
拒绝 H0
接受 H0
H0不真
第一类错误 正确
正确 第二类错误
?我们当然希望独两类错误的概率 α 与 β 都很小,但
在样本容量 n固定时是无法做到的,基于这种情况,
且因为人们常常把拒绝 H0比错误地接受 H0看得更重
些,因此人们希望在控制犯第一类错误的概率 α 的
条件下,尽量使犯第二类错误的概率 β 小,但这也是
不容易的,有时甚至是不可能的,于是人们不得不降
低要求,只对犯第一类错误的概率 α 加以限制,而不
考虑犯第二错误的概率,在这种原则下,寻找临界域
C时只涉及原假设 H0,而不涉及备择假设 H1,这种统
计假设问题称为 显著性检验 问题,
?对给定的犯第一类错误的概率 α 称为 显著性水平,
?(1) 根据问题的要求建立原假设 H0和备择假设 H1;
§ 1.3 假设检验的方法步骤
?(2) 选取一个适当的统计量 T(X1,X2,...,Xn),要求 T不
含任何参数,以便计算 H0为真时的条件概率 ;
?(3) 给定显著性水平 α,求出使 P{T∈ C|H0}≤α的临界
域 C;
?(4) 若样本观察值 T(x1,x2,...,xn)∈ C,则拒绝原假设 H0,
否则接受 H0,
§ 2 一个正态总体的假设检验
§ 2.1 方差已知时总体均值的双侧假设检验
0100
2
0
2
2
21
:,:
,
,),(),...,,(
??????
???
???
HH
NXXX
n
要检验假设为已知常数
的样本是取自正态总体设
}|{|
,
,:
,
0
0
000
KXC
XH
X
????
?
????
??
所以临界域应有形式太远波动而不偏离
附近随机地应在则样本均值为真
如果原假设的无偏估计为由于样本均值
)1,0(~
/0
0 N
n
X
U
?
??
?由于
n
x
u
xxx
n
/
),...,,(
0
0
21
?
??
?
算出再根据样本观察值
}|{|
}|{|
,
,
2/
2/
2/
?
?
?
?
?
uUC
uUP
u
??
??
这样就得到了临界域
使
可查出相应的临界值下于是在给定显著性水平
找临界值 uα/2示意图
0
?/2
u?/2
?/2
?u?/2
..
,;
.:,||,
0
002/
?
??
?
率恰好等于此时犯第一类错误的概异
原假设无差认为此时的总体均值与否则接受
原假设有明显差异认为总体的均值此时与
则拒绝原假设即若
H
HuuCu ????
? 例,设某厂一车间生产的钮扣,其直径据经验服从正
态分布 N(μ,5.22).为了检验这一车间生产是否正常,现
抽取容量 n=100的样本,得样本均值为 26.56,要求在显
著性水平 α=0.05下检验假设 H0:μ0=26,
26:,26,10 ?? ?? HH 备择假设提出原假设
)1,0(~
100/2.5
26
N
X
U
?
?建立统计量
解
05.0}96.1|
100/2.5
26
{|
96.1,05.0
0 2 5.02/
??
?
???
X
P
uu
即
查得对于给定的显著性水平
?
?
.,
96.108.1
100/2.5
2656.26
100/2.5
26
||
0
认为生产是正常的从而接受原假设
而
H
x
u ??
?
?
?
?
例, 根据以往的经验和资料分析,某砖厂所生产的
砖的抗断强度
121XN ?～ （, ）
,今从该厂所生产的一批
砖中随机取六块,测得抗断强度（ k g / c m
2
）如下,
3 2, 5 6,2 9, 6 6,3 1, 6 4,3 0, 0 0,3 1, 8 7,3 1, 0 3,
可否认为这批砖的平均抗断强度为 3 2, 5 ( k g / c m
2
）?
( 取 05.0?? ),
解 需检验假设为
5.325.32 10 ?? ??,，,HH
由样本得
96.105.3
621.1
5.323.31
??
?
?u
因而，在显著性水平 α=0.05下，应拒绝原假设
即不能认为这批产品的平均抗断强度为 32.5（ kg/cm2）
查表得
0, 0 2 5 1, 9 6u ?
拒绝域为
? ?96.1?? UC
右边检验,H 0, μ = μ 0 ( 或 H 0, μ ≤ μ 0 ) 与 H 1, μ > μ 0
左边检验,H 0, μ = μ 0 ( 或 H 0, μ ≥ μ 0 ) 与 H 1, μ < μ 0
这种形式的假设检验问题叫单边检验, 它们也很
有实用意义,
§ 2.2 方差已知时总体均值的单侧假设检验 例如, 工厂生产的一种产品的某项指标平均值为 μ 0,
采用了新技术或新配方后,被认为产品质量提高了,
该指标的平均值 ? 应该随之上升,
我们想看看 ? 是否有显著上升,
于是问题就是检验,
H0:μ =μ 0 ━━ 即新技术或新配方对于提高产品质
量无效果,还是
H1:μ >μ 0 ━━ 即新技术或新配方确实有效,提高
了产品质量,
解决问题的思路,
如果 μ =μ 0,即原假设成立时,那么,
就不应该太大,反之,如果它过于大,那么想必是原假
设不成立,
0??X
当原假设 H0:μ =μ 0 成立时,有,
)1,0(~
/0
0 N
n
X
U
?
??
?
求解,
?
?
?
? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
u
n
X
P
/0
0
? ? ??? ? ???? nuXP /00
拒绝域为 ? ?nuXC /
00 ?? ? ????
例, 微波炉在炉门关闭时的辐射量是一个重要的质
量指标, 某厂该质量指标服从正态分布
),(
2
??N
，长期
以来 22 1.0??,且均值都符合要求不超过 0,1 2,为检
查近期产品的质量，抽查了 25 台，得其炉门关闭时
的辐射量的均值 0, 1 2 0 3x ? 。试问在 05.0?? 水平上炉
门关闭时的辐射量是否升高了？
解 建立假设 12.0:12.0,0100 ???? ???? HH
取统计量
n
XU
?
? 0??
分布未知
但由题设
)1,0(~ N
n
XU
?
????
U ? 中含有未知参数 μ,无法直接计算 U ? 的值, 但我
们发现，当
0H
成立时,UU ??
因而事件 ? ? ? ?U u U u
???? ? ?
故 ? ? ? ?P U u P U u
?? ?? ? ?
在 H0真实的前提下，由 X
Pu
n
?
?
?
?
?????
????
????
可知
?
?
?
? ???
?
?
???
?
?? u
n
XP 0
因而拒绝域
? ?nuXu
n
XC ??
?
?
?? ????
?
?
?
?
?
?
??? 00
查正态分布函数表知
1, 6 4u ? ?
由于
0, 0 5
1 9 0, 1 2 0 3 0, 1 2 0, 0 1 5 1, 6 4
0, 1 2 5
xUu
n?
??? ? ? ? ?
因而在 05.0?? 水平下，不能拒绝原假设 12.0:
0 ??H
,
即可以认为当前生产的微波炉关门时的辐射量无
明显升高,
例, 某厂生产需用玻璃纸作包装,按规定供应商供
应的玻璃纸的横向延伸率不应低于 65, 已知该指标
服从正态分布,方差 一直稳定于 5, 5, 从近期来货中
抽查了 100 个样品,得样本均值,5 5, 0 6x ?,试问在
05.0?? 水平上能否接受这批玻璃纸？
解 建立假设 65:,65:
10 ?? ?? HH
拒绝域应取作 ? ?
Uu???
由样本求得
0, 0 5
0
5 5, 0 6 6 5 1 8, 0 7 1, 6 4 5
5, 5 1 0 0
x
n
?
?
??? ? ? ? ? ? ? ?
故应拒绝 H0，不能接受这批玻璃纸,
0100
2
2
21
:,:
,
,),(),...,,(
????
?
??
?? HH
NXXX
n
要检验假设为未知常数
的样本是取自正态总体设
}|{|
,
,:
,
0
0
000
KXC
XH
X
???
?
?
?
???
?
所以临界域应有形式太远波动而不偏离
附近随机地应在则样本均值为真
如果原假设的无偏估计为由于样本均值
§ ２,3方差未知时总体均值的双侧假设检验
) },1(|{|
)}1(|{|
),1(,
,)(
1
1
)1(~
/
,
2/
2/
2/
1
22
0
0
???
???
?
?
?
?
?
?
?
?
?
nttC
nttP
nt
XX
n
S
nt
nS
X
t
H
n
i
i
?
?
?
?
?
?
这样就得到了临界域
使可查出相应的临界值下
于是在给定显著性水平其中
为真时当
ns
x
t
xxx
n
/
),...,,(
0
21
??
?
算出再根据样本观察值
找临界值 tα/2示意图
0
?/2 ?/2
?t?/2(n?1) t?/2(n?1)
..
,;
.
:),1(||,
0
0
02/
?
??
?
率恰好等于此时犯第一类错误的概无差异
原假设认为此时的总体均值与否则接受异
原假设有明显差认为总体的均值此时与
则拒绝原假设即若
H
HnttCt
?
???
.818.5,06.45
,100
,65:,
,:例
00
??
?
sx
HX
测得样本观察值的均值的样本体中抽出容量为
从总现要检验服从正态分布延伸率
假设其横向延伸率检验某种型号玻璃纸的
?
65:65,10 ?? ?? HH提出假设
05.0}98.1|
100/
65
{|
98.1,05.0
9 7 5.02/
??
?
???
S
X
P
tt
即
查得对于给定的显著性水平
?
?
.
,
98.127.34
100/818.5
6506.45
100/
65
||
0
指标要求
没有达到认为这批玻纸的延伸率从而拒绝原假设
而
H
s
x
t ??
?
?
?
?
)1(~
100/
65
?
?
nt
S
X
建立统计量
解
例, 某糖厂用自动打包机打包，每包标
准重量为 100 公斤，每天开工后需检验
一次打包机是否正常工作，某日开工后
测得九包重量为
99.3, 98.7, 100.5, 101.2, 98.3,
99.7, 99.5, 102.1, 100.5
假设 每 包的重量服从正态分布, 在显著
性水平为 05.0?? 下，打包机工作是否正
常？
由观测值得
3 0 6 0.205.0
9212.1
10098.99
??
?
?t
故样本没有落入拒绝域，应接受 H0，即可以认为
打包机工作正常
解 建立假设 100100 10 ?? ??,，,HH
3060.2)8(,05.0,9 025.0 ??? tn ?
故此问题的拒绝域为 ? ?
3060.2?T
检验 H0:μ =μ 0 H1:μ >μ 0
§ 2.４ 方差未知时总体均值的单侧假设检验
当原假设 H0:μ =μ 0 成立时,有,
)1(~
/
0 ??? nt
nS
XT ?
?
?
? ?
?
?
?
?
?
?
??
?
)1(
/
0 nt
nS
X
P
?? ? ?
?
?
?
?
?
? ??? )1(
0 ntn
S
XP
)1(0 ??? nt
n
sx
??
拒绝域为
例,某厂生产一种工业用绳,其质量指标是绳子所
承受的最大拉力,假定该指标服从正态分布,
原来该厂生产的这种绳子平均最大拉力 μ 0
=15公斤,现在采用了一种新的原材料,厂方称这种
原材料提高了绳子的质量,也就是说绳子所承受的
最大拉力 μ 比 15公斤大了,
为了检验该厂的结论是否真实,从其新产品中
随机抽取 50件,测得它们承受的最大拉力的平均值
为 15.8公斤,样本标准差 S=0.5公斤,取显著性水平
? =0.01,
问从这些样本看,我们能否接受厂方的结论,即
新原材料是否确实提高了绳子的质量?
问题归结为检验如下假设
H0:μ =15 H1:μ >15 (方差 ?2未知 )
此处 n=50,? =0.01,标准差 S=0.5,
解
查不到 t0.01(49),利用性质,
给定 ?,t?(n)关于自由度 n是单调下降的,
我们查 t0.01(45)=2.41,
则 t0.01(49)<t0.01(45)= 2.41
)49(
50
5.0
)45(
50
5.0
41.2
50
5.0
8.0158.15
01.001.0
0
tt
x
????
?????? ?
∴ 我们拒绝原假设,认为新的原材料确实提高了绳
子所能承受的最大拉力,
检验 H0:μ ≤ μ 0 H1:μ >μ 0
取统计量
nS
XT 0???
但在 H0成立的条件下
)1(~ ?
?
?? nt
nS
X
T
?
且有 ? ? ? ?,T T T c T c??? ? ? ?
故
?
??
?? ?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
)1()1(0 nt
nS
X
Pnt
nS
X
P
拒绝域为
?
?
?
?
?
?
???? )1(0 nt
nS
XC
?
?
分布未知
例, 根据某地环境保护法规定，倾入河流的废水中
某种有毒化学物质的平均含量不得超过 3 p p m 。该地
区环保组织沿河个厂进行检查，测得每日倾入河流
的废水中该种有毒化学物质的含量。某厂连日的记
录为,
3.1, 3, 2, 3, 3, 2, 9, 3.5, 3, 4, 2, 5, 4, 3,
2, 9, 3, 6, 3.2, 3, 0, 2, 7, 3, 5, 2,9
试在显著性水平
05.0??
上判断该厂是否符合 环保
规定（假定废水中该种有毒化学物质的含量
),(~
2
??NX
）,
解 提出假设 3:,3:
10 ?? ?? HH
7 6 1 3.1)14(05.0 ?t查表得
故拒绝域为 ? ?
7613.1?T
再根据样本求得 22 436.0,2.3 ?? sx
从而有
7 6 1 3.17 7 6 6.1
15436.0
32.3 ????t
样本落入拒绝域，所以否定
0H
，因此在 05.0?? 水平
上该厂废水中有毒化学物质的含量超标，不符合环
保规定，应采取措施来降低废水中该种有毒化学物
质的含量,
表, 一个正态总体均值的假设检验 (显著性水平为 α)
检验法 条件
0H
1H
检验统计量 拒绝域
U
检验
2?
已知
0
0
0
??
??
??
?
?
?
0
0
0
??
??
??
?
?
?
n
X
U
?
?
0
?
?
Uu ??
Uu ???
2Uu ??
t
检验
2?
未知
0
0
0
??
??
??
?
?
?
0
0
0
??
??
??
?
?
?
nS
X
T
??
?
)1( ?? ntT ?
)1( ??? ntT ?
))1(2 ?? ntT ?
§ 2.5 均值已知时的方差的双边假设检验
2
0
2
1
2
0
2
0
0
2
21
:,:
,
,),(),...,,(
????
??
??
??
?
HH
NXXX
n
要检验假设为已知常数
的样本是取自正态总体设
.1
)(
1
,,,
)(
1
,
2
0
1
2
0
0
2
1
2
00
的附近随机地波动应该在
统计量为真时当因此的无偏估计方差
是总体样本方差已知时当
?
?
?
???
?
?
?
?
?
??
n
i
i
n
i
i
X
n
H
XX
n
)(~
)(
,
2
2
0
1
2
0
2
0
n
X
H
n
i
i
?
?
?
?
?
?
?
?
统计量下在假设
? ? ? ?
? ? ? ?
.2/
,,
,.
,
,0,0,
,
21
21
2121
22
2
11
2
2121
2
2
1
2
?????
??
??
????????
??????????
????
取
所以一般很复杂和但这样计算最优的率尽可能地小
的概一般应使犯第二类错误的选取和而和定出
和就需要由水平
给定了显著性因此临界域的形式为
KK
KPKP
KK ?
2/)}({
2/)}({
),(
)(,
2
2/1
2
2
2/
2
2
2/1
2
2/
???
???
?
??
?
?
?
?
??
??
?
?
nP
nP
n
n
即和
查出两个临界值对于给定的显著性水平
)}({)}({ 2 2/122 2/2 nnC ?? ???? ???? ?
这样得到临界域为
.
,),()(
,),...,,(
0
0
2
2/1
22
2/
2
22
21
H
Hnn
xxx
n
原假设
否则就接受就拒绝或
的值若的值计算由样本观察值
??
????
??
?
??
?
找临界值示意图
?/2
)(2 2/ n??)(2 2/1 n?? ?
?/2
§ 2.6 均值未知时的方差的双边假设检验
2
0
2
1
2
0
2
0
2
21
:,:
,
,),(),...,,(
????
?
??
?? HH
NXXX
n
要检验假设为未知常数
的样本是取自正态总体设
.1
)(
1
1
,,.
)(
1
1
,
2
0
1
2
0
2
1
2
的附近随机地波动应该在
统计量为真时当因此的无偏估计方差
是总体样本方差未知时当
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
n
i
i
n
i
i
XX
n
H
XXX
n
)1(~
)(
)1(
,
2
2
0
1
2
2
0
2
2
0
?
?
?
?
?
?
?
n
XX
Sn
H
n
i
i
?
??
?
统计量下在假设
2/)}1({
2/)}1({
),1(
)1(,
2
2/1
2
2
2/
2
2
2/1
2
2/
???
???
?
??
?
?
?
?
???
???
?
?
?
?
nP
nP
n
n
即和
查出两个临界值对于给定的显著性水平
)}1({)}1({ 2 2/122 2/2 ????? ? nnC ?? ???? ?
这样得到临界域为
.
,),1()1(
,),...,,(
0
0
2
2/1
22
2/
2
22
21
H
Hnn
xxx
n
接受原假设
否则就就拒绝或
的值若的值计算由样本观察值
????
? ??
????
??
:
,31.18.0:
,
,.18.0
),,(:
2
0
2
0
2
测得数据如下表所示
个零件的为此抽取这车床所加工
即检验假设原来加工精度一下这一车床是否保持
要检验经过一段时间生产后原来加工精度
服从正态分布一车床加工零件的长度例
???
??
???
nH
N
零件长度 x i 1 0, 1 1 0, 3 1 0, 6 1 1, 2 1 1, 5 1 1, 8 1 2, 0
频数 n i 1 3 7 10 6 3 1
.
,05.0:
单侧的情形
由题意只要考虑下在给定显著性水平解 ??
.8.43)30(.
05.0)}30({
2
05.0
2
05.0
2
?
??
?
??
查表得定出临界值
由 P
)30(8.435.44
18.0
)(
2
05.0
7
1
2
2
?? ???
?
?
?
?i
ii
xxn
由样本观察值计算出
.
.0
度变差
段时间后精这说明自动车床工作一因此拒绝原假设 H
例, 已知维尼纶纤度在正常情况下服从方差为
22
0
0, 0 4 8? ?
的正态分布，某日抽取五根纤维，测得
其纤度为
1, 3 2, 1, 55, 1, 3 6, 1, 4 0, 1, 4 4
问这一天纤度的分布的方差是否正常？ )1.0( ??
解 需检验的假设为
2 2 2 20 0 1 0HH? ? ? ???：,,
488.9)4(,711.0)4(,1.0,5 2 05.02 95.0 ???? ???n
拒绝域为 ? ?488.971.0 22 ?? ?? 或
现由样本求得 4 8 8.95.13
0 4 8.0
0 7 8.04
2
2 ?????
故拒绝 H0，即认为这一天纤度的分布不正常,
§ 2.7 方差的单边假设检验
2
0
2
1
2
0
2
0
2
21
:,:
,
,),(),...,,(
????
?
??
?? HH
NXXX
n
要检验假设为未知常数
的样本是取自正态总体设
当 H0为真时有
??
?
?
? ??
?
??
?
?
?
??
?
?
?
????
?
?
?
?
?
?
??? )1()1()1()1( 22
2
2
2
0
2
nSnPnSnP
因此,如果根据所给样本值 nxxx,,,21 ? 计算有
)1(
)(
)1( 2
2
0
1
2
2
0
2
??
?
?
?
?
? n
xx
sn
n
i
i
??
??
则拒绝原假设 2020, ?? ?H,否则接受原假设 2020, ?? ?H,
例, 某种导线的电阻服从
),( 2??N
,μ 未知，其中
一个质量指标是电阻标准差不得大于 0, 0 0 5 Ω, 现
从中抽取了九根导线测其电阻，测得样本标准差
s = 0, 0 0 6 6,试问在 α = 0, 0 5 水平上能否认为这批导
线的电阻波动合格？
解 建立假设 2 2 2 2
01,0, 0 0 5,,0, 0 0 5HH????
5 0 7.15)8(2 95.0 ??查表得
拒绝域为 ? ?507.152 ?? ?W
现由样本求得 507.1594.13
005.0
0066.08
2
2
2 ?????
故可接受原假设,在 α=0.05水平上认为这批导线的电
阻波动合格
表, 一个正态总体方差的假设检验 (显著性水平为 α)
检验法 条件
0H
1H
检验统计量 拒绝域
2?
检验
?
未知
2
0
2
2
0
2
2
0
2
??
??
??
?
?
?
2
0
2
2
0
2
2
0
2
??
??
??
?
?
?
2
0
2
2 )1(
?
?
Sn ?
?
)1(22 ?? n???
)1(212 ?? ? n???
)1(
))1(
2
21
2
2
2
2
??
??
?
n
n
?
?
??
?? 或
§ 3 两个正态总体的假设检验
.
,),(),...,,(
,),(),...,,(
2
2221
2
1121
2
1
两个样本相互独立
且这的样本是取自正态总体设
的样本是取自正态总体设
??
??
NYYY
NXXX
n
n
??
??
??
??
?
?
??
?
?
??
22
11
1
2
2
2
2
12
1
2
1
2
1
11
)(
1
11
)(
1
11
n
i
i
n
i
i
n
i
i
n
i
i
YY
n
SY
n
Y
XX
n
SX
n
X
方差的无偏估计分别为令这两个样本的均值与
要检验假设已知与,2221 ??
§ 3.1 方差已知时均值的双侧假设检验
211210,,,???? ?? HH
因为
)1,0(~
)()(
2
2
2
1
2
1
21 N
nn
YX
??
??
?
???
)1,0(~
)(
2
2
2
1
2
1
N
nn
YX
U
??
?
?
?
当 H0成立时，统计量
从而,对于给定的显著性水平 α,拒绝域为
2
22
12
12
XY
Vu
nn
?
??
??
??
?
????
??
?
??
根据样本值计算出的统计量 U 的观察值,若值
落在区间
22,uu ???????
之外，则拒绝
0H
，否则接受
0H
,
例, 从两个教学班各随机选取 14 名学生进行数学测
验，第一教学班与第二教学班的测验结果分别如下,
第一教学班,91, 80, 76, 98, 95, 92, 90,
91, 80, 92, 1 0 0, 92, 98, 98
第二教学班,90, 91, 80, 92, 92, 94, 96,
93, 95, 69, 90, 92, 94, 96
已知两教学班数学成绩的方差分别为 57 与 53,在
显著性水平
05.0??
下，可认为这两个教学班的学生
的数学测验成绩有差异？
解 设第一教学班的数学成绩 )57,(~
1?NX
第二教学班的数学成绩 )53,(~ 2?NY
12 1 4,0, 0 5 9 0, 9 2 9,9 0, 2 8 6n n x y?? ? ? ? ?
建立假设
211210 ???? ??,，,HH
查正态分布表，求出临界值 0, 0 2 5 1, 9 6u ?
0, 0 2 5
22
12
12
( ) 9 0, 9 2 9 9 0, 2 8 6
0, 2 2 9 3
5 7 5 3
1 4 1 4
XY
Uu
nn
??
??
? ? ? ?
??
接受 H0，认为两个教学班的数学成绩无显著差异,
§ 3.2 方差已知时均值的单侧假设检验
211210 ???? ??,，,HH
要检验假设已知与,2221 ??
因为
)1,0(~
)()(
2
2
2
1
2
1
21 N
nn
YX
??
??
?
???
且在 H0成立时
2
2
2
1
2
1
21
2
2
2
1
2
1
)()()(
nn
YX
nn
YX
??
??
??
?
???
?
?
?
12
2 2 2 2
1 2 1 2
1 2 1 2
( ) ( )() XYXY
P u P u
n n n n
??
??
?
? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ??? ? ? ?
? ? ? ?? ? ? ?
? ? ? ?
??
? ? ? ?
? ? ? ?
所以
因而拒绝域
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
u
nn
YX
C
2
2
2
1
2
1
)(
例, 某化工厂为了提高某种化学药品的质量，提出
了两种工艺方案，为了研究哪一种方案好，分别用
两种工艺各进行了 50 试验，测得甲方案的关键指标
的样本均值为 1 7 4, 3 4 克,测得乙方案的关键指标的
样本均值为 1 7 2, 4 2 克，假设两种工艺方案的关键指
标都服从正态分布，其标准差相应为 5, 3 5 克和 6, 1 1
克。问该化学药品质量的关键指标甲方案是否比乙
方案要高一些？ ( α = 0, 0 5 )
解 设 X为甲方案的关键指标值则
)35.5,(~ 21?NX
问题可以归结为假设 211210 ???? ??,，,HH
正态分布表得
0, 0 5 1, 6 4u ?
由于
64.167.1
50
11.635.5
42.17234.174)(
22
2
2
2
1
2
1
??
?
?
?
?
?
?
nn
yx
u
??
因此拒绝 H0，接受 H1，即认为甲方案的关键指标
值比乙方案的关键指标值要高一些,
)11.6,(~ 22?NY设 Y为乙方案的关键指标值则
.
2
)1()1(
)2(~
11
,
21
2
22
2
112
21
21
0
??
???
?
??
?
?
?
nn
SnSn
S
nnt
nn
S
YX
t
H
w
w
其中
为真时因为当
§ 3.3 方差未知时均值的双侧假设检验
211210,,,???? ?? HH
要检验假设未知,2221 ?? ?
}.2(|{|
}2(|{|
),2(
,
212/
212/
212/
????
????
??
nnttC
nnttP
nnt
?
?
?
?
?
这样就得到了临界域
使界值
可查出相应的临下于是在给定显著性水平
21
2121
11
),,...,,(),,...,,(
21
nn
s
yx
t
yyyxxx
w
nn
?
?
?
算出
再根据样本观察值
.
.
,;
.:,||,
0
2102/
?
??
?
率恰好等于
此时犯第一类错误的概为两个总体均值无差异
认否则接受明显差异认为两个总体的均值有
则拒绝原假设即若
H
HttCt ???
.
,
10890.410560.9
059.2,063.2
,10
050.2:
6262
态分布假设轴直径的分布是正
工的轴直径是否有差异试检验这相隔两小时加
值和方差分别为
测得其均的两个样本量为现在每隔两小时各取容
毫米的轴直径为在一台自动车床上加工例
??
????
??
YX
ss
yx
，
YXYX
YX
HH ????
?
???
??
??
:,:
,
10
2
222
是为未知参数需要检验的
床可以认为由于样本取自同一台车
)2(~
11
??
?
?
YX
YX
W
nnt
nn
S
YX
建立统计量
01.0}878.2|
11
{|
878.2,01.0
0 0 5.02/
??
?
?
???
YX
W
nn
S
YX
P
tt
即
查得对于给定的显著性水平
?
?
解
..
,
878.23.3
21010
1089.491056.99
059.2063.2
11
||
||
0
66
的影响而生产不稳定可能是自动车床受时间异
上有差认为这两个样本在生产于是拒绝原假设
而
H
nn
s
yx
t
YX
W
??
??
?????
?
?
?
?
?
??
例,羊毛品在处理前与处理后分别抽样分析其含
脂率如下
处理前 0, 1 9,0, 1 8,0, 2 1,0, 3 0,
0, 4 1,0, 1 2,0, 2 7
处理后 0, 1 5,0, 1 3,0, 0 7,0, 2 4,
0, 1 9,0, 0 8,0, 1 2,0, 0 6
若处理前后的含脂率均服从正态分布，且假设标准
差不变, 问处理前后含脂率的平均值是否有显著变
化？ （ α = 0, 0 5 ）
解 设羊毛品在处理前后其含脂率分别为 X与 Y,且
），（～），，（～ 222211 ???? NYNX 未知且 2
2
2
1 ?? ?
检验的假设为
211210 ???? ??,，,HH
查表得 1 6 0 4.2)13(0 2 5.0 ?t
0 7 9 5.0,0 0 3 9.0,0 0 9 1.0,13.0,24.0 22221 ????? wsssyx
拒绝域的形式为 ? ?1604.2?? TW
计算得 1 6 0 4.26 7 3 5.2 ??t
故拒绝 H0,认为处理前后含脂率的平均值有显著变化,
§ 3.4 方差未知时均值的单侧假设检验
要检验假设未知,2221 ?? ?
211210 ???? ??,，,HH
211210 ???? ??,，,HH
以例子说明
例, 某地区高考负责人想知道某年来自城市中学
考生的平均成绩是否比来自农村中学考生的平均
成绩高，已知总体服从正态分布且方差相同，从
抽样得到的资料：（ 05.0?? ）
城市考生,2
11
8 5, 5,4 2, 9 4 4,1 0x s n? ? ?
农村考生,2
22
8 8, 9,3 7, 4 3 3,1 0y s n? ? ?
解 城市考生平均成绩 ),(~
211 ??NX
农村考生平均成绩 ),(~ 2
22 ??NY
2
2
2
1 ?? ?
且
建立假设
211210 ???? ??,，,HH
检验统计量为
21
11
nn
S
YX
T
w ?
?
?
查分布表得 7 3 4 1.1
05.0 ?? tt ?
由于
05.0
21
734.11 9 9 2 5.1
11
tt
nn
S
yx
t
w
?????
?
?
? ?
故接受 H0，表示无充分的证据显示来自城市的
中学考生的平均成绩比来自农村的中学考生的
平均成绩要高一些,
表, 两个正态总体均值的假设检验 (显著性水平为 α）
检验法 条件
0H
1H
检验统计量 拒绝域
U 检验
2
2
2
1,??
已知
21
21
21
??
??
??
?
?
?
21
21
21
??
??
??
?
?
?
2
2
2
1
2
1
)(
nn
YX
U
??
?
?
?
Uu ??
Uu ???
2Uu ??
T 检验
2
2
2
1,??
未知，但
2
2
2
1 ?? ?
21
21
21
??
??
??
?
?
?
21
21
21
??
??
??
?
?
?
21
11
nn
S
YX
T
w
?
?
?
其中
2
)1()1(
21
2
22
2
112
??
???
?
nn
SnSn
S
w
)1( ?? ntT ?
)1( ??? ntT ?
)1(
2
?? ntT
?
22
1
22
0
21
2
221
2
121
:,:
,,,
,),(),...,,(
,),(),...,,(
2
1
YXYX
Yn
Xn
HH
NYYY
NXXX
????
??
??
??
??
要检验假设为未知常数两个样本相互独立
且这的样本是取自正态总体设
的样本是取自正态总体设
??
??
??
??
?
?
??
?
?
??
22
11
1
2
2
2
12
1
2
1
2
11
)(
1
11
)(
1
11
n
i
iY
n
i
i
n
i
iX
n
i
i
YY
n
SY
n
Y
XX
n
SX
n
X
方差的无偏估计分别为令这两个样本的均值与
§ 3.5 两个正态总体方差的双侧假设检验
}/{}/{
,1
1/,:
,,,
2
22
1
22
2222
0
2222
KSSKSSC
SSH
SS
YXYX
YXYX
YXYX
???
?
?
所以临界域应有形式太远偏离
附近随机地波动而不应在则为真
如果原假设的无偏估计分别为由于
??
??
).1,1()1,1(
2/)}1,1({
2/)}1,1({
,
)1,1(~
,:
212/212/1
212/1
212/
212
2
22
0
????
????
????
???
?
?
?
nnFnnF
nnFFP
nnFFP
nnF
S
S
F
H
Y
X
YX
??
?
?
?
?
?
??
和定出两个临界值
由对于给定的显著性水平
统计量为真时当
.,
),1,1()1,1(
,),...,,(
00
212/212/1
21
HH
nnFfnnFf
FFxxx
n
否则就接受原假设绝
就拒或
的值若的值计算由样本观察值
??????
? ??
.
)1,1(
1
)1,1(
)1,1(
122/
212/1
212/
给出而
分布表直接查出可由其中
??
???
???
?
nnF
nnF
FnnF
?
?
?
O x
p(x)
)1,1( 212/1 ??? nnF ?
α/2 α/2
分布的密度曲线)1,1( 21 ?? nnF
)1,1( 212/ ?? nnF ?
.
10890.410560.9
059.2,063.2
,10
.
,050.2:
6262
差异工的轴直径方差是否有试检验这相隔两小时加
为测得其均值和方差分别的两个样本容量为
现在每隔两小时各取态分布假设轴直径的分布是正
毫米的轴直径为在一台自动车床上加工例
??
????
??
YX
ss
yx
95.1
1089.4
1056.9
.:,:
6
6
22
1
22
0
?
?
?
?
??
?
?
f
HH
YXYX
由样本观察值算出
检验假设 ????解
18.3
1
)9,9(
1
)9,9(
18.3)9,9(
,1.0
05.0
95.0
05.0
??
?
?
F
F
F
查表计算得给定显著性水平 ?
)9,9(18.395.1
18.3
1
)9,9(
05.095.0
FfF ?????
由此知
.
,0
方差无显著差异
从而认为两个总体的因此不能拒绝原假设 H
例,羊毛品在处理前与处理后分别抽样分析其含
脂率如下
处理前 0, 1 9,0, 1 8,0, 2 1,0, 3 0,
0, 4 1,0, 1 2,0, 2 7
处理后 0, 1 5,0, 1 3,0, 0 7,0, 2 4,
0, 1 9,0, 0 8,0, 1 2,0, 0 6
若处理前后的含脂率均服从正态分布，且假设标准
差不变, 问处理前后含脂率的 方 差 是否 相 等？ ( α
= 0, 0 5 )
解 检验的假设为 2
221122210,,,???? ?? HH
12.5)7,6(,175.0)7,6(,8,7,05.0 0 2 5.09 7 5.021 ????? FFnn?
22
120, 0 0 9 1,0, 0 0 3 9,ss??
故拒绝域为 ? ?0, 1 7 5 5, 1 2W F F? ? ?或
由样本计算得
333.2
0 0 3 9.0
0 0 9 1.0
2
2
2
1 ???
s
sf
显然没有落在拒绝域中，为此认为处理前后的含脂
率的方差相等,
§ 3.6 两个正态总体方差的单侧假设检验
对于假设
2
2
2
10, ?? ?H
选用统计量
2
2
2
1
S
S
F ?
)1,1~ 212
2
2
2
2
1
2
1 ???? nnF
S
S
F （
?
?
在假设 H0成立时 FF ??
??? ????????? )}1,1({)}1,1({ 2121 nnFFPnnFFP
从而得 H0的拒绝域为
但是
从而
?
?
?
?
?
?
???? )1,1( 212
2
2
1 nnF
S
SC
?
分布未知
例, 用老工艺生产的机械零件方差较大，抽查了 25
个零件，得 2
1 6, 4 7s ?
，现改用新工艺生产，抽查 25 个
零件，得 2
2 3, 1 9s ?
，设两种生产过程皆服从正态分布，
问新工艺的精度是否比老工艺显著地好？ )05.0( ??
解 设旧工艺的精度
设新工艺的精度
），（ 211~ ??NX
），（ 222~ ??NY
且 X,Y相互独立
检验的假设 2
2
2
11
2
2
2
10,,,???? ?? HH
98.1)24,24(208.219.3 47.6 05.02
2
2
1 ????? F
s
sf
查表及计算得
故拒绝 H0,新工艺的精度比老工艺的精度显著地好,
检验法 条件
0H
1H
检验统计量 拒绝域
F 检验
21,??
未知
2
2
2
1
2
2
2
1
2
2
2
1
??
??
??
?
?
?
2
2
2
1
2
2
2
1
2
2
2
1
??
??
??
?
?
?
2
2
2
1
S
S
F ?
)1,1( 21 ??? nnFF ?
)1,1( 211 ??? ? nnFF ?
)1,1(
)1,1(
212
2121
???
???
?
nnFF
nnFF
?
?
或
表, 两个正态总体方差的假设检验 (显著性水平为 α）
