回归定义巧妙证题 □ 河北正定中学 赵建勋 椭圆的定义不仅是推导方程的基础，而且是证题的一把金钥匙.待证题目中有焦点的条件，常从定义出发，寻求证题方法，为证题创造条件，兹举例如下： 例1 已知P（x0,y0）是椭圆（a＞b＞0）上的任意一点，F1、F2是焦点，求证：以PF2为直径的圆必和以椭圆长轴为直径的圆相内切. 证明 设以PF2为直径的圆心为A，半径为r. ∵F1、F2为焦点，所以由椭圆定义知 |PF1|+|PF2|=2a，|PF2|=2r ∴|PF1|+2r=2a，即|PF1|=2（a－r） 连结OA，由三角形中位线定理，知 |OA|= 故以PF2为直径的圆必和以长轴为直径的圆相内切. 评注 运用椭圆的定义结合三角形中位线定理，使题目得证. 例2 设P是椭圆（a＞b＞0）上的一点，F1、F2是椭圆的焦点，且∠F1PF2=90°，求证：椭圆的率心率e≥ 证明 ∵P是椭圆上的点，F1、F2是焦点，由椭圆的定义，得|PF1|+|PF2|=2a ① 在Rt△F1PF2中,  由①2，得 ∴|PF1|·|PF2|=2(a2－c2) ② 由①和②，据韦达定理逆定理，知|PF1|·|PF2|是方程z2－3az+2(a2－c2)=0的两根， 则△=4a2－8(a2－c2)≥0, ∴()2≥，即e≥. 例3 P为椭圆（a＞b＞0）上的点，F1、F2是椭圆的焦点，e为离心率.若∠PF1F2=α，∠PF2F1=β，求证：  证明 由椭圆定义，知|PF1|+|PF2|=2a，|F1F2|=2c ∵ 由正弦定理，得|PF1|=2Rsinβ,|PF2|=2Rsinα，|F1F2|=2Rsin(α+β)  例4 P是椭圆（a＞b＞0）上的任意一点，F1、F2是焦点，半短轴为b,且∠F1PF2=α.求证：△PF1F2的面积为 证明 由椭圆的定义知|PF1|+|PF2|=2a，又|F1F2|=2c. 在△PF1F2中，由余弦定理，得