第四章 随机变量的数字特征
? 我们知道,随机变量的分布列或概率密度,全面
地描述了随机变量的统计规律,但在许多实际问
题中,这样的全面描述并不使人感到方便,
? 已知一只母鸡的年产蛋量是一个随机变量,如
果要比较两个品种的母鸡的年产蛋量,通常只要
比较这两个品种的母鸡的年产蛋量的平均值就
可以了,平均值大就意味着这个品种的母鸡的产
蛋量高,如果不去比较它们的平均值,而只看它们
的分布列,虽然全面,却使人不得要领,既难以掌握
,又难以迅速地作出判断,
§ 1 随机变量的数学期望
§ 1.1 离散型随机变量的数学期望
? 例,有 A,B两射手，他们的射击技术如表所
示，试问哪一个射手本领较好？
0.3 0.5 0.2 0.6 0.1 0.3 概率
10 9 8 10 9 8 击中环数
B A 射手名称
5
4
16 21 28 17 10 3 只数 Nk
3 2 1 0 -1 -2 日走时误差 xk
22.1100 5416321228117010)1(3)2( ?????????????????
?
?
?
N
Nx
x k
kk
?? ???? kkkk fxNNx平均值
则抽查到的 100只手表的平均日走时误差为
即
? 例,某手表厂在出厂产品中,抽查了 N=100只手
表的日走时误差,其数据如表,
? 如果另外再抽验 100只手表,每作一次这样的检
验,就得到一组不同的频率,也就有不同的日走时误
差的平均值,由关于频率和概率关系的讨论知,理论
上应该用概率去代替上述和式的频率,这时得到的
平均值才是理论上 (也是真正 )的平均值,
? 这样我们就引出了随机变量的数学期望的概念,
,...2,1}{ ??? kpxXP kk
? ???
k
kk px ||
k
k
k px?
? 定义,设离散型随机变量 X的概率分布为
如若
则称 为随机变量 X的 数学期望,记为 E(X),
? 如果
? ???
k
kk px ||
则称随机变量 X的 数学期望不存在,
所以 A的射击技术较 B的好,
0.3 0.5 0.2 0.6 0.1 0.3 概率
10 9 8 10 9 8 击中环数
B A 射手名称
3.96.0101.093.08 ??????
1.93.0105.092.08 ??????
? 例,有 A,B两射手，他们的射击技术如表所示，
试问哪一个射手本领较好？
解 A射击平均击中环数为
B射击平均击中环数为
例,某工人工作水平为：全天不出废品的日子
占 3 0 %,出一个废品的日子占 4 0 %,出二个废品
占 2 0 %,出三个废品占 1 0 % 。
① 设 X 为一天中的废品数，求 X 的分布律；
② 这个工人平均每天出几个废品？
解 ① 分布律为,X 0 1 2 3
P 0.3 0.4 0.2 0.1
② 平均废品数为,
( ) 0 0, 3 1 0, 4 2 0, 2 3 0, 1 1, 1 ( /EX ? ? ? ? ? ? ? ? ? 个 天 ）
? 例,设随机变量 X具有如下的分布，求 E(X),
,...2,1,
2
1
}
2
)1({ ????? k
k
XP
k
k
k
解 虽然有
k
kk
k
k
k
k kxXPx 2
12)1(}{
11
????? ??
?
?
?
?
收敛,但
发散,因此 E(X)不存在,
2ln1)1(
1
???? ?
?
?k
k
k
11
1
kk
kk
xp
k
??
??
? ? ? ???
§ 1.1.1（ 0-1）分布数学期望
设 X的分布列为,
X 0 1
P q p
0 p 1<< 1qp??
则
( ) 0 1E X q p p? ? ? ? ?
其中
§ 1.1.2 二项分布数学期望
nkqpCkXP knkkn,...,2,1,0}{ ??? ?
? ?
? ?
?????
n
k
n
k
knkk
n qpkCkXPkXE
0 1
}{)(
? 定理,设随机变量 X服从二项分布,即
则随机变量 X的数学期望 E(X)=np,
证明
knk
n
k
qp
knk
nk ?
?
? ???
1 )!(!
! )1()1(1
1 )]!1()1[()!1(
)!1( ????
?
? ???? ?? knk
n
k
qp
knk
nnp
)1()1(1
1
01 ) ] !1()1[()!1(
)!1( ?????
??
? ???? ?? knk
n
k
qp
knk
nnp
npqpnp n ??? ? 1)(
§ 1.1.3 泊松分布数学期望
? 证明,
0,.,, ;2,1,0,
!
}{ ???? ? ?? ? ke
k
kXP
k
????? ???? ?????? ?
?
?
????
?
?? eekeekkXE
k
k
k
k
1
1
0 )!1(!
)(
? 定理,设随机变量 X服从泊松分布,即
则随机变量 X的数学期望 E(X)=λ,
§ 1.2 连续型随机变量的数学期望
?我们已知离散型随机变量 X的数学期望为
E(X)=
k
k
k px?
?自然要问连续型随机变量的数学期望是什么?
?设 p(x) 是连续型随机变量 X的密度函数,取分点
x0<x1<…< xn+1
则随机变量 X落在△ xi=(xi,xi+1)中的概率为
}{)()(}{ 1 iii
xx
xi
xYPxxpdxxpxXP
ii
i
???????
?
? ?
相当小时
?与 X近似的随机变量 Y的数学期望为 ?
?
?
n
i
iii xxpx
0
)(
由微积分知识自然想到 X的数学期望为
???? dxxxp )(
为连续型随机变量 X的 数学期望,记为 E(X),
? ???? ???dxxpx )(||
? ???? dxxxp )(
? 定义,设连续型随机变量 X的密度函数为 p(x),若
则称
? 如果
? ???? ???dxxpx )(||
则称连续型随机变量 X的 数学期望不存在,
?
?
? ??
?
其他,0
10,2
)(
xx
xp
? ????? dxxxpXE )()(
? 例,设随机变量 X的概率密度函数为
试求 X的数学期望
解
3
2
3
2
2
1
0
31
0
2 ??? ? xdxx
? ??
1
0
2 x d xx
??????
?
?? x
x
xp,
1
11)(
2?
dxxxdxxxdxxpx ?? ? ????
??
??
?? ?
???
0 22 1
2
1
11||)(||
??
0
1
1)(
2 ??? ??
??
??
??
??
dx
x
xdxxxp
?
? 例,若随机变量 X的概率密度函数为
问随机变量 X的数学期望 E(X)是否存在,
解
所以 E(X)不存在,但
?????
?
? ??
??
? 0220 2 |)1l n (1)1(1 11 xxdx ??
§ 1.2.1 均匀分布的数学期望
ba
bxa
abxp ?
?
?
?
?
?
??
??
其他,0
,,
1
)(
)(
2
1
2
1
1
)()(
2
ba
x
ab
dx
ab
xdxxxpXE
b
a
b
a
???
?
?
?
?? ??
??
??
? 定理,设连续型随机变量 X的密度函数为
则 E(X)=(a+b)/2,
? 证明,
§ 1.2.2 指数分布的数学期望
0
,0,0
,0,
)( ?
?
?
?
?
?
?
?
?
? ?
x
xe
xp
?? ?? ????? ?? 0)()( dxxedxxxpxE x??
? 定理,设连续型随机变量 X的密度函数为
则随机变量 X的数学期望为 E(X)=1/λ,
证明
? ?? ?? 01 dttext t??
??
1)(1
00
??????? ??? ?
?? ????
dtete tt
§ 1.2.3 正态分布的数学期望
? ?? ?? ??? dxxxXE })(2 1e x p {2 1)( 22 ????
? 定理,设连续型随机变量 X~N(μ,σ2),则 E(X)=μ,
证明
dttttx }
2
{e x p)(
2
1
2
2
?
?
??
? ???? ?
??
??
dttdttt }
2
{e x p
2
}
2
{e x p(
2
1
22
22
???
?
???
???? ??
??
??
??
??
dtt }
2
{e x p
2 2
2
???
? ?? ? ??
??
?
?
?
?
??? ?
??
??
dssst }
2
{e x p
2
2
§ 2 随机变量函数的数学期望
? 定理,设 Y是随机变量 X的函数,Y=f(X)(f是连续函数 ),
?
?
?
???
1
|)(|
k
kk pxf
??
?
??
1
)()]([)(
k
kk pxfXfEYE
? ???? ???dxxpxf )(|)(|
? ?????? dxxpxfXfEYE )()()]([)(
? (1)设离散型随机变量 X的概率分布为
P{X=xk}=pk,k=1,2,..,
? (2)设连续型随机变量 X的密度函数为 p(x),若
若
则
则有
§ 2.1 随机变量函数的数学期望
,...2,1,},{ ???? jipyYxXP ijji
???? ? ij
j i
ji pyxf |),(|
? ???
j i
ijji pyxfYXfEZE ),()],([)(
? ????? ???? ???d xd yyxpyxf ),(|),(|
? ????? ?????? d xd yyxpyxfYXfEZE ),(),()],([)(
? 定理,设 Z是随机变量 X,Y的函数 Z=f(X,Y) (f是连
续函数 ),
? (1)设二维随机向量 (X,Y)的分布律为
? (2)设二维随机向量 (X,Y)的分布密度为 p(x,y),若
若
则
则
dxexxt
dtedte
yXyPyXPyF
x
y
t
y
t
y
y
Y
22
1
0
2
2
0
2
2
2
1
2
1
2
2
1
}{}{)(
22
??
??
?
?
??
?
??
??????
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
??
0,0
0,
2
1
)(
22
1
y
yey
yp
y
Y ?
1
2
1
2
)(2
2
1
2
2
2
1
)()(
2
0
2
0
2
0
2
2
22
1
0
2
22
??
???
???
???
??????
??
??
????
?
??
? ?
dte
etddte
t
ty
dyeyydyyypYE
t
tt
y
Y
?
??
?
1
2
1)( 222
2
???
???
???
dxexXE
x
?
? 例,已知随机变量 X~N(0,1),求 E(X2),
解法 1 先求 Y= X2 的概
率密度函数,
若 y<0,则 FY(y)=0;若 y>0,则
所以 Y= X2 的概率密度函
数为
解法 2
再求
例, 设（ X,Y）的联合分布律如下,Z=XY，求 E(Z),
X
Y
1 2 3
0
1
0.1 0.15 0.25
0.25 0.15 0.1
解 ( ) 1 0 0, 1 1 1 0, 2 5 2 0 0, 1 5 2 1 0, 1 5? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?EZ
3 0 0, 2 5 3 1 0, 1 0, 8 5? ? ? ? ? ? ?
?
?
?
?
?
??
?
其他,0
0,
1
)(
av
avp
? ?
??
??
???
a
kadv
a
kvdvvpkvWE
0
222
3
11)()(
? 例,设风速 V在 (0,a)上服从均匀分布,又设飞机机翼
受到的正压力 W是 V的函数,W=kV2(k>0,常数 ),求 W
的数学期望,
解 因为随机变量 V的密度函数为
所以
?
?
? ?????
?
其他,0
10,10,
),(
yxyx
yxp
? ????? ????? d xd yyxxypXYE ),()(
? 例,设二维随机变量 (X,Y)的概率密度为
试求 XY的数学期望,
解
? ? ???
1
0
1
0 3
1
)( d x d yyxxy
?
?
?
??
????
?
2
1
,
,)(
)(
sXssb
sXsaXsbX
XY s
?
?
?
?
?
??
??
其他,0
,
1
)(
21
12
sss
ssxp
? 例,按季节出售的某种应时商品,每售出一公斤获
利润 b元,如到季末尚有剩余商品,则每公斤净亏损 a
元,设某商品在季节内这种商品的销售量 X(以公斤
计 )是一随机变量,X在区间 (s1,s2)上服从均匀分布,为
使商店所获得利润的数学期望最大,问商店应进多
少货?
解 以 s(公斤 )表示进货数,进货 s所得利润记为 Ys(X),则
X的概率密度为
12
2
121
2
2
)(
2
ss
s
ab
sbsass
ab
?
?
?
?
?
?
? ?
???
?
?
?
0
)(
)]}([{
12
21 ?
?
????
?
ss
bsassab
XYE
ds
d
s
ab
bsas
s
?
?
? 21
由
得
于是
?? ??????
s
s
s
ss
dx
ss
axsbxdx
ss
sbXYE
1
2
1212
1])([1)]([
§ 2.2 数学期望的性质
? 1.若 a≤X≤b,则 E(X)存在,且有 a≤E(X)≤b.特别,若 C
是常数,则 E(C)=C,
? 2.设 X,Y是两个随机变量,若 E(X),E(Y)存在,则对任
意的实数 a,b,E(aX+bY)存在,且有
E(aX+bY)=aE(X)+bE(Y)
此性质可推广到有限个随机变量的线性组合的情况,
? 3.设 X,Y是互相独立的随机变量,则有
E(XY)=E(X)E(Y)
此性质可推广到有限个互相独立的随机变量之积的
情况,
? 定理,若 a≤X≤b,则 E(X)存在,且有 a≤E(X)≤b.特别,若
C是常数,则 E(C)=C,
证明 (1)设离散型随机向量 X分布列为
{X=xi}=pi,i=1,2,…
则
bpbbp
XEpxappaa
i
i
i
i
i
ii
i
i
i
i
???
????
??
???
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
11
111
)(
?(2)设连续型随机变量 X的概率密度为 p(x),则
bdxxpbdxxbpXE
dxxxpdxxapdxxpaa
????
???
??
???
?
??
?
??
?
??
?
??
?
??
)()()(
)()()(
?(3)因为 P{X=C}=1,故 E(C)=E(X)=C× 1=C
? 定理,设 X,Y是两个随机变量,若 E(X),E(Y)存在,则
对任意的实数 a,b,E(aX+bY)存在,且有
E(aX+bY)=aE(X)+bE(Y)
证明 (1)设离散型随机向量 (X,Y)的联合分布列和
边际分布列分别为
P{X=xi,Y=yj}=pij,i,j=1,2,…
P{X=xi}=pi.,i=1,2,…
P{Y=yj}=p.j,j=1,2,…
则
? ?? ?? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?????
1 11 11 1
)()(
j i
ijj
i j
iji
i j
ijji pbypaxpbyaxbYaXE
)()(
1
.
1
,YbEXaEpybpxa
j
jj
i
ii ???? ??
?
?
?
?
?(2)设连续型随机向量 (X,Y)的联合概率密度和边
际概率密度分别为 p(x,y)和 pX(x),pY(y)
则
? ?? ?? ? ?? ??? d x d yyxpbyaxbYaXE ),()()(
? ?? ? ? ?? ? ??? ?? ? ?? ?? d xd yyxb ypd xd yyxa xp ),(),(
? ?? ? ? ?? ? ??? ?? ? ?? ?? dydxyxpbydxdyyxpax ]),([]),([
)()()()( YbEXaEdyyb ypdxxa xp YX ???? ?? ? ??? ??
? 定理,设 X,Y是互相独立的随机变量,则有
E(XY)=E(X)E(Y)
证明 (1)设离散型随机向量 (X,Y)的联合分布列和
边际分布列分别为
P{X=xi,Y=yj}=pij,i,j=1,2,…
P{X=xi}=pi.,i=1,2,…
P{Y=yj}=p.j,j=1,2,…
则
? ?? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
1 1
..
1 1
)(
i j
jiji
i j
ijji ppyxpyxXYE
)()(
1
.
1
,YEXEpypx
j
jj
i
ii ??? ??
?
?
?
?
?(2)设连续型随机向量 (X,Y)的联合概率密度和边
际概率密度分别为 p(x,y)和 pX(x),pY(y)
则
? ?? ?? ? ??? d xd yyxxypXYE ),()(
? ?? ?? ? ??? d xd yypxxyp YX )()(
?? ??????? dyyypdxxxp YX )()(
)()( YEXE?
10,...,2,1
,1
,0
?
?
?
?
? i
i
i
X i
站有人下车在第
站没有人下车在第
? 例,一民航送客车载有 20位旅客自机场开出,旅客
有 10个车站可以下车,如到达一个车站没有旅客下车
就不停车,以 X表示停车的次数,求 E(X),
? 解,引入随机变量
易知 X=X1+X2+…+X 10
任一旅客在第 i站不下车的概率为 9/10.因此 20位旅客
都不在第 i站下车的概率为 (9/10)20,在第 i站有人下车
的概率为 1- (9/10)20,
即 P{Xi=0}= (9/10)20,P{Xi=1}= 1- (9/10)20
所以
E(Xi)= 1- (9/10)20,i=1,2,…,10
进而
E(X)=E(X1+X2+…+X 10)
=E(X1)+E(X2)+…+E(X 10)
=10[1- (9/10)20]=8.784
? 注,本题的特点是将 X分解为数个随机变量的和,
再求数学期望,此种方法具有普遍意义,
解
])(][)([ ??
??
??
??
??
? drrrhdiiig
?
??
?
?
? ??
????
其他其他,0
30,
9)(,0
10,2)(
2
rrrhiiig
)()()()( REIEIREVE ??
? 例,设一电路中电流 I(安 )与电阻 R(欧 )是两个
相互理独立的随机变量,其概率密度分别为
求电压 V=IR的数学期望,
2
3
]
9
][2[
3
0
31
0
2 ?? ?? drrdii
例, 设二 维随机变 量 (X,Y ) 的联合密 度函 数
22
1
,1
(,)
0,
xy
f x y ?
?
???
? ?
?
? 其 他
，试验证 E (X Y )=E ( X )E (Y ),但 X 与
Y 不相互独立,
解
2
2
22
11
11
1
11
( ) ( ) 0
x
x
xy
E X Y x y d x d y x y d y d x
??
?
? ? ?
??
? ? ? ?? ? ? ?
22 1
1( ) 0
xy
E X x d x d y
???
? ? ???
22 1
1( ) 0
xy
E Y y d x d y
???
? ? ???
因此，有
( ) ( ) ( )E X Y E X E Y??
又当 -1≤x≤1时,
2
2
1 2
1
12( ) (,) 1x
X xf x f x y d y d y x??
? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ???
故得
22 1,1 1
()
0,
X
xx
fx ?
?
? ? ? ??
? ?
?
? 其 他
同理可得
22 1,1 1
()
0,
Y
yy
fy ?
?
? ? ? ??
? ?
?? 其 他
由于
(,) ( ) ( )XYf x y f x f y??
所以 X与 Y不相互独立
例, 抛掷 6颗骰子,X表示出现的点数之和，求 E(X),
解 设随机变量 ( 1,2,,6 )
iXi ? …
表示第 i 颗骰子出现的
点数，则 6
1
i
i
XX
?
? ?,且 iX 的分布律为,
iX
1 2 3 4 5 6
P 1/6 1/ 6 1/6 1/6 1/6 1/6
1 2 1( ) ( 1 2 6 )
66i
EX ? ? ? ? ?…
从而由期望的性质可得
66
11
1 2 1( ) ( ) ( ) 6 ( 1 2 6 ) 6 2 1
66 …??? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? iiiiE X E X E X
§ 3 随机变量的方差
X A - 1 0 1 X B - 2 - 1 0 1 2
p 0,1 0,8 0,1 0,1 0,2 0 0,2 0,1
? 例,A,B两种手表的日走时误差分别具有如
下的分布律,
? 易知 E(XA)=E(XB)=0.由数学期望无法判别两
种手表的优劣,但直觉告诉我们 A优于 B,怎么样
用数学的方法把这种直觉表达出来呢?
§ 3.1 方差的概念
分析原因,
? A手表之所以优于 B手表,是因为 A手表的日走时较
B手表稳定,其日走时与其日平均误差的偏离程度小,
? 研究随机变量与其均值的偏离程度是有必要的,
? 怎么样去度量这个偏离程度呢?
? (1)xk-E(X)表示 xk与 E(X)之间的偏差 ;
? (2)E[X-E(X)]不能反映 X与 E(X)之间的整体偏差 ;
? (3)E{|X-E(X)|}可以度量 X与 E(X)之间的整体偏差,
但运算不方便 ;
? (4)E{[X-E(X)]2}可以度量 X与 E(X)之间的整体偏差
,且运算也较方便,
)()( XDX ??
? 定义,设 X是一个随机变量,若 E{[X-E(X)]2}存
在,则称 E{[X-E(X)]2}为 X的 方差,记为 D(X)或
Var(X),即
D(X)= Var(X)= E{[X-E(X)]2}
称为 X的 标准差 或 均方差,
? 定理,
证明 D(X)=E{[X-E(X)]2}
=E{X2 -2XE(X)+ [E(X)]2}
= E(X2)-2E(X)E(X)+ [E(X)]2
= E(X2)- [E(X)]2
22( ) ( ) [ ( ) ]D X E X E X??
?
?
?
??
1
2)]([)(
k
kk pXExXD
? ???? ?? dxxpXExXD )()]([)( 2
? 方差实际上是随机变量 X的函数 f(X)=[X-E(X)]2的
数学期望,于是
? (1)对于离散型随机变量 X,若
P{X=xk}=pk,k=1,2,…
则
? (2)对于连续型随机变量 X,若其概率密度为 p(x),则
X A -1 0 1 X B -2 -1 0 1 2
p 0, 1 0, 8 0, 1 0, 1 0, 2 0 0, 2 0, 1
2.11.0]02[2.0]01[4.0]00[
2.0]0)1[(1.0]0)2[()(
2.01.0]01[8.0]00[1.0]0)1[()(
222
22
222
??????????
????????
???????????
B
A
XD
XD
? 例,A,B两种手表的日走时误差分别具有如下
表的分布律,问哪种手表质量好些?
解 易知 E(XA)=E(XB)=0.所以
由于 D(XA)<D(XB),因此 A手表较 B手表的质量好,
?
?
?
?
?
???
????
??
其他,0
10,1
01,1
0)( xx
xx
xp
? 例,设随机变量 X概率密度为 p(x),求 D(X),
解
? ?? ????? 0 1 10 0)1()1()( dxxxdxxxXE
于是,D(X)=E(X2)-[E(X)]2=1/6
? ?? ?????
0
1
1
0
222
6
1)1()1()( dxxxdxxxXE
§ 3.2 常见分布的方差
§ 3.2.1（ 0-1）分布的方差
pqpXE ????? 222 01)(
? 定理,若 P{X=0}=q,P{X=1}=p,则 D(X)=pq,
证明
pqpppp
XEXEXD
?????
??
)1(
)]([)()(
2
22故有
pXE ?)(又
X 0 1
P q p
§ 3.2.2 二项分布的方差
? 定理,若随机变量 X服从二项分布 X~B(n,p),则
D(X)=npq,
22 )]([)()( XEXEXD ??
证明
?
?
??
n
k
knkk
n qpCkXE
0
22 )(
?
?
?
?
???
n
k
knk qp
knk
nkkk
1 )!(!
!])1([ nppnn ??? 2)1(
n p qpnnppnn ????? 222)1(
§ 3.2.3 泊松分布的方差
?? ?
?
?
?? ekkXE
k
k
0
22
!
)(
? 定理,设随机变量 X服从泊松分布 X~π(λ),则
D(X)=λ,
证明
???? ?????? 2222 )]([)()( XEXEXD
?? ?
?
?
? ???? ekk
k
k
1 )!1(
)11(
??
???? ??
??
?
?
?
?
?
? ?
?
??
?
?
?
??
?
?? 2
01
1
02
22
)!1()!2(
e
k
e
k k
k
k
k
§ 3.2.4 均匀分布的方差
)(
3
11)( 2222 aabbdxx
ab
XE
b
a
???
?
? ?
? 定理,设随机变量 X服从均匀分布 X~U(a,b),则
D(X)=(b-a)2/12,
证明
222 )(
12
1)]([)()( abXEXEXD ????
§ 3.2.5 指数分布的方差
2
1)(
??XD
20
22 2)(
?
? ? ?? ?
?? ?
dxexXE x
? 定理,设随机变量 X服从参数为 λ 的指数分布,则
证明
222
22 112)]([)()(
???
????? XEXEXD
§ 3.2.6 正态分布的方差
])[()( 2??? XEXD
? 定理,设随机变量 X服从正态分布 X~N(μ,σ2),则
D(X)=σ2,
证明
dx
x
x }
2
)(
e x p {
2
1
)( 2
2
2
?
?
??
?
?
??? ?
??
??
222
2
2
2
?
?
?
?
?
?
?
? ?
??
??
?
dtet
x
t
t
常见分布的期望和方差表
X 的分布 0 - 1 分布 (,)B n p ()?? (,)U a b 指数分布 2(,)N ??
期望
()EX
p
np
?
2
ab?
1
?
?
方差
()DX
pq
npq
? 2()
12
ba?
2
1
?
2?
例, 设二维随机变量 (,)XY 的联合密度函数是
1,0 1,
(,)
0,
x y x
f x y
?
? ?
?
< < <
其 他
，求 DX（ ）,
解法 1 X的边缘密度函数是
2,0 1
( ) (,)
0,X
xx
f x f x y d y
??
??
?
?? ?
?
?
<<
其 他
故
1 31
00
22( ) ( ) 2
33X
E X x f x d x x x d x x
??
??
? ? ? ? ???
12 2 2 4 1
00
11( ) ( ) 2
22XE X x f x d x x x d x x
??
??
? ? ? ? ???
22 1 4 1( ) ( ) [ ( ) ]
2 9 1 8
D X E X E X? ? ? ? ?
解法 2
11 31
000
22( ) (,) 2
33
x
x
E X d x x f x y d y x d x d y x x d x x? ? ? ?
? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?
112 2 2 2 3 1
000
11( ) (,) 2
22
x
x
E X d x x f x y d y x d x d y x x d x x? ? ? ?
? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?
于是
22 1 4 1( ) ( ) [ ( ) ]
2 9 1 8
D X E X E X? ? ? ? ?
例, 已知 X ~ B ( 10,0, 4 ),求 2( 2 4 )E X X??,
解 由于
( ) 1 0 0, 4 4EX ? ? ?
2 2 2( ) ( ) [ ( ) ] 1 0 0, 4 0, 6 4 1 8, 4E X D X E X? ? ? ? ? ? ?
所以
22( 2 4 ) ( ) 2 ( ) 4 1 8, 4 2 4 4 3 0, 4E X X E X E X? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
§ 3.3 随机变量方差的性质
? (1)设 C是常数,则 D(C)=0
? (2)设 C是常数,X是随机变量,则有
D(CX)=C2D(X)
? (3)设 X,Y是两个相互独立的随机变量,则有
D(X+Y)=D(X)+D(Y)
? (5)D(X)=0的充要条件是 X以概率 1取常数 C,即
P{X=C}=1
? (4)对于任意常数 C≠E(X),有
D(X)<E(X-C)2
? 定理,D(aX+b)=a2D(X)
证明 D(aX+b)=E{[(aX+b)-E(aX+b)]2}
= E{[(aX+b)-E(aX)-b]2}
= E{[aX-E(aX)]2}
=E{[a(X-E(X))]2 }
=a2E{[X-E(X)]2}
=a2D(X)
? 定理,设 X,Y是两个相互独立的随机变量,则有
D(X+Y)=D(X)+D(Y)
证明 D(X+Y)=E{[(X+Y)-E(X+Y)]2}
=E {[(X-E(X))+(Y-E(Y))]2}
= E {[X-E(X)]2}+P{[Y-E(Y)]2}
+2E{[X-E(X)] [Y-E(Y)]}
? 由于 X,Y相互独立,知 X-E(X)与 Y-E(Y)也相互独
立,从而有 2E{[X-E(X)] [Y-E(Y)]}=2E{[X-E(X)]}E{
[Y-E(Y)]}=0,
? 于是得 D(X+Y)=D(X)+D(Y)
? 定理,对于任意常数 C≠E(X),有
D(X)<E(X-C)2
证明 E(X-C)2=E{[X-E(X)+E(X)-C]2}
=E{[X-E(X)]2 } +2[E(X)-C]E{[X-E(X)] } + [E(X)-C]2
=D(X) + [E(X)-C]2
由于 C≠E(X),所以 [E(X)-C]2 > 0
从而有 D(X)<E(X-C)2
? 例,设 X服从二项分布 X~B(n,p),求 E(X)和 D(X),
解 令 X1,X2,…,X n相互独立,且它们的分布律为
P{Xi=0}=1-p,P{Xi=1}=p,i=1,2,…,n,则有
X= X1 + X2 +...+ Xn
从而有
? E(X)=E(X1 + X2 +...+ Xn)
= E(X1)+E( X2 )+...+ E(Xn)=np
? D(X)=D (X1 + X2 +...+ Xn)
= D(X1)+D( X2 )+...+ D(Xn)=npq
例, 设 ( 2 )X ?, Z = 3X - 2,求 E (Z ), D (Z ),
解
( ) ( ) 2E X D X??
由期望与方差的性质可得
( ) 3 ( ) 2 3 2 2 4,( ) 9 ( ) 9 2 1 8E Z E X D Z D Z? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
例, 设 XY 与 相互独立，且 ( 0,2 ),( 0,2 )X N Y U，求
2( 3 ),( 3 ),[ ( ) ]E X Y D X Y E X Y? ? ?
解 由题意 1
( ) 0,( ) 2,( ) 1,( ) 3E X D X E Y D Y? ? ? ?
( 3 ) ( ) 3 ( ) 0 3 1 3E X Y E X E Y? ? ? ? ? ? ? ?
1( 3 ) ( ) 9 ( ) 2 9 5
3D X Y D X D Y? ? ? ? ? ? ?
22[ ( ) ] ( ) [ ( ) ]? ? ? ? ?E X Y D X Y E X Y
22 1 1 0( ) ( ) [ ( ) ( ) ] 2 ( 0 1 )
33? ? ? ? ? ? ? ? ?D X D Y E X E Y
于是
§ 4 协方差与相关系数
? 对于二维随机向量 (X,Y)来说,数学期望 E(X)、
E(Y)只反映了 X与 Y各自的平均值,方差只反映了 X
与 Y各自离开均值的偏离程度,它们对 X与 Y之间相
互关系不提供任何信息,
? 但二维随机向量 (X,Y)的概率密度 p(x,y)或分布列
pij全面地描述了 (X,Y)的统计规律,也包含有 X与 Y之
间关系的信息,我们希望有一个数字特征能够在一
定程度上反映这种联系,
? 定义,设二维随机向量 (X,Y)的数学期望
(E(X),E(Y))存在,若 E[(X-E(X))(Y-E(Y))]存在,则称
它为随机变量 X与 Y的协方差,记为 Cov(X,Y),即
Cov(X,Y)= E[(X-E(X))(Y-E(Y))]
? 协方差有计算公式
Cov(X,Y)= E(XY)-E(X)E(Y)
? 任意两个随机变量 X与 Y的和的方差为
D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2Cov(X,Y)
§ 4.1 协方差
协方差的性质
(,) ( )C o v X X D X?
1,
(,) (,)C o v X Y C o v Y X?
2,
(,) (,)C o v a X b Y a b C o v Y X??a,b是常数
3,
1 2 1 2(,) (,) (,)C o v X X Y C o v X Y C o v X Y? ? ?
4,
? 定理,Cov(X,Y)=Cov(Y,X)
证明 Cov(X,Y)= E[(X-E(X))(Y-E(Y))]
= E[(Y-E(Y)) (X-E(X))]
= Cov(Y,X)
? 定理, Cov(aX,bY)=abCov(X,Y),a,b是常数
证明 Cov(aX,bY)=E[(aX-E(aX))(bY-E(bY))]
=E{[a(X-E(X))][b(Y-E(Y))]}
=abE{[X-E(X)][Y-E(Y)]}
=abCov(X,Y)
? 定理,Cov(X+Y,Z)=Cov(X,Z)+Cov(Y,Z)
证明 Cov(X+Y,Z)
=E{[(X+Y)-E(X+Y)][Z-E(Z)]
= E{[(X-E(X))+(Y-E(Y))][Z-E(Z)]}
= E{[X-E(X)][Z-E(Z)]
+[Y-E(Y)][Z-E(Z)]}
=E{[X-E(X)][Z-E(Z)]}
+E{[Y-E(Y)][Z-E(Z)]}
=Cov(X,Z)+Cov(Y,Z)
? 协方差的数值在一定程度上反映了 X与 Y相互间
的联系,但它受 X与 Y本身数值大小的影响,如令
X*=kX,Y*=kY,这时 X*与 Y*间的相互联系和 X与 Y
的相互联系应该是一样的,但是
Cov(X*,Y*)=k2Cov(X,Y)
? 为了克服这一缺点,在计算 X与 Y的协方差
之前,先对 X与 Y进行标准化,
)(
)(
)(
)(
YD
YEYY
XD
XEXX ???? ??
? 再来计算 X*和 Y*的协方差，这样就引进了相关
系数的概念,
)()(
),(
YDXD
YXC ov
XY ??
? 定义,设二维随机变量 (X,Y)的方差 D(X)>0,D(Y)>0,
协方差 Cov(X,Y)均存在,则称
为随机变量 X与 Y的 相关系数 或 标准协方差,
§ 4.2 相关系数
? 引理,对于二维随机向量 (X,Y),若 E(X2),E(Y2)存
在,则有
|E(XY)|2≤E(X2)E(Y2)
? 证明,考虑实变量 t的二次函数
h(t)=E[(tX-Y)2]=t2 E(X2)-2tE(XY)+E(Y2)
因为对一切 t,有 (tX-Y)2≥0,所以 h(t)≥0,
从而二次方程 h(t)=0或者没有实根,或者只有重根,
因而，由二次方程根的判别式知识得
|E(XY)|2≤E(X2)E(Y2)
§ 4.2.1 相关系数的性质
? 性质 1:随机变量 X和 Y的相关系数满足 |ρXY|≤1,
? 性质 2,|ρXY|=1 的充要条件是,存在常数 a,b使得
P{Y=a+bX}=1,
? 性质 3:若 X与 Y相互独立,则 ρXY=0,
? 性质 1:随机变量 X和 Y的相关系数满足 |ρXY|≤1,
证明 令
)(
)(
)(
)(
YD
YEYY
XD
XEXX ???? ??
则
)()(
) ] } )()][({[( 22
YDXD
YEYXEXE
XY
????
从而 |ρXY|≤1,
22 * ) ]*([] } )
)(
)(][
)(
)({[( YXE
YD
YEY
XD
XEXE ????
1)*()*( 22 ?? YEXE
? 性质 2,|ρXY|=1 的充要条件是,存在常数 a,b使得
P{Y=aX+b}=1
证明 令
)(
)(
)(
)(
YD
YEYY
XD
XEXX ???? ??
由 ρXY2=[E(X*Y*)]2≤E(X*)E(Y*)=1
知 |ρXY|=1等价于 [E(X*Y*)]2-E(X*)E(Y*)=0
它又等价于 h(t)=E[(tX*-Y*)2]=0有重根 t0,
又因为 E(t0X*-Y*)=t0E(X*)-E(Y*)=0
所以 D(t0X*-Y*)=0,由方差的性质知它等价于
P{t0X*-Y* =0}=1,即 P{Y=aX+b}=1
其中 a=t0σ(Y)/σ(X),b=E(Y)- t0 E(X) σ(Y)/σ(X),
0
)()(
),(
??
YDXD
YXC o v
XY?
? 性质 3:若 X与 Y相互独立,则 ρXY=0,
证明 若 X与 Y相互独立,则 E(XY)=E(X)E(Y),
又 Cov(X,Y)= E(XY)-E(X)E(Y),所以
§ 4.2.2 相关系数的含义
?
?
?
?
?
?
?
????
?
?
????
?
?
0)(2)(2)(2
0)(2)(22
2
XaEXYEXbE
b
e
YEXbEa
a
e
)(
),()()(,
)(
),(
00 XD
YXC o vXEYEa
XD
YXC o vb ???
)()1(})]({[ 22
,
YDbXaYE XY
ba
M i n ?????
? 考虑以 X的线性函数 a+bX来近似表示 Y.以均方误差
e=E{[Y-(a+bX)]2}
=E(Y2)+b2E(X2)+a2-2bE(XY)+2abE(X)-2aE(Y)
来衡量以 a+bX近似表达 Y的好坏程度,e的值越小表示
a+bX与 Y的近似程度越好,为此令
从而得
解得
? 相关系数只是随机变量间线性关系强弱的一个
度量,当 |ρXY|=1 时,说明 X与 Y间存在着线性关系 (除
去一个零概率事件以外 ).当 |ρXY|<1 时,这种线性相
关程度随着 ρXY的减小而减弱,
? 定义,(1) 当 ρXY=1 时,称 X与 Y正线性相关 ;
(2)当 ρXY=-1 时,称 X与 Y负线性相关 ;
(3)当 ρXY=0时,称 X与 Y不相关,
? 注,(1) X与 Y不相关,只是意味着 X与 Y不线性相关
,但可能存在着别的函数关系 ;
(2)若 ρXY存在,则当 X与 Y独立时,X与 Y一定不相关 ;
但 X与 Y不相关时,X与 Y不一定独立,
o X
Y
o
o
o
X
X X
Y
Y
Y
0<ρ<1 -1<ρ<0
ρ =1 ρ =-1
相关情况示意图
(,) ( ) ( ) ( )C o v X Y E X Y E X E Y? ? ?
证 由协方差的定义及数学期望的性质，得
? ?(,) [ ( ) ] [ ( ) ]C o v X Y E X E X Y E Y? ? ?
[ ( ) ( ) ( ) ( )E X Y X E Y Y E X E X E Y? ? ? ? ? ? ?
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )E X Y E X E Y E Y E X E X E Y? ? ? ? ? ? ?
( ) ( ) ( )E X Y E X E Y? ? ?
定理,
§ 4.3 协方差的关系式
( ) ( ) ( ) 2 (,)D X Y D X D Y C o v X Y? ? ? ?
证 由方差公式及协方差的定义，得
? ?2( ) [ ( ) ( ) ]D X Y E X Y E X Y? ? ? ? ?
? ?2[ ( ( ) ) ( ( ) ) ]E X E X Y E Y? ? ? ?
? ?22[ ( ) ] [ ( ) ] 2 [ ( ) ] [ ( ) ]E X E X Y E Y X E X Y E Y? ? ? ? ? ? ?
22[ ( ) ] [ ( ) ] 2 [ ( ) ] [ ( ) ]E X E X E Y E Y E X E X Y E Y? ? ? ? ? ? ?
( ) ( ) 2 (,)D X D Y C o v X Y? ? ?
定理,
例,二维随机变量（ X,Y ）的联合分布律如下表，
求 (,)C o v X Y,
XY?
,
Y X -1 0 1
0 0.07 0.18 0.15
1 0.08 0.32 0.20
解 X与 Y的分布律分别为
X -1 0 1
P 0.15 0.5 0.35
Y 0 1
P 0.4 0.6
( ) ( 1 ) 1 0, 0 8 1 1 0, 2 0 0, 1 2? ? ? ? ? ? ? ?E X Y
( ) ( 1 ) 0, 1 5 1 0, 3 5 0, 2 0? ? ? ? ? ?EX
( ) 1 0, 6 0, 6? ? ?EY
于是
(,) ( ) ( ) ( ) 0, 1 2 0, 2 0 0, 6 0? ? ? ? ? ? ?C o v X Y E X Y E X E Y
(,)
0
( ) ( )
XY
C o v X Y
D X D Y
? ??
?
例, 设 二维随机变量 ( X,Y ) 的联合密度函数
(),0,
(,)
0,
xye x y
f x y
??? ? ? ? ?
? ?
? 其 他
，求 (,)C o v X Y,
XY?
,
解
( ) (,)E X Y d x x y f x y d y? ? ? ?
? ? ? ?
????
()
0 0 0 0
1x y x yd x x y e d y x e d x y e d y? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ?? ? ? ?
( ) (,)E X d x x f x y d y? ? ? ?
? ? ? ?
????
()
0 0 0 0
1x y x yd x x e d y x e d x e d y? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ?? ? ? ?
22( ) (,)E X d x x f x y d y? ? ? ?
? ? ? ?
????
2 ( ) 2
0 0 0 0
2x y x yd x x e d y x e d x e d y? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ?? ? ? ?
( ) (,)E Y d x y f x y d y? ? ? ?
? ? ? ?
????
()
0 0 0 0
1x y x yd x y e d y e d x y e d y? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ?? ? ? ?
22( ) (,)E Y d x y f x y d y? ? ? ?
? ? ? ?
????
2 ( ) 2
0 0 0 0
2x y x yd x y e d y e d x y e d y? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ?? ? ? ?
则 22( ) ( ) [ ( ) ] 3D X E X E X? ? ?
22( ) ( ) [ ( ) ] 3D Y E Y E Y? ? ?
于是
(,) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 0C o v X Y E X Y E X E Y? ? ? ? ? ? ?
(,) 0
( ) ( )XY
C o v X Y
D X D Y
? ??
?
例, 已知 ( ) 4DX ?, ( ) 9DY ?, 1
3XY
? ?,设 2U X Y??,
2V X Y??, 求 UV?,
解 1
(,) ( ) ( ) 4 9 2
3XY
C o v X Y D X D Y?? ? ? ? ? ? ?
( ) ( 2 ) ( 2 ) ( ) 2 ( 2,)D U D X Y D X D Y C o v X Y? ? ? ? ?
4 ( ) ( ) 2 2 (,) 3 3D X D Y C o v X Y? ? ? ? ? ?
( ) ( 2 ) ( 2 ) ( ) 2 ( 2,)D V D X Y D X D Y C o v X Y? ? ? ? ?
4 ( ) ( ) 2 2 (,) 1 7D X D Y C o v X Y? ? ? ? ? ?
(,) ( 2,2 )C o v U V C o v X Y X Y? ? ?
( 2,2 ) ( 2,) (,2 ) (,)C o v X X C o v X Y C o v Y X C o v Y Y? ? ? ?
4 ( ) ( ) 7D X D Y? ? ?
(,) 7
( ) ( ) 5 5 1
UV
C o v U V
D U D V
? ??
?
所以
因此
? 例,设随机变量 Θ在 [-π,π]上服从均匀分布,又
X=sinΘ,Y=cosΘ
试求 X与 Y的相关系数 ρ,
解 这时有
?? ?? ???? ? ?? ? ?? 0c o s2 1)(0s i n2 1)( x d xYEx d xXE
?? ?? ???? ? ?? ? ?? 21c o s2 1)(21s i n2 1)( 2222 x d xYEx d xXE
0c o ss i n2 1)( ?? ?
?
?
??
x d xxXYE
这时有 Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)=0,即 ρ=0,
从而 X与 Y不相关,没有线性关系 ;但是 X与 Y存在
另一个函数关 X2+Y2=1,从而 X与 Y是不独立的,
的非负性和及 )(})]({[ 2
,
YDbXaYEM i n
ba
??
)()1(})]({[ 22
,
YDbXaYE XY
ba
M i n ?????
.1||,01 2 ??? XYXY ?? 即
? 性质 1:随机变量 X和 Y的相关系数满足 |ρXY|≤1,
证明 由
可知
1}{,1)}({ 0000 ?????? XbaYPXbaYP 即从而有
? 性质 2,|ρXY|=1 的充要条件是,存在常数 a,b使得
P{Y=a+bX}=1
? 证明,(1)若 |ρXY|=1,则由
得)()1(})]({[ 2200 YDXbaYE XY?????
20000200 )]}([{)]([})]({[0 XbaYEXbaYDXbaYE ?????????
0)]([0)]([ 0000 ?????? XbaYEXbaYD故有
? (2)若存在常数 a*,b*使得 P{Y=a*+b*X}=1,则有
P{[Y-(a*+b*X)]2=0}=1.即得 E {[Y-(a*+b*X)]2}= 0,又由
)()1(})]({[})]({[0 22
,
2** YDbXaYEXbaYE
XY
ba
M i n ?????????
即得 |ρXY|=1
§ 5 独立性与不相关性、矩
§ 5.1 独立性与不相关性
定理, 随机变量 X与 Y不相关与下列结论之一等价,
(,) 0?C o v X Y1,
( ) ( ) ( )? ? ?D X Y D X D Y
2,
( ) ( ) ( )??E X Y E X E Y
3,
例, 设二维随机变量 (X,Y ) 的联合密度函数
1
( 1 ),1,1
(,) 4
0,其 他
?
? ? ??
?
?
?
?
x y x y
f x y
试分析 X 与 Y 的相关性和独立性,
解 11
11
1( ) ( 1 )
4??
? ? ???E X Y d x x y x y d y
1 1 1
1 1 1
1 1 2 1[ ( 1 ) ]
4 4 3 9? ? ?
? ? ? ? ?? ? ? xx y x y d y d x x d x
11
11
1
( ) ( 1 )
4??
? ? ???E X d x x x y d y
1 1 1
1 1 1
11[ ( 1 ) ] 0
42? ? ?
? ? ? ?? ? ?x x y d y d x x d x
同理可得 E(Y)=0
于是 1
(,) ( ) ( ) ( ) 0
9
? ? ? ? ?C o v X Y E X Y E X E Y
即 X与 Y相关，从而 X与 Y不独立,
例, 二维随机变量 ( X,Y ) 的联合分布律 如 下 表,
试分析 X 与 Y 的相关性和独立性,
Y X -1 0 1
-1 1/6 1/3 1/6
1 1/6 0 1/6
解 X与 Y的分布律分别为
X -1 0 1
P 1/3 1/3 1/3
Y -1 1
P 2/3 1/3
则有 1
( ) 0,( ),( ) 0
3
? ? ? ?E X E Y E X Y
于是
(,) ( ) ( ) ( ) 0? ? ? ?C o v X Y E X Y E X E Y
即
(,)
0
( ) ( )
XY
C o v X Y
D X D Y
? ??
?
亦即 X与 Y相关,
而 12( 1,1 ) ( 1 ) ( 1 )
69? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?P X Y P X P Y
故 X与 Y不相互独立,
? 例,设 (X,Y)~N(μ1,μ2,σ12,σ22,ρ),求 X和 Y的相关系
数，并分析 X与 Y的相关性和独立性,
解
,)(,)(,)(,)( 222121 ???? ???? YDXDYEXE已知
2121 ),())((),( ????? ???? ? ?
?
??
?
??
d x d yyxfyxYXC o v
设 (X,Y)的概率密度为 f(x,y),则
12
12
(,)
( ) ( )
? ? ?
?XY
C o v X Y
D X D Y
? ? ?
??
??
因此,X和 Y的相关系数
当 ρ=0时,X与 Y不相关,
二维正态分布的联合密度函数为,
22
1 1 2 2
2 2 2
1212
( ) ( ) ( ) ( )1
2
2 ( 1 )
2
12
1
(,)
21
??? ? ? ?? ??
????
? ???
?
x x y y
f x y e
? ? ? ?
?
??? ? ?
? ? ? ?
12 0,0,,? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?xy??
X与 Y的边缘密度函数为,
2
1
2
1
()
2
1
1
( ) (,),
2
?
???
??
? ? ? ? ? ? ? ??
x
Xf x f x y d y e x
?
?
??
2
2
2
2
()
2
2
1
( ) (,),
2
?
???
??
? ? ? ? ? ? ? ??
y
Yf y f x y d x e y
?
?
??所以,当且仅当
0?? 时,(,) ( ) ( )?? XYf x y f x f y，即 X
与 Y 相互独立,
§ 5.2 随机变量的矩
? 定义,设 X和 Y是随机变量,
? (1)若 E(Xk)(k=1,2,…) 存在,则称它为 X的 k阶原点
矩,简称 k阶矩,
? (2)若 E{[X-E(X)] k} (k=1,2,…) 存在,则称它为 X的
k阶中心矩,
? 更一般地,若 a是一常数,p是一正数,如果 E[(X-a)p]
存在,则称它是关于 a点的 p阶矩,
? (3)若 E(XkYl) (k,l=1,2,…) 存在,则称它为 X和 Y的
k+l阶混合矩,
? (4)若 E{[X-E(X)] k[Y-E(Y)] l} (k,l=1,2,…) 存在,则
称它为 X和 Y的 k+l阶混合中心矩,
随机变量 X与 Y的二阶中心矩共有四个，分别记为,
? ?211 [ ( ) ] ( )? ? ?c E X E X D X
? ?222 [ ( ) ] ( )? ? ?c E Y E Y D Y
? ?12 [ ( ) ] [ ( ) ] (,)? ? ? ?c E X E X Y E Y C o v X Y
? ?21 [ ( ) ] [ ( ) ] (,)? ? ? ?c E Y E Y X E X C o v Y X
称矩阵 1 1 1 2
2 1 2 2
??
??
??
cc
cc
为 X 与 Y 的协方差矩阵，显然，
这是一个对称矩阵（还以证明它是非负定的）,
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
nnnn
n
n
ccc
ccc
ccc
C
.,,
.,,.,,.,,.,,
.,,
.,,
21
22221
11211
? 定义,设 n维随机变量 (X1,X2,…,X n)的二阶混合中
心矩
cij=Cov(Xi,Xj)=E{[Xi -E(Xi)][Xj -E(Xj )]},
i,j=1,2,…,n,都存在,则称矩阵
为 n维随机变量 (X1,X2,…,X n)的 协方差矩阵,
? 例,设 X,Y的联合分布列如表所示试求 X和 Y的协
方差矩阵,
X Y 0 1
0 1 - p 0
1 0 p
解 因为 E(X)=0× (1-p)+0× 0+1× 0+1× p=p,
同样 E(Y)=p,
所以,c11=D(X)=(0-p)2(1-p)+(1-p)2p=p(1-p),同样 c22=p(1-p)
c12= c21= E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}
=(0-p)(0-p)(1-p)+(0-p)(1-p)0+(1-p)(0-p)0+(1-p)(1-p)p
=p(1-p)
? 故协方差矩阵为 ??
?
?
???
?
??
??
?
)1()1(
)1()1(
pppp
pppp
C
? 例,设 (X,Y)在矩形区域 G={(x,y)|a≤x≤b,c≤y≤d}上服从
均匀分布,试求 X和 Y的协方差矩阵,
解
2))((
1),()( bad x d y
cdab
xd x d yyxxpXE b
a
d
c
??
??
?? ? ?? ??
??
?
??
12
)(
))((
1
2
),(
2
)(
22
2
11
ab
d x d y
cdab
ba
x
d x d yyxp
ba
xXDc
b
a
d
c
?
?
??
?
?
?
?
?
? ?
??
?
?
?
?
?
? ?
???
? ?
? ?
?
??
?
??
同样得
12
)()(
2)(
2
22
cdYDcdcYE ?????
0))(( 1)2)(2(2112 ????????? ? ? d x d ycdabdcybaxcc b
a
d
c
所以 X和 Y的协方差矩阵为
???
?
???
?
?
??
12/)(0
012/)(
2
2
cd
abC
的协方差矩阵为所以 ),(,YX
? 例,设 (X,Y)~N(μ1,μ2,σ12,σ22,ρ),求 X和 Y的协方差矩
阵,
解 因为
212112
2
222
2
111
),(
)(,)(
???
??
???
????
YXC o vcc
YDcXDc
?
?
?
?
?
?
?
?
?
2
221
21
2
1
????
????
C
? 我们知道,随机变量的分布列或概率密度,全面
地描述了随机变量的统计规律,但在许多实际问
题中,这样的全面描述并不使人感到方便,
? 已知一只母鸡的年产蛋量是一个随机变量,如
果要比较两个品种的母鸡的年产蛋量,通常只要
比较这两个品种的母鸡的年产蛋量的平均值就
可以了,平均值大就意味着这个品种的母鸡的产
蛋量高,如果不去比较它们的平均值,而只看它们
的分布列,虽然全面,却使人不得要领,既难以掌握
,又难以迅速地作出判断,
§ 1 随机变量的数学期望
§ 1.1 离散型随机变量的数学期望
? 例,有 A,B两射手，他们的射击技术如表所
示，试问哪一个射手本领较好？
0.3 0.5 0.2 0.6 0.1 0.3 概率
10 9 8 10 9 8 击中环数
B A 射手名称
5
4
16 21 28 17 10 3 只数 Nk
3 2 1 0 -1 -2 日走时误差 xk
22.1100 5416321228117010)1(3)2( ?????????????????
?
?
?
N
Nx
x k
kk
?? ???? kkkk fxNNx平均值
则抽查到的 100只手表的平均日走时误差为
即
? 例,某手表厂在出厂产品中,抽查了 N=100只手
表的日走时误差,其数据如表,
? 如果另外再抽验 100只手表,每作一次这样的检
验,就得到一组不同的频率,也就有不同的日走时误
差的平均值,由关于频率和概率关系的讨论知,理论
上应该用概率去代替上述和式的频率,这时得到的
平均值才是理论上 (也是真正 )的平均值,
? 这样我们就引出了随机变量的数学期望的概念,
,...2,1}{ ??? kpxXP kk
? ???
k
kk px ||
k
k
k px?
? 定义,设离散型随机变量 X的概率分布为
如若
则称 为随机变量 X的 数学期望,记为 E(X),
? 如果
? ???
k
kk px ||
则称随机变量 X的 数学期望不存在,
所以 A的射击技术较 B的好,
0.3 0.5 0.2 0.6 0.1 0.3 概率
10 9 8 10 9 8 击中环数
B A 射手名称
3.96.0101.093.08 ??????
1.93.0105.092.08 ??????
? 例,有 A,B两射手，他们的射击技术如表所示，
试问哪一个射手本领较好？
解 A射击平均击中环数为
B射击平均击中环数为
例,某工人工作水平为：全天不出废品的日子
占 3 0 %,出一个废品的日子占 4 0 %,出二个废品
占 2 0 %,出三个废品占 1 0 % 。
① 设 X 为一天中的废品数，求 X 的分布律；
② 这个工人平均每天出几个废品？
解 ① 分布律为,X 0 1 2 3
P 0.3 0.4 0.2 0.1
② 平均废品数为,
( ) 0 0, 3 1 0, 4 2 0, 2 3 0, 1 1, 1 ( /EX ? ? ? ? ? ? ? ? ? 个 天 ）
? 例,设随机变量 X具有如下的分布，求 E(X),
,...2,1,
2
1
}
2
)1({ ????? k
k
XP
k
k
k
解 虽然有
k
kk
k
k
k
k kxXPx 2
12)1(}{
11
????? ??
?
?
?
?
收敛,但
发散,因此 E(X)不存在,
2ln1)1(
1
???? ?
?
?k
k
k
11
1
kk
kk
xp
k
??
??
? ? ? ???
§ 1.1.1（ 0-1）分布数学期望
设 X的分布列为,
X 0 1
P q p
0 p 1<< 1qp??
则
( ) 0 1E X q p p? ? ? ? ?
其中
§ 1.1.2 二项分布数学期望
nkqpCkXP knkkn,...,2,1,0}{ ??? ?
? ?
? ?
?????
n
k
n
k
knkk
n qpkCkXPkXE
0 1
}{)(
? 定理,设随机变量 X服从二项分布,即
则随机变量 X的数学期望 E(X)=np,
证明
knk
n
k
qp
knk
nk ?
?
? ???
1 )!(!
! )1()1(1
1 )]!1()1[()!1(
)!1( ????
?
? ???? ?? knk
n
k
qp
knk
nnp
)1()1(1
1
01 ) ] !1()1[()!1(
)!1( ?????
??
? ???? ?? knk
n
k
qp
knk
nnp
npqpnp n ??? ? 1)(
§ 1.1.3 泊松分布数学期望
? 证明,
0,.,, ;2,1,0,
!
}{ ???? ? ?? ? ke
k
kXP
k
????? ???? ?????? ?
?
?
????
?
?? eekeekkXE
k
k
k
k
1
1
0 )!1(!
)(
? 定理,设随机变量 X服从泊松分布,即
则随机变量 X的数学期望 E(X)=λ,
§ 1.2 连续型随机变量的数学期望
?我们已知离散型随机变量 X的数学期望为
E(X)=
k
k
k px?
?自然要问连续型随机变量的数学期望是什么?
?设 p(x) 是连续型随机变量 X的密度函数,取分点
x0<x1<…< xn+1
则随机变量 X落在△ xi=(xi,xi+1)中的概率为
}{)()(}{ 1 iii
xx
xi
xYPxxpdxxpxXP
ii
i
???????
?
? ?
相当小时
?与 X近似的随机变量 Y的数学期望为 ?
?
?
n
i
iii xxpx
0
)(
由微积分知识自然想到 X的数学期望为
???? dxxxp )(
为连续型随机变量 X的 数学期望,记为 E(X),
? ???? ???dxxpx )(||
? ???? dxxxp )(
? 定义,设连续型随机变量 X的密度函数为 p(x),若
则称
? 如果
? ???? ???dxxpx )(||
则称连续型随机变量 X的 数学期望不存在,
?
?
? ??
?
其他,0
10,2
)(
xx
xp
? ????? dxxxpXE )()(
? 例,设随机变量 X的概率密度函数为
试求 X的数学期望
解
3
2
3
2
2
1
0
31
0
2 ??? ? xdxx
? ??
1
0
2 x d xx
??????
?
?? x
x
xp,
1
11)(
2?
dxxxdxxxdxxpx ?? ? ????
??
??
?? ?
???
0 22 1
2
1
11||)(||
??
0
1
1)(
2 ??? ??
??
??
??
??
dx
x
xdxxxp
?
? 例,若随机变量 X的概率密度函数为
问随机变量 X的数学期望 E(X)是否存在,
解
所以 E(X)不存在,但
?????
?
? ??
??
? 0220 2 |)1l n (1)1(1 11 xxdx ??
§ 1.2.1 均匀分布的数学期望
ba
bxa
abxp ?
?
?
?
?
?
??
??
其他,0
,,
1
)(
)(
2
1
2
1
1
)()(
2
ba
x
ab
dx
ab
xdxxxpXE
b
a
b
a
???
?
?
?
?? ??
??
??
? 定理,设连续型随机变量 X的密度函数为
则 E(X)=(a+b)/2,
? 证明,
§ 1.2.2 指数分布的数学期望
0
,0,0
,0,
)( ?
?
?
?
?
?
?
?
?
? ?
x
xe
xp
?? ?? ????? ?? 0)()( dxxedxxxpxE x??
? 定理,设连续型随机变量 X的密度函数为
则随机变量 X的数学期望为 E(X)=1/λ,
证明
? ?? ?? 01 dttext t??
??
1)(1
00
??????? ??? ?
?? ????
dtete tt
§ 1.2.3 正态分布的数学期望
? ?? ?? ??? dxxxXE })(2 1e x p {2 1)( 22 ????
? 定理,设连续型随机变量 X~N(μ,σ2),则 E(X)=μ,
证明
dttttx }
2
{e x p)(
2
1
2
2
?
?
??
? ???? ?
??
??
dttdttt }
2
{e x p
2
}
2
{e x p(
2
1
22
22
???
?
???
???? ??
??
??
??
??
dtt }
2
{e x p
2 2
2
???
? ?? ? ??
??
?
?
?
?
??? ?
??
??
dssst }
2
{e x p
2
2
§ 2 随机变量函数的数学期望
? 定理,设 Y是随机变量 X的函数,Y=f(X)(f是连续函数 ),
?
?
?
???
1
|)(|
k
kk pxf
??
?
??
1
)()]([)(
k
kk pxfXfEYE
? ???? ???dxxpxf )(|)(|
? ?????? dxxpxfXfEYE )()()]([)(
? (1)设离散型随机变量 X的概率分布为
P{X=xk}=pk,k=1,2,..,
? (2)设连续型随机变量 X的密度函数为 p(x),若
若
则
则有
§ 2.1 随机变量函数的数学期望
,...2,1,},{ ???? jipyYxXP ijji
???? ? ij
j i
ji pyxf |),(|
? ???
j i
ijji pyxfYXfEZE ),()],([)(
? ????? ???? ???d xd yyxpyxf ),(|),(|
? ????? ?????? d xd yyxpyxfYXfEZE ),(),()],([)(
? 定理,设 Z是随机变量 X,Y的函数 Z=f(X,Y) (f是连
续函数 ),
? (1)设二维随机向量 (X,Y)的分布律为
? (2)设二维随机向量 (X,Y)的分布密度为 p(x,y),若
若
则
则
dxexxt
dtedte
yXyPyXPyF
x
y
t
y
t
y
y
Y
22
1
0
2
2
0
2
2
2
1
2
1
2
2
1
}{}{)(
22
??
??
?
?
??
?
??
??????
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
??
0,0
0,
2
1
)(
22
1
y
yey
yp
y
Y ?
1
2
1
2
)(2
2
1
2
2
2
1
)()(
2
0
2
0
2
0
2
2
22
1
0
2
22
??
???
???
???
??????
??
??
????
?
??
? ?
dte
etddte
t
ty
dyeyydyyypYE
t
tt
y
Y
?
??
?
1
2
1)( 222
2
???
???
???
dxexXE
x
?
? 例,已知随机变量 X~N(0,1),求 E(X2),
解法 1 先求 Y= X2 的概
率密度函数,
若 y<0,则 FY(y)=0;若 y>0,则
所以 Y= X2 的概率密度函
数为
解法 2
再求
例, 设（ X,Y）的联合分布律如下,Z=XY，求 E(Z),
X
Y
1 2 3
0
1
0.1 0.15 0.25
0.25 0.15 0.1
解 ( ) 1 0 0, 1 1 1 0, 2 5 2 0 0, 1 5 2 1 0, 1 5? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?EZ
3 0 0, 2 5 3 1 0, 1 0, 8 5? ? ? ? ? ? ?
?
?
?
?
?
??
?
其他,0
0,
1
)(
av
avp
? ?
??
??
???
a
kadv
a
kvdvvpkvWE
0
222
3
11)()(
? 例,设风速 V在 (0,a)上服从均匀分布,又设飞机机翼
受到的正压力 W是 V的函数,W=kV2(k>0,常数 ),求 W
的数学期望,
解 因为随机变量 V的密度函数为
所以
?
?
? ?????
?
其他,0
10,10,
),(
yxyx
yxp
? ????? ????? d xd yyxxypXYE ),()(
? 例,设二维随机变量 (X,Y)的概率密度为
试求 XY的数学期望,
解
? ? ???
1
0
1
0 3
1
)( d x d yyxxy
?
?
?
??
????
?
2
1
,
,)(
)(
sXssb
sXsaXsbX
XY s
?
?
?
?
?
??
??
其他,0
,
1
)(
21
12
sss
ssxp
? 例,按季节出售的某种应时商品,每售出一公斤获
利润 b元,如到季末尚有剩余商品,则每公斤净亏损 a
元,设某商品在季节内这种商品的销售量 X(以公斤
计 )是一随机变量,X在区间 (s1,s2)上服从均匀分布,为
使商店所获得利润的数学期望最大,问商店应进多
少货?
解 以 s(公斤 )表示进货数,进货 s所得利润记为 Ys(X),则
X的概率密度为
12
2
121
2
2
)(
2
ss
s
ab
sbsass
ab
?
?
?
?
?
?
? ?
???
?
?
?
0
)(
)]}([{
12
21 ?
?
????
?
ss
bsassab
XYE
ds
d
s
ab
bsas
s
?
?
? 21
由
得
于是
?? ??????
s
s
s
ss
dx
ss
axsbxdx
ss
sbXYE
1
2
1212
1])([1)]([
§ 2.2 数学期望的性质
? 1.若 a≤X≤b,则 E(X)存在,且有 a≤E(X)≤b.特别,若 C
是常数,则 E(C)=C,
? 2.设 X,Y是两个随机变量,若 E(X),E(Y)存在,则对任
意的实数 a,b,E(aX+bY)存在,且有
E(aX+bY)=aE(X)+bE(Y)
此性质可推广到有限个随机变量的线性组合的情况,
? 3.设 X,Y是互相独立的随机变量,则有
E(XY)=E(X)E(Y)
此性质可推广到有限个互相独立的随机变量之积的
情况,
? 定理,若 a≤X≤b,则 E(X)存在,且有 a≤E(X)≤b.特别,若
C是常数,则 E(C)=C,
证明 (1)设离散型随机向量 X分布列为
{X=xi}=pi,i=1,2,…
则
bpbbp
XEpxappaa
i
i
i
i
i
ii
i
i
i
i
???
????
??
???
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
11
111
)(
?(2)设连续型随机变量 X的概率密度为 p(x),则
bdxxpbdxxbpXE
dxxxpdxxapdxxpaa
????
???
??
???
?
??
?
??
?
??
?
??
?
??
)()()(
)()()(
?(3)因为 P{X=C}=1,故 E(C)=E(X)=C× 1=C
? 定理,设 X,Y是两个随机变量,若 E(X),E(Y)存在,则
对任意的实数 a,b,E(aX+bY)存在,且有
E(aX+bY)=aE(X)+bE(Y)
证明 (1)设离散型随机向量 (X,Y)的联合分布列和
边际分布列分别为
P{X=xi,Y=yj}=pij,i,j=1,2,…
P{X=xi}=pi.,i=1,2,…
P{Y=yj}=p.j,j=1,2,…
则
? ?? ?? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?????
1 11 11 1
)()(
j i
ijj
i j
iji
i j
ijji pbypaxpbyaxbYaXE
)()(
1
.
1
,YbEXaEpybpxa
j
jj
i
ii ???? ??
?
?
?
?
?(2)设连续型随机向量 (X,Y)的联合概率密度和边
际概率密度分别为 p(x,y)和 pX(x),pY(y)
则
? ?? ?? ? ?? ??? d x d yyxpbyaxbYaXE ),()()(
? ?? ? ? ?? ? ??? ?? ? ?? ?? d xd yyxb ypd xd yyxa xp ),(),(
? ?? ? ? ?? ? ??? ?? ? ?? ?? dydxyxpbydxdyyxpax ]),([]),([
)()()()( YbEXaEdyyb ypdxxa xp YX ???? ?? ? ??? ??
? 定理,设 X,Y是互相独立的随机变量,则有
E(XY)=E(X)E(Y)
证明 (1)设离散型随机向量 (X,Y)的联合分布列和
边际分布列分别为
P{X=xi,Y=yj}=pij,i,j=1,2,…
P{X=xi}=pi.,i=1,2,…
P{Y=yj}=p.j,j=1,2,…
则
? ?? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
1 1
..
1 1
)(
i j
jiji
i j
ijji ppyxpyxXYE
)()(
1
.
1
,YEXEpypx
j
jj
i
ii ??? ??
?
?
?
?
?(2)设连续型随机向量 (X,Y)的联合概率密度和边
际概率密度分别为 p(x,y)和 pX(x),pY(y)
则
? ?? ?? ? ??? d xd yyxxypXYE ),()(
? ?? ?? ? ??? d xd yypxxyp YX )()(
?? ??????? dyyypdxxxp YX )()(
)()( YEXE?
10,...,2,1
,1
,0
?
?
?
?
? i
i
i
X i
站有人下车在第
站没有人下车在第
? 例,一民航送客车载有 20位旅客自机场开出,旅客
有 10个车站可以下车,如到达一个车站没有旅客下车
就不停车,以 X表示停车的次数,求 E(X),
? 解,引入随机变量
易知 X=X1+X2+…+X 10
任一旅客在第 i站不下车的概率为 9/10.因此 20位旅客
都不在第 i站下车的概率为 (9/10)20,在第 i站有人下车
的概率为 1- (9/10)20,
即 P{Xi=0}= (9/10)20,P{Xi=1}= 1- (9/10)20
所以
E(Xi)= 1- (9/10)20,i=1,2,…,10
进而
E(X)=E(X1+X2+…+X 10)
=E(X1)+E(X2)+…+E(X 10)
=10[1- (9/10)20]=8.784
? 注,本题的特点是将 X分解为数个随机变量的和,
再求数学期望,此种方法具有普遍意义,
解
])(][)([ ??
??
??
??
??
? drrrhdiiig
?
??
?
?
? ??
????
其他其他,0
30,
9)(,0
10,2)(
2
rrrhiiig
)()()()( REIEIREVE ??
? 例,设一电路中电流 I(安 )与电阻 R(欧 )是两个
相互理独立的随机变量,其概率密度分别为
求电压 V=IR的数学期望,
2
3
]
9
][2[
3
0
31
0
2 ?? ?? drrdii
例, 设二 维随机变 量 (X,Y ) 的联合密 度函 数
22
1
,1
(,)
0,
xy
f x y ?
?
???
? ?
?
? 其 他
，试验证 E (X Y )=E ( X )E (Y ),但 X 与
Y 不相互独立,
解
2
2
22
11
11
1
11
( ) ( ) 0
x
x
xy
E X Y x y d x d y x y d y d x
??
?
? ? ?
??
? ? ? ?? ? ? ?
22 1
1( ) 0
xy
E X x d x d y
???
? ? ???
22 1
1( ) 0
xy
E Y y d x d y
???
? ? ???
因此，有
( ) ( ) ( )E X Y E X E Y??
又当 -1≤x≤1时,
2
2
1 2
1
12( ) (,) 1x
X xf x f x y d y d y x??
? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ???
故得
22 1,1 1
()
0,
X
xx
fx ?
?
? ? ? ??
? ?
?
? 其 他
同理可得
22 1,1 1
()
0,
Y
yy
fy ?
?
? ? ? ??
? ?
?? 其 他
由于
(,) ( ) ( )XYf x y f x f y??
所以 X与 Y不相互独立
例, 抛掷 6颗骰子,X表示出现的点数之和，求 E(X),
解 设随机变量 ( 1,2,,6 )
iXi ? …
表示第 i 颗骰子出现的
点数，则 6
1
i
i
XX
?
? ?,且 iX 的分布律为,
iX
1 2 3 4 5 6
P 1/6 1/ 6 1/6 1/6 1/6 1/6
1 2 1( ) ( 1 2 6 )
66i
EX ? ? ? ? ?…
从而由期望的性质可得
66
11
1 2 1( ) ( ) ( ) 6 ( 1 2 6 ) 6 2 1
66 …??? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? iiiiE X E X E X
§ 3 随机变量的方差
X A - 1 0 1 X B - 2 - 1 0 1 2
p 0,1 0,8 0,1 0,1 0,2 0 0,2 0,1
? 例,A,B两种手表的日走时误差分别具有如
下的分布律,
? 易知 E(XA)=E(XB)=0.由数学期望无法判别两
种手表的优劣,但直觉告诉我们 A优于 B,怎么样
用数学的方法把这种直觉表达出来呢?
§ 3.1 方差的概念
分析原因,
? A手表之所以优于 B手表,是因为 A手表的日走时较
B手表稳定,其日走时与其日平均误差的偏离程度小,
? 研究随机变量与其均值的偏离程度是有必要的,
? 怎么样去度量这个偏离程度呢?
? (1)xk-E(X)表示 xk与 E(X)之间的偏差 ;
? (2)E[X-E(X)]不能反映 X与 E(X)之间的整体偏差 ;
? (3)E{|X-E(X)|}可以度量 X与 E(X)之间的整体偏差,
但运算不方便 ;
? (4)E{[X-E(X)]2}可以度量 X与 E(X)之间的整体偏差
,且运算也较方便,
)()( XDX ??
? 定义,设 X是一个随机变量,若 E{[X-E(X)]2}存
在,则称 E{[X-E(X)]2}为 X的 方差,记为 D(X)或
Var(X),即
D(X)= Var(X)= E{[X-E(X)]2}
称为 X的 标准差 或 均方差,
? 定理,
证明 D(X)=E{[X-E(X)]2}
=E{X2 -2XE(X)+ [E(X)]2}
= E(X2)-2E(X)E(X)+ [E(X)]2
= E(X2)- [E(X)]2
22( ) ( ) [ ( ) ]D X E X E X??
?
?
?
??
1
2)]([)(
k
kk pXExXD
? ???? ?? dxxpXExXD )()]([)( 2
? 方差实际上是随机变量 X的函数 f(X)=[X-E(X)]2的
数学期望,于是
? (1)对于离散型随机变量 X,若
P{X=xk}=pk,k=1,2,…
则
? (2)对于连续型随机变量 X,若其概率密度为 p(x),则
X A -1 0 1 X B -2 -1 0 1 2
p 0, 1 0, 8 0, 1 0, 1 0, 2 0 0, 2 0, 1
2.11.0]02[2.0]01[4.0]00[
2.0]0)1[(1.0]0)2[()(
2.01.0]01[8.0]00[1.0]0)1[()(
222
22
222
??????????
????????
???????????
B
A
XD
XD
? 例,A,B两种手表的日走时误差分别具有如下
表的分布律,问哪种手表质量好些?
解 易知 E(XA)=E(XB)=0.所以
由于 D(XA)<D(XB),因此 A手表较 B手表的质量好,
?
?
?
?
?
???
????
??
其他,0
10,1
01,1
0)( xx
xx
xp
? 例,设随机变量 X概率密度为 p(x),求 D(X),
解
? ?? ????? 0 1 10 0)1()1()( dxxxdxxxXE
于是,D(X)=E(X2)-[E(X)]2=1/6
? ?? ?????
0
1
1
0
222
6
1)1()1()( dxxxdxxxXE
§ 3.2 常见分布的方差
§ 3.2.1（ 0-1）分布的方差
pqpXE ????? 222 01)(
? 定理,若 P{X=0}=q,P{X=1}=p,则 D(X)=pq,
证明
pqpppp
XEXEXD
?????
??
)1(
)]([)()(
2
22故有
pXE ?)(又
X 0 1
P q p
§ 3.2.2 二项分布的方差
? 定理,若随机变量 X服从二项分布 X~B(n,p),则
D(X)=npq,
22 )]([)()( XEXEXD ??
证明
?
?
??
n
k
knkk
n qpCkXE
0
22 )(
?
?
?
?
???
n
k
knk qp
knk
nkkk
1 )!(!
!])1([ nppnn ??? 2)1(
n p qpnnppnn ????? 222)1(
§ 3.2.3 泊松分布的方差
?? ?
?
?
?? ekkXE
k
k
0
22
!
)(
? 定理,设随机变量 X服从泊松分布 X~π(λ),则
D(X)=λ,
证明
???? ?????? 2222 )]([)()( XEXEXD
?? ?
?
?
? ???? ekk
k
k
1 )!1(
)11(
??
???? ??
??
?
?
?
?
?
? ?
?
??
?
?
?
??
?
?? 2
01
1
02
22
)!1()!2(
e
k
e
k k
k
k
k
§ 3.2.4 均匀分布的方差
)(
3
11)( 2222 aabbdxx
ab
XE
b
a
???
?
? ?
? 定理,设随机变量 X服从均匀分布 X~U(a,b),则
D(X)=(b-a)2/12,
证明
222 )(
12
1)]([)()( abXEXEXD ????
§ 3.2.5 指数分布的方差
2
1)(
??XD
20
22 2)(
?
? ? ?? ?
?? ?
dxexXE x
? 定理,设随机变量 X服从参数为 λ 的指数分布,则
证明
222
22 112)]([)()(
???
????? XEXEXD
§ 3.2.6 正态分布的方差
])[()( 2??? XEXD
? 定理,设随机变量 X服从正态分布 X~N(μ,σ2),则
D(X)=σ2,
证明
dx
x
x }
2
)(
e x p {
2
1
)( 2
2
2
?
?
??
?
?
??? ?
??
??
222
2
2
2
?
?
?
?
?
?
?
? ?
??
??
?
dtet
x
t
t
常见分布的期望和方差表
X 的分布 0 - 1 分布 (,)B n p ()?? (,)U a b 指数分布 2(,)N ??
期望
()EX
p
np
?
2
ab?
1
?
?
方差
()DX
pq
npq
? 2()
12
ba?
2
1
?
2?
例, 设二维随机变量 (,)XY 的联合密度函数是
1,0 1,
(,)
0,
x y x
f x y
?
? ?
?
< < <
其 他
，求 DX（ ）,
解法 1 X的边缘密度函数是
2,0 1
( ) (,)
0,X
xx
f x f x y d y
??
??
?
?? ?
?
?
<<
其 他
故
1 31
00
22( ) ( ) 2
33X
E X x f x d x x x d x x
??
??
? ? ? ? ???
12 2 2 4 1
00
11( ) ( ) 2
22XE X x f x d x x x d x x
??
??
? ? ? ? ???
22 1 4 1( ) ( ) [ ( ) ]
2 9 1 8
D X E X E X? ? ? ? ?
解法 2
11 31
000
22( ) (,) 2
33
x
x
E X d x x f x y d y x d x d y x x d x x? ? ? ?
? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?
112 2 2 2 3 1
000
11( ) (,) 2
22
x
x
E X d x x f x y d y x d x d y x x d x x? ? ? ?
? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?
于是
22 1 4 1( ) ( ) [ ( ) ]
2 9 1 8
D X E X E X? ? ? ? ?
例, 已知 X ~ B ( 10,0, 4 ),求 2( 2 4 )E X X??,
解 由于
( ) 1 0 0, 4 4EX ? ? ?
2 2 2( ) ( ) [ ( ) ] 1 0 0, 4 0, 6 4 1 8, 4E X D X E X? ? ? ? ? ? ?
所以
22( 2 4 ) ( ) 2 ( ) 4 1 8, 4 2 4 4 3 0, 4E X X E X E X? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
§ 3.3 随机变量方差的性质
? (1)设 C是常数,则 D(C)=0
? (2)设 C是常数,X是随机变量,则有
D(CX)=C2D(X)
? (3)设 X,Y是两个相互独立的随机变量,则有
D(X+Y)=D(X)+D(Y)
? (5)D(X)=0的充要条件是 X以概率 1取常数 C,即
P{X=C}=1
? (4)对于任意常数 C≠E(X),有
D(X)<E(X-C)2
? 定理,D(aX+b)=a2D(X)
证明 D(aX+b)=E{[(aX+b)-E(aX+b)]2}
= E{[(aX+b)-E(aX)-b]2}
= E{[aX-E(aX)]2}
=E{[a(X-E(X))]2 }
=a2E{[X-E(X)]2}
=a2D(X)
? 定理,设 X,Y是两个相互独立的随机变量,则有
D(X+Y)=D(X)+D(Y)
证明 D(X+Y)=E{[(X+Y)-E(X+Y)]2}
=E {[(X-E(X))+(Y-E(Y))]2}
= E {[X-E(X)]2}+P{[Y-E(Y)]2}
+2E{[X-E(X)] [Y-E(Y)]}
? 由于 X,Y相互独立,知 X-E(X)与 Y-E(Y)也相互独
立,从而有 2E{[X-E(X)] [Y-E(Y)]}=2E{[X-E(X)]}E{
[Y-E(Y)]}=0,
? 于是得 D(X+Y)=D(X)+D(Y)
? 定理,对于任意常数 C≠E(X),有
D(X)<E(X-C)2
证明 E(X-C)2=E{[X-E(X)+E(X)-C]2}
=E{[X-E(X)]2 } +2[E(X)-C]E{[X-E(X)] } + [E(X)-C]2
=D(X) + [E(X)-C]2
由于 C≠E(X),所以 [E(X)-C]2 > 0
从而有 D(X)<E(X-C)2
? 例,设 X服从二项分布 X~B(n,p),求 E(X)和 D(X),
解 令 X1,X2,…,X n相互独立,且它们的分布律为
P{Xi=0}=1-p,P{Xi=1}=p,i=1,2,…,n,则有
X= X1 + X2 +...+ Xn
从而有
? E(X)=E(X1 + X2 +...+ Xn)
= E(X1)+E( X2 )+...+ E(Xn)=np
? D(X)=D (X1 + X2 +...+ Xn)
= D(X1)+D( X2 )+...+ D(Xn)=npq
例, 设 ( 2 )X ?, Z = 3X - 2,求 E (Z ), D (Z ),
解
( ) ( ) 2E X D X??
由期望与方差的性质可得
( ) 3 ( ) 2 3 2 2 4,( ) 9 ( ) 9 2 1 8E Z E X D Z D Z? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
例, 设 XY 与 相互独立，且 ( 0,2 ),( 0,2 )X N Y U，求
2( 3 ),( 3 ),[ ( ) ]E X Y D X Y E X Y? ? ?
解 由题意 1
( ) 0,( ) 2,( ) 1,( ) 3E X D X E Y D Y? ? ? ?
( 3 ) ( ) 3 ( ) 0 3 1 3E X Y E X E Y? ? ? ? ? ? ? ?
1( 3 ) ( ) 9 ( ) 2 9 5
3D X Y D X D Y? ? ? ? ? ? ?
22[ ( ) ] ( ) [ ( ) ]? ? ? ? ?E X Y D X Y E X Y
22 1 1 0( ) ( ) [ ( ) ( ) ] 2 ( 0 1 )
33? ? ? ? ? ? ? ? ?D X D Y E X E Y
于是
§ 4 协方差与相关系数
? 对于二维随机向量 (X,Y)来说,数学期望 E(X)、
E(Y)只反映了 X与 Y各自的平均值,方差只反映了 X
与 Y各自离开均值的偏离程度,它们对 X与 Y之间相
互关系不提供任何信息,
? 但二维随机向量 (X,Y)的概率密度 p(x,y)或分布列
pij全面地描述了 (X,Y)的统计规律,也包含有 X与 Y之
间关系的信息,我们希望有一个数字特征能够在一
定程度上反映这种联系,
? 定义,设二维随机向量 (X,Y)的数学期望
(E(X),E(Y))存在,若 E[(X-E(X))(Y-E(Y))]存在,则称
它为随机变量 X与 Y的协方差,记为 Cov(X,Y),即
Cov(X,Y)= E[(X-E(X))(Y-E(Y))]
? 协方差有计算公式
Cov(X,Y)= E(XY)-E(X)E(Y)
? 任意两个随机变量 X与 Y的和的方差为
D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2Cov(X,Y)
§ 4.1 协方差
协方差的性质
(,) ( )C o v X X D X?
1,
(,) (,)C o v X Y C o v Y X?
2,
(,) (,)C o v a X b Y a b C o v Y X??a,b是常数
3,
1 2 1 2(,) (,) (,)C o v X X Y C o v X Y C o v X Y? ? ?
4,
? 定理,Cov(X,Y)=Cov(Y,X)
证明 Cov(X,Y)= E[(X-E(X))(Y-E(Y))]
= E[(Y-E(Y)) (X-E(X))]
= Cov(Y,X)
? 定理, Cov(aX,bY)=abCov(X,Y),a,b是常数
证明 Cov(aX,bY)=E[(aX-E(aX))(bY-E(bY))]
=E{[a(X-E(X))][b(Y-E(Y))]}
=abE{[X-E(X)][Y-E(Y)]}
=abCov(X,Y)
? 定理,Cov(X+Y,Z)=Cov(X,Z)+Cov(Y,Z)
证明 Cov(X+Y,Z)
=E{[(X+Y)-E(X+Y)][Z-E(Z)]
= E{[(X-E(X))+(Y-E(Y))][Z-E(Z)]}
= E{[X-E(X)][Z-E(Z)]
+[Y-E(Y)][Z-E(Z)]}
=E{[X-E(X)][Z-E(Z)]}
+E{[Y-E(Y)][Z-E(Z)]}
=Cov(X,Z)+Cov(Y,Z)
? 协方差的数值在一定程度上反映了 X与 Y相互间
的联系,但它受 X与 Y本身数值大小的影响,如令
X*=kX,Y*=kY,这时 X*与 Y*间的相互联系和 X与 Y
的相互联系应该是一样的,但是
Cov(X*,Y*)=k2Cov(X,Y)
? 为了克服这一缺点,在计算 X与 Y的协方差
之前,先对 X与 Y进行标准化,
)(
)(
)(
)(
YD
YEYY
XD
XEXX ???? ??
? 再来计算 X*和 Y*的协方差，这样就引进了相关
系数的概念,
)()(
),(
YDXD
YXC ov
XY ??
? 定义,设二维随机变量 (X,Y)的方差 D(X)>0,D(Y)>0,
协方差 Cov(X,Y)均存在,则称
为随机变量 X与 Y的 相关系数 或 标准协方差,
§ 4.2 相关系数
? 引理,对于二维随机向量 (X,Y),若 E(X2),E(Y2)存
在,则有
|E(XY)|2≤E(X2)E(Y2)
? 证明,考虑实变量 t的二次函数
h(t)=E[(tX-Y)2]=t2 E(X2)-2tE(XY)+E(Y2)
因为对一切 t,有 (tX-Y)2≥0,所以 h(t)≥0,
从而二次方程 h(t)=0或者没有实根,或者只有重根,
因而，由二次方程根的判别式知识得
|E(XY)|2≤E(X2)E(Y2)
§ 4.2.1 相关系数的性质
? 性质 1:随机变量 X和 Y的相关系数满足 |ρXY|≤1,
? 性质 2,|ρXY|=1 的充要条件是,存在常数 a,b使得
P{Y=a+bX}=1,
? 性质 3:若 X与 Y相互独立,则 ρXY=0,
? 性质 1:随机变量 X和 Y的相关系数满足 |ρXY|≤1,
证明 令
)(
)(
)(
)(
YD
YEYY
XD
XEXX ???? ??
则
)()(
) ] } )()][({[( 22
YDXD
YEYXEXE
XY
????
从而 |ρXY|≤1,
22 * ) ]*([] } )
)(
)(][
)(
)({[( YXE
YD
YEY
XD
XEXE ????
1)*()*( 22 ?? YEXE
? 性质 2,|ρXY|=1 的充要条件是,存在常数 a,b使得
P{Y=aX+b}=1
证明 令
)(
)(
)(
)(
YD
YEYY
XD
XEXX ???? ??
由 ρXY2=[E(X*Y*)]2≤E(X*)E(Y*)=1
知 |ρXY|=1等价于 [E(X*Y*)]2-E(X*)E(Y*)=0
它又等价于 h(t)=E[(tX*-Y*)2]=0有重根 t0,
又因为 E(t0X*-Y*)=t0E(X*)-E(Y*)=0
所以 D(t0X*-Y*)=0,由方差的性质知它等价于
P{t0X*-Y* =0}=1,即 P{Y=aX+b}=1
其中 a=t0σ(Y)/σ(X),b=E(Y)- t0 E(X) σ(Y)/σ(X),
0
)()(
),(
??
YDXD
YXC o v
XY?
? 性质 3:若 X与 Y相互独立,则 ρXY=0,
证明 若 X与 Y相互独立,则 E(XY)=E(X)E(Y),
又 Cov(X,Y)= E(XY)-E(X)E(Y),所以
§ 4.2.2 相关系数的含义
?
?
?
?
?
?
?
????
?
?
????
?
?
0)(2)(2)(2
0)(2)(22
2
XaEXYEXbE
b
e
YEXbEa
a
e
)(
),()()(,
)(
),(
00 XD
YXC o vXEYEa
XD
YXC o vb ???
)()1(})]({[ 22
,
YDbXaYE XY
ba
M i n ?????
? 考虑以 X的线性函数 a+bX来近似表示 Y.以均方误差
e=E{[Y-(a+bX)]2}
=E(Y2)+b2E(X2)+a2-2bE(XY)+2abE(X)-2aE(Y)
来衡量以 a+bX近似表达 Y的好坏程度,e的值越小表示
a+bX与 Y的近似程度越好,为此令
从而得
解得
? 相关系数只是随机变量间线性关系强弱的一个
度量,当 |ρXY|=1 时,说明 X与 Y间存在着线性关系 (除
去一个零概率事件以外 ).当 |ρXY|<1 时,这种线性相
关程度随着 ρXY的减小而减弱,
? 定义,(1) 当 ρXY=1 时,称 X与 Y正线性相关 ;
(2)当 ρXY=-1 时,称 X与 Y负线性相关 ;
(3)当 ρXY=0时,称 X与 Y不相关,
? 注,(1) X与 Y不相关,只是意味着 X与 Y不线性相关
,但可能存在着别的函数关系 ;
(2)若 ρXY存在,则当 X与 Y独立时,X与 Y一定不相关 ;
但 X与 Y不相关时,X与 Y不一定独立,
o X
Y
o
o
o
X
X X
Y
Y
Y
0<ρ<1 -1<ρ<0
ρ =1 ρ =-1
相关情况示意图
(,) ( ) ( ) ( )C o v X Y E X Y E X E Y? ? ?
证 由协方差的定义及数学期望的性质，得
? ?(,) [ ( ) ] [ ( ) ]C o v X Y E X E X Y E Y? ? ?
[ ( ) ( ) ( ) ( )E X Y X E Y Y E X E X E Y? ? ? ? ? ? ?
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )E X Y E X E Y E Y E X E X E Y? ? ? ? ? ? ?
( ) ( ) ( )E X Y E X E Y? ? ?
定理,
§ 4.3 协方差的关系式
( ) ( ) ( ) 2 (,)D X Y D X D Y C o v X Y? ? ? ?
证 由方差公式及协方差的定义，得
? ?2( ) [ ( ) ( ) ]D X Y E X Y E X Y? ? ? ? ?
? ?2[ ( ( ) ) ( ( ) ) ]E X E X Y E Y? ? ? ?
? ?22[ ( ) ] [ ( ) ] 2 [ ( ) ] [ ( ) ]E X E X Y E Y X E X Y E Y? ? ? ? ? ? ?
22[ ( ) ] [ ( ) ] 2 [ ( ) ] [ ( ) ]E X E X E Y E Y E X E X Y E Y? ? ? ? ? ? ?
( ) ( ) 2 (,)D X D Y C o v X Y? ? ?
定理,
例,二维随机变量（ X,Y ）的联合分布律如下表，
求 (,)C o v X Y,
XY?
,
Y X -1 0 1
0 0.07 0.18 0.15
1 0.08 0.32 0.20
解 X与 Y的分布律分别为
X -1 0 1
P 0.15 0.5 0.35
Y 0 1
P 0.4 0.6
( ) ( 1 ) 1 0, 0 8 1 1 0, 2 0 0, 1 2? ? ? ? ? ? ? ?E X Y
( ) ( 1 ) 0, 1 5 1 0, 3 5 0, 2 0? ? ? ? ? ?EX
( ) 1 0, 6 0, 6? ? ?EY
于是
(,) ( ) ( ) ( ) 0, 1 2 0, 2 0 0, 6 0? ? ? ? ? ? ?C o v X Y E X Y E X E Y
(,)
0
( ) ( )
XY
C o v X Y
D X D Y
? ??
?
例, 设 二维随机变量 ( X,Y ) 的联合密度函数
(),0,
(,)
0,
xye x y
f x y
??? ? ? ? ?
? ?
? 其 他
，求 (,)C o v X Y,
XY?
,
解
( ) (,)E X Y d x x y f x y d y? ? ? ?
? ? ? ?
????
()
0 0 0 0
1x y x yd x x y e d y x e d x y e d y? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ?? ? ? ?
( ) (,)E X d x x f x y d y? ? ? ?
? ? ? ?
????
()
0 0 0 0
1x y x yd x x e d y x e d x e d y? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ?? ? ? ?
22( ) (,)E X d x x f x y d y? ? ? ?
? ? ? ?
????
2 ( ) 2
0 0 0 0
2x y x yd x x e d y x e d x e d y? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ?? ? ? ?
( ) (,)E Y d x y f x y d y? ? ? ?
? ? ? ?
????
()
0 0 0 0
1x y x yd x y e d y e d x y e d y? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ?? ? ? ?
22( ) (,)E Y d x y f x y d y? ? ? ?
? ? ? ?
????
2 ( ) 2
0 0 0 0
2x y x yd x y e d y e d x y e d y? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ?? ? ? ?
则 22( ) ( ) [ ( ) ] 3D X E X E X? ? ?
22( ) ( ) [ ( ) ] 3D Y E Y E Y? ? ?
于是
(,) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 0C o v X Y E X Y E X E Y? ? ? ? ? ? ?
(,) 0
( ) ( )XY
C o v X Y
D X D Y
? ??
?
例, 已知 ( ) 4DX ?, ( ) 9DY ?, 1
3XY
? ?,设 2U X Y??,
2V X Y??, 求 UV?,
解 1
(,) ( ) ( ) 4 9 2
3XY
C o v X Y D X D Y?? ? ? ? ? ? ?
( ) ( 2 ) ( 2 ) ( ) 2 ( 2,)D U D X Y D X D Y C o v X Y? ? ? ? ?
4 ( ) ( ) 2 2 (,) 3 3D X D Y C o v X Y? ? ? ? ? ?
( ) ( 2 ) ( 2 ) ( ) 2 ( 2,)D V D X Y D X D Y C o v X Y? ? ? ? ?
4 ( ) ( ) 2 2 (,) 1 7D X D Y C o v X Y? ? ? ? ? ?
(,) ( 2,2 )C o v U V C o v X Y X Y? ? ?
( 2,2 ) ( 2,) (,2 ) (,)C o v X X C o v X Y C o v Y X C o v Y Y? ? ? ?
4 ( ) ( ) 7D X D Y? ? ?
(,) 7
( ) ( ) 5 5 1
UV
C o v U V
D U D V
? ??
?
所以
因此
? 例,设随机变量 Θ在 [-π,π]上服从均匀分布,又
X=sinΘ,Y=cosΘ
试求 X与 Y的相关系数 ρ,
解 这时有
?? ?? ???? ? ?? ? ?? 0c o s2 1)(0s i n2 1)( x d xYEx d xXE
?? ?? ???? ? ?? ? ?? 21c o s2 1)(21s i n2 1)( 2222 x d xYEx d xXE
0c o ss i n2 1)( ?? ?
?
?
??
x d xxXYE
这时有 Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)=0,即 ρ=0,
从而 X与 Y不相关,没有线性关系 ;但是 X与 Y存在
另一个函数关 X2+Y2=1,从而 X与 Y是不独立的,
的非负性和及 )(})]({[ 2
,
YDbXaYEM i n
ba
??
)()1(})]({[ 22
,
YDbXaYE XY
ba
M i n ?????
.1||,01 2 ??? XYXY ?? 即
? 性质 1:随机变量 X和 Y的相关系数满足 |ρXY|≤1,
证明 由
可知
1}{,1)}({ 0000 ?????? XbaYPXbaYP 即从而有
? 性质 2,|ρXY|=1 的充要条件是,存在常数 a,b使得
P{Y=a+bX}=1
? 证明,(1)若 |ρXY|=1,则由
得)()1(})]({[ 2200 YDXbaYE XY?????
20000200 )]}([{)]([})]({[0 XbaYEXbaYDXbaYE ?????????
0)]([0)]([ 0000 ?????? XbaYEXbaYD故有
? (2)若存在常数 a*,b*使得 P{Y=a*+b*X}=1,则有
P{[Y-(a*+b*X)]2=0}=1.即得 E {[Y-(a*+b*X)]2}= 0,又由
)()1(})]({[})]({[0 22
,
2** YDbXaYEXbaYE
XY
ba
M i n ?????????
即得 |ρXY|=1
§ 5 独立性与不相关性、矩
§ 5.1 独立性与不相关性
定理, 随机变量 X与 Y不相关与下列结论之一等价,
(,) 0?C o v X Y1,
( ) ( ) ( )? ? ?D X Y D X D Y
2,
( ) ( ) ( )??E X Y E X E Y
3,
例, 设二维随机变量 (X,Y ) 的联合密度函数
1
( 1 ),1,1
(,) 4
0,其 他
?
? ? ??
?
?
?
?
x y x y
f x y
试分析 X 与 Y 的相关性和独立性,
解 11
11
1( ) ( 1 )
4??
? ? ???E X Y d x x y x y d y
1 1 1
1 1 1
1 1 2 1[ ( 1 ) ]
4 4 3 9? ? ?
? ? ? ? ?? ? ? xx y x y d y d x x d x
11
11
1
( ) ( 1 )
4??
? ? ???E X d x x x y d y
1 1 1
1 1 1
11[ ( 1 ) ] 0
42? ? ?
? ? ? ?? ? ?x x y d y d x x d x
同理可得 E(Y)=0
于是 1
(,) ( ) ( ) ( ) 0
9
? ? ? ? ?C o v X Y E X Y E X E Y
即 X与 Y相关，从而 X与 Y不独立,
例, 二维随机变量 ( X,Y ) 的联合分布律 如 下 表,
试分析 X 与 Y 的相关性和独立性,
Y X -1 0 1
-1 1/6 1/3 1/6
1 1/6 0 1/6
解 X与 Y的分布律分别为
X -1 0 1
P 1/3 1/3 1/3
Y -1 1
P 2/3 1/3
则有 1
( ) 0,( ),( ) 0
3
? ? ? ?E X E Y E X Y
于是
(,) ( ) ( ) ( ) 0? ? ? ?C o v X Y E X Y E X E Y
即
(,)
0
( ) ( )
XY
C o v X Y
D X D Y
? ??
?
亦即 X与 Y相关,
而 12( 1,1 ) ( 1 ) ( 1 )
69? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?P X Y P X P Y
故 X与 Y不相互独立,
? 例,设 (X,Y)~N(μ1,μ2,σ12,σ22,ρ),求 X和 Y的相关系
数，并分析 X与 Y的相关性和独立性,
解
,)(,)(,)(,)( 222121 ???? ???? YDXDYEXE已知
2121 ),())((),( ????? ???? ? ?
?
??
?
??
d x d yyxfyxYXC o v
设 (X,Y)的概率密度为 f(x,y),则
12
12
(,)
( ) ( )
? ? ?
?XY
C o v X Y
D X D Y
? ? ?
??
??
因此,X和 Y的相关系数
当 ρ=0时,X与 Y不相关,
二维正态分布的联合密度函数为,
22
1 1 2 2
2 2 2
1212
( ) ( ) ( ) ( )1
2
2 ( 1 )
2
12
1
(,)
21
??? ? ? ?? ??
????
? ???
?
x x y y
f x y e
? ? ? ?
?
??? ? ?
? ? ? ?
12 0,0,,? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?xy??
X与 Y的边缘密度函数为,
2
1
2
1
()
2
1
1
( ) (,),
2
?
???
??
? ? ? ? ? ? ? ??
x
Xf x f x y d y e x
?
?
??
2
2
2
2
()
2
2
1
( ) (,),
2
?
???
??
? ? ? ? ? ? ? ??
y
Yf y f x y d x e y
?
?
??所以,当且仅当
0?? 时,(,) ( ) ( )?? XYf x y f x f y，即 X
与 Y 相互独立,
§ 5.2 随机变量的矩
? 定义,设 X和 Y是随机变量,
? (1)若 E(Xk)(k=1,2,…) 存在,则称它为 X的 k阶原点
矩,简称 k阶矩,
? (2)若 E{[X-E(X)] k} (k=1,2,…) 存在,则称它为 X的
k阶中心矩,
? 更一般地,若 a是一常数,p是一正数,如果 E[(X-a)p]
存在,则称它是关于 a点的 p阶矩,
? (3)若 E(XkYl) (k,l=1,2,…) 存在,则称它为 X和 Y的
k+l阶混合矩,
? (4)若 E{[X-E(X)] k[Y-E(Y)] l} (k,l=1,2,…) 存在,则
称它为 X和 Y的 k+l阶混合中心矩,
随机变量 X与 Y的二阶中心矩共有四个，分别记为,
? ?211 [ ( ) ] ( )? ? ?c E X E X D X
? ?222 [ ( ) ] ( )? ? ?c E Y E Y D Y
? ?12 [ ( ) ] [ ( ) ] (,)? ? ? ?c E X E X Y E Y C o v X Y
? ?21 [ ( ) ] [ ( ) ] (,)? ? ? ?c E Y E Y X E X C o v Y X
称矩阵 1 1 1 2
2 1 2 2
??
??
??
cc
cc
为 X 与 Y 的协方差矩阵，显然，
这是一个对称矩阵（还以证明它是非负定的）,
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
nnnn
n
n
ccc
ccc
ccc
C
.,,
.,,.,,.,,.,,
.,,
.,,
21
22221
11211
? 定义,设 n维随机变量 (X1,X2,…,X n)的二阶混合中
心矩
cij=Cov(Xi,Xj)=E{[Xi -E(Xi)][Xj -E(Xj )]},
i,j=1,2,…,n,都存在,则称矩阵
为 n维随机变量 (X1,X2,…,X n)的 协方差矩阵,
? 例,设 X,Y的联合分布列如表所示试求 X和 Y的协
方差矩阵,
X Y 0 1
0 1 - p 0
1 0 p
解 因为 E(X)=0× (1-p)+0× 0+1× 0+1× p=p,
同样 E(Y)=p,
所以,c11=D(X)=(0-p)2(1-p)+(1-p)2p=p(1-p),同样 c22=p(1-p)
c12= c21= E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}
=(0-p)(0-p)(1-p)+(0-p)(1-p)0+(1-p)(0-p)0+(1-p)(1-p)p
=p(1-p)
? 故协方差矩阵为 ??
?
?
???
?
??
??
?
)1()1(
)1()1(
pppp
pppp
C
? 例,设 (X,Y)在矩形区域 G={(x,y)|a≤x≤b,c≤y≤d}上服从
均匀分布,试求 X和 Y的协方差矩阵,
解
2))((
1),()( bad x d y
cdab
xd x d yyxxpXE b
a
d
c
??
??
?? ? ?? ??
??
?
??
12
)(
))((
1
2
),(
2
)(
22
2
11
ab
d x d y
cdab
ba
x
d x d yyxp
ba
xXDc
b
a
d
c
?
?
??
?
?
?
?
?
? ?
??
?
?
?
?
?
? ?
???
? ?
? ?
?
??
?
??
同样得
12
)()(
2)(
2
22
cdYDcdcYE ?????
0))(( 1)2)(2(2112 ????????? ? ? d x d ycdabdcybaxcc b
a
d
c
所以 X和 Y的协方差矩阵为
???
?
???
?
?
??
12/)(0
012/)(
2
2
cd
abC
的协方差矩阵为所以 ),(,YX
? 例,设 (X,Y)~N(μ1,μ2,σ12,σ22,ρ),求 X和 Y的协方差矩
阵,
解 因为
212112
2
222
2
111
),(
)(,)(
???
??
???
????
YXC o vcc
YDcXDc
?
?
?
?
?
?
?
?
?
2
221
21
2
1
????
????
C
