第七章 参数估计
在实际问题中，经常遇到随机变量 X （即总体 X ）
的分布函数的形式已知，但它的一个或者多个参数未
知的情形，此时写不出确切的概率密度函数, 若通过简
单 随 机 抽 样,得到 总 体 X 的 一 个 样 本 观 测值
),,,(
21 n
xxx ?
，我们自然会想到利用这一组数据来估计
这一个或多个未知参数, 诸如此类，利用样本去估计总
体未知参数的问题，称为 参 数 估 计 问 题, 参数估计问题
有两类，分别是 点 估 计 和 区 间 估 计,
?
X~P(λ),X~E(λ),X~N(μ,σ2)
用所获得的样本值去估计参数取值称为 参数估计,
参
数
估
计
?
点估计
区间估计
用某一数值作为
参数的近似值
?
在要求的精度范围内
指出参数所在的区间
参数估计的基本思想
§ 1 参数的点估计
设总体 X 的分布函数
);( ?xF
形式已知，其中 θ
是待估计的参数，点估计问题就是利用样本
),,,(
21 n
XXX ?
，构造一个统计量
),,,(??
21 n
XXX ??? ?
来估
计 θ,我们称
),,,(?
21 n
XXX ??
为 θ 的 点 估 计 量,它是
一个随机变量。将样本观测值
),,,(
21 n
xxx ?
代入估计
量
),,,(?
21 n
XXX ??
,就 得 到 它 的 一 个 具 体 数 值
),,,(?
21 n
xxx ??
，这个数值称为 θ 的 点 估 计 值,
§ 1.1 矩估计法
? 设 (X1,X2,…,Xn)是来自总体 X的一个样本,根据
大数定律,对任意 ε>0,有
0}|)({|lim ????
??
XEXP
n
并且对于任何 k,只要 E(Xk)存在,同样有
,...2,1,0}|)(
1
{|lim
1
?????
?
??
kXEX
n
P k
n
i
n
in ?
因此,很自然地想到用样本矩来代替总体矩,从而
得到总体分布中参数的一种估计,
? 定义：用样本矩来代替总体矩,从而得到总体
分布中参数的一种估计,这种估计方法称为 矩法估
计,它的思想实质是用样本的经验分布和样本矩去
替换总体的分布和总体矩,今后称之为 替换原则,
? 设总体 X具有已知类型的概率函数
p(x;θ 1,…,θ k),(θ 1,…,θ k)∈Θ 是 k个未知参
数,(X1,X2,…,Xn)是来自总体 X的一个样本,假若 X的
k阶矩 γ k=E(Xk)存在,则对于 i≤k,E(X i)都存在,并
且是 (θ 1,…,θ k)的函数 γ i (θ 1,…,θ k),
得到含有未知参数 (θ 1,…,θ k)的 k个方程,解这 k
个联立方程组就可以得到 (θ 1,…,θ k)的一组解,
?
?
?
?
?
?
?
???
???
???
),...,,(??
......,,,,,,,,,.,,,,,,,,,.,,,,,,,,,
),...,,(??
),...,,(??
21
2122
2111
nkk
n
n
XXX
XXX
XXX
用上面的解来估计参数 θ i就是矩法估计,
?
?
?
?
?
?
?
??
??
??
kkk
k
k
k
AXE
AXE
AXE
),.,,,,()(
..,,,,,,,,,.,,,,,,,,,.,,,,,,,,,
),.,,,,()(
),.,,,,()(
21
2212
2
1211
????
????
????
设
例, 设总体 X 服从泊松分布 )( ??,参数 λ 未知，
),,,( 21 nXXX ? 是来自总体的一个样本，求参数 λ 的矩
估计量,
解 总体 X的期望为
??)( XE
从而得到方程
?
?
?
n
i
iXn
1
1?
所以 λ的矩估计量为
XX
n
n
i
i ?? ?
? 1
1?
?
例, 设总体 X 服从参数为 λ 的指数分布，其中参
数 λ 未知,),,,(
21 nXXX ?
是来自总体的一个样本，
求参数 λ 的矩估计量,
??
?
?
?
?
?
?
?
0,0
0,
),(
x
xe
xf
x??
?
解 其概率密度函数为
总体 X的期望为
?
? ? 1)(
0
?? ? ?? ? dxexXE x
从而得到方程 ?
?
?
n
i
iXn
1
11
?
X
X
n
i
i
11?
1
??
?
?
?
所以 λ的矩估计量为
例, 设总体 X 的均值 μ 和方差 2? 都存在，且 02 ??,
但 μ 和 2? 均未知，又设 ),,,(
21 nXXX ?
是来自总体的
一个样本，求 μ 和 2? 的矩估计量,
解 由于
? ???
?
????
?
2222 )()()(
)(
??
?
XEXDXE
XE
故令
??
?
?
?
??
?
?
?
22
1
21 ??
?
n
i
iX
n
X
解得 μ 和 2? 的矩估计量分别为
??
?
?
?
????
?
??
??
n
i
i
n
i
i XX
n
XX
n
X
1
22
1
22 )(11?
?
?
?
例, 设某炸药厂一天中发生着火现象的次数 X服从
（用矩法）。试估计参数
未知，有以下样本值；的泊松分布，参数为
?
??
? ? 25012622549075
6543210
knk
k
次着火天数发生
着火的次数
?
?
???
n
i
i XX
n
AEX
1
1
1
?
22.1)16901750(
2 5 0
1
?
,
?????????
?
?x
X
?
?
则
令
。估计值所以 22.1?,?? ??X
解
§ 1.2 极大似然估计法
? 极大似然原理的直观想法是,一个随机试验
如有若干个可能的结果 A,B,C,?,若在一次试
验中,结果 A出现,则一般认为 A出现的概率最
大,也即试验条件对 A出现有利,或者说在试验
的很多可能条件中，认为应该是使事件 A发生
的概率为最大的那种条件存在,
极大似然估计的基本思想
kkk ppCkXP ???? 3
3 )1()(
X 0 1 2 3
P = 1 / 4 时 P{ X = k } 2 7 / 6 4 2 7 / 6 4 9 / 6 4 1 / 6 4
P = 3 / 4 时 P{ X = k } 1 / 6 4 9 / 6 4 2 7 / 6 4 2 7 / 5 4
? 例：假若一个盒子里有许多白球和红球,而且已
知它们的数目之比是 3:1,但不知是白球多还是红球
多,设随机地在盒子中取一球为白球的概率是 p.如
果有放回地从盒子里取 3个球,那么白球数目 X服从
二项分布
如果样本中白球数为 0,则应估计 p=1/4,而不估计
p=3/4.因为具有 X=0的样本来自 p=1/4的总体的可
能性比来自 p=3/4的总体的可能性要大,一般当
X=0,1时,应估计 p=1/4;而当 X=2,3时,应估计 p=3/4,
定义, 设总体 X 的分布类型已知,但含有未知参数 θ,
( 1 ) 设离散型总体 X 的概率分布律为
);( ?xp
，则样本
),,,(
21 n
XXX ?
的联合分布律
?
?
?
n
i
in
xpxpxpxp
1
21
);();();();( ???? ?
称为 似然函数,并记之为
?
?
??
n
i
in
xpxxxLL
1
21
);();,,,()( ??? ?
,
( 2 ) 设连续型总体 X 的概率密度函数为
);( ?xf
，则样本
),,,(
21 n
XXX ?
的联合概率密度函数
?
?
?
n
i
in
xfxfxfxf
1
21
);();();();( ???? ?
仍称为 似然函数,并记之为
?
?
??
n
i
in
xfxxxLL
1
21
);();,,,()( ??? ?
,
定义, 设总体的分布类型已知,但含有未知参数 θ,
( 1 ) 设
),,,(
21 n
xxx ?
为总体 X 的一个样本 观察值,若似
然函数
)( ?L
在
),,,(??
21 n
xxx ??? ?
处取到最大值，则称
),,,(?
21 n
xxx ??
为 θ 的 极大似然估计值,
(2 ) 设
),,,(
21 n
XXX ?
为总体 X 的一个样本,若
),,,(?
21 n
xxx ??
为 θ 的 极大似然估计值,则称
),,,(?
21 n
XXX ??
为 参
数θ 的 极大似然估计 量,
设总体的分布类型已知,但含有未知参数 θ, 设
),,,( 21 nxxx ? 为总体 X 的一个样本 观察值,若似然函数
)( ?L 关 于 θ 可 导,
0)( ??
?
L
d
d令
解此方程得 θ 的 极大似然估计值 ),,,(?
21 nxxx ??
,
从而得到θ 的 极大似然估计量 ),,,(?
21 nXXX ??
,
因为 )( ?L 与 )(ln ?L 具 有 相 同 的 最 大 值 点
解方程 0)(ln ??
?
L
d
d 也可 得 θ 的 极大似然估计值
),,,(? 21 nxxx ?? 和 θ 的 极大似然估计量 ),,,(? 21 nXXX ??,
设总体的分布类型已知,但含有 多个未知参数
k
???,,,
21
?
，这时总体的概率函数为
),,,;(
21 k
xf ??? ?
,设
),,,(
21 n
xxx ?
为总体 X 的一个样本观察值,若似然函数
?
?
??
n
i
kikkk
xfxxxLL
1
21212121
),,,;(),,,;,,,(),,,( ????????? ????
将其取对数,然后对
k
???,,,
21
?
求偏导数,得
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
0
),,,(ln
0
),,,(ln
21
1
21
k
k
k
L
L
?
???
?
???
?
?????????
?
该方程组的解
kixxx
nii
,,2,1),,,,(
??
21
?? ?? ??
,即为
i
?
的极
大似然估计值,
求极大似然估计的一般步骤归纳如下,
（ 1 ） 求似然函数 )( ?L ；
（ 2 ） 求出 )(ln ?L 及方程 0)(ln ??
? Ld
d ；
（ 3 ）解上述方程得到极大似然估计值
),,,(?? 21 nxxx ??? ?,
（ 4 ）解上述方程得到极大似然估计 量
),,,(?? 21 nXXX ??? ?,
,...2,1,0,!}{ ???
?
kkekXP
k ??
),.,,,,;()( 21 nxxxLL ?? ?
? ?
? ?
????
n
i
n
i
ii xxnL
1 1
)!l n (ln)(ln ???
? 例,设随机变量 X服从泊松分布,
其中 λ>0是一未知参数,求 λ的极大似然估计,
解 设 (x1,x2,…,x n)是样本 (X1,X2,…,X n)的一组观测值,
于是似然函数
两边取对数得
)
!
(
1
?? ?
?
?? ex
n
i i
x i ?
?
n
n
i
i
x
e
x
n
i
i
?
?
?
?
?
?
1
1
0
1)(ln
1
?
?
???
?
?
?
?
n
i
ixn
d
Ld
令
0
)(ln~
~
2
2
?
?
?
??
?? x
d
Ld
x 且
X~ ??从而得出 λ的极大似然估计量为
解这一方程得
例, 设总体 X 服从参数为 λ 的指数分布，其中 λ 未
知，
),,,( 21 nXXX ?
为从总体抽取 一个样本,),,,(
21 nxxx ?
为其样本观测值，试求参数 λ 的极大似然估计值和
估计量,
解 总体 X服从参数为 λ的指数分布，则有
?
?
?
?
?
?
?
?
?
00
0
);(
x
xe
xf
x??
?
所以似然函数为 ??
?
?
n
i
ix
n eL 1)(
?
??
取对数 ?
?
??
n
i
ixnL
1
ln)(ln ???
令
0)(ln
1
??? ?
?
n
i
ix
n
L
d
d
?
?
?
解得 λ的极大似然估计值为
x
x
n
n
i
i
1?
1
??
?
?
?
极大似然估计量为
X
X
n
n
i
i
1?
1
??
?
?
?
})x(
2
1e x p {
)2(
1)x,...,x,x;,(LL n
1i
2
i22/n2n21
2 ?
?
??
?
?
??
????
? 例,设 (X1,X2,…,X n)是来自正态总体 N(μ,σ2)的一
个样本,其中 μ,σ2是未知参数,参数空间 Θ={-∞< μ
<∞,σ2 >0}.求 μ与 σ2的极大似然估计,
解 正态分布的似 然函数为
?
?
??
?
??????
n
1i
2
i2
2 )x(
2
1
lnn2)2l n (
2
n
Lln
两边取对数得
由微积分知识易验证以上所求为 μ与 σ2的极大似然
估计,
?
?
?
?
?
?
?
???
?
?
?
??
??
?
???
?
?
??
?
?
?
?
?
n
i
i
n
i
i
x
nL
x
L
1
2
422
1
2
0)(
2
1
2
ln
0)(
1ln
分别求关于 μ与 σ2的偏导数,得似然方程组
?
?
?
?
?
?
?
???
???
?
?
?
?
2
n
1i
i
2
n
1i
i
)xx(
n
1~
xx
n
1~解这一方程组得
????
??
?
?
?
???
??? 0
,0
0,
1
);(
其他
x
xp
nixxxxL inn,...,2,1,0,1),...,,;( 21 ???? ?
?
?
n,...,2,1i,}x{m a xxx0 i
ni1)n(i
??????
??
}{m a x~
1 ini
x
??
??
}{m a x),...,,(~ 121 inin XXXX ????
? 例,设总体 X具有均匀分布,其概率密度函数为
求未知参数 θ的极大似然估计,
解 设 (X1,X2,…,X n)是来自总体 X的一个样本,似然
函数为
要使 L(θ; x1,x2,…,x n)达到最大,就要使 θ达到最小,由于
所以 θ的极大似然估计值为,
参数 θ的极大似然估计量为,
§ 2 估计量的评选标准
? 对于总体的同一个未知参数，由于采用
的估计方法不同，可能会产生多个不同
的估计量。这就提出了一个问题，当总
体的同一个参数存在不同的估计量时，
究竟采用哪一个更好？这涉及到用什么
样的标准来评价估计量的好坏问题，对
此，我们介绍几个常用的评价标准,无
偏性, 有效性 和 一致性 。
§ 2.1 无偏性
? 在评价一个估计量的好坏时,我们当然希望估计量
与被估参数越接近越好,但估计量是一个随机变量,
它的取值随样本的观测值而变,有时与被估参数的真
值近些,有时远些,我们只能从平均意义上看估计量
是否与被估参数尽量接近,最好是等于被估参数,于
是有无偏估计量的概念,
..),...,,(?
,)],...,,(?[
.),...,,(?:
21
21
21
否则称为有偏的无偏估计的为则称
若
的估计量为设定义
??
???
??
n
n
n
XXX
XXXE
XXX
????
???
?
?
?
?
?
?????
?
其他,0
0,0,
1
);(
??
??
x
xf
22
11
)(
0
2
0
?
??
?
?
???? ?
x
dxxXE
XX 2?,
2
?? ?? 即
????????
2
2)(2)(2)?( XEXEE由于
.2? 的无偏估计量是所以求得 ??? X
? 例,设总体 X具有均匀分布,其密度函数为
解
用矩法估计得
求 θ的无偏估计,
总体 X的均值
)1(
1
?
?
n
i
k
iXnE
? 例,设总体 X的 k阶矩 E(Xk)存在,证明样本的 k阶
矩是 E(Xk)的无偏估计,
证明
所以,证明样本的 k阶矩是 E(Xk)的无偏估计,
因为
)(1
1
?
?
?
n
i
k
iXEn
)( kXE?
)(1
1
?
?
?
n
i
k
iXEn
)(1
1
?
?
?
n
i
kXE
n
])(1[])(1[)(
1
22
1
2
2 ??
??
????
n
i
i
n
i
i XXnEXXnEBE
?
?
?
?
?
n
i
i XDXXnS
1
22,)()(
1
1 的无偏估计是
? 例,设总体的方差 D(X)存在,试证样本二阶中心
矩 B2是总体方差 D(X)的有偏估计,
证明
所以,B2是总体方差 D(X)的有偏估计,
? 注,
])[()(])[()1( 22
1
22 XEXEXEX
n
E
n
i
i ???? ?
?
22 )]([)()]([)( XEXDXEXD ????
)(1)(1)( XDnnXDnXD ????
§ 2.2 有效性
? 一个参数的无偏估计量不是唯一的,假若参数 θ
有两个无偏估计量,我们认为其观测值更密
集在参数 θ真值附近的一个较为理想,由于方差是
随机变量取值与其数学期望的偏离程度的度量,所
以无偏估计以方差小者为好,这就引出了估计量的
有效性这一概念,
.
??
,
??
,
),
?
()
?
(,
),...,,(
?
),...,,(
??
:定 义
21
21
21
21222111
有效比称
简有较高的效率比则称使不等式成立有一个
且至少有若对的无偏估计量都是
与设
??
???
????
????
??
????
???
DD
XXXXXX
nn
例, 设总体 X 服从参数为 λ 的泊松分布，
),,,( 21 nXXX ?
是来自该总体 X 的一个样本，其中,2?n
证明,( 1 ) X?
1
?? 和 ? ?
212
2
1?
XX ???
都是 λ 的无偏估计量 ;
( 2 )
1
?? 比
2
?? 更有效,
证明 由于总体服从泊松分布，故
?? ?? )(,)( XDXE
又由于 nXXX,,,21 ? 相互独立且都服从泊松分布
于是有
?
?
??
?
??? ?
?
n
i
iXnEXEE
1
1
1)()?( ? )(1
1
?
?
?
n
i
XEn ?? ??? n
n
1
同理
?? ??
?
??
?
? ??
2
)?( 212 XXEE
所以 1?? 和 2?? 都是 λ 的无偏估计量,
但是 )()?( 1 XDD ??
nn
XD ??? )(
22
)( ??? XD )
2
()?( 212 XXDD ???
由 2?n 得 )?()?(
21 ?? DD ?
从而 1?? 比 2?? 更有效
.?,?? 321 都有效较且 ???
)?()?()?( 321 ??? EEE ??显然有
1332121 ?;6
1
3
1
2
1?;? XXXXX ????? ???
? 例,设 (X1,X2,X3)是来自总体 X的一个样本,证明下面
的三个估计量都是总体均值 E(X)的无偏估计量
证明
3/)()()?( 1 XDXDD ???且
36/)(14)6/3/2/()?( 3212 XDXXXDD ?????
)()()?( 13 XDXDD ???
.?,??),?()?()?( 321321 有效较所以故有 ?????? DDD ??
§ 2.3 一致性
? 估计量的无偏性和有效性都是在样本容量固定的
前提下提出的,我们自然希望随着样本容量的增大,
一个估计量的值稳定于待估参数的真值,这就对估
计量提出了一致性的要求,
.),...,,(
?
0}|
?
{|lim
,0.),...,,(
?
,),;(:
21
21
一致估计的为参数则称
总有若对于任意的估计量为
为待估参数有概率函数设总体定义
??
???
???
??
n
n
n
XXX
P
XXX
xpX
???
?
???
??
一致估计量 的意义在于：只要样本容量足够大，
就可以使一致估计量与参数真实值之间的差异大于
ε 的概 率足够地小，也就是估计量可以用任意接近
于１的概率把参数真实值估计到任意的精度,
一致性 是点估计的大样本 性质，指的是：这种
性质是针对样本容量
???n
而言，对于一个固定的
样本容量 n,一致性是无意义的,
与此相对，无偏性和有效性的概念是对固定的
样本而言，不需要样本容量趋于无穷，这种性质也
称为“小样本性质”,
§ 3 参数的区间估计
点估计有使用方便、直观等优点,但他并没有提
供关于估计精度的任何信息,为此提出了未知参
数的区间估计法,
例 对明年小麦的亩产量作出估计为,
即 若设 X表示明年小麦亩产量,则估计结果为
P(800≤X≤1000)=80%
明年小麦亩产量八成为 800-1000斤,
区间估计
对应总体的某一个样本观测值，我们可以得到点估计
量
?
? 的一个观测值，但是它仅仅是参数 θ 的一个近似值,
由于
?
? 是一个随机变量，它会随着样本的抽取而随机
变化，不会总是和 θ 相等，而存在着或大、或小，或正、
或负的误差, 即便点估计量具备了很好的性质，但是它本
身无法反映这种近似的精确度，且无法给出误差的范围,
为了弥补这些不足，我们希望估计出一个范围，并知
道该范围包含真实值的可靠程度, 这样的范围通常以区
间的形式给出，同时还要给出该区间包含参数 θ 真实值
的可靠程度, 这种形式的估计称之为 区间估 计,
.,
1,
1),(
1)},...,,(),...,,({
,
,10,,
),...,,(,
),,(:
2121
21
称为置信水平置信上限
的置信一下限和分别称为置信度为和间
的置信区的置信度为为参数则称区间
使得量
存在两个统计若对于事先给定的本
的一个样为取自这个总体参数
为未知具有概率函数设总体定义
?
???
????
????
??
??
?
?
????
??
?
nn
n
XXXXXXP
XXXX
xpX
.,"
],[",1
)],...,,(),,...,,([
:
2121
??
?????
??
??
则犯错误的概率为的真值含着参数
包区间因此若认为的真值的概率为
包含参数区间
随机解释为的区间估计的意义可以参数
nn
XXXXXX
.1
],[],,[
1,
???
????
?????
的概率包含
以而只能说区间的概率落入随机区间
以所以不能说参数不是随机变量由于
.
1)),...,,(),,...,,((
,,
)),,...,,(),,...,,((
2121
2121
?
????
??
??
?
参数
包含以概率
不能说区间要么没有包含参数含了参数
要么包的区间
得到的一个确定对于一次具体的抽样所
nn
nn
xxxxxx
xxxxxx
.)%1(100
)),,...,,(),,...,,((
,
2121
???
??
?
的区间包含未知参数大约有
这些区间中
将得到许多不同的区间在重复取样下
nn
xxxxxx
评价一个置信区间的好坏有两个要素,
一是其精度，显然这可以用区间的长度来刻划，
长度越大，精度越低,
另一个要素是置信度
??1
,在样本容量 n 固定
时，当置信度
??1
增大,此时置信区间的长度变大,
也就是说，置信区间的置信度越高，则精度越低,
反之，精度越高则置信度越低,
对于给定的
?
，我们可以取适当大的样本容量
n,从而保证置信区间的长度具有预先给定的较小的
长度,
对于给定的置信度 ??1,怎样根据样本来确定
未知参数 θ 的置信区间 )?,?(
21 ??
,就是参数 θ 的区间估
计问题, 求未知参数 θ 的置信区间的步骤 如下,
( 1 ) 构造一个含有未知参数 θ 而不含有其他未
知参数的样本函数 ( 随机变量 ) ),,,,(
21 ?nXXXWW ??
，
且已知其分布,
( 2 ) 对给定的置信度 ??1,根据 );,,,(
21 ?nXXXW ?
的分布定出分位点 a 和 b,使得
? ? ????? 1),,,( 21 bXXXWaP n?
( 3 ) 从不等式 bXXXWa
n ?? );,,(,21 ??
中解出 θ,得
出其等价形式
? ? ? ?
nn XXXXXX,,,
?,,,?
212211 ?? ??? ??
这时必有
? ? ???? ???? 1),,,(?),,,(? 212211 nn XXXXXXP ??
于是 )?,?( 21 ?? 即为 θ 的置信度为 ??1 的置信区间,
§ 3.1 正态总体均值 μ的区间估计
设
),,,(
21 n
XXX ?
为来自正态总体
),(
2
??N
的一
个样本,μ 是未知参数，样本均值和样本方差分别
为,
?
?
?
n
i
i
X
n
X
1
1
? ?
?
?
?
?
?
n
i
i
XX
n
S
1
2
2
1
1
§ 3.1.1 方差已知时均值的区间估计
由总体服从正态分布可得 )1,0(~
/
N
n
XU
?
???
使得查分位点对于给定的置信度,,1 2/?? u?
?? ??? 1}|{| 2/uUP
0
?/2
u?/2
?/2
?u?/2
?
?
?
? ??
?
?
?
?
?
?
?
?
1
/
2/u
n
X
P
得到
从而
???? ?? ??
?
?
?
?
?
? ???? 1
2/2/ unXunXP
置信区间为的这样得到了置信度为 ???1
),( 2/2/
n
uX
n
uX
??
?? ??
? 例,设轴承内环的锻压零件的平均高度 X服从正态分
布 N(μ,0.42).现在从中抽取 20只内环,其平均高度为
32.3毫米,求内环平均高度的置信度为 95%的置信区间,
96.1)975.0(,95.01 0 2 5.02/ ?????? uu ?? 查表得
解
算得又,20,4.0,3.32 ??? nx ?
12.32
20
4.096.13.32
2/ ????? nux
?
?
48.32
20
4.096.13.32
2/ ????? nux
?
?
)48.32,12.32(%95 的置信区间为的一个置信度为所以 ?
例, 已 知 某 工 厂 生 产 的 某 种 零 件 其 长 度
)06.0,(~ ?NX,现从某日生产的一批零件中随机抽
取 6 只,测得直径的数据（单位,mm ） 为
1.15,2.15,8.14,9.14,1.15,6.14
试求该批零件长度的置信度为 0, 9 5 置信区间,
解 06.0?? 6?n 经计算可得
95.14?x
,96.1025.02/ ?? uu ?
查表得
从
而 75.1496.1606.095.142/ ????? ?? unx
15.1596.1
6
06.095.14
2/ ????? ?
? u
n
x
故所求置信区间为
?
?
??
?
? 15.15,75.14
例, 已知幼儿身高服从正态分布，现从 5~6岁的幼
儿中随机地抽查了 9人，其高度分别为,
115,120,131,115,109,115,115,105,110cm;；，置信度为假设标准差 %9570 ??
的置信区间。试求总体均值 ?
由样本值算得已知,05.0,9,70 ??? ?? n
.1 1 5)1 1 01 2 01 1 5(
9
1 ????? ?x
，由此得置信区间：查正态分布表得临界值 96.1??
)57.119,43.110()9/796.1115,9/796.1115( ?????
解
§ 3.1.2 方差未知时均值的区间估计
.1,
,),(),...,,(
2
2
21
的置信区间的置信度为要求为未知常数
的样本是取自正态总体设
???
??
?
? NXXX n
?
?
?
?
?
?
????
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
1)}1(|
/
{|
),1(
,1,)(
1
1
)1(~
/
2/
2/
1
22
nt
nS
X
P
nt
tXX
n
S
nt
nS
X
T
n
i
i
使得布表查出
分由对给定的置信其中
由于这时
0
?/2 ?/2
?t?/2(n?1) t?/2(n?1)
??
??
???????? 1})1()1({
2/2/
n
S
ntX
n
S
ntXP
经过变形得
))1(,)1((
1
2/2/
n
S
ntX
n
S
ntX ????
?
??
?? 的置信区间为的置信度为这样得到了
例, 设有一批胡椒粉，每袋净重 X （单位：克）服从
正态分布, 从中任取８袋，测得 净 重分别为：
1.12,4.121.12,9.11,3.12,4.12,9.11,1.13
,试求 μ 的置信度
为 0, 9 9 的 置信区间,
解 经计算得
04.0,15.12 2 ?? sx,8?n
查表可得 4 9 9 5.3)7()1(
0 0 5.02/ ??? tnt ?
从而
90.114995.0
8
04.015.12)1(
2/ ?????? ntn
sx
?
40.124995.0
8
04.015.12)1(
2/ ?????? ntn
sx
?
所以 μ的置信度为 0.99置信区间是 ? ?40.12,90.11
例, 用仪器测量温度，重复测量 7次，测得温度分
别为,115,120,131,115,109,115,115,105,110cm;
设温度
).,(~ 2??NX
.%95 在范围时，试求温度的真值所在置信度为
.是测量值是温度的真值，设 x?
由样本值算得：已知,05.0,7 ?? ?n
.29.1,8.112 2 ?? Sx
。由此得置信区间：得临界值查 447.2)05.0,6( ??t
)85.113,75.111(
)
7
29.1
447.28.112,
7
29.1
447.28.112(
?
??
解
§ 3.2 正态总体方差的区间估计
§ 3.2.1 均值已知时方差的区间估计
.1,
,),(),...,,(
2
0
2
21
的置信区间的置信度为要求为已知常数
的样本是取自正态总体设
?????
???? NXXX n
????
??
??
?
?
?
?
??
??
????
?
?
??
?
?
?
?
1)}()({
),()(
,1
)(~
)(
2
2/
22
2/1
2
2/1
2
2/
2
2
2
1
2
0
2
nnP
nn
n
X
n
i
i
使得和
分布表得两个分位点查对于给定的置信度
由于这时
?/2
)1(2 2/ ?n??)1(2 2/1 ?? n??
?/2
?
?
?
?
?
?
??
??
?
??
?
?
??
??
1}
)(
)(
)(
)(
{
2
2/1
1
2
0
2
2
2/
1
2
0
n
X
n
X
P
n
i
n
i
经过变形得
)
)(
)(
,
)(
)(
(
1
2
2/1
1
2
0
2
2/
1
2
0
2
n
X
n
X
n
i
n
i
??
?
?
?
?
??
?
??
?? ??
? 的置信区间为的置信度为这样得到了
§ 3.2.2 均值未知时方差的区间估计
.1,
,),(),...,,(
2
2
21
的置信区间的置信度为要求为未知常数
的样本是取自正态总体设
???
??
?
? NXXX n
????
??
??
?
?
?
??
??
??????
??
?
?
?
?
?
?
?
1)}1()1({
),1()1(
,1
)1(~
)1(
2
2/
22
2/1
2
2/1
2
2/
2
2
2
2
2
nnP
nn
n
Sn
使得和
分布表得两个分位点查对于给定的置信度
由于这时
?
?
?
?
??
??
?
?
??
?
?
?
1}
)1(
)1(
)1(
)1(
{
2
2/1
2
2
2
2/
2
n
Sn
n
Sn
P
经过变形得
?/2
)1(2 2/ ?n??)1(2 2/1 ?? n??
?/2
)
)1(
)1(
,
)1(
)1(
(
1
2
2/1
2
2
2/
2
2
?
?
?
?
?
?
n
Sn
n
Sn
??
??
?? 的置信区间为的置信度为这样得到了
例, 设高速公路上汽车的速度服从正态分布，现对
汽车的速度独立地作了 5 次测试，求得这 5 次测试
值的方差 22 )/(09.0 sms ?, 求汽车速度的方差 2? 的置信
度为 0, 9 的置信区间,
解 由题意得 1.0,9.01,5 ???? ??n
查表得 4 8 7 7.9)4()4( 2 05.02 2/ ?? ?? ? 7107.0)4()4( 2 95.02 2/1 ??? ?? ?
算
得
? ?
038.0
4877.9
09.04
)1(
)1(
)1( 2 2/
2
2
2/
1
2
?
?
?
?
?
?
?
??
?
n
sn
n
XX
n
i
i
?? ??
? ?
506.0
7107.0
09.04
)1(
)1(
)1( 2 2/1
2
2
2/1
1
2
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
n
sn
n
XX
n
i
i
?? ??
所求置信区间为
(0.038,0.506)
例, 设某机床加工的零件长度
，),(~ 2??NX
今抽查 16个零件，测得长度（单位,mm）如下,
12.15,12.12,12.01,12.08,
12.09,12.16,12.03,12.01,
12.06,12.13,12.07,12.11,
12.08,12.01,12.03,12.06,
在置信度为 95%时，试求总体方差 的置信区间, 2?
由样本值算得：已知,05.0,16 ?? ?n
.0 0 2 4 4.02 ?S
由此得置信区间：
得查得查,5.27)025.0,15(;26.6)975.0,15( 2212 ?? ????
? ?0058.0,0013.0
26.6
0 0 2 4 4.015
,
5.27
0 0 2 4 4.015
??
?
?
?
?
? ??
解
§ 3.3 两个正态总体均值差的区间估计
设 有 两 个 正 态 总 体
),(~
2
11
??NX
,
),(~
2
22
??NY
，
),,,(
1
21 n
XXX ?
和
),,,(
2
21 n
YYY ?
是分别
来自 X 和 Y 的两个独立样本，其样本均值和样本
方差分别为
,
1
1
11
?
?
?
n
i
i
X
n
X
? ?
2
11
2
1
1
1
1
?
?
?
?
?
n
i
i
XX
n
S
,1
2
12
?
?
?
n
j
j
Y
n
Y ? ?
2
12
2
2
2
1
1
?
?
?
?
?
n
j
j
YY
n
S
§ 3.3, 1 设 21? 和 22? 都未知，但 22221 ??? ??
由于样本函数 )2(~
11
)(
21
21
21 ??
?
???
? nnt
nn
S
YX
T
W
??
其中
2
)1()1(
21
2
22
2
112
??
???
?
nn
SnSn
S W
对于给定的置信度 1-α有 ? ? ?
? ????? 1)2( 212/ nntTP
即 ??? ? ??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
???
?
???
1)2(
11
)(
212/
21
21 nnt
nn
S
YX
P
W 置信区间为
? ? ? ? ??
?
?
???
?
??????????
21
212/
21
212/
11)2(,11)2(
nn
SnntYX
nn
SnntYX WW ??
例, 随机地从甲、乙两厂生产的蓄电池中抽取一些
样本，测得蓄电池的电容量
)( hA ?
如下
甲厂：
137,138,143,141,142,138,141,144
乙厂：
136,142,138,140,141,138,140,139,143,142
设两厂生产的蓄电池电容量分别服从正态总体
),(
2
11
??N
，
),(
2
22
??N
，两样本独立，若已知 22
2
2
1
??? ??
，
但 2? 未知, 求
21
?? ?
的 置信度为 0, 9 5 的置信 区间,
1199.2)16(,05.0,36.2
16
97
0 2 5.0
2
2
2
1 ????? tsss
w ?
故
21 ?? ?
的置信度为 0.9 5 的 置 信 区 间 为
( - 1,77,2,97 ) )( hA ?,
解
10,8 21 ?? nn
求得
57.6,5.140 21 ?? sx 77.4,9.1 3 9
2
2 ?? sy
§ 3.3, 2 设 21? 和 22? 都 已 知
由于样本函数
)1,0(~
)()(
2
2
2
1
2
1
21
N
nn
YX
U
??
??
?
???
?
对于已给的置信度 ??1,存在 2/?u,使得
? ? ?? ??? 12/uUP
? ? ? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
??????
2
2
2
1
2
1
2/
2
2
2
1
2
1
2/,nnuYXnnuYX
????
??
由此解得 21 ?? ? 的置信度为 ??1 的置信区间是
例, 随机地从甲、乙两厂生产的蓄电池中抽取一些
样本，测得蓄电池的电容量
)( hA ?
如下
甲厂：
137,138,143,141,142,138,141,144
乙厂：
136,142,138,140,141,138,140,139,143,142
设两厂生产的蓄电池电容量分别服从正态总体
),(
2
11
??N
，
),(
2
22
??N
,两 样 本 独 立, 若 已 知
25.2,45.2
2
2
2
1
?? ??
，求
21
?? ?
的置信度为 0, 9 5 的置信
区间,
故
21 ?? ?
的置信度为 0.9 5 的 置 信 区 间 为
( - 0, 82 86,2,02 9 ) )( hA ?,
解 96.110,8
025.02/21 ???? uunn ?
求得,5.140?x
9.139?y
42858.1
10
25.2
8
45.2
96.1
2
2
2
1
2
1
2/ ????? nnu
??
?
6.0?? yx
§ 3.4 两个正态总体方差之比的区间估计
设 222121,,,???? 都未知，此时由于样本函数
)1,1(~
/
/
212
2
2
2
2
1
2
1 ??? nnF
S
S
F
?
?
对于已给的置信度 ??1,有
? ? ??? ????????? 1)1,1()1,1( 212/212/1 nnFFnnFP
?
?
?
?
?
?
?
?
???? ? )1,1(
/
,
)1,1(
/
212/1
2
2
2
1
212/
2
2
2
1
nnF
SS
nnF
SS
??
由此解得 2
2
2
1
?
? 的置信度为
??1 的置信区间是
例, 随机地从甲、乙两厂生产的蓄电池中抽取一些
样本，测得蓄电池的电容量
)( hA ?
如下
甲厂：
137,138,143,141,142,138,141,144
乙厂：
136,142,138,140,141,138,140,139,143,142
设两厂生产的蓄电池电容量分别服从正态总体
),(
2
11
??N
，
),(
2
22
??N
，两样本独立, 若 两个总体的方差
2
2
2
1
?? ?
,现求
2
2
2
1
?
?
的置信度为 0, 9 5 的置信区间,
故 此算得
2
2
2
1
?
? 的置信度为 0.95 的置信区间为
(0,33,6.5 6),
解
10,8 21 ?? nn
求得
57.6,5.140 21 ?? sx 77.4,9.1 3 9
2
2 ?? sy
查表得
,20.4)9,7(025.0 ?F
21.0
82.4
1
)7,9(
1
)9,7(
0 2 5.0
9 7 5.0 ??? FF
计算得
§ 3.5 单侧置信区间
在上述讨论中,对于未知参数
?
,我们给出两个
统计量
?
,?,得到 ? 的双侧置信区间 (
?
,? ),但在
一些实际问题中,例如,对于设备,元件的寿命来
说,平均寿命长是我们所希望的,我们关心的是平
均寿命 ? 的 " 下限 ",与此相反,在考虑化学药品中
杂质含量的均值 EX 时,我们常关心参数 EX 的 " 上限
",这就引出了单侧置信区间的概念,
对于给定值 ? (0< ? <1),若由样本
),,,( 21 nXXX ?
确定
的统计量
),,,( 21 nXXX ??? ?
,对于任意 ? ? ? 满足
P { ? >
?
} ? 1 - ?,
称随机区间 (
?
,? ) 是 ? 的置信水平为 1 - ? 的 单侧置信
区间,
?
称为 ? 的置信水平为 1 - ? 的 单侧置信下限,
对于给定值 ? (0< ? <1),若由样本
),,,( 21 nXXX ?
确定的
统计量
),,,( 21 nXXX ??? ?
,对于任意 ? ? ? 满足
P { ? ? ? } ? 1 - ?,
称随机区间 ( - ?, ? ) 是 ? 的置信水平为 1 - ? 的 单侧置信
区间,? 称为 ? 的置信水平为 1 - ? 的 单侧置信 上 限,
例, 从一批灯泡中随机地取 5 只做寿命测试，测得
寿命（以小时计）为
1 0 5 0, 1 1 0 0, 1 1 2 0, 1 2 5 0, 1 2 8 0,
设灯泡寿命服从正态分布，求灯泡寿命平均值的置
信度为 0, 9 5 的单侧置信下限,
解
)1(~
/
??? nt
ns
Xt ?此时
于是
?? ? ??
?
?
?
?
?
? ??? 1)1(
/
nt
ns
XP ??
? ????
?
?
?
? ??? 1)1( nt
n
sXP
1318.2)4(,9950,1160,5,95.01 05.02 ?????? tsxn?
??? )1( nt
n
sx
? 1 3 1 8.2
5
9 9 5 01 1 6 0 ?? 1065?
在实际问题中，经常遇到随机变量 X （即总体 X ）
的分布函数的形式已知，但它的一个或者多个参数未
知的情形，此时写不出确切的概率密度函数, 若通过简
单 随 机 抽 样,得到 总 体 X 的 一 个 样 本 观 测值
),,,(
21 n
xxx ?
，我们自然会想到利用这一组数据来估计
这一个或多个未知参数, 诸如此类，利用样本去估计总
体未知参数的问题，称为 参 数 估 计 问 题, 参数估计问题
有两类，分别是 点 估 计 和 区 间 估 计,
?
X~P(λ),X~E(λ),X~N(μ,σ2)
用所获得的样本值去估计参数取值称为 参数估计,
参
数
估
计
?
点估计
区间估计
用某一数值作为
参数的近似值
?
在要求的精度范围内
指出参数所在的区间
参数估计的基本思想
§ 1 参数的点估计
设总体 X 的分布函数
);( ?xF
形式已知，其中 θ
是待估计的参数，点估计问题就是利用样本
),,,(
21 n
XXX ?
，构造一个统计量
),,,(??
21 n
XXX ??? ?
来估
计 θ,我们称
),,,(?
21 n
XXX ??
为 θ 的 点 估 计 量,它是
一个随机变量。将样本观测值
),,,(
21 n
xxx ?
代入估计
量
),,,(?
21 n
XXX ??
,就 得 到 它 的 一 个 具 体 数 值
),,,(?
21 n
xxx ??
，这个数值称为 θ 的 点 估 计 值,
§ 1.1 矩估计法
? 设 (X1,X2,…,Xn)是来自总体 X的一个样本,根据
大数定律,对任意 ε>0,有
0}|)({|lim ????
??
XEXP
n
并且对于任何 k,只要 E(Xk)存在,同样有
,...2,1,0}|)(
1
{|lim
1
?????
?
??
kXEX
n
P k
n
i
n
in ?
因此,很自然地想到用样本矩来代替总体矩,从而
得到总体分布中参数的一种估计,
? 定义：用样本矩来代替总体矩,从而得到总体
分布中参数的一种估计,这种估计方法称为 矩法估
计,它的思想实质是用样本的经验分布和样本矩去
替换总体的分布和总体矩,今后称之为 替换原则,
? 设总体 X具有已知类型的概率函数
p(x;θ 1,…,θ k),(θ 1,…,θ k)∈Θ 是 k个未知参
数,(X1,X2,…,Xn)是来自总体 X的一个样本,假若 X的
k阶矩 γ k=E(Xk)存在,则对于 i≤k,E(X i)都存在,并
且是 (θ 1,…,θ k)的函数 γ i (θ 1,…,θ k),
得到含有未知参数 (θ 1,…,θ k)的 k个方程,解这 k
个联立方程组就可以得到 (θ 1,…,θ k)的一组解,
?
?
?
?
?
?
?
???
???
???
),...,,(??
......,,,,,,,,,.,,,,,,,,,.,,,,,,,,,
),...,,(??
),...,,(??
21
2122
2111
nkk
n
n
XXX
XXX
XXX
用上面的解来估计参数 θ i就是矩法估计,
?
?
?
?
?
?
?
??
??
??
kkk
k
k
k
AXE
AXE
AXE
),.,,,,()(
..,,,,,,,,,.,,,,,,,,,.,,,,,,,,,
),.,,,,()(
),.,,,,()(
21
2212
2
1211
????
????
????
设
例, 设总体 X 服从泊松分布 )( ??,参数 λ 未知，
),,,( 21 nXXX ? 是来自总体的一个样本，求参数 λ 的矩
估计量,
解 总体 X的期望为
??)( XE
从而得到方程
?
?
?
n
i
iXn
1
1?
所以 λ的矩估计量为
XX
n
n
i
i ?? ?
? 1
1?
?
例, 设总体 X 服从参数为 λ 的指数分布，其中参
数 λ 未知,),,,(
21 nXXX ?
是来自总体的一个样本，
求参数 λ 的矩估计量,
??
?
?
?
?
?
?
?
0,0
0,
),(
x
xe
xf
x??
?
解 其概率密度函数为
总体 X的期望为
?
? ? 1)(
0
?? ? ?? ? dxexXE x
从而得到方程 ?
?
?
n
i
iXn
1
11
?
X
X
n
i
i
11?
1
??
?
?
?
所以 λ的矩估计量为
例, 设总体 X 的均值 μ 和方差 2? 都存在，且 02 ??,
但 μ 和 2? 均未知，又设 ),,,(
21 nXXX ?
是来自总体的
一个样本，求 μ 和 2? 的矩估计量,
解 由于
? ???
?
????
?
2222 )()()(
)(
??
?
XEXDXE
XE
故令
??
?
?
?
??
?
?
?
22
1
21 ??
?
n
i
iX
n
X
解得 μ 和 2? 的矩估计量分别为
??
?
?
?
????
?
??
??
n
i
i
n
i
i XX
n
XX
n
X
1
22
1
22 )(11?
?
?
?
例, 设某炸药厂一天中发生着火现象的次数 X服从
（用矩法）。试估计参数
未知，有以下样本值；的泊松分布，参数为
?
??
? ? 25012622549075
6543210
knk
k
次着火天数发生
着火的次数
?
?
???
n
i
i XX
n
AEX
1
1
1
?
22.1)16901750(
2 5 0
1
?
,
?????????
?
?x
X
?
?
则
令
。估计值所以 22.1?,?? ??X
解
§ 1.2 极大似然估计法
? 极大似然原理的直观想法是,一个随机试验
如有若干个可能的结果 A,B,C,?,若在一次试
验中,结果 A出现,则一般认为 A出现的概率最
大,也即试验条件对 A出现有利,或者说在试验
的很多可能条件中，认为应该是使事件 A发生
的概率为最大的那种条件存在,
极大似然估计的基本思想
kkk ppCkXP ???? 3
3 )1()(
X 0 1 2 3
P = 1 / 4 时 P{ X = k } 2 7 / 6 4 2 7 / 6 4 9 / 6 4 1 / 6 4
P = 3 / 4 时 P{ X = k } 1 / 6 4 9 / 6 4 2 7 / 6 4 2 7 / 5 4
? 例：假若一个盒子里有许多白球和红球,而且已
知它们的数目之比是 3:1,但不知是白球多还是红球
多,设随机地在盒子中取一球为白球的概率是 p.如
果有放回地从盒子里取 3个球,那么白球数目 X服从
二项分布
如果样本中白球数为 0,则应估计 p=1/4,而不估计
p=3/4.因为具有 X=0的样本来自 p=1/4的总体的可
能性比来自 p=3/4的总体的可能性要大,一般当
X=0,1时,应估计 p=1/4;而当 X=2,3时,应估计 p=3/4,
定义, 设总体 X 的分布类型已知,但含有未知参数 θ,
( 1 ) 设离散型总体 X 的概率分布律为
);( ?xp
，则样本
),,,(
21 n
XXX ?
的联合分布律
?
?
?
n
i
in
xpxpxpxp
1
21
);();();();( ???? ?
称为 似然函数,并记之为
?
?
??
n
i
in
xpxxxLL
1
21
);();,,,()( ??? ?
,
( 2 ) 设连续型总体 X 的概率密度函数为
);( ?xf
，则样本
),,,(
21 n
XXX ?
的联合概率密度函数
?
?
?
n
i
in
xfxfxfxf
1
21
);();();();( ???? ?
仍称为 似然函数,并记之为
?
?
??
n
i
in
xfxxxLL
1
21
);();,,,()( ??? ?
,
定义, 设总体的分布类型已知,但含有未知参数 θ,
( 1 ) 设
),,,(
21 n
xxx ?
为总体 X 的一个样本 观察值,若似
然函数
)( ?L
在
),,,(??
21 n
xxx ??? ?
处取到最大值，则称
),,,(?
21 n
xxx ??
为 θ 的 极大似然估计值,
(2 ) 设
),,,(
21 n
XXX ?
为总体 X 的一个样本,若
),,,(?
21 n
xxx ??
为 θ 的 极大似然估计值,则称
),,,(?
21 n
XXX ??
为 参
数θ 的 极大似然估计 量,
设总体的分布类型已知,但含有未知参数 θ, 设
),,,( 21 nxxx ? 为总体 X 的一个样本 观察值,若似然函数
)( ?L 关 于 θ 可 导,
0)( ??
?
L
d
d令
解此方程得 θ 的 极大似然估计值 ),,,(?
21 nxxx ??
,
从而得到θ 的 极大似然估计量 ),,,(?
21 nXXX ??
,
因为 )( ?L 与 )(ln ?L 具 有 相 同 的 最 大 值 点
解方程 0)(ln ??
?
L
d
d 也可 得 θ 的 极大似然估计值
),,,(? 21 nxxx ?? 和 θ 的 极大似然估计量 ),,,(? 21 nXXX ??,
设总体的分布类型已知,但含有 多个未知参数
k
???,,,
21
?
，这时总体的概率函数为
),,,;(
21 k
xf ??? ?
,设
),,,(
21 n
xxx ?
为总体 X 的一个样本观察值,若似然函数
?
?
??
n
i
kikkk
xfxxxLL
1
21212121
),,,;(),,,;,,,(),,,( ????????? ????
将其取对数,然后对
k
???,,,
21
?
求偏导数,得
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
0
),,,(ln
0
),,,(ln
21
1
21
k
k
k
L
L
?
???
?
???
?
?????????
?
该方程组的解
kixxx
nii
,,2,1),,,,(
??
21
?? ?? ??
,即为
i
?
的极
大似然估计值,
求极大似然估计的一般步骤归纳如下,
（ 1 ） 求似然函数 )( ?L ；
（ 2 ） 求出 )(ln ?L 及方程 0)(ln ??
? Ld
d ；
（ 3 ）解上述方程得到极大似然估计值
),,,(?? 21 nxxx ??? ?,
（ 4 ）解上述方程得到极大似然估计 量
),,,(?? 21 nXXX ??? ?,
,...2,1,0,!}{ ???
?
kkekXP
k ??
),.,,,,;()( 21 nxxxLL ?? ?
? ?
? ?
????
n
i
n
i
ii xxnL
1 1
)!l n (ln)(ln ???
? 例,设随机变量 X服从泊松分布,
其中 λ>0是一未知参数,求 λ的极大似然估计,
解 设 (x1,x2,…,x n)是样本 (X1,X2,…,X n)的一组观测值,
于是似然函数
两边取对数得
)
!
(
1
?? ?
?
?? ex
n
i i
x i ?
?
n
n
i
i
x
e
x
n
i
i
?
?
?
?
?
?
1
1
0
1)(ln
1
?
?
???
?
?
?
?
n
i
ixn
d
Ld
令
0
)(ln~
~
2
2
?
?
?
??
?? x
d
Ld
x 且
X~ ??从而得出 λ的极大似然估计量为
解这一方程得
例, 设总体 X 服从参数为 λ 的指数分布，其中 λ 未
知，
),,,( 21 nXXX ?
为从总体抽取 一个样本,),,,(
21 nxxx ?
为其样本观测值，试求参数 λ 的极大似然估计值和
估计量,
解 总体 X服从参数为 λ的指数分布，则有
?
?
?
?
?
?
?
?
?
00
0
);(
x
xe
xf
x??
?
所以似然函数为 ??
?
?
n
i
ix
n eL 1)(
?
??
取对数 ?
?
??
n
i
ixnL
1
ln)(ln ???
令
0)(ln
1
??? ?
?
n
i
ix
n
L
d
d
?
?
?
解得 λ的极大似然估计值为
x
x
n
n
i
i
1?
1
??
?
?
?
极大似然估计量为
X
X
n
n
i
i
1?
1
??
?
?
?
})x(
2
1e x p {
)2(
1)x,...,x,x;,(LL n
1i
2
i22/n2n21
2 ?
?
??
?
?
??
????
? 例,设 (X1,X2,…,X n)是来自正态总体 N(μ,σ2)的一
个样本,其中 μ,σ2是未知参数,参数空间 Θ={-∞< μ
<∞,σ2 >0}.求 μ与 σ2的极大似然估计,
解 正态分布的似 然函数为
?
?
??
?
??????
n
1i
2
i2
2 )x(
2
1
lnn2)2l n (
2
n
Lln
两边取对数得
由微积分知识易验证以上所求为 μ与 σ2的极大似然
估计,
?
?
?
?
?
?
?
???
?
?
?
??
??
?
???
?
?
??
?
?
?
?
?
n
i
i
n
i
i
x
nL
x
L
1
2
422
1
2
0)(
2
1
2
ln
0)(
1ln
分别求关于 μ与 σ2的偏导数,得似然方程组
?
?
?
?
?
?
?
???
???
?
?
?
?
2
n
1i
i
2
n
1i
i
)xx(
n
1~
xx
n
1~解这一方程组得
????
??
?
?
?
???
??? 0
,0
0,
1
);(
其他
x
xp
nixxxxL inn,...,2,1,0,1),...,,;( 21 ???? ?
?
?
n,...,2,1i,}x{m a xxx0 i
ni1)n(i
??????
??
}{m a x~
1 ini
x
??
??
}{m a x),...,,(~ 121 inin XXXX ????
? 例,设总体 X具有均匀分布,其概率密度函数为
求未知参数 θ的极大似然估计,
解 设 (X1,X2,…,X n)是来自总体 X的一个样本,似然
函数为
要使 L(θ; x1,x2,…,x n)达到最大,就要使 θ达到最小,由于
所以 θ的极大似然估计值为,
参数 θ的极大似然估计量为,
§ 2 估计量的评选标准
? 对于总体的同一个未知参数，由于采用
的估计方法不同，可能会产生多个不同
的估计量。这就提出了一个问题，当总
体的同一个参数存在不同的估计量时，
究竟采用哪一个更好？这涉及到用什么
样的标准来评价估计量的好坏问题，对
此，我们介绍几个常用的评价标准,无
偏性, 有效性 和 一致性 。
§ 2.1 无偏性
? 在评价一个估计量的好坏时,我们当然希望估计量
与被估参数越接近越好,但估计量是一个随机变量,
它的取值随样本的观测值而变,有时与被估参数的真
值近些,有时远些,我们只能从平均意义上看估计量
是否与被估参数尽量接近,最好是等于被估参数,于
是有无偏估计量的概念,
..),...,,(?
,)],...,,(?[
.),...,,(?:
21
21
21
否则称为有偏的无偏估计的为则称
若
的估计量为设定义
??
???
??
n
n
n
XXX
XXXE
XXX
????
???
?
?
?
?
?
?????
?
其他,0
0,0,
1
);(
??
??
x
xf
22
11
)(
0
2
0
?
??
?
?
???? ?
x
dxxXE
XX 2?,
2
?? ?? 即
????????
2
2)(2)(2)?( XEXEE由于
.2? 的无偏估计量是所以求得 ??? X
? 例,设总体 X具有均匀分布,其密度函数为
解
用矩法估计得
求 θ的无偏估计,
总体 X的均值
)1(
1
?
?
n
i
k
iXnE
? 例,设总体 X的 k阶矩 E(Xk)存在,证明样本的 k阶
矩是 E(Xk)的无偏估计,
证明
所以,证明样本的 k阶矩是 E(Xk)的无偏估计,
因为
)(1
1
?
?
?
n
i
k
iXEn
)( kXE?
)(1
1
?
?
?
n
i
k
iXEn
)(1
1
?
?
?
n
i
kXE
n
])(1[])(1[)(
1
22
1
2
2 ??
??
????
n
i
i
n
i
i XXnEXXnEBE
?
?
?
?
?
n
i
i XDXXnS
1
22,)()(
1
1 的无偏估计是
? 例,设总体的方差 D(X)存在,试证样本二阶中心
矩 B2是总体方差 D(X)的有偏估计,
证明
所以,B2是总体方差 D(X)的有偏估计,
? 注,
])[()(])[()1( 22
1
22 XEXEXEX
n
E
n
i
i ???? ?
?
22 )]([)()]([)( XEXDXEXD ????
)(1)(1)( XDnnXDnXD ????
§ 2.2 有效性
? 一个参数的无偏估计量不是唯一的,假若参数 θ
有两个无偏估计量,我们认为其观测值更密
集在参数 θ真值附近的一个较为理想,由于方差是
随机变量取值与其数学期望的偏离程度的度量,所
以无偏估计以方差小者为好,这就引出了估计量的
有效性这一概念,
.
??
,
??
,
),
?
()
?
(,
),...,,(
?
),...,,(
??
:定 义
21
21
21
21222111
有效比称
简有较高的效率比则称使不等式成立有一个
且至少有若对的无偏估计量都是
与设
??
???
????
????
??
????
???
DD
XXXXXX
nn
例, 设总体 X 服从参数为 λ 的泊松分布，
),,,( 21 nXXX ?
是来自该总体 X 的一个样本，其中,2?n
证明,( 1 ) X?
1
?? 和 ? ?
212
2
1?
XX ???
都是 λ 的无偏估计量 ;
( 2 )
1
?? 比
2
?? 更有效,
证明 由于总体服从泊松分布，故
?? ?? )(,)( XDXE
又由于 nXXX,,,21 ? 相互独立且都服从泊松分布
于是有
?
?
??
?
??? ?
?
n
i
iXnEXEE
1
1
1)()?( ? )(1
1
?
?
?
n
i
XEn ?? ??? n
n
1
同理
?? ??
?
??
?
? ??
2
)?( 212 XXEE
所以 1?? 和 2?? 都是 λ 的无偏估计量,
但是 )()?( 1 XDD ??
nn
XD ??? )(
22
)( ??? XD )
2
()?( 212 XXDD ???
由 2?n 得 )?()?(
21 ?? DD ?
从而 1?? 比 2?? 更有效
.?,?? 321 都有效较且 ???
)?()?()?( 321 ??? EEE ??显然有
1332121 ?;6
1
3
1
2
1?;? XXXXX ????? ???
? 例,设 (X1,X2,X3)是来自总体 X的一个样本,证明下面
的三个估计量都是总体均值 E(X)的无偏估计量
证明
3/)()()?( 1 XDXDD ???且
36/)(14)6/3/2/()?( 3212 XDXXXDD ?????
)()()?( 13 XDXDD ???
.?,??),?()?()?( 321321 有效较所以故有 ?????? DDD ??
§ 2.3 一致性
? 估计量的无偏性和有效性都是在样本容量固定的
前提下提出的,我们自然希望随着样本容量的增大,
一个估计量的值稳定于待估参数的真值,这就对估
计量提出了一致性的要求,
.),...,,(
?
0}|
?
{|lim
,0.),...,,(
?
,),;(:
21
21
一致估计的为参数则称
总有若对于任意的估计量为
为待估参数有概率函数设总体定义
??
???
???
??
n
n
n
XXX
P
XXX
xpX
???
?
???
??
一致估计量 的意义在于：只要样本容量足够大，
就可以使一致估计量与参数真实值之间的差异大于
ε 的概 率足够地小，也就是估计量可以用任意接近
于１的概率把参数真实值估计到任意的精度,
一致性 是点估计的大样本 性质，指的是：这种
性质是针对样本容量
???n
而言，对于一个固定的
样本容量 n,一致性是无意义的,
与此相对，无偏性和有效性的概念是对固定的
样本而言，不需要样本容量趋于无穷，这种性质也
称为“小样本性质”,
§ 3 参数的区间估计
点估计有使用方便、直观等优点,但他并没有提
供关于估计精度的任何信息,为此提出了未知参
数的区间估计法,
例 对明年小麦的亩产量作出估计为,
即 若设 X表示明年小麦亩产量,则估计结果为
P(800≤X≤1000)=80%
明年小麦亩产量八成为 800-1000斤,
区间估计
对应总体的某一个样本观测值，我们可以得到点估计
量
?
? 的一个观测值，但是它仅仅是参数 θ 的一个近似值,
由于
?
? 是一个随机变量，它会随着样本的抽取而随机
变化，不会总是和 θ 相等，而存在着或大、或小，或正、
或负的误差, 即便点估计量具备了很好的性质，但是它本
身无法反映这种近似的精确度，且无法给出误差的范围,
为了弥补这些不足，我们希望估计出一个范围，并知
道该范围包含真实值的可靠程度, 这样的范围通常以区
间的形式给出，同时还要给出该区间包含参数 θ 真实值
的可靠程度, 这种形式的估计称之为 区间估 计,
.,
1,
1),(
1)},...,,(),...,,({
,
,10,,
),...,,(,
),,(:
2121
21
称为置信水平置信上限
的置信一下限和分别称为置信度为和间
的置信区的置信度为为参数则称区间
使得量
存在两个统计若对于事先给定的本
的一个样为取自这个总体参数
为未知具有概率函数设总体定义
?
???
????
????
??
??
?
?
????
??
?
nn
n
XXXXXXP
XXXX
xpX
.,"
],[",1
)],...,,(),,...,,([
:
2121
??
?????
??
??
则犯错误的概率为的真值含着参数
包区间因此若认为的真值的概率为
包含参数区间
随机解释为的区间估计的意义可以参数
nn
XXXXXX
.1
],[],,[
1,
???
????
?????
的概率包含
以而只能说区间的概率落入随机区间
以所以不能说参数不是随机变量由于
.
1)),...,,(),,...,,((
,,
)),,...,,(),,...,,((
2121
2121
?
????
??
??
?
参数
包含以概率
不能说区间要么没有包含参数含了参数
要么包的区间
得到的一个确定对于一次具体的抽样所
nn
nn
xxxxxx
xxxxxx
.)%1(100
)),,...,,(),,...,,((
,
2121
???
??
?
的区间包含未知参数大约有
这些区间中
将得到许多不同的区间在重复取样下
nn
xxxxxx
评价一个置信区间的好坏有两个要素,
一是其精度，显然这可以用区间的长度来刻划，
长度越大，精度越低,
另一个要素是置信度
??1
,在样本容量 n 固定
时，当置信度
??1
增大,此时置信区间的长度变大,
也就是说，置信区间的置信度越高，则精度越低,
反之，精度越高则置信度越低,
对于给定的
?
，我们可以取适当大的样本容量
n,从而保证置信区间的长度具有预先给定的较小的
长度,
对于给定的置信度 ??1,怎样根据样本来确定
未知参数 θ 的置信区间 )?,?(
21 ??
,就是参数 θ 的区间估
计问题, 求未知参数 θ 的置信区间的步骤 如下,
( 1 ) 构造一个含有未知参数 θ 而不含有其他未
知参数的样本函数 ( 随机变量 ) ),,,,(
21 ?nXXXWW ??
，
且已知其分布,
( 2 ) 对给定的置信度 ??1,根据 );,,,(
21 ?nXXXW ?
的分布定出分位点 a 和 b,使得
? ? ????? 1),,,( 21 bXXXWaP n?
( 3 ) 从不等式 bXXXWa
n ?? );,,(,21 ??
中解出 θ,得
出其等价形式
? ? ? ?
nn XXXXXX,,,
?,,,?
212211 ?? ??? ??
这时必有
? ? ???? ???? 1),,,(?),,,(? 212211 nn XXXXXXP ??
于是 )?,?( 21 ?? 即为 θ 的置信度为 ??1 的置信区间,
§ 3.1 正态总体均值 μ的区间估计
设
),,,(
21 n
XXX ?
为来自正态总体
),(
2
??N
的一
个样本,μ 是未知参数，样本均值和样本方差分别
为,
?
?
?
n
i
i
X
n
X
1
1
? ?
?
?
?
?
?
n
i
i
XX
n
S
1
2
2
1
1
§ 3.1.1 方差已知时均值的区间估计
由总体服从正态分布可得 )1,0(~
/
N
n
XU
?
???
使得查分位点对于给定的置信度,,1 2/?? u?
?? ??? 1}|{| 2/uUP
0
?/2
u?/2
?/2
?u?/2
?
?
?
? ??
?
?
?
?
?
?
?
?
1
/
2/u
n
X
P
得到
从而
???? ?? ??
?
?
?
?
?
? ???? 1
2/2/ unXunXP
置信区间为的这样得到了置信度为 ???1
),( 2/2/
n
uX
n
uX
??
?? ??
? 例,设轴承内环的锻压零件的平均高度 X服从正态分
布 N(μ,0.42).现在从中抽取 20只内环,其平均高度为
32.3毫米,求内环平均高度的置信度为 95%的置信区间,
96.1)975.0(,95.01 0 2 5.02/ ?????? uu ?? 查表得
解
算得又,20,4.0,3.32 ??? nx ?
12.32
20
4.096.13.32
2/ ????? nux
?
?
48.32
20
4.096.13.32
2/ ????? nux
?
?
)48.32,12.32(%95 的置信区间为的一个置信度为所以 ?
例, 已 知 某 工 厂 生 产 的 某 种 零 件 其 长 度
)06.0,(~ ?NX,现从某日生产的一批零件中随机抽
取 6 只,测得直径的数据（单位,mm ） 为
1.15,2.15,8.14,9.14,1.15,6.14
试求该批零件长度的置信度为 0, 9 5 置信区间,
解 06.0?? 6?n 经计算可得
95.14?x
,96.1025.02/ ?? uu ?
查表得
从
而 75.1496.1606.095.142/ ????? ?? unx
15.1596.1
6
06.095.14
2/ ????? ?
? u
n
x
故所求置信区间为
?
?
??
?
? 15.15,75.14
例, 已知幼儿身高服从正态分布，现从 5~6岁的幼
儿中随机地抽查了 9人，其高度分别为,
115,120,131,115,109,115,115,105,110cm;；，置信度为假设标准差 %9570 ??
的置信区间。试求总体均值 ?
由样本值算得已知,05.0,9,70 ??? ?? n
.1 1 5)1 1 01 2 01 1 5(
9
1 ????? ?x
，由此得置信区间：查正态分布表得临界值 96.1??
)57.119,43.110()9/796.1115,9/796.1115( ?????
解
§ 3.1.2 方差未知时均值的区间估计
.1,
,),(),...,,(
2
2
21
的置信区间的置信度为要求为未知常数
的样本是取自正态总体设
???
??
?
? NXXX n
?
?
?
?
?
?
????
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
1)}1(|
/
{|
),1(
,1,)(
1
1
)1(~
/
2/
2/
1
22
nt
nS
X
P
nt
tXX
n
S
nt
nS
X
T
n
i
i
使得布表查出
分由对给定的置信其中
由于这时
0
?/2 ?/2
?t?/2(n?1) t?/2(n?1)
??
??
???????? 1})1()1({
2/2/
n
S
ntX
n
S
ntXP
经过变形得
))1(,)1((
1
2/2/
n
S
ntX
n
S
ntX ????
?
??
?? 的置信区间为的置信度为这样得到了
例, 设有一批胡椒粉，每袋净重 X （单位：克）服从
正态分布, 从中任取８袋，测得 净 重分别为：
1.12,4.121.12,9.11,3.12,4.12,9.11,1.13
,试求 μ 的置信度
为 0, 9 9 的 置信区间,
解 经计算得
04.0,15.12 2 ?? sx,8?n
查表可得 4 9 9 5.3)7()1(
0 0 5.02/ ??? tnt ?
从而
90.114995.0
8
04.015.12)1(
2/ ?????? ntn
sx
?
40.124995.0
8
04.015.12)1(
2/ ?????? ntn
sx
?
所以 μ的置信度为 0.99置信区间是 ? ?40.12,90.11
例, 用仪器测量温度，重复测量 7次，测得温度分
别为,115,120,131,115,109,115,115,105,110cm;
设温度
).,(~ 2??NX
.%95 在范围时，试求温度的真值所在置信度为
.是测量值是温度的真值，设 x?
由样本值算得：已知,05.0,7 ?? ?n
.29.1,8.112 2 ?? Sx
。由此得置信区间：得临界值查 447.2)05.0,6( ??t
)85.113,75.111(
)
7
29.1
447.28.112,
7
29.1
447.28.112(
?
??
解
§ 3.2 正态总体方差的区间估计
§ 3.2.1 均值已知时方差的区间估计
.1,
,),(),...,,(
2
0
2
21
的置信区间的置信度为要求为已知常数
的样本是取自正态总体设
?????
???? NXXX n
????
??
??
?
?
?
?
??
??
????
?
?
??
?
?
?
?
1)}()({
),()(
,1
)(~
)(
2
2/
22
2/1
2
2/1
2
2/
2
2
2
1
2
0
2
nnP
nn
n
X
n
i
i
使得和
分布表得两个分位点查对于给定的置信度
由于这时
?/2
)1(2 2/ ?n??)1(2 2/1 ?? n??
?/2
?
?
?
?
?
?
??
??
?
??
?
?
??
??
1}
)(
)(
)(
)(
{
2
2/1
1
2
0
2
2
2/
1
2
0
n
X
n
X
P
n
i
n
i
经过变形得
)
)(
)(
,
)(
)(
(
1
2
2/1
1
2
0
2
2/
1
2
0
2
n
X
n
X
n
i
n
i
??
?
?
?
?
??
?
??
?? ??
? 的置信区间为的置信度为这样得到了
§ 3.2.2 均值未知时方差的区间估计
.1,
,),(),...,,(
2
2
21
的置信区间的置信度为要求为未知常数
的样本是取自正态总体设
???
??
?
? NXXX n
????
??
??
?
?
?
??
??
??????
??
?
?
?
?
?
?
?
1)}1()1({
),1()1(
,1
)1(~
)1(
2
2/
22
2/1
2
2/1
2
2/
2
2
2
2
2
nnP
nn
n
Sn
使得和
分布表得两个分位点查对于给定的置信度
由于这时
?
?
?
?
??
??
?
?
??
?
?
?
1}
)1(
)1(
)1(
)1(
{
2
2/1
2
2
2
2/
2
n
Sn
n
Sn
P
经过变形得
?/2
)1(2 2/ ?n??)1(2 2/1 ?? n??
?/2
)
)1(
)1(
,
)1(
)1(
(
1
2
2/1
2
2
2/
2
2
?
?
?
?
?
?
n
Sn
n
Sn
??
??
?? 的置信区间为的置信度为这样得到了
例, 设高速公路上汽车的速度服从正态分布，现对
汽车的速度独立地作了 5 次测试，求得这 5 次测试
值的方差 22 )/(09.0 sms ?, 求汽车速度的方差 2? 的置信
度为 0, 9 的置信区间,
解 由题意得 1.0,9.01,5 ???? ??n
查表得 4 8 7 7.9)4()4( 2 05.02 2/ ?? ?? ? 7107.0)4()4( 2 95.02 2/1 ??? ?? ?
算
得
? ?
038.0
4877.9
09.04
)1(
)1(
)1( 2 2/
2
2
2/
1
2
?
?
?
?
?
?
?
??
?
n
sn
n
XX
n
i
i
?? ??
? ?
506.0
7107.0
09.04
)1(
)1(
)1( 2 2/1
2
2
2/1
1
2
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
n
sn
n
XX
n
i
i
?? ??
所求置信区间为
(0.038,0.506)
例, 设某机床加工的零件长度
，),(~ 2??NX
今抽查 16个零件，测得长度（单位,mm）如下,
12.15,12.12,12.01,12.08,
12.09,12.16,12.03,12.01,
12.06,12.13,12.07,12.11,
12.08,12.01,12.03,12.06,
在置信度为 95%时，试求总体方差 的置信区间, 2?
由样本值算得：已知,05.0,16 ?? ?n
.0 0 2 4 4.02 ?S
由此得置信区间：
得查得查,5.27)025.0,15(;26.6)975.0,15( 2212 ?? ????
? ?0058.0,0013.0
26.6
0 0 2 4 4.015
,
5.27
0 0 2 4 4.015
??
?
?
?
?
? ??
解
§ 3.3 两个正态总体均值差的区间估计
设 有 两 个 正 态 总 体
),(~
2
11
??NX
,
),(~
2
22
??NY
，
),,,(
1
21 n
XXX ?
和
),,,(
2
21 n
YYY ?
是分别
来自 X 和 Y 的两个独立样本，其样本均值和样本
方差分别为
,
1
1
11
?
?
?
n
i
i
X
n
X
? ?
2
11
2
1
1
1
1
?
?
?
?
?
n
i
i
XX
n
S
,1
2
12
?
?
?
n
j
j
Y
n
Y ? ?
2
12
2
2
2
1
1
?
?
?
?
?
n
j
j
YY
n
S
§ 3.3, 1 设 21? 和 22? 都未知，但 22221 ??? ??
由于样本函数 )2(~
11
)(
21
21
21 ??
?
???
? nnt
nn
S
YX
T
W
??
其中
2
)1()1(
21
2
22
2
112
??
???
?
nn
SnSn
S W
对于给定的置信度 1-α有 ? ? ?
? ????? 1)2( 212/ nntTP
即 ??? ? ??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
???
?
???
1)2(
11
)(
212/
21
21 nnt
nn
S
YX
P
W 置信区间为
? ? ? ? ??
?
?
???
?
??????????
21
212/
21
212/
11)2(,11)2(
nn
SnntYX
nn
SnntYX WW ??
例, 随机地从甲、乙两厂生产的蓄电池中抽取一些
样本，测得蓄电池的电容量
)( hA ?
如下
甲厂：
137,138,143,141,142,138,141,144
乙厂：
136,142,138,140,141,138,140,139,143,142
设两厂生产的蓄电池电容量分别服从正态总体
),(
2
11
??N
，
),(
2
22
??N
，两样本独立，若已知 22
2
2
1
??? ??
，
但 2? 未知, 求
21
?? ?
的 置信度为 0, 9 5 的置信 区间,
1199.2)16(,05.0,36.2
16
97
0 2 5.0
2
2
2
1 ????? tsss
w ?
故
21 ?? ?
的置信度为 0.9 5 的 置 信 区 间 为
( - 1,77,2,97 ) )( hA ?,
解
10,8 21 ?? nn
求得
57.6,5.140 21 ?? sx 77.4,9.1 3 9
2
2 ?? sy
§ 3.3, 2 设 21? 和 22? 都 已 知
由于样本函数
)1,0(~
)()(
2
2
2
1
2
1
21
N
nn
YX
U
??
??
?
???
?
对于已给的置信度 ??1,存在 2/?u,使得
? ? ?? ??? 12/uUP
? ? ? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
??????
2
2
2
1
2
1
2/
2
2
2
1
2
1
2/,nnuYXnnuYX
????
??
由此解得 21 ?? ? 的置信度为 ??1 的置信区间是
例, 随机地从甲、乙两厂生产的蓄电池中抽取一些
样本，测得蓄电池的电容量
)( hA ?
如下
甲厂：
137,138,143,141,142,138,141,144
乙厂：
136,142,138,140,141,138,140,139,143,142
设两厂生产的蓄电池电容量分别服从正态总体
),(
2
11
??N
，
),(
2
22
??N
,两 样 本 独 立, 若 已 知
25.2,45.2
2
2
2
1
?? ??
，求
21
?? ?
的置信度为 0, 9 5 的置信
区间,
故
21 ?? ?
的置信度为 0.9 5 的 置 信 区 间 为
( - 0, 82 86,2,02 9 ) )( hA ?,
解 96.110,8
025.02/21 ???? uunn ?
求得,5.140?x
9.139?y
42858.1
10
25.2
8
45.2
96.1
2
2
2
1
2
1
2/ ????? nnu
??
?
6.0?? yx
§ 3.4 两个正态总体方差之比的区间估计
设 222121,,,???? 都未知，此时由于样本函数
)1,1(~
/
/
212
2
2
2
2
1
2
1 ??? nnF
S
S
F
?
?
对于已给的置信度 ??1,有
? ? ??? ????????? 1)1,1()1,1( 212/212/1 nnFFnnFP
?
?
?
?
?
?
?
?
???? ? )1,1(
/
,
)1,1(
/
212/1
2
2
2
1
212/
2
2
2
1
nnF
SS
nnF
SS
??
由此解得 2
2
2
1
?
? 的置信度为
??1 的置信区间是
例, 随机地从甲、乙两厂生产的蓄电池中抽取一些
样本，测得蓄电池的电容量
)( hA ?
如下
甲厂：
137,138,143,141,142,138,141,144
乙厂：
136,142,138,140,141,138,140,139,143,142
设两厂生产的蓄电池电容量分别服从正态总体
),(
2
11
??N
，
),(
2
22
??N
，两样本独立, 若 两个总体的方差
2
2
2
1
?? ?
,现求
2
2
2
1
?
?
的置信度为 0, 9 5 的置信区间,
故 此算得
2
2
2
1
?
? 的置信度为 0.95 的置信区间为
(0,33,6.5 6),
解
10,8 21 ?? nn
求得
57.6,5.140 21 ?? sx 77.4,9.1 3 9
2
2 ?? sy
查表得
,20.4)9,7(025.0 ?F
21.0
82.4
1
)7,9(
1
)9,7(
0 2 5.0
9 7 5.0 ??? FF
计算得
§ 3.5 单侧置信区间
在上述讨论中,对于未知参数
?
,我们给出两个
统计量
?
,?,得到 ? 的双侧置信区间 (
?
,? ),但在
一些实际问题中,例如,对于设备,元件的寿命来
说,平均寿命长是我们所希望的,我们关心的是平
均寿命 ? 的 " 下限 ",与此相反,在考虑化学药品中
杂质含量的均值 EX 时,我们常关心参数 EX 的 " 上限
",这就引出了单侧置信区间的概念,
对于给定值 ? (0< ? <1),若由样本
),,,( 21 nXXX ?
确定
的统计量
),,,( 21 nXXX ??? ?
,对于任意 ? ? ? 满足
P { ? >
?
} ? 1 - ?,
称随机区间 (
?
,? ) 是 ? 的置信水平为 1 - ? 的 单侧置信
区间,
?
称为 ? 的置信水平为 1 - ? 的 单侧置信下限,
对于给定值 ? (0< ? <1),若由样本
),,,( 21 nXXX ?
确定的
统计量
),,,( 21 nXXX ??? ?
,对于任意 ? ? ? 满足
P { ? ? ? } ? 1 - ?,
称随机区间 ( - ?, ? ) 是 ? 的置信水平为 1 - ? 的 单侧置信
区间,? 称为 ? 的置信水平为 1 - ? 的 单侧置信 上 限,
例, 从一批灯泡中随机地取 5 只做寿命测试，测得
寿命（以小时计）为
1 0 5 0, 1 1 0 0, 1 1 2 0, 1 2 5 0, 1 2 8 0,
设灯泡寿命服从正态分布，求灯泡寿命平均值的置
信度为 0, 9 5 的单侧置信下限,
解
)1(~
/
??? nt
ns
Xt ?此时
于是
?? ? ??
?
?
?
?
?
? ??? 1)1(
/
nt
ns
XP ??
? ????
?
?
?
? ??? 1)1( nt
n
sXP
1318.2)4(,9950,1160,5,95.01 05.02 ?????? tsxn?
??? )1( nt
n
sx
? 1 3 1 8.2
5
9 9 5 01 1 6 0 ?? 1065?
