第三章 多维随机变量及其分布
在实际问题中,一个随机试验往往用几个随机变
量整体地讨论其结果, 如射击时考虑子弹在靶标
上的位置,我们用定义在同一个样本空间 Ω 上的
两个随机变量 X 和 Y 分别表示子弹在靶标上的横
坐标与纵坐标,则子弹在靶标上的位置可用二维
随机变量或二维随机向量 （ X, Y ） 表示,
一般地,设随机试验 E 的样本空间为
{}???
,
()XX ??
和
()YY ??
分别是定义在同一个样本空间 Ω 上的随
机变量,我们称向量 （ X, Y ） 为 二维随机变量 或 二
维随机向量, 类似地可定义三维随机变量以及任意
有限维随机变量, 我们把二维及二维以上的随机变
量称为 多维随机变量, 本章主要讨论二维随机变量,
其结果只要形式上加以处理,可以推广到三维或三
维以上的随机变量,
§ 1 二维离散型随机变量
定义,如果二维随机变量 （ X, Y ） 的可能取值是有
限组或可列无限组
(,),,1,2,ijx y i j ?
,则称 （ X, Y ） 为 二
维离散型随机变量,将 （ X, Y ） 取每组值的概率
(,),,1,2,
i j i j
P X x Y y p i j? ? ? ?
称为二维离散型随机变量 （ X, Y ） 的 联合分布律,
§ 1.1 二维离散型随机变量及联合分布律
记号 (,)
ijX x Y y??
表示随机事件 ()
iXx ?
与 ()
jYy ?
的
积事件,即 (,) ( ) ( )
i j i jX x Y y X x Y y? ? ? ? ?
二维离散型随机向量 (X,Y)的分布律表
Y
X
1y
2y
j
y
1x
11p
12p
1 j
p
2x
21p
22p
2 j
p
ix
1ip
2ip
ij
p
例, 袋中有 2 个黑球 3 个白球,从袋中随机取两次,
每次取一个球,取后不放回, 令
11
,,
00
XY
??
?? ??
??
第 一 次 取 到 黑 球 第 二 次 取 到 黑 球
第 一 次 取 到 白 球 第 二 次 取 到 白 球
求 ( X,Y ) 的联合分布律,
解 (X,Y)的可能取值为 (0,0),(0,1),(1,0),(1,1),
则 (X,Y)的联合分布律为
3 2 6( 0,0 )
5 4 2 0
P X Y ?? ? ? ?
?
X Y 0 1
0 6 / 20 6 /20
1 6 / 20 2 /20
3 2 6( 0,1 )
5 4 2 0
P X Y ?? ? ? ?
?
§ 1.2二维离散型随机变量联合分布律的性质
性质 1
01ijp??
0 (,) 1ijP X x Y y? ? ? ?01ijp??证 因为
,所以
性质 2
11
1ij
ij
p
? ? ? ?
??
???
1 1 1 1
(,) ( ) 1i j i j
i j i j
p P X x Y y P
? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ? ? ?? ? ? ?
证
性质 3 联合分布律完全反映了 （ X, Y ） 的概率
性质, 设 G 是一平面区域,则
(,)
( (,) )
ij
ij
x y G
P X Y G p
?
?? ?
即随机点 （ X, Y ） 落在区域 G 上的概率是 （ X,
Y ） 在 G 上取值所对应的概率之和,
证
,
( (,) ) ( (,) )
ij
ij
x x y y
P X Y G P x x y y
??
? ? ? ?
(,) (,)
(,)
i j i j
i j i j
x y G x y G
P x x y y p
??
? ? ? ???
Y X 1 2 3 4
1 1 / 4 1 / 8 1 / 1 2 1 / 1 6
2 0 1 / 8 1 / 1 2 1 / 1 6
3 0 0 1 / 1 2 1 / 1 6
4 0 0 0 1 / 1 6
解 P{X=i,Y=j}=P{X=i}P{Y=j|X=i}=(1/4)(1/i)
(i≥j),于是 (X,Y)的分布律为
例,令随机变量 X 表示在 1,2,3,4 中等可能地取
一个值,令随机变量 Y 表示在 1 ~ X 中等可能地取
一个值, 求 （ X, Y ） 的联合分布律及 ( 3,2 )P X Y??,
( 3,2 )P X Y?? 1 1 1 1 1 20
4 8 8 1 2 1 2 3? ? ? ? ? ? ?
§ 2 二维连续性随机变量
定义, 设 ( X,Y ) 为二维随机变量,对任意实数 x,y,二
元函数
(,) (,)F x y P X x Y y? ? ?
称为二维随机变量 ( X,Y ) 的 联合分布函数,
§ 2.1二维随机变量的联合分布函数
如果把 ( x,y ) 看成是平面上随机点的坐标,则联合分布函数
(,)F x y 在点 (x,y ) 处的函数值就是随机点 (X,Y ) 落在平面上的
矩形区域 { (,) |,}G X Y X x Y y? ? ? ? ? ? ? ? ?的概率,
(,) (,)
ij
ij
x x y y
F x y P X x Y y p
??
? ? ? ? ??
? 设二维离散型随机变量 X和 Y具有分布律
P{X= xi,Y= yj}=pij,(i,j=1,2,...),则二维
离散型随机变量 (X,Y)的联合分布函数为
其中和式是对一切满足 xi≤x,y j≤y 的来求
和的,
随机点 ( X,Y ) 落在矩形区域
1 2 1 2{ (,) |,}x y x X x y Y y? ? ? ?
的概率
1 2 1 2 2 2 2 1 1 2 1 1(,) (,) (,) (,) (,)P x X x y Y y F x y F x y F x y F x y? ? ? ? ? ? ? ?
,
(x1,y1)
(x1,y2) (x2,y2)
(x2,y1) o
Ⅰ Ⅲ
Ⅱ Ⅳ
x
y
§ 2.2二维随机变量联合分布函数的性质
性质 1 F(x,y)分别关于 x和 y单调不减,
证 对任意的
12xx? 因为 12(,) (,)X x Y y X x Y y? ? ? ? ?
所以
12(,) (,)P X x Y y P X x Y y? ? ? ? ?
即
12(,) (,)F x y F x y?
同理可证,对任意的
12yy?
有
12(,) (,)F x y F x y?
性质 2
0 (,) 1F x y??
,且
(,) (,) (,) 0,(,) 1F x F y F F? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
,
其中
(,) l i m (,)
y
F x F x y
? ? ?
? ? ?
,其余意义相同, 事实上,
(,) (,) ( ) 0F x P X x Y P ?? ? ? ? ? ? ? ? ?
,
(,) (,) ( ) 1F P X Y P? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
,
性质 3 F(x,y)分别关于 x和 y右连续,
性质 4 对于任意的
1 2 1 2,x x y y??
,有
2 2 2 1 1 2 1 1(,) (,) (,) (,) 0F x y F x y F x y F x y? ? ? ?
,
§ 2.3 二维连续型随机变量
定义, 设
(,)XY
的联合分布函数为
(,)F x y
,如果存在
非负函数
(,)f x y
,对任意实数
,xy
,有
(,) (,)
yx
F x y f u v d u d v
? ? ? ?
?
??
,
则称
(,)XY
为 二维连续型随机变量,
(,)f x y
称为
(,)XY
的 概率密度 或称为 X 和 Y 的 联合概率密度 或 联合密
度函数,
(,)XY 的联合密度函数 (,)f x y 具有性质,
性质 1 非负性, (,) 0f x y ?,
性质 2 归一性, (,) 1f x y d x d y? ? ? ?
? ? ? ?
???,
性质 3 (,)f x y 完全反映了二维连续型随机变量
(,)XY 的概率性质, 设 G 为平面上的任意区域,则
( (,) ) (,)
G
P X Y G f x y d x d y?? ??,
性质 4 二维连续型随机变量 (,)XY 的分布函数与
密度函数的关系, 在 (,)f x y 的连续点处，有
2
(,)
(,)
F x y
f x y
xy
?
?
??
例, 设二维随机变量 (,)XY 的概率密度
01(,),
0
k x x y
f x y
? ? ??
? ?
? 其 他
求,( 1) 常数 k ; (2 ) ( 1 )P X Y??,
解 (1)由
(,) 1f x y d x d y
? ? ? ?
? ? ? ?
???
得
11
0
1
6x
kd x k x d y??
??
所以 k=6
(2) 1 12
10
1
( 1 ) 6 6
4
x
x y x
P X Y x d x d y x d x d y
?
??
? ? ? ? ?? ? ? ?
例, 设二维随机变量 (,)XY 的概率密度
22
1
1,1
(,)
0
xy
xyf x y
?
??
?
? ?
?
?
其 它
,
求 (,)XY 的联合分布函数,
解 由 (,) (,)yxF x y f u v d u d v
? ? ? ?
? ??
当
1x ? 或 1y ? 时,(,) 0f x y ? 则 (,) 0F x y ?
当 x>1,y>1时,
22
11
1 1 1(,) (,) ( 1 ) ( 1 )yyxxF x y f u v d u d v d u d v
u v x y? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ?
所以 (X,Y)的联合分布函数
11
( 1 ) ( 1 ) 1,1
(,)
0
xy
xyF x y
? ? ? ? ?
??
?
?? 其 它
? 例,设二维随机向量 (X,Y)具有概率密度
?
?
? ??
?
??
其他,0
0,0,2
),(
)2( yxe
yxp
yx
? (1)求分布函数 F(x,y);(2)求概率 P{Y≤X},
? 解,(1)
? ??? ??? y x d u d vvupyxF ),(),(
?(2)将 (X,Y)看着平面上随
机点的坐标,G是 xoy平面上
直线 y=x下方的部分,
}),{(}{ GYXPXYP ???
??
?
?
? ??
? ? ?
??
其他,,0
0,0,2
0 0
)2(y x vu yxd u d ve
?
?
? ????
?
??
其他,,0
0,0),1)(1( 2 yxee yx
???
G
d x d yyxp ),(
? ?
? ? ??
??
0
)2(
3
12
y
d x d yyxe
? 关于二维随机向量的讨论,可以推广到
n(n>2)维随机向量的情况,
? 设 (X1,X2,…,Xn)为 n维随机向量,对于任意 n
个实数 x1,x2,…,xn,n元函数
F(x1,x2,…,xn)=P{X1≤x 1,X2 ≤x 2,…,Xn ≤x n}
称为 n维随机向量 (X1,X2,…,Xn)的分布函数或
随机变量 X1,X2,…,Xn的联合分布函数,它具有
类似于二维随机向量的分布函数的性质,
§ 2.4 常用的二维连续型随机变量
(1 ) 设 G 为平面上的有限区域,如果
(,)XY
的概率密度
1
(,)
()(,),
0 (,)
x y G
AGf x y
x y G
?
?
?
?
?
?
?
?
其中 A( G ) 是区域 G 的面积,称
(,)XY
服从区域 G 上
的 均匀分布,
(2 ) 如果
(,)XY
的概率密度
2
1
2
2
1
12
2
1 2 2
1 2 2
11
(,) e x p { [ ( )
2 (1 )
21
2 ( ) ( ) ( ) ] },,,
x
f x y
x y y
xy
?
??
? ? ? ?
? ? ?
?
? ? ?
?
??
?
?
? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ?
其中
1 2 1 2
,,0,0,1 1? ? ? ? ?? ? ? ? ?
为常数,称
(,)XY
服从参
数为 22
1 2 1 2
,,,,? ? ? ? ?
的 二 维 正 态 分 布,记为
22
1 2 1 2
(,) ~ (,,,,)X Y N ? ? ? ? ?
,
§ 3 边缘分布
二维随机变量
(,)XY
的分量 X 和 Y 是一维随机变
量,它们各有其分布,称为
(,)XY
分别关于 X 和 Y 的
边缘分布, 本节主要讨论二维离散型随机变量
(,)XY
分别关于 X 和 Y 的 边缘分布律和二维连续
型随机变量
(,)XY
分别关于 X 和 Y 的边缘概率密
度函数,
§ 3.1 边缘分布函数
定义, 设
(,)XY
为二维随机变量,X 和 Y 的分布函
数分别记为
()
X
Fx
和
()
Y
Fy
,则称
( 1 )
()
X
Fx
为二维随机变量
(,)XY
关于 X 的 边缘分布
函数 ;
( 2 )
()
Y
Fy
为二维随机变量
(,)XY
关于 Y 的 边缘分布
函数,
边缘分布函数完全由联合分布函数确定,
设 (,)XY 的联合分布函数为 (,)F x y,则
( ) ( ) (,) (,) l i m (,)X yF x P X x P X x Y F x F x y? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
( ) ( ) (,) (,) l i m (,)Y xF y P Y y P X Y y F y F x y? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
例, 设 (,)XY 的联合分布函数
0, 5 0, 5 0, 5 ( )1 0,0(,),
0
x y x y
e e e x y
F x y
? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
? ?
? 其 它
求 (,)XY 关于 X 的边缘分布函数 ()
XFx
,
解 (X,Y)关于 X的边缘分布函数
0, 5 0, 5 0, 5 ( )
0, 5
( ) (,) l i m (,)
l i m [ 1 ] 0 10
0000
X
y
x y x y
x
y
F x F x F x y
e e e x ex
xx
? ? ?
? ? ? ?
?
? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ???
????
????
?
即 X 服从参数 λ = 0,5 的指数分布,
例, 设 (,)XY 的联合分布函数
0, 5 0, 5 0, 5 ( )1 0,0(,),
0
x y x y
e e e x y
F x y
? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
? ?
? 其 它
求 (,)XY 关于 Y 的边缘分布函数 ()
YFy
,
即 Y 服从参数 λ = 0,5 的指数分布,
0, 5 0, 5 0, 5 ( ) 0, 5
( ) (,) l i m (,)
l i m [ 1 ] 0 10
.
0000
Y
x
x y x y y
x
F y F y F x y
e e e y ey
yy
? ? ?
? ? ? ? ?
? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ???
????
?? ??
?
解 (X,Y)关于 Y的边缘分布函数
§ 3.2 边缘分布律
定义, 设 (,)XY 为二维离散型随机变量,X 和 Y 的分
布律
,( ),1,2,iip P X x i? ? ?
和
,( ),1,2,jjp P Y y j? ? ?
依次称为 (,)XY 分别关于 X 和 Y 的 边缘分布律,
设 (,)XY 的联合分布律为
(,),,1,2,,
i j i jp P X x Y y i j? ? ? ?
(1) (X,Y)关于 X的 边缘分布律
.
1 11
( ) (,( ) ) (,),i i i j i j i j
j jj
p P X x P X x Y y P X x Y y p
???
? ??
? ? ? ? ? ? ? ? ???
,1
11
( ) ( ( ),) (,),j j i j i j i j
i ii
p P Y y P X x Y y P X x Y y p
???
? ??
? ? ? ? ? ? ? ? ???
(2) (X,Y)关于 Y的 边缘分布律
1,2,i ?
1,2,j ?
【注】边缘分布律可由联合分布律表所决定,
Y
X
1
y
2
y
j
y
.i
p
1
x
11
p
12
p
1 j
p
1.
p
2
x
21
p
22
p
2 j
p
2.
p
i
x
1i
p
2i
p
ij
p
.i
p
,j
p
.1
p
.2
p
,j
p
1
即
.i
p
是联合分布律表中
i
x
所在行的概率之和
,j
p
是联合分布律表中
j
y
所在列的概率之和
例,令随机变量 X 表示在 1,2,3,4 中等可能地取一
个值,令随机变量 Y 表示在 1 ~ X 中等可能地取一个
值, 求 （ X, Y ） 分 别 关 于 X 和 Y 的 边缘分布律,
解 P{X=i,Y=j}=P{Y=j|X=i}P{X=i}=(1/i)(1/4),(i≥j) 于是 (X,Y)的分布律及关于 X和 Y的边缘分布律为
Y X 1 2 3 4 P{ Y = j }
1 1 / 4 1 / 8 1 / 1 2 1 / 1 6 2 5 / 4 8
2 0 1 / 8 1 / 1 2 1 / 1 6 1 3 / 4 8
3 0 0 1 / 1 2 1 / 1 6 7 / 4 8
4 0 0 0 1 / 1 6 3 / 4 8
P{ X = i } 1 / 4 1 / 4 1 / 4 1 / 4 1
?例,把 3个白球和 3个红球等可能地放入编号为
1,2,3的三个盒子中,记落入第 1号盒子的白球个数
为 X,落入第 2号盒子的红球个数为 Y.求 (X,Y)的分
布律和关于 X和 Y的边缘分布律,
解 显然有
3,2,1,0
3
2
3
1
}{}{
3
3 ??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?????
?
iCiYPiXP
i
i
又因为事件 {X=i}与事件 {Y=j}相互独立,所以有
}{}{},{ jYPiXPjYiXP ?????
3,2,1,0,
3
2
3
1
3
2
3
1 3
3
3
3 ??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
??
jiCC
jj
j
ii
i
X Y 0 1 2 3 P { X =i }
0 ( 8 / 2 7 ) ( 8 / 2 7 ) ( 4 / 9 ) ( 8 / 2 7 ) ( 2 / 9 ) ( 8 / 2 7 ) ( 1 / 2 7 ) ( 8 / 2 7 ) 8 / 2 7
1 ( 8 / 2 7 ) ( 4 / 9 ) ( 4 / 9 ) ( 4 / 9 ) ( 2 / 9 ) ( 4 / 9 ) ( 1 / 2 7 ) ( 4 / 9 ) 4 / 9
2 ( 8 / 2 7 ) ( 2 / 9 ) ( 4 / 9 ) ( 2 / 9 ) ( 2 / 9 ) ( 2 / 9 ) ( 1 / 2 7 ) ( 2 / 9 ) 2 / 9
3 ( 8 / 2 7 ) ( 1 / 2 7 ) ( 4 / 9 ) ( 1 / 2 7 ) ( 2 / 9 ) ( 1 / 2 7 ) ( 1 / 2 7 ) ( 1 / 2 7 ) 1 / 2 7
P { Y =j } 8 / 2 7 4 / 9 2 / 9 1 / 2 7 1
用表格可如下表示
?
?
? ??
?
其它,0
,6
),(
2 xyx
yxp
? ?
?
??
??
?
?
? ????
??
其它,0
10),(66
),()( 2
2x
x
X
xxxdy
dyyxpxp
?例,设随机变量 X和 Y具有联合概率密度
求边缘概率密度 pX(x)和 pY(y),
解
? ?
?
??
??
?
?
? ????
??
其它,0
10),(66
),()(
y
y
Y
yyydx
dxyxpyp
§ 3.3 边缘密度函数
定义, 设 (,)XY 为二维连续型随机变量,X 和 Y 的密
度函数 ()
Xfx
和 ()
Yfy
依次称为 (,)XY 分别关于 X 和 Y 的
边缘密度函数,
边缘密度函数完全由联合密度函数所决定,
dxdyyxfxFxF
x
X ]),([),()( ? ???
?
??
????
dydxyxfyFyF yY ]),([),()( ? ?
??
?
??
????
?
?
??
? dyyxfxp X ),()(
?
?
??
? dxyxfyp Y ),()(
? 设连续型二维随机变量 (X,Y)的概率密度函数为
f(x,y)则
从而得到 X和 Y的概率密度函数分别为
例,设二维随机变量 （ X, Y ） 的概率密度
0(,)
0
y
e x y
f x y
?
? ??
? ?
? 其 它
,
分别求 X 和 Y 的密度函数 ()
Xfx
和 ()
Yfy
,
解 X 的密度函数 ()Xfx 为
0 0
( ) (,),
00
00
y x
X x
e d y x ex
f x f x y d y
x
x
??
??? ?
??
?
? ? ??
? ? ???
???
??
?
?
Y 的密度函数 ()Yfy 为
0
0 0
( ) (,),
00
00
y
y y
Y
e d x y y e y
f y f x y d x
y
y
??? ?
??
?
? ? ??
? ? ???
???
??
?
?
例,设二维随机变量 (,)XY 服从单位圆 22 1xy ?? 上的
均匀分布,求 (,)XY 关于 X 和 Y 的边缘分布,
解 （ X,Y）的联合密度函数
221 1
(,)
0
xy
f x y ?
?
???
? ?
?? 其 它
则（ X,Y）关于 X的边缘密度函数
2
2
1
2
1
1 2
11 1 1 1
( ) (,)
00
x
X x
d y x xx
f x f x y d y ? ?
?
??
??
??
? ?
? ? ? ? ? ? ? ???
? ? ???
???
?
?
其 它其 它
（ X,Y）关于 Y的边缘密度函数
22 1 1 1
()
0
Y
yy
fy ?
?
? ? ? ??
? ?
?? 其 它
例, 设 221 2 1 2(,) ~ (,,,,)X Y N ? ? ? ? ?,则
（ 1）（ X,Y）关于 X的边缘密度函数
21
1
1
()
2
1
1
( ) (,),,
2
x
Xf x f x y d y e x
?
?
??
???
??
??
? ? ? ? ? ? ? ??
即 211~ (,)XN ??
（ 2）（ X,Y）关于 Y的边缘密度函数
22
2
1
()
2
2
1
( ) (,),,
2
y
Yf y f x y d x e y
?
?
??
???
??
??
? ? ? ? ? ? ? ??
即 222~ (,)YN ??
§ 4 条件分布
? 条件分布是条件概率的推广,本节主要讨
论关于二维离散型随机变量的条件分布
律和关于二维连续型随机变量的条件密
度函数,
§ 4,1 条件分布律
定义, 设
(,)XY
是二维离散型随机变量,其联合分布律
(,),,1,2,,
i j i j
p P X x Y y i j? ? ? ?
(,)XY
关于 X 和 Y 的边缘分布律分别为
.
( ),1,2,
ii
p P X x i? ? ?
和
.
( ),1,2,
jj
p P Y y j? ? ?
,
(1) 对于给定的 j,如果
( ) 0
j
P Y y??
,则称
.
(,)
( | ),1,2,
()
i j i j
ij
jj
P X x Y y p
P X x Y y i
P Y y p
??
? ? ? ? ?
?
为在
j
Yy ?
的条件下随机变量 X 的 条件分布律,
(2) 对于给定的 i,如果
( ) 0
i
P X x??
,则称
.
(,)
( | ),1,2,
()
i j i j
ji
ii
P X x Y y p
P Y y X x j
P X x p
??
? ? ? ? ?
?
为在
i
Xx ?
的条件下随机变量 Y 的 条件分布律,
例, 设 (,)XY 的联合分布律 如 下
求, ( 1 ) 在 X = 3 的条件下 Y 的条件分布律 ;
(2 ) 在 Y = 1 的条件下 X 的条件分布律,
Y
X
1 2 3 4
1
1
4
0 0 0
2
1
8
1
8
0 0
3
1
12
1
12
1
12
0
4
1
16
1
16
1
16
1
16
解 (X,Y ) 关于 X 和 Y 的边缘分布律如表所示,
Y
X
1 2 3 4
.ip
1
1
4
0 0 0
1
4
2
1
8
1
8
0 0
1
4
3
1
12
1
12
1
12
0
1
4
4
1
16
1
16
1
16
1
16
1
4
,jp
25
48
13
48
7
48
1
16
1
则在 X=3的条件下 Y的条件分布律
31
3.
1
{ 3,1 } 112
( 1 | 3 )
1{ 3 } 3
4
pP X Y
P Y X
P X p
??
? ? ? ? ? ?
?
Y 1 2 3 4
( | 3 )
jP Y y X??
1
3
1
3
1
3
0
其中如
同理在 Y=1的条件下 X的条件分布律
X 1 2 3 4
( | 1 )
iP X x Y??
12
25
6
25
4
25
3
25
§ 4.2 条件密度函数
定义, 设二维连续型随机变量
(,)XY
的联合密度函数为
(,)f x y
,
(,)XY
关于 X 和 Y 的边缘密度函数分别为
()
X
fx
和
()
Y
fy
,
(1) 对于给定的 y,如果
( ) 0
Y
fy ?
,则称 (,)
()
Y
f x y
fy
为在
Yy ?
的
条件下 X 的 条件密度函数,记为
|
( | )
XY
f x y
,即
|
(,)
( | )
()
XY
Y
f x y
f x y
fy
?;
(2) 对于给定的
x
,如果
( ) 0
X
fx ?
,则称 (,)
()
X
f x y
fx
为在
Xx ?
的
条件下 Y 的 条件密度函数,记为
|
( | )
YX
f y x
,即
|
(,)
( | )
()
YX
X
f x y
f y x
fx
?
,
例, 设二维随机变量
(,)XY
服从单位圆 22
1xy ??
上的
均匀分布,求,
(1 ) 在 1
2
X ?
的条件下 Y 的条件密度函数 ;
(2 ) 在 Yy ? 的条件下 X 的条件密度函数,
解, (X,Y ) 关于 X 和 Y 的边缘密度函数分别为
2
2
1 1 1
()
0
X
xx
fx ?
?
? ? ? ??
? ?
?
? 其 它
和
2
2
1 1 1
()
0
Y
yy
fy ?
?
? ? ? ??
? ?
?
? 其 它
,
(1) 在 12X ? 的条件下 Y 的条件密度函数
|
1
1 3 3(,)
1 2
( | ) 223
12
() 0
2
YX
X
fy
y
fy
f
?
? ? ??
?? ?
?
? 其 它
(2) 在 Yy ? 的条件下 X 的条件密度函数
22
2
|
1
11(,)
( | ) 21
()
0
XY
Y
x y xf x y
f x y y
fy
?
? ? ? ? ?
?
?? ??
?
? 其 它
§ 5 随机变量的独立性
随机变量相互独立是概率论中非常重要的
概念,它是随机事件相互独立的推广,本节主要
讨论两个随机变量相互独立的一般性定义,然
后对两个离散性随机变量和两个连续性随机
变量相互独立进行不同的处理,
定义,设二维随机变量
(,)XY
的联合分布函数和
边缘分布函数分别为
(,),( )
X
F x y F x
和
()
Y
Fy
,如果对任
意的
,xy
,有
(,) ( ) ( )P X x Y y P X x P Y y? ? ? ? ? ?
,
即
(,) ( ) ( )
XY
F x y F x F y??
,( 联合分布函数等于边缘分
布函数的乘积 ) 则称随机变量 X 和 Y 相互独立, 一般结论, X 与 Y 相互独立的充分必要条件是
(,) ( ) ( )F x y G x H y??,即 (,)XY 的联合分布函数 (,)F x y 等
于 x 的函数与 y 的函数的乘积,
定理, 设二维离散性随机变量
(,)XY
的联合分布律
和边缘分布律分别为
,(,1,2,)
ij
p i j ?
和
.
,( 1,2,)
i
pi ?
、
.
,( 1,2,)
j
pj ?
,则 X 与 Y 相互独立的充分必要条件是
对
(,)XY
的所有可能取值
(,)
ij
xy
,有
(,) ( ) ( )
i j i j
P X x Y y P X x P Y y? ? ? ? ? ?
,
即
..
,,1,2,
i j i j
p p p i j? ? ?
.( 联合分布律等于边缘分
布律的乘积 ),
定理, 设二维连续性随机变量
(,)XY
的联合密度函
数和边缘密度函数分别为
(,)f x y
和
()Xfx
、
()Yfy
,则 X
与 Y 相互独立的充分必要条件是对任意的
,xy
,有
(,) ( ) ( )XYf x y f x f y??
.( 联合密度函数等于边缘密度
函数 ),
一般的结论, 设二维连续性随机变量
(,)XY
的联合密度函数
为
(,)f x y
,则 X 与 Y 相互独立的充分必要条件是对任意的
,xy,有
(,) ( ) ( )XYf x y g x h y??
即
(,)XY
的联合密度函数
(,)f x y
等于 x 的函数与 y 的函数的
乘积,
例, 袋中有 2 个黑球 3 个白球,从袋中随机取两次,
每次取一个球,取后不放回, 令
11
,,
00
XY
??
?? ??
??
第 一 次 取 到 黑 球 第 二 次 取 到 黑 球
第 一 次 取 到 白 球 第 二 次 取 到 白 球
证明 X 与 Y 相互独立,
Y
X
0 1
.ip
0
6
20
6
20
12
20
1
6
20
2
20
8
20
,jp
12
20
8
20
证 X与 Y的联合分布律
与边缘分布律如表所示,
因为
..,,0,1,i j i jp p p i j? ? ?
所
以 X 与 Y 相互独立,
? 例,把 3个白球和 3个红球等可能地放入编号为
1,2,3的三个盒子中,记落入第 1号盒子的白球个
数为 X,落入第 2号盒子的红球个数为 Y.求 (X,Y)的
分布律,并判断随机变量 X和 Y是否相互独立,
解 显然有
3,2,1,0
3
2
3
1}{}{ 3
3 ??
?
??
?
??
?
??
?
?????
?
iCiYPiXP
i
i
又因为事件 {X=i}与事件 {Y=j}相互独立,所以 X
和 Y是相互独立,且有
}{}{},{ jYPiXPjYiXP ?????
3,2,1,0,
3
2
3
1
3
2
3
1 3
3
3
3 ??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
??
jiCC
jj
j
ii
i
X Y 0 1 2 3 P { X =i }
0 ( 8 / 2 7 ) ( 8 / 2 7 ) ( 4 / 9 ) ( 8 / 2 7 ) ( 2 / 9 ) ( 8 / 2 7 ) ( 1 / 2 7 ) ( 8 / 2 7 ) 8 / 2 7
1 ( 8 / 2 7 ) ( 4 / 9 ) ( 4 / 9 ) ( 4 / 9 ) ( 2 / 9 ) ( 4 / 9 ) ( 1 / 2 7 ) ( 4 / 9 ) 4 / 9
2 ( 8 / 2 7 ) ( 2 / 9 ) ( 4 / 9 ) ( 2 / 9 ) ( 2 / 9 ) ( 2 / 9 ) ( 1 / 2 7 ) ( 2 / 9 ) 2 / 9
3 ( 8 / 2 7 ) ( 1 / 2 7 ) ( 4 / 9 ) ( 1 / 2 7 ) ( 2 / 9 ) ( 1 / 2 7 ) ( 1 / 2 7 ) ( 1 / 2 7 ) 1 / 2 7
P { Y =j } 8 / 2 7 4 / 9 2 / 9 1 / 2 7 1
用表格可如下表示
例, 设 (,)XY 的联合密度函数
4 0 1,0 1(,)
0
x y x y
f x y
? ? ? ??
? ?
? 其 它
,
(1 ) 求分别关于 X 与 Y 的边缘密度函数 ;
(2 ) X 与 Y 是否独立? 说明理由,
解 (1) 1
0
4 0 1 2 0 1
( ) (,)
0
0
X
x y d y x xx
f x f x y d y
??
??
?
?? ????
? ? ???
??
?
?
? 其 它
其 它
1
0
4 0 1 2 0 1
( ) (,)
0
0
Y
x y d x y yy
f y f x y d x
??
??
?
?? ????
? ? ???
??
?
?
? 其 它
其 它
(2) 因为 (,) ( ) ( )XYf x y f x f y??,则 X 与 Y 相互独立,
?
?
? ??
?
??
其他,0
0,0,
),(
)( yxe
yxp
yx
??
?
?
?
?
??
?? ??
?? ???
?
??
0,0
0,
),()( 0
)(
x
xedye
dyyxpxp
xyx
X
??
?
?
?
?
??
?? ??
?? ???
?
??
0,0
0,
),()( 0
)(
y
yedxe
dxyxpyp
yyx
Y
例,设随机向量 (X,Y)的概率密度函数为
试证 X和 Y相互独立,
解
于是有
p(x,y)= pX(x) pY(y)
所以 X和 Y相互独立,
例, 设 X 服从参数为 1? ? 的指数分布,~ ( 0,1 )YU,且
X 与 Y 相互独立,
(1 ) 写出 (,)XY 的联合密度函数 (,)f x y ;
(2 ) 求 ( 1 )P X Y??,
解 (1)X与 Y的密度函数分别为
1 0 10
( ),( )
000
x
XY
yex
f x f y
x
? ??? ??
????
? ?? 其 它
因为 X与 Y相互独立,所以 (X,Y)的联合密度函数
0,0 1
(,) ( ) ( )
0
x
XY
e x y
f x y f x f y
?? ? ? ?
? ? ? ?
? 其 它
11
1
1 0 0
( 1 ) (,)
x
x
xy
P X Y f x y d x d y d x e d y e
?
??
??
? ? ? ? ?? ? ? ?
例, 设 X 服从参数为 1? ? 的指数分布,~ ( 0,1 )YU,且
X 与 Y 相互独立,
(1 ) 写出 (,)XY 的联合密度函数 (,)f x y ;
(2 ) 求 ( 1 )P X Y??,
解 (2)因为
0,0 1
(,) ( ) ( )
0
x
XY
e x y
f x y f x f y
?? ? ? ?
? ? ? ?
? 其 它
所以
例, 设 22
1 2 1 2(,) ~ (,,,,)X Y N ? ? ? ? ?
,证明, X 与 Y 相互独立
的充分必要条件是 0? ?,
证 关于 X与 Y的边缘密度函数分别为
21
1
1
()
2
1
1
( ),,
2
x
Xf x e x
?
?
??
?
??
? ? ? ? ? ? ?
22
2
1 ()
2
2
1( ),,
2
y
Yf y e y
?
?
??
?
??
? ? ? ? ? ? ?
则 X与 Y相互独立的充分必要条件是
(,) ( ) ( )XYf x y f x f y??
即
0? ?
定理, 设
12
,,,
m
X X X
与
12
,,,
n
Y Y Y
相互独立, 则
(1 )
12
12
,,,(,,,
s
i i i s
X X X i i i
在
1,2,,m
中取不同的值 )
与
12
12
,,,(,,,
t
j j j t
Y Y Y j j j
在
1,2,,n
中取不同的值 ) 相互
独立,
(2 ) 如果
,gh
是连续函数,则
12
(,,,)
m
g X X X
与
12
(,,,)
n
h Y Y Y
相互独立,
§ 6 两个随机变量函数的分布
解决两个随机变量函数的分布的方法与一
个随机变量函数的分布的方法是一样的,只是
前者要比后者复杂得多,有鉴于此,我们仅仅对
几种特殊的情形加以讨论,
本 节 的 主 要 问 题 是, 已知 (,)XY 的 联 合 分
布,(,)Z g X Y?,其中 (,)z g x y? 为连续函数,求 Z 的分布,
§ 6.1 Z=X+Y的分布
例, 已知随机变量 X 和 Y 的联合概率分布为
(,)xy
（ 0, 0 ） （ 0, 1 ） （ 1, 0 ） （ 1, 1 ） （ 2, 0 ） （ 2, 1 ）
{,}P X x Y y??
0.10 0.15 0.25 0.20 0.15 0.15
求 Z =X +Y,
解 Z为离散型随机变量,其可能取值是 0,1,2,3，则
( 0 ) ( 0 ) ( 0,0 ) 0, 1 0P Z P X Y P X Y? ? ? ? ? ? ? ?
( 1 ) ( 1 ) ( 0,1 ) ( 1,0 ) 0, 4 0P Z P X Y P X Y P X Y? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
( 2 ) ( 2 ) ( 1,1 ) ( 2,0 ) 0, 3 5P Z P X Y P X Y P X Y? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
( 3 ) ( 3 ) ( 2,1 ) 0, 1 5P Z P X Y P X Y? ? ? ? ? ? ? ?
Z 0 1 2 3
P{Z=k} 0.10 0.40 0.35 0.15
例, 设二维连续型随机变量 (,)XY 的联合密度函数
为 (,)f x y,Z X Y??,求 Z 的分布,
解 (1)求 Z的分布函数
( ) ( ) ( ) (,) (,)
zx
Z
x y z
F z P Z z P X Y z f x y d x d y d x f x y d y
? ? ?
? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?
(2)求 Z的密度函数
( ) ( ( ) ) ( (,) ) (,)
zx
ZZ
ddf z F z d x f x y d y f x z x d x
d z d z
? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
? ? ? ?? ? ?
由 X与 Y的对称性,得
( ) (,)Zf z f z y y d y
??
??
???
如果 X与 Y相互独立则有
( ) ( ) ( )Z X Yf z f x f z x d x
??
??
???
( ) ( ) ( )Z X Yf z f z y f y d y
??
??
???
例, 设 X 与 Y 相互独立且都服从 N ( 0,1 ) ( 标准正态
分布 ),求 Z =X +Y 的分布,
解法一,(1)求 Z的分布函数
22
21( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2
zx xy
Z X Y
x y z
F z P Z z P X Y z f x f y d x d y d x e d y
?
? ? ? ??
? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?
(2)求 Z的密度函数
2 2 2 2()
2211( ) ( ( ) ) ( )
22
zx x y x z x
ZZ
ddf z F z d x e d y e d x
d z d z ??
? ? ? ? ?? ? ?
??
? ? ? ? ? ?
? ? ?? ? ?
2
2()
42
1
2
zz
x
e e d x
?
??
? ? ?
??
? ?
2
22
1 2
()
12
244
1 1 1
12 2 2 2
2
2
z
x
zz
e e d x e
?? ?
?
?
??
??
??
? ? ?
?? ?
?
z? ? ? ? ? ?
例, 设 X 与 Y 相互独立且都服从 N( 0,1 ) ( 标准正态
分布 ),求 Z =X +Y 的分布,
解法二,因为 X与 Y相互独立
2 2 2()
2411( ) ( ) ( ),
2 22
x z x z
Z X Yf z f x f z x d x e d x e z? ?
? ? ? ? ????
? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
???
显然 Z~N(0,2),
定理, 设随机变量 2
~ (,),1,2,,i i iX N i n?? ?
,且相互独
立,
( 1,2,,)ia i n?
为任意常数,则随机变量
2
1 1 2 2
1
~ (,)
n
n n i i
i
a X a X a X a X N ??
?
? ? ? ? ?
,
其中
1 1 2 2
1
n
n n i i
i
a a a a? ? ? ? ?
?
? ? ? ? ? ?
,2 2 2 2 2 2 2 2 2
1 1 2 1 1
1
n
n i i
i
a a a a? ? ? ? ?
?
? ? ? ? ? ?
定理表明,相互独立且都服从正态分布的随机变
量的线性组合也服从正态分布,
§ 6.2 Z1=max{X,Y}和 Z2=min{X,Y}的分布
例, 设随机变量 X 与 Y 相互独立,它们的分布函数
分别为 ()
XFx
和 ()
YFy
,求随机变量
1 m a x {,}Z X Y?
的分布,
解
1 1( ) ( ) ( m a x {,} )ZF z P Z z P X Y z? ? ? ?
(,) ( ) ( ) ( ) ( )XYP X z Y z P X z P Y z F x F y? ? ? ? ? ? ? ? ?
即 Z1=max{X,Y}的分布函数为
1 ()ZFz
( ) ( )XYF x F y??
例, 设随机变量 X 与 Y 相互独立,它们的分布函数分
别为 ()
XFx
和 ()
YFy
,求随机变量
2 m i n {,}Z X Y?
的分布,
解
2 2( ) ( ) ( m i n {,} ) 1 ( m i n {,} )ZF z P Z z P X Y z P X Y z? ? ? ? ? ? ?
1 (,) 1 ( ) ( ) 1 [ 1 ( ) ] [ 1 ( ) ]XYP X z Y z P X z P Y z F x F y? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
即 Z2=min{X,Y}的分布函数为
2 ()ZFz
1 [ 1 ( ) ] [ 1 ( ) ]XYF x F y? ? ? ? ?
一般结论,如果随机变量
12
,,,
n
X X X
相互独立,它们
的分布函数分别为
12
12
( ),( ),,( )
n
X X X n
F x F x F x
,则
(1 )
12
m a x {,,,}
n
Y X X X?
的分布函数
12
12
( ) ( ) ( ) ( )
n
Y X X X n
F y F x F x F x?;
(2 )
12
m i n {,,,}
n
Z X X X?
的分布函数
12
12
( ) [ 1 ( ) ] [ 1 ( ) ] [ 1 ( ) ]
n
Z X X X n
F z F x F x F x? ? ? ?
,
例,设系统由两个串联的元件所组成,两个元件的寿
命分别是 X 与 Y,都服从 U （ 0,1 0 0 0 ）,且 X 与 Y 相
互独立,求系统寿命 Z 的分布,
解 系统寿命 Z=min{X,Y}
(1)求 Z的分布函数
当 0z ? 时,由实际意义得 ( ) 0ZFz ? ;
当 z>0时,
( ) ( ) ( m i n {,} ) 1 ( m i n {,} )ZF z P Z z P X Y z P X Y z? ? ? ? ? ? ?
1 (,) 1 ( ) ( ) 1 [ 1 ( ) ] [ 1 ( ) ]XYP X z Y z P X z P Y z F z F z? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
(2)求 Z的密度函数
( ) [ ( ) ] ( ) [ 1 ( ) ] [ 1 ( ) ] ( )Z Z X Y X Yf z F z f z F z F z f z?? ? ? ? ?
因为 X与 Y都服从 U(0,1000),则
1
0 1 0 0 0
() 1000
0
X
x
fx
? ??
?
? ?
?? 其 它
00
( ) 0 1 0 0 0
1000
1 1 0 0 0
X
x
x
F x x
x
??
?
?
? ? ??
?
???
1
0 1 0 0 0
() 1000
0
Y
y
fy
?
???
? ?
?? 其 它
00
( ) 0 1 0 0 0
1000
1 1 0 0 0
Y
y
y
F y y
y
??
?
?
? ? ??
?
???
所以
11
0 1 0 0 0 0 1 0 0 0
() 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 5 0 0 0 0 0
00
Z
z z z
zz
fz
??? ? ? ? ? ? ?
??
????
?? 其 它 其 它
?
?
?
?
?
?
?
0,0
0,
)(
x
xe
xp
x
X
??
?
?
?
?
?
?
?
0,0
0,
)(
y
ye
yp
y
Y
??
?例,设系统 L由两个相互独立的子系统 L1,L2联接
而成，联接方式分别为（ 1）串联；（ 2）并联；
（ 3）备用（当系统 L1损坏时，系统 L2开始工作）,
设 L1,L2的寿命 X和 Y的概率密度分别为
其中 α >0,β >0,且 α ≠ β,试分别就以上三种联接
方式写出 L的寿命 Z的概率密度,
?
?
?
?
??? ?
0,0
0,1)(
x
xexF x
X
?
?
?
?
?
??? ?
0,0
0,1)(
y
yexF y
Y
?
?
?
?
?
??? ??
0,0
0,1)( )(
m i n z
zezF z??
?
?
?
?
??? ??
0,0
0,)()( )(
m i n z
zezp z????
解 X和 Y的分布函数分别为
由于当 L1,L2中有一个损坏时,系统 L就停止工作,所
以这时 L的寿命为 Z=min{X,Y},其分布函数为
于是 Z=min{X,Y}的概率密度为
?（ 1）串联的情况,
?
?
?
?
???
??
??
0,0
0),1)(1(
)()()(m i n
z
zee
zFzFzF
zz
YX
??
?
?
?
?
????
?
????
0,0
0,)(
)(
)(
m a x
z
zeee
zf
zzz ???? ????
?(2)并联的情况,
由于当且仅当 L1,L2都损坏时,系统 L才停止工作,
所以这时 L的寿命为 Z=max{X,Y},其分布函数为
于是 Z=max{X,Y}的概率密度为
][
)()()(
0
)(
0
)(
zz
z
z
z
yyz
YXYX
eedyee
dyeedyypyzpzp
?????
??
??
??
??
??
?????
???
??
??
?
?
?
??
????
?
??
?
?
?
?
?
?
??
??
??
?
0,0
0],[
)(
z
zee
zp
zz
YX
??
??
??
?(3)备用的情况,
由于这时只有当 L1损坏时,L2才开始工作,所以整个
系统 L的寿命为 Z=X+Y,
于是，当 z>0时,Z=X+Y的概率密度为
当 z<0时,pX+Y(z)=0.于是的概率密度为
在实际问题中,一个随机试验往往用几个随机变
量整体地讨论其结果, 如射击时考虑子弹在靶标
上的位置,我们用定义在同一个样本空间 Ω 上的
两个随机变量 X 和 Y 分别表示子弹在靶标上的横
坐标与纵坐标,则子弹在靶标上的位置可用二维
随机变量或二维随机向量 （ X, Y ） 表示,
一般地,设随机试验 E 的样本空间为
{}???
,
()XX ??
和
()YY ??
分别是定义在同一个样本空间 Ω 上的随
机变量,我们称向量 （ X, Y ） 为 二维随机变量 或 二
维随机向量, 类似地可定义三维随机变量以及任意
有限维随机变量, 我们把二维及二维以上的随机变
量称为 多维随机变量, 本章主要讨论二维随机变量,
其结果只要形式上加以处理,可以推广到三维或三
维以上的随机变量,
§ 1 二维离散型随机变量
定义,如果二维随机变量 （ X, Y ） 的可能取值是有
限组或可列无限组
(,),,1,2,ijx y i j ?
,则称 （ X, Y ） 为 二
维离散型随机变量,将 （ X, Y ） 取每组值的概率
(,),,1,2,
i j i j
P X x Y y p i j? ? ? ?
称为二维离散型随机变量 （ X, Y ） 的 联合分布律,
§ 1.1 二维离散型随机变量及联合分布律
记号 (,)
ijX x Y y??
表示随机事件 ()
iXx ?
与 ()
jYy ?
的
积事件,即 (,) ( ) ( )
i j i jX x Y y X x Y y? ? ? ? ?
二维离散型随机向量 (X,Y)的分布律表
Y
X
1y
2y
j
y
1x
11p
12p
1 j
p
2x
21p
22p
2 j
p
ix
1ip
2ip
ij
p
例, 袋中有 2 个黑球 3 个白球,从袋中随机取两次,
每次取一个球,取后不放回, 令
11
,,
00
XY
??
?? ??
??
第 一 次 取 到 黑 球 第 二 次 取 到 黑 球
第 一 次 取 到 白 球 第 二 次 取 到 白 球
求 ( X,Y ) 的联合分布律,
解 (X,Y)的可能取值为 (0,0),(0,1),(1,0),(1,1),
则 (X,Y)的联合分布律为
3 2 6( 0,0 )
5 4 2 0
P X Y ?? ? ? ?
?
X Y 0 1
0 6 / 20 6 /20
1 6 / 20 2 /20
3 2 6( 0,1 )
5 4 2 0
P X Y ?? ? ? ?
?
§ 1.2二维离散型随机变量联合分布律的性质
性质 1
01ijp??
0 (,) 1ijP X x Y y? ? ? ?01ijp??证 因为
,所以
性质 2
11
1ij
ij
p
? ? ? ?
??
???
1 1 1 1
(,) ( ) 1i j i j
i j i j
p P X x Y y P
? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ? ? ?? ? ? ?
证
性质 3 联合分布律完全反映了 （ X, Y ） 的概率
性质, 设 G 是一平面区域,则
(,)
( (,) )
ij
ij
x y G
P X Y G p
?
?? ?
即随机点 （ X, Y ） 落在区域 G 上的概率是 （ X,
Y ） 在 G 上取值所对应的概率之和,
证
,
( (,) ) ( (,) )
ij
ij
x x y y
P X Y G P x x y y
??
? ? ? ?
(,) (,)
(,)
i j i j
i j i j
x y G x y G
P x x y y p
??
? ? ? ???
Y X 1 2 3 4
1 1 / 4 1 / 8 1 / 1 2 1 / 1 6
2 0 1 / 8 1 / 1 2 1 / 1 6
3 0 0 1 / 1 2 1 / 1 6
4 0 0 0 1 / 1 6
解 P{X=i,Y=j}=P{X=i}P{Y=j|X=i}=(1/4)(1/i)
(i≥j),于是 (X,Y)的分布律为
例,令随机变量 X 表示在 1,2,3,4 中等可能地取
一个值,令随机变量 Y 表示在 1 ~ X 中等可能地取
一个值, 求 （ X, Y ） 的联合分布律及 ( 3,2 )P X Y??,
( 3,2 )P X Y?? 1 1 1 1 1 20
4 8 8 1 2 1 2 3? ? ? ? ? ? ?
§ 2 二维连续性随机变量
定义, 设 ( X,Y ) 为二维随机变量,对任意实数 x,y,二
元函数
(,) (,)F x y P X x Y y? ? ?
称为二维随机变量 ( X,Y ) 的 联合分布函数,
§ 2.1二维随机变量的联合分布函数
如果把 ( x,y ) 看成是平面上随机点的坐标,则联合分布函数
(,)F x y 在点 (x,y ) 处的函数值就是随机点 (X,Y ) 落在平面上的
矩形区域 { (,) |,}G X Y X x Y y? ? ? ? ? ? ? ? ?的概率,
(,) (,)
ij
ij
x x y y
F x y P X x Y y p
??
? ? ? ? ??
? 设二维离散型随机变量 X和 Y具有分布律
P{X= xi,Y= yj}=pij,(i,j=1,2,...),则二维
离散型随机变量 (X,Y)的联合分布函数为
其中和式是对一切满足 xi≤x,y j≤y 的来求
和的,
随机点 ( X,Y ) 落在矩形区域
1 2 1 2{ (,) |,}x y x X x y Y y? ? ? ?
的概率
1 2 1 2 2 2 2 1 1 2 1 1(,) (,) (,) (,) (,)P x X x y Y y F x y F x y F x y F x y? ? ? ? ? ? ? ?
,
(x1,y1)
(x1,y2) (x2,y2)
(x2,y1) o
Ⅰ Ⅲ
Ⅱ Ⅳ
x
y
§ 2.2二维随机变量联合分布函数的性质
性质 1 F(x,y)分别关于 x和 y单调不减,
证 对任意的
12xx? 因为 12(,) (,)X x Y y X x Y y? ? ? ? ?
所以
12(,) (,)P X x Y y P X x Y y? ? ? ? ?
即
12(,) (,)F x y F x y?
同理可证,对任意的
12yy?
有
12(,) (,)F x y F x y?
性质 2
0 (,) 1F x y??
,且
(,) (,) (,) 0,(,) 1F x F y F F? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
,
其中
(,) l i m (,)
y
F x F x y
? ? ?
? ? ?
,其余意义相同, 事实上,
(,) (,) ( ) 0F x P X x Y P ?? ? ? ? ? ? ? ? ?
,
(,) (,) ( ) 1F P X Y P? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
,
性质 3 F(x,y)分别关于 x和 y右连续,
性质 4 对于任意的
1 2 1 2,x x y y??
,有
2 2 2 1 1 2 1 1(,) (,) (,) (,) 0F x y F x y F x y F x y? ? ? ?
,
§ 2.3 二维连续型随机变量
定义, 设
(,)XY
的联合分布函数为
(,)F x y
,如果存在
非负函数
(,)f x y
,对任意实数
,xy
,有
(,) (,)
yx
F x y f u v d u d v
? ? ? ?
?
??
,
则称
(,)XY
为 二维连续型随机变量,
(,)f x y
称为
(,)XY
的 概率密度 或称为 X 和 Y 的 联合概率密度 或 联合密
度函数,
(,)XY 的联合密度函数 (,)f x y 具有性质,
性质 1 非负性, (,) 0f x y ?,
性质 2 归一性, (,) 1f x y d x d y? ? ? ?
? ? ? ?
???,
性质 3 (,)f x y 完全反映了二维连续型随机变量
(,)XY 的概率性质, 设 G 为平面上的任意区域,则
( (,) ) (,)
G
P X Y G f x y d x d y?? ??,
性质 4 二维连续型随机变量 (,)XY 的分布函数与
密度函数的关系, 在 (,)f x y 的连续点处，有
2
(,)
(,)
F x y
f x y
xy
?
?
??
例, 设二维随机变量 (,)XY 的概率密度
01(,),
0
k x x y
f x y
? ? ??
? ?
? 其 他
求,( 1) 常数 k ; (2 ) ( 1 )P X Y??,
解 (1)由
(,) 1f x y d x d y
? ? ? ?
? ? ? ?
???
得
11
0
1
6x
kd x k x d y??
??
所以 k=6
(2) 1 12
10
1
( 1 ) 6 6
4
x
x y x
P X Y x d x d y x d x d y
?
??
? ? ? ? ?? ? ? ?
例, 设二维随机变量 (,)XY 的概率密度
22
1
1,1
(,)
0
xy
xyf x y
?
??
?
? ?
?
?
其 它
,
求 (,)XY 的联合分布函数,
解 由 (,) (,)yxF x y f u v d u d v
? ? ? ?
? ??
当
1x ? 或 1y ? 时,(,) 0f x y ? 则 (,) 0F x y ?
当 x>1,y>1时,
22
11
1 1 1(,) (,) ( 1 ) ( 1 )yyxxF x y f u v d u d v d u d v
u v x y? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ?
所以 (X,Y)的联合分布函数
11
( 1 ) ( 1 ) 1,1
(,)
0
xy
xyF x y
? ? ? ? ?
??
?
?? 其 它
? 例,设二维随机向量 (X,Y)具有概率密度
?
?
? ??
?
??
其他,0
0,0,2
),(
)2( yxe
yxp
yx
? (1)求分布函数 F(x,y);(2)求概率 P{Y≤X},
? 解,(1)
? ??? ??? y x d u d vvupyxF ),(),(
?(2)将 (X,Y)看着平面上随
机点的坐标,G是 xoy平面上
直线 y=x下方的部分,
}),{(}{ GYXPXYP ???
??
?
?
? ??
? ? ?
??
其他,,0
0,0,2
0 0
)2(y x vu yxd u d ve
?
?
? ????
?
??
其他,,0
0,0),1)(1( 2 yxee yx
???
G
d x d yyxp ),(
? ?
? ? ??
??
0
)2(
3
12
y
d x d yyxe
? 关于二维随机向量的讨论,可以推广到
n(n>2)维随机向量的情况,
? 设 (X1,X2,…,Xn)为 n维随机向量,对于任意 n
个实数 x1,x2,…,xn,n元函数
F(x1,x2,…,xn)=P{X1≤x 1,X2 ≤x 2,…,Xn ≤x n}
称为 n维随机向量 (X1,X2,…,Xn)的分布函数或
随机变量 X1,X2,…,Xn的联合分布函数,它具有
类似于二维随机向量的分布函数的性质,
§ 2.4 常用的二维连续型随机变量
(1 ) 设 G 为平面上的有限区域,如果
(,)XY
的概率密度
1
(,)
()(,),
0 (,)
x y G
AGf x y
x y G
?
?
?
?
?
?
?
?
其中 A( G ) 是区域 G 的面积,称
(,)XY
服从区域 G 上
的 均匀分布,
(2 ) 如果
(,)XY
的概率密度
2
1
2
2
1
12
2
1 2 2
1 2 2
11
(,) e x p { [ ( )
2 (1 )
21
2 ( ) ( ) ( ) ] },,,
x
f x y
x y y
xy
?
??
? ? ? ?
? ? ?
?
? ? ?
?
??
?
?
? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ?
其中
1 2 1 2
,,0,0,1 1? ? ? ? ?? ? ? ? ?
为常数,称
(,)XY
服从参
数为 22
1 2 1 2
,,,,? ? ? ? ?
的 二 维 正 态 分 布,记为
22
1 2 1 2
(,) ~ (,,,,)X Y N ? ? ? ? ?
,
§ 3 边缘分布
二维随机变量
(,)XY
的分量 X 和 Y 是一维随机变
量,它们各有其分布,称为
(,)XY
分别关于 X 和 Y 的
边缘分布, 本节主要讨论二维离散型随机变量
(,)XY
分别关于 X 和 Y 的 边缘分布律和二维连续
型随机变量
(,)XY
分别关于 X 和 Y 的边缘概率密
度函数,
§ 3.1 边缘分布函数
定义, 设
(,)XY
为二维随机变量,X 和 Y 的分布函
数分别记为
()
X
Fx
和
()
Y
Fy
,则称
( 1 )
()
X
Fx
为二维随机变量
(,)XY
关于 X 的 边缘分布
函数 ;
( 2 )
()
Y
Fy
为二维随机变量
(,)XY
关于 Y 的 边缘分布
函数,
边缘分布函数完全由联合分布函数确定,
设 (,)XY 的联合分布函数为 (,)F x y,则
( ) ( ) (,) (,) l i m (,)X yF x P X x P X x Y F x F x y? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
( ) ( ) (,) (,) l i m (,)Y xF y P Y y P X Y y F y F x y? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
例, 设 (,)XY 的联合分布函数
0, 5 0, 5 0, 5 ( )1 0,0(,),
0
x y x y
e e e x y
F x y
? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
? ?
? 其 它
求 (,)XY 关于 X 的边缘分布函数 ()
XFx
,
解 (X,Y)关于 X的边缘分布函数
0, 5 0, 5 0, 5 ( )
0, 5
( ) (,) l i m (,)
l i m [ 1 ] 0 10
0000
X
y
x y x y
x
y
F x F x F x y
e e e x ex
xx
? ? ?
? ? ? ?
?
? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ???
????
????
?
即 X 服从参数 λ = 0,5 的指数分布,
例, 设 (,)XY 的联合分布函数
0, 5 0, 5 0, 5 ( )1 0,0(,),
0
x y x y
e e e x y
F x y
? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
? ?
? 其 它
求 (,)XY 关于 Y 的边缘分布函数 ()
YFy
,
即 Y 服从参数 λ = 0,5 的指数分布,
0, 5 0, 5 0, 5 ( ) 0, 5
( ) (,) l i m (,)
l i m [ 1 ] 0 10
.
0000
Y
x
x y x y y
x
F y F y F x y
e e e y ey
yy
? ? ?
? ? ? ? ?
? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ???
????
?? ??
?
解 (X,Y)关于 Y的边缘分布函数
§ 3.2 边缘分布律
定义, 设 (,)XY 为二维离散型随机变量,X 和 Y 的分
布律
,( ),1,2,iip P X x i? ? ?
和
,( ),1,2,jjp P Y y j? ? ?
依次称为 (,)XY 分别关于 X 和 Y 的 边缘分布律,
设 (,)XY 的联合分布律为
(,),,1,2,,
i j i jp P X x Y y i j? ? ? ?
(1) (X,Y)关于 X的 边缘分布律
.
1 11
( ) (,( ) ) (,),i i i j i j i j
j jj
p P X x P X x Y y P X x Y y p
???
? ??
? ? ? ? ? ? ? ? ???
,1
11
( ) ( ( ),) (,),j j i j i j i j
i ii
p P Y y P X x Y y P X x Y y p
???
? ??
? ? ? ? ? ? ? ? ???
(2) (X,Y)关于 Y的 边缘分布律
1,2,i ?
1,2,j ?
【注】边缘分布律可由联合分布律表所决定,
Y
X
1
y
2
y
j
y
.i
p
1
x
11
p
12
p
1 j
p
1.
p
2
x
21
p
22
p
2 j
p
2.
p
i
x
1i
p
2i
p
ij
p
.i
p
,j
p
.1
p
.2
p
,j
p
1
即
.i
p
是联合分布律表中
i
x
所在行的概率之和
,j
p
是联合分布律表中
j
y
所在列的概率之和
例,令随机变量 X 表示在 1,2,3,4 中等可能地取一
个值,令随机变量 Y 表示在 1 ~ X 中等可能地取一个
值, 求 （ X, Y ） 分 别 关 于 X 和 Y 的 边缘分布律,
解 P{X=i,Y=j}=P{Y=j|X=i}P{X=i}=(1/i)(1/4),(i≥j) 于是 (X,Y)的分布律及关于 X和 Y的边缘分布律为
Y X 1 2 3 4 P{ Y = j }
1 1 / 4 1 / 8 1 / 1 2 1 / 1 6 2 5 / 4 8
2 0 1 / 8 1 / 1 2 1 / 1 6 1 3 / 4 8
3 0 0 1 / 1 2 1 / 1 6 7 / 4 8
4 0 0 0 1 / 1 6 3 / 4 8
P{ X = i } 1 / 4 1 / 4 1 / 4 1 / 4 1
?例,把 3个白球和 3个红球等可能地放入编号为
1,2,3的三个盒子中,记落入第 1号盒子的白球个数
为 X,落入第 2号盒子的红球个数为 Y.求 (X,Y)的分
布律和关于 X和 Y的边缘分布律,
解 显然有
3,2,1,0
3
2
3
1
}{}{
3
3 ??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?????
?
iCiYPiXP
i
i
又因为事件 {X=i}与事件 {Y=j}相互独立,所以有
}{}{},{ jYPiXPjYiXP ?????
3,2,1,0,
3
2
3
1
3
2
3
1 3
3
3
3 ??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
??
jiCC
jj
j
ii
i
X Y 0 1 2 3 P { X =i }
0 ( 8 / 2 7 ) ( 8 / 2 7 ) ( 4 / 9 ) ( 8 / 2 7 ) ( 2 / 9 ) ( 8 / 2 7 ) ( 1 / 2 7 ) ( 8 / 2 7 ) 8 / 2 7
1 ( 8 / 2 7 ) ( 4 / 9 ) ( 4 / 9 ) ( 4 / 9 ) ( 2 / 9 ) ( 4 / 9 ) ( 1 / 2 7 ) ( 4 / 9 ) 4 / 9
2 ( 8 / 2 7 ) ( 2 / 9 ) ( 4 / 9 ) ( 2 / 9 ) ( 2 / 9 ) ( 2 / 9 ) ( 1 / 2 7 ) ( 2 / 9 ) 2 / 9
3 ( 8 / 2 7 ) ( 1 / 2 7 ) ( 4 / 9 ) ( 1 / 2 7 ) ( 2 / 9 ) ( 1 / 2 7 ) ( 1 / 2 7 ) ( 1 / 2 7 ) 1 / 2 7
P { Y =j } 8 / 2 7 4 / 9 2 / 9 1 / 2 7 1
用表格可如下表示
?
?
? ??
?
其它,0
,6
),(
2 xyx
yxp
? ?
?
??
??
?
?
? ????
??
其它,0
10),(66
),()( 2
2x
x
X
xxxdy
dyyxpxp
?例,设随机变量 X和 Y具有联合概率密度
求边缘概率密度 pX(x)和 pY(y),
解
? ?
?
??
??
?
?
? ????
??
其它,0
10),(66
),()(
y
y
Y
yyydx
dxyxpyp
§ 3.3 边缘密度函数
定义, 设 (,)XY 为二维连续型随机变量,X 和 Y 的密
度函数 ()
Xfx
和 ()
Yfy
依次称为 (,)XY 分别关于 X 和 Y 的
边缘密度函数,
边缘密度函数完全由联合密度函数所决定,
dxdyyxfxFxF
x
X ]),([),()( ? ???
?
??
????
dydxyxfyFyF yY ]),([),()( ? ?
??
?
??
????
?
?
??
? dyyxfxp X ),()(
?
?
??
? dxyxfyp Y ),()(
? 设连续型二维随机变量 (X,Y)的概率密度函数为
f(x,y)则
从而得到 X和 Y的概率密度函数分别为
例,设二维随机变量 （ X, Y ） 的概率密度
0(,)
0
y
e x y
f x y
?
? ??
? ?
? 其 它
,
分别求 X 和 Y 的密度函数 ()
Xfx
和 ()
Yfy
,
解 X 的密度函数 ()Xfx 为
0 0
( ) (,),
00
00
y x
X x
e d y x ex
f x f x y d y
x
x
??
??? ?
??
?
? ? ??
? ? ???
???
??
?
?
Y 的密度函数 ()Yfy 为
0
0 0
( ) (,),
00
00
y
y y
Y
e d x y y e y
f y f x y d x
y
y
??? ?
??
?
? ? ??
? ? ???
???
??
?
?
例,设二维随机变量 (,)XY 服从单位圆 22 1xy ?? 上的
均匀分布,求 (,)XY 关于 X 和 Y 的边缘分布,
解 （ X,Y）的联合密度函数
221 1
(,)
0
xy
f x y ?
?
???
? ?
?? 其 它
则（ X,Y）关于 X的边缘密度函数
2
2
1
2
1
1 2
11 1 1 1
( ) (,)
00
x
X x
d y x xx
f x f x y d y ? ?
?
??
??
??
? ?
? ? ? ? ? ? ? ???
? ? ???
???
?
?
其 它其 它
（ X,Y）关于 Y的边缘密度函数
22 1 1 1
()
0
Y
yy
fy ?
?
? ? ? ??
? ?
?? 其 它
例, 设 221 2 1 2(,) ~ (,,,,)X Y N ? ? ? ? ?,则
（ 1）（ X,Y）关于 X的边缘密度函数
21
1
1
()
2
1
1
( ) (,),,
2
x
Xf x f x y d y e x
?
?
??
???
??
??
? ? ? ? ? ? ? ??
即 211~ (,)XN ??
（ 2）（ X,Y）关于 Y的边缘密度函数
22
2
1
()
2
2
1
( ) (,),,
2
y
Yf y f x y d x e y
?
?
??
???
??
??
? ? ? ? ? ? ? ??
即 222~ (,)YN ??
§ 4 条件分布
? 条件分布是条件概率的推广,本节主要讨
论关于二维离散型随机变量的条件分布
律和关于二维连续型随机变量的条件密
度函数,
§ 4,1 条件分布律
定义, 设
(,)XY
是二维离散型随机变量,其联合分布律
(,),,1,2,,
i j i j
p P X x Y y i j? ? ? ?
(,)XY
关于 X 和 Y 的边缘分布律分别为
.
( ),1,2,
ii
p P X x i? ? ?
和
.
( ),1,2,
jj
p P Y y j? ? ?
,
(1) 对于给定的 j,如果
( ) 0
j
P Y y??
,则称
.
(,)
( | ),1,2,
()
i j i j
ij
jj
P X x Y y p
P X x Y y i
P Y y p
??
? ? ? ? ?
?
为在
j
Yy ?
的条件下随机变量 X 的 条件分布律,
(2) 对于给定的 i,如果
( ) 0
i
P X x??
,则称
.
(,)
( | ),1,2,
()
i j i j
ji
ii
P X x Y y p
P Y y X x j
P X x p
??
? ? ? ? ?
?
为在
i
Xx ?
的条件下随机变量 Y 的 条件分布律,
例, 设 (,)XY 的联合分布律 如 下
求, ( 1 ) 在 X = 3 的条件下 Y 的条件分布律 ;
(2 ) 在 Y = 1 的条件下 X 的条件分布律,
Y
X
1 2 3 4
1
1
4
0 0 0
2
1
8
1
8
0 0
3
1
12
1
12
1
12
0
4
1
16
1
16
1
16
1
16
解 (X,Y ) 关于 X 和 Y 的边缘分布律如表所示,
Y
X
1 2 3 4
.ip
1
1
4
0 0 0
1
4
2
1
8
1
8
0 0
1
4
3
1
12
1
12
1
12
0
1
4
4
1
16
1
16
1
16
1
16
1
4
,jp
25
48
13
48
7
48
1
16
1
则在 X=3的条件下 Y的条件分布律
31
3.
1
{ 3,1 } 112
( 1 | 3 )
1{ 3 } 3
4
pP X Y
P Y X
P X p
??
? ? ? ? ? ?
?
Y 1 2 3 4
( | 3 )
jP Y y X??
1
3
1
3
1
3
0
其中如
同理在 Y=1的条件下 X的条件分布律
X 1 2 3 4
( | 1 )
iP X x Y??
12
25
6
25
4
25
3
25
§ 4.2 条件密度函数
定义, 设二维连续型随机变量
(,)XY
的联合密度函数为
(,)f x y
,
(,)XY
关于 X 和 Y 的边缘密度函数分别为
()
X
fx
和
()
Y
fy
,
(1) 对于给定的 y,如果
( ) 0
Y
fy ?
,则称 (,)
()
Y
f x y
fy
为在
Yy ?
的
条件下 X 的 条件密度函数,记为
|
( | )
XY
f x y
,即
|
(,)
( | )
()
XY
Y
f x y
f x y
fy
?;
(2) 对于给定的
x
,如果
( ) 0
X
fx ?
,则称 (,)
()
X
f x y
fx
为在
Xx ?
的
条件下 Y 的 条件密度函数,记为
|
( | )
YX
f y x
,即
|
(,)
( | )
()
YX
X
f x y
f y x
fx
?
,
例, 设二维随机变量
(,)XY
服从单位圆 22
1xy ??
上的
均匀分布,求,
(1 ) 在 1
2
X ?
的条件下 Y 的条件密度函数 ;
(2 ) 在 Yy ? 的条件下 X 的条件密度函数,
解, (X,Y ) 关于 X 和 Y 的边缘密度函数分别为
2
2
1 1 1
()
0
X
xx
fx ?
?
? ? ? ??
? ?
?
? 其 它
和
2
2
1 1 1
()
0
Y
yy
fy ?
?
? ? ? ??
? ?
?
? 其 它
,
(1) 在 12X ? 的条件下 Y 的条件密度函数
|
1
1 3 3(,)
1 2
( | ) 223
12
() 0
2
YX
X
fy
y
fy
f
?
? ? ??
?? ?
?
? 其 它
(2) 在 Yy ? 的条件下 X 的条件密度函数
22
2
|
1
11(,)
( | ) 21
()
0
XY
Y
x y xf x y
f x y y
fy
?
? ? ? ? ?
?
?? ??
?
? 其 它
§ 5 随机变量的独立性
随机变量相互独立是概率论中非常重要的
概念,它是随机事件相互独立的推广,本节主要
讨论两个随机变量相互独立的一般性定义,然
后对两个离散性随机变量和两个连续性随机
变量相互独立进行不同的处理,
定义,设二维随机变量
(,)XY
的联合分布函数和
边缘分布函数分别为
(,),( )
X
F x y F x
和
()
Y
Fy
,如果对任
意的
,xy
,有
(,) ( ) ( )P X x Y y P X x P Y y? ? ? ? ? ?
,
即
(,) ( ) ( )
XY
F x y F x F y??
,( 联合分布函数等于边缘分
布函数的乘积 ) 则称随机变量 X 和 Y 相互独立, 一般结论, X 与 Y 相互独立的充分必要条件是
(,) ( ) ( )F x y G x H y??,即 (,)XY 的联合分布函数 (,)F x y 等
于 x 的函数与 y 的函数的乘积,
定理, 设二维离散性随机变量
(,)XY
的联合分布律
和边缘分布律分别为
,(,1,2,)
ij
p i j ?
和
.
,( 1,2,)
i
pi ?
、
.
,( 1,2,)
j
pj ?
,则 X 与 Y 相互独立的充分必要条件是
对
(,)XY
的所有可能取值
(,)
ij
xy
,有
(,) ( ) ( )
i j i j
P X x Y y P X x P Y y? ? ? ? ? ?
,
即
..
,,1,2,
i j i j
p p p i j? ? ?
.( 联合分布律等于边缘分
布律的乘积 ),
定理, 设二维连续性随机变量
(,)XY
的联合密度函
数和边缘密度函数分别为
(,)f x y
和
()Xfx
、
()Yfy
,则 X
与 Y 相互独立的充分必要条件是对任意的
,xy
,有
(,) ( ) ( )XYf x y f x f y??
.( 联合密度函数等于边缘密度
函数 ),
一般的结论, 设二维连续性随机变量
(,)XY
的联合密度函数
为
(,)f x y
,则 X 与 Y 相互独立的充分必要条件是对任意的
,xy,有
(,) ( ) ( )XYf x y g x h y??
即
(,)XY
的联合密度函数
(,)f x y
等于 x 的函数与 y 的函数的
乘积,
例, 袋中有 2 个黑球 3 个白球,从袋中随机取两次,
每次取一个球,取后不放回, 令
11
,,
00
XY
??
?? ??
??
第 一 次 取 到 黑 球 第 二 次 取 到 黑 球
第 一 次 取 到 白 球 第 二 次 取 到 白 球
证明 X 与 Y 相互独立,
Y
X
0 1
.ip
0
6
20
6
20
12
20
1
6
20
2
20
8
20
,jp
12
20
8
20
证 X与 Y的联合分布律
与边缘分布律如表所示,
因为
..,,0,1,i j i jp p p i j? ? ?
所
以 X 与 Y 相互独立,
? 例,把 3个白球和 3个红球等可能地放入编号为
1,2,3的三个盒子中,记落入第 1号盒子的白球个
数为 X,落入第 2号盒子的红球个数为 Y.求 (X,Y)的
分布律,并判断随机变量 X和 Y是否相互独立,
解 显然有
3,2,1,0
3
2
3
1}{}{ 3
3 ??
?
??
?
??
?
??
?
?????
?
iCiYPiXP
i
i
又因为事件 {X=i}与事件 {Y=j}相互独立,所以 X
和 Y是相互独立,且有
}{}{},{ jYPiXPjYiXP ?????
3,2,1,0,
3
2
3
1
3
2
3
1 3
3
3
3 ??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
??
jiCC
jj
j
ii
i
X Y 0 1 2 3 P { X =i }
0 ( 8 / 2 7 ) ( 8 / 2 7 ) ( 4 / 9 ) ( 8 / 2 7 ) ( 2 / 9 ) ( 8 / 2 7 ) ( 1 / 2 7 ) ( 8 / 2 7 ) 8 / 2 7
1 ( 8 / 2 7 ) ( 4 / 9 ) ( 4 / 9 ) ( 4 / 9 ) ( 2 / 9 ) ( 4 / 9 ) ( 1 / 2 7 ) ( 4 / 9 ) 4 / 9
2 ( 8 / 2 7 ) ( 2 / 9 ) ( 4 / 9 ) ( 2 / 9 ) ( 2 / 9 ) ( 2 / 9 ) ( 1 / 2 7 ) ( 2 / 9 ) 2 / 9
3 ( 8 / 2 7 ) ( 1 / 2 7 ) ( 4 / 9 ) ( 1 / 2 7 ) ( 2 / 9 ) ( 1 / 2 7 ) ( 1 / 2 7 ) ( 1 / 2 7 ) 1 / 2 7
P { Y =j } 8 / 2 7 4 / 9 2 / 9 1 / 2 7 1
用表格可如下表示
例, 设 (,)XY 的联合密度函数
4 0 1,0 1(,)
0
x y x y
f x y
? ? ? ??
? ?
? 其 它
,
(1 ) 求分别关于 X 与 Y 的边缘密度函数 ;
(2 ) X 与 Y 是否独立? 说明理由,
解 (1) 1
0
4 0 1 2 0 1
( ) (,)
0
0
X
x y d y x xx
f x f x y d y
??
??
?
?? ????
? ? ???
??
?
?
? 其 它
其 它
1
0
4 0 1 2 0 1
( ) (,)
0
0
Y
x y d x y yy
f y f x y d x
??
??
?
?? ????
? ? ???
??
?
?
? 其 它
其 它
(2) 因为 (,) ( ) ( )XYf x y f x f y??,则 X 与 Y 相互独立,
?
?
? ??
?
??
其他,0
0,0,
),(
)( yxe
yxp
yx
??
?
?
?
?
??
?? ??
?? ???
?
??
0,0
0,
),()( 0
)(
x
xedye
dyyxpxp
xyx
X
??
?
?
?
?
??
?? ??
?? ???
?
??
0,0
0,
),()( 0
)(
y
yedxe
dxyxpyp
yyx
Y
例,设随机向量 (X,Y)的概率密度函数为
试证 X和 Y相互独立,
解
于是有
p(x,y)= pX(x) pY(y)
所以 X和 Y相互独立,
例, 设 X 服从参数为 1? ? 的指数分布,~ ( 0,1 )YU,且
X 与 Y 相互独立,
(1 ) 写出 (,)XY 的联合密度函数 (,)f x y ;
(2 ) 求 ( 1 )P X Y??,
解 (1)X与 Y的密度函数分别为
1 0 10
( ),( )
000
x
XY
yex
f x f y
x
? ??? ??
????
? ?? 其 它
因为 X与 Y相互独立,所以 (X,Y)的联合密度函数
0,0 1
(,) ( ) ( )
0
x
XY
e x y
f x y f x f y
?? ? ? ?
? ? ? ?
? 其 它
11
1
1 0 0
( 1 ) (,)
x
x
xy
P X Y f x y d x d y d x e d y e
?
??
??
? ? ? ? ?? ? ? ?
例, 设 X 服从参数为 1? ? 的指数分布,~ ( 0,1 )YU,且
X 与 Y 相互独立,
(1 ) 写出 (,)XY 的联合密度函数 (,)f x y ;
(2 ) 求 ( 1 )P X Y??,
解 (2)因为
0,0 1
(,) ( ) ( )
0
x
XY
e x y
f x y f x f y
?? ? ? ?
? ? ? ?
? 其 它
所以
例, 设 22
1 2 1 2(,) ~ (,,,,)X Y N ? ? ? ? ?
,证明, X 与 Y 相互独立
的充分必要条件是 0? ?,
证 关于 X与 Y的边缘密度函数分别为
21
1
1
()
2
1
1
( ),,
2
x
Xf x e x
?
?
??
?
??
? ? ? ? ? ? ?
22
2
1 ()
2
2
1( ),,
2
y
Yf y e y
?
?
??
?
??
? ? ? ? ? ? ?
则 X与 Y相互独立的充分必要条件是
(,) ( ) ( )XYf x y f x f y??
即
0? ?
定理, 设
12
,,,
m
X X X
与
12
,,,
n
Y Y Y
相互独立, 则
(1 )
12
12
,,,(,,,
s
i i i s
X X X i i i
在
1,2,,m
中取不同的值 )
与
12
12
,,,(,,,
t
j j j t
Y Y Y j j j
在
1,2,,n
中取不同的值 ) 相互
独立,
(2 ) 如果
,gh
是连续函数,则
12
(,,,)
m
g X X X
与
12
(,,,)
n
h Y Y Y
相互独立,
§ 6 两个随机变量函数的分布
解决两个随机变量函数的分布的方法与一
个随机变量函数的分布的方法是一样的,只是
前者要比后者复杂得多,有鉴于此,我们仅仅对
几种特殊的情形加以讨论,
本 节 的 主 要 问 题 是, 已知 (,)XY 的 联 合 分
布,(,)Z g X Y?,其中 (,)z g x y? 为连续函数,求 Z 的分布,
§ 6.1 Z=X+Y的分布
例, 已知随机变量 X 和 Y 的联合概率分布为
(,)xy
（ 0, 0 ） （ 0, 1 ） （ 1, 0 ） （ 1, 1 ） （ 2, 0 ） （ 2, 1 ）
{,}P X x Y y??
0.10 0.15 0.25 0.20 0.15 0.15
求 Z =X +Y,
解 Z为离散型随机变量,其可能取值是 0,1,2,3，则
( 0 ) ( 0 ) ( 0,0 ) 0, 1 0P Z P X Y P X Y? ? ? ? ? ? ? ?
( 1 ) ( 1 ) ( 0,1 ) ( 1,0 ) 0, 4 0P Z P X Y P X Y P X Y? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
( 2 ) ( 2 ) ( 1,1 ) ( 2,0 ) 0, 3 5P Z P X Y P X Y P X Y? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
( 3 ) ( 3 ) ( 2,1 ) 0, 1 5P Z P X Y P X Y? ? ? ? ? ? ? ?
Z 0 1 2 3
P{Z=k} 0.10 0.40 0.35 0.15
例, 设二维连续型随机变量 (,)XY 的联合密度函数
为 (,)f x y,Z X Y??,求 Z 的分布,
解 (1)求 Z的分布函数
( ) ( ) ( ) (,) (,)
zx
Z
x y z
F z P Z z P X Y z f x y d x d y d x f x y d y
? ? ?
? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?
(2)求 Z的密度函数
( ) ( ( ) ) ( (,) ) (,)
zx
ZZ
ddf z F z d x f x y d y f x z x d x
d z d z
? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
? ? ? ?? ? ?
由 X与 Y的对称性,得
( ) (,)Zf z f z y y d y
??
??
???
如果 X与 Y相互独立则有
( ) ( ) ( )Z X Yf z f x f z x d x
??
??
???
( ) ( ) ( )Z X Yf z f z y f y d y
??
??
???
例, 设 X 与 Y 相互独立且都服从 N ( 0,1 ) ( 标准正态
分布 ),求 Z =X +Y 的分布,
解法一,(1)求 Z的分布函数
22
21( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2
zx xy
Z X Y
x y z
F z P Z z P X Y z f x f y d x d y d x e d y
?
? ? ? ??
? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?
(2)求 Z的密度函数
2 2 2 2()
2211( ) ( ( ) ) ( )
22
zx x y x z x
ZZ
ddf z F z d x e d y e d x
d z d z ??
? ? ? ? ?? ? ?
??
? ? ? ? ? ?
? ? ?? ? ?
2
2()
42
1
2
zz
x
e e d x
?
??
? ? ?
??
? ?
2
22
1 2
()
12
244
1 1 1
12 2 2 2
2
2
z
x
zz
e e d x e
?? ?
?
?
??
??
??
? ? ?
?? ?
?
z? ? ? ? ? ?
例, 设 X 与 Y 相互独立且都服从 N( 0,1 ) ( 标准正态
分布 ),求 Z =X +Y 的分布,
解法二,因为 X与 Y相互独立
2 2 2()
2411( ) ( ) ( ),
2 22
x z x z
Z X Yf z f x f z x d x e d x e z? ?
? ? ? ? ????
? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
???
显然 Z~N(0,2),
定理, 设随机变量 2
~ (,),1,2,,i i iX N i n?? ?
,且相互独
立,
( 1,2,,)ia i n?
为任意常数,则随机变量
2
1 1 2 2
1
~ (,)
n
n n i i
i
a X a X a X a X N ??
?
? ? ? ? ?
,
其中
1 1 2 2
1
n
n n i i
i
a a a a? ? ? ? ?
?
? ? ? ? ? ?
,2 2 2 2 2 2 2 2 2
1 1 2 1 1
1
n
n i i
i
a a a a? ? ? ? ?
?
? ? ? ? ? ?
定理表明,相互独立且都服从正态分布的随机变
量的线性组合也服从正态分布,
§ 6.2 Z1=max{X,Y}和 Z2=min{X,Y}的分布
例, 设随机变量 X 与 Y 相互独立,它们的分布函数
分别为 ()
XFx
和 ()
YFy
,求随机变量
1 m a x {,}Z X Y?
的分布,
解
1 1( ) ( ) ( m a x {,} )ZF z P Z z P X Y z? ? ? ?
(,) ( ) ( ) ( ) ( )XYP X z Y z P X z P Y z F x F y? ? ? ? ? ? ? ? ?
即 Z1=max{X,Y}的分布函数为
1 ()ZFz
( ) ( )XYF x F y??
例, 设随机变量 X 与 Y 相互独立,它们的分布函数分
别为 ()
XFx
和 ()
YFy
,求随机变量
2 m i n {,}Z X Y?
的分布,
解
2 2( ) ( ) ( m i n {,} ) 1 ( m i n {,} )ZF z P Z z P X Y z P X Y z? ? ? ? ? ? ?
1 (,) 1 ( ) ( ) 1 [ 1 ( ) ] [ 1 ( ) ]XYP X z Y z P X z P Y z F x F y? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
即 Z2=min{X,Y}的分布函数为
2 ()ZFz
1 [ 1 ( ) ] [ 1 ( ) ]XYF x F y? ? ? ? ?
一般结论,如果随机变量
12
,,,
n
X X X
相互独立,它们
的分布函数分别为
12
12
( ),( ),,( )
n
X X X n
F x F x F x
,则
(1 )
12
m a x {,,,}
n
Y X X X?
的分布函数
12
12
( ) ( ) ( ) ( )
n
Y X X X n
F y F x F x F x?;
(2 )
12
m i n {,,,}
n
Z X X X?
的分布函数
12
12
( ) [ 1 ( ) ] [ 1 ( ) ] [ 1 ( ) ]
n
Z X X X n
F z F x F x F x? ? ? ?
,
例,设系统由两个串联的元件所组成,两个元件的寿
命分别是 X 与 Y,都服从 U （ 0,1 0 0 0 ）,且 X 与 Y 相
互独立,求系统寿命 Z 的分布,
解 系统寿命 Z=min{X,Y}
(1)求 Z的分布函数
当 0z ? 时,由实际意义得 ( ) 0ZFz ? ;
当 z>0时,
( ) ( ) ( m i n {,} ) 1 ( m i n {,} )ZF z P Z z P X Y z P X Y z? ? ? ? ? ? ?
1 (,) 1 ( ) ( ) 1 [ 1 ( ) ] [ 1 ( ) ]XYP X z Y z P X z P Y z F z F z? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
(2)求 Z的密度函数
( ) [ ( ) ] ( ) [ 1 ( ) ] [ 1 ( ) ] ( )Z Z X Y X Yf z F z f z F z F z f z?? ? ? ? ?
因为 X与 Y都服从 U(0,1000),则
1
0 1 0 0 0
() 1000
0
X
x
fx
? ??
?
? ?
?? 其 它
00
( ) 0 1 0 0 0
1000
1 1 0 0 0
X
x
x
F x x
x
??
?
?
? ? ??
?
???
1
0 1 0 0 0
() 1000
0
Y
y
fy
?
???
? ?
?? 其 它
00
( ) 0 1 0 0 0
1000
1 1 0 0 0
Y
y
y
F y y
y
??
?
?
? ? ??
?
???
所以
11
0 1 0 0 0 0 1 0 0 0
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?例,设系统 L由两个相互独立的子系统 L1,L2联接
而成，联接方式分别为（ 1）串联；（ 2）并联；
（ 3）备用（当系统 L1损坏时，系统 L2开始工作）,
设 L1,L2的寿命 X和 Y的概率密度分别为
其中 α >0,β >0,且 α ≠ β,试分别就以上三种联接
方式写出 L的寿命 Z的概率密度,
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解 X和 Y的分布函数分别为
由于当 L1,L2中有一个损坏时,系统 L就停止工作,所
以这时 L的寿命为 Z=min{X,Y},其分布函数为
于是 Z=min{X,Y}的概率密度为
?（ 1）串联的情况,
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?(2)并联的情况,
由于当且仅当 L1,L2都损坏时,系统 L才停止工作,
所以这时 L的寿命为 Z=max{X,Y},其分布函数为
于是 Z=max{X,Y}的概率密度为
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?(3)备用的情况,
由于这时只有当 L1损坏时,L2才开始工作,所以整个
系统 L的寿命为 Z=X+Y,
于是，当 z>0时,Z=X+Y的概率密度为
当 z<0时,pX+Y(z)=0.于是的概率密度为
