●教学目标
1.了解参数方程的概念;
2.理解圆的参数方程中θ的意义,熟练掌握圆心在原点与不在原点的圆的参数方程;
3.会把圆的参数方程与普通方程进行互化.
●教学重点
圆的参数方程
●教学难点
圆的参数方程的理解和应用.
●教学方法
启发式
●教具准备
三角板、圆规
●教学过程
Ⅰ.复习回顾
师:前两节,我们学习了圆的标准方程与一般方程及其应用,首先,我们进行简要的回顾.
生:(回答略)
师:这一节,我们重点研究圆的参数方程.
Ⅱ.讲授新课
1.参数方程与普通方程:
一般地,在取定的坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标x、y都是某个变数t的函数,即
.
并且对于t的每一个允许值,由方程组所确定的点M(x,y)都在这条曲线上,那么方程组就叫这条曲线的参数方程.其中t叫参变数,简称参数.
相对于参数方程来说,前面学过的直接给出曲线上点的坐标关系的方程,叫曲线的普通方程.
说明:参数方程中的参数可以有物理、几何意义,也可以没有明显意义.
2.圆的参数方程:
①圆心在原点,半径为r的圆的参数方程:
推导:设圆O的圆心在原点,半径是r,圆O与x轴的正半轴的交点是P0(图7—36)
设点在圆O上从点P0开始按逆时针方向运动到达点P,∠P0OP=θ,若点P坐标为(x,y),根据三角函数的定义,可得
即
②圆心为(a,b),半径为r的圆的参数方程:
(θ为参数)
推导:圆心为O1(a,b)、半径为r的圆可以看成由圆心为原点O、半径为r的圆按向量=(a,b)平移得到.
即对于圆O上任意一点P1(x1,y1),在圆O1上必有一点P(x,y),使
因为,即(x,y)=(x1,y1)+(a,b)
所以,由于点P1(x1,y1)在以原点为圆心,r为半径的圆上,所以存在参数θ,使
所以.
3.圆的参数方程化普通方程:
方程组
由①得 x-a=rcosθ ③
由②得 y-b=rsinθ ④
③2+④2得:(x-a)2+(y-b)2=r2
即圆的普通方程.
4.例题讲解
例6 如图7—38,已知点P是圆x2+y2=16上的一个动点,点A是x轴上的定点,坐标为(12,0)当点P在圆上运动时,线段PA的中点M的轨迹是什么?
解:设点M的坐标是(x,y).因为圆x2+y2=16的参数方程为
所以可设点P的坐标为(4cosθ,4sinθ).由线段中点坐标公式得点M的轨迹的参数方程为
所以,线段PA的中点M的轨迹是以点(6,0)为圆心,2为半径的圆.
Ⅲ.课堂练习
课本P81 练习1,2,3.
●课堂小结
师:通过本节学习,要求大家了解曲线的参数方程,掌握圆的参数方程并能加以简单的应用.
●课后作业
习题7.7 9,10,11
●板书设计
●教学后记