●教学目标
1.掌握椭圆的定义、方程及标准方程的推导;
2.掌握焦点、焦点位置与方程关系、焦距;
3.了解建立坐标系的选择原则.
●教学重点
椭圆的标准方程及定义
●教学难点
椭圆标准方程的推导
●教学方法
学导式
●教具准备
椭圆演示模板、三角板
●教学过程
Ⅰ.复习回顾:
师:在日常生活中,大家对椭圆已存有一定的认识,并在第七章学习了求解曲线方程的基本方法,为使大家掌握椭圆的本质特征,这一节,我们开始研究椭圆.
Ⅱ.讲授新课:
1.椭圆定义:
我们把平面内与两个定点F1、F2的距离的和等于常数(大于∣F1F2∣)的点的轨迹叫椭圆.这两个定点叫椭圆的焦点,两焦点的距离叫椭圆的焦距.
说明:①可用椭圆演示模板向学生展示椭圆图形的画法;②要求学生注意常数要大于 ∣F1F2∣的条件,同时让学生明确常数小于或等于∣F1F2∣时,轨迹为无轨迹或一条线段.
2.椭圆的标准方程:
形式一:
说明:此方程表示的椭圆焦点在x轴上,焦点是F1(-c,0)、F2(c,0),其中c2=a2-b2.
形式二:
说明:①此方程表示的椭圆焦点在y轴上,焦点是F1(0,-c),F2(0,c),其中c2=a2-b2.
②两种形式中,总有a>b>0;
③两种形式中,椭圆焦点始终在长轴上;
④a、b、c始终满足c2=a2-b2;
⑤遇到形如Ax2+By2=C,只要A、B、C同号,就是椭圆方程,推导(用幻灯片给出):
如图8—2,建立直角坐标系xOy,使x轴经过点F1、F2,并且O与线段F1F2的中点重合.
设M(x,y)是椭圆上任意一点,椭圆的焦距为2c(c>0),那么焦点F1、F2的坐标分别是(-c,0),(c,0).
又设M与F1和F2的距离的和等于常数2a.
由椭圆定义,椭圆就是集合
P={M∣∣MF1∣+∣MF2∣=2a}
因为∣MF1∣=
∣MF2∣=
所以得:+=2a
整理得:(a2-c2)x2+a2y2=a2(a2-c2).
由椭圆的定义可知:2a>2c,即a>c,故a2-c2>0.
令a2-c2=b2,其中b>0,代入上式整理得:
说明:其中具体整理步骤让学生自得.
3.例题讲解:
例1 求适合下列条件的椭圆的标准方程:
(1)两个焦点的坐标分别是(-4,0),(4,0),椭圆上一点P到两焦点距离之和等于10;
(2)两个焦点的坐标分别是(0,-2)、(0,2),并且椭圆经过点.
解:(1)因为椭圆的焦点在x轴上,所以设它的标准方程为.
∵2a=10, 2c=8
∴a=5, c=4
∴b2=a2-c2=52-42=9
所以所求椭圆的标准方程为.
(2)因为椭圆的焦点在y轴上,所以设它的标准方程为.
由椭圆的定义知:
2a=
∴a=,又c=2
∴b2=a2-c2=6
所以所求椭圆方程为
说明:例1(1)(2)要求学生熟练应用c2=a2-b2关系式求解椭圆标准方程.
Ⅲ.课堂练习:
课本P95练习2,3
●课堂小结
师:通过本节学习,要求大家理解并掌握椭圆定义,并熟练掌握椭圆的两种标准方程及应用.
●课后作业
习题8.1 1,3,4
●板书设计
●教学后记