第四章 平面
§ 4-1 平面的表示法
§ 4-2 各种位置平面的投影特性
§ 4-3 属于平面的点和直线
基本要求
基本要求
§ 4-1 平面的表示法
一, 用几何元素表示平面
用几何元素表示平面有五种形式：不在一直线上的三个点；
一直线和直线外一点；相交二直线；平行二直线；任意平面图
形 。
二, 平面的迹线表示法
平面的迹线为平面与投影面的交线。特殊位置平面可以用
在它们所垂直的投影面上的迹线来表示。
一、用几何元素表示平面
b?
a?
a
c?
b
c
b?
a?
a
c?
b
c
a?
a
b?
c?
b
c
a?
b? c?
a
b c
d?
d
二,平面的迹线表示法
PPV
PH
PV
PH
QV
QHQ
H
QV
Q
§ 4-2 各种位置平面的投影特性
一、投影面的垂直面
1,铅垂面
2,正垂面
3,侧垂面
二、投影面的平行面
1,水平面
2,正平面
3,侧平面
三,一般位置平面
P
PH
1．铅垂面
投影特性 (1) abc积聚为一条线
(2) ? a?b?c?,? a?b?c?为 ?ABC的类似形
(3) abc与 OX,OY的夹角 反映 ?,?角的真实大小
A
B
Ca
c
b
a'
b'
a"
b"
b
a
?
?
c
c"c'
铅垂面迹线表示法
?
?
PH
P
PH
Q
QV
2．正垂面
投影特性 (1) a?b?c? 积聚为一条线
(2) ? abc,? a?b?c?为 ? ABC的类似形
(3) a?b?c?与 OX,OZ的夹角 反映 α,? 角的真实大小
A
c?
C
a?
b?
B
b"
?
?
a'
b'
a"
b
a
c"c'
c
正垂面的迹线表示法
Q
QV
α
γQV
SWS
3．侧垂面
投影特性 (1) a?b?c?积聚为一条线
(2) ? abc,? a?b?c?为 ? ABC的类似形
(3) a?b?c?与 OZ,OY的夹角 反映 α,β角的真实大小
C
a"
b"
A
B
c"
b"
β
?a'
b'
a"
b
a
c" c'
c
侧垂面的迹线表示法
V
W
SwS
Z
X O
Y
Sw
Yα
β
1．水平面
投影特性：
(1) a?b?c?,a?b?c?积聚为一条线，具有积聚性
(2) 水平投影 ? abc反映 ? ABC实形
C
A B a"b"
c'
b
a
c
a' b'
c"
c
a? b' b"
b
a
a"c? c"
2．正平面
投影特性：
(1) abc, a?b?c? 积聚为一条线，具有积聚性
(2) 正平面投影 ? a?b?c?反映 ? ABC实形
c"
a"
b"b'
a'
c'
bc a
b'
a'
c' a"
b"
c"
bc a
C
B
A
投影特性：
(1) abc, a?b?c? 积聚为一条线，具有积聚性
(2) 侧平面投影 ? a?b?c? 反映 ? ABC实形
3．侧平面
a'
b' b"
b
a"
c' c"
c
a
b"
c'
b
a
c
a'
b'
c"C
A
B
a"
三、一般位置平面
投影特性
(1) ? abc, ? a?b?c?, ? a?b?c? 均为 ? ABC的类似形
(2) 不反映 ?,?,? 的真实角度
a"
b"
c"
c
a'
b'
b
a
a"a'
b' b"
c' c"
b
a
c
A
B
C
§ 4-3 属于平面的点和直线
一,属于一般位置平面的点和直线
二,属于特殊位置平面的点和直线
三,属于平面的投影面平行线
四,属于平面的最大斜度线
一、属于一般位置平面的点和直线
1,平面上的直线
直线在平面上的几何条件是,① 通过平面上的两点； ② 通
过平面上的一点且平行于平面上的一条直线 。
2,平面上的点
点在平面上的几何条件是：点在平面内的某一直线上 。
在平面上取点, 直线的作图, 实质上就是在平面内作辅助
线的问题 。 利用在平面上取点, 直线的作图, 可以解决三类问
题：判别已知点, 线是否属于已知平面；完成已知平面上的点
和直线的投影；完成多边形的投影 。
例题 1 例题 2 例题 3
1．取属于平面的直线
取属于定平面的直线，要经过属于该平面的已知两点；或经过
属于该平面的一已知点，且平行于属于该平面的一已知直线。
E
D
F d'
d
e'
e f
f '
2．取属于平面的点
取属于平面的点，要取自属于该平面的已知直线
E
D
d'
d
e'
e
[例题 1] 已知 ? ABC给定一平面，试判断点 D是否属
于该平面。
d'
de
e'
[例题 2] 已知点 D在 ? ABC上，试求点 D的水平投影 。
d
d'
[例题 3] 已知点 E在 ? ABC上，试求点 E的正面投影 。
e
e'
二、属于特殊位置平面的点和直线
1,取属于投影面垂直面的点和直线
2,过一般位置直线总可作投影面的垂直面
(1) 几何元素表示法
(2) 迹线表示法
3．过特殊位置直线作平面
(1) 过正垂线作平面
(2) 过正平线作平面
b
b?
1,取属于投影面垂直面的点和直线
a
a?
e
f
f?
e?
a b
b?
a?
S
b?
a?
a
b
A
B
2,过一般位置直线总可作投影面的垂直面
过一般位置直线 AB
作铅垂面 PH
过一般位置直线 AB作
正垂面 SV
P
PH
SVA
B
(1) 过一般位置直线作投影面的垂直面
(几何元素表示法 )
m'
n
(n')
(m)
(2) 过一般位置直线作投影面的垂直面
(迹线表示法 )
b"
a"
SV QW
PH
(1) 过正垂线作平面 (迹线表示法 )
PV
SV QV RV
（ a ）给题 （ c）作侧垂面（ b）作正平面 （ d）作正垂面
（有无穷多个）
(2) 过正平线作平面
PH
SH
g?
g
（ a ）
给题
（ c）
作正垂面
（ b）
作正平面
（ d）
作一般位置平面
（有无穷多个）
三、属于平面的投影面平行线
属于平面的水平线和正平线
例题 4 例题 5
P
属于平面的水平线和正平线
PV
PH
[例题 4] 已知 ? ABC给定一平面，试过点 C作属于该平面的正
平线，过点 A作属于该平面 的水平线 。
m?
n'
n
m
[例题 5] 已知点 E 在 ?ABC平面上，且点 E距离 H面 15，距离 V
面 10，试求点 E的投影 。
m
n
m' n'
r s
r'
s'
10
15
e'
e
四、属于平面的最大斜度线
1,平面上的投影面最大斜度线 — 平面上对某个投影面倾角最大的直线 。
它与投影面的倾角反映该平面与投影面的倾角 。
2,平面上对某投影面的最大斜度线与该平面上对某投影面的平行线相互
垂直 。
3．平面上的投影面最大斜度线有三组，即分别对正面投影面、水平投影
面及侧面投影面三组最大斜度线。
（ 1） 平面上对水平投影面的最大斜度线
（ 2） 平面上对正面投影面的最大斜度线
（ 3） 平面上对侧面投影面的最大斜度线
例题 6 例题 7 例题 8 例题 9
P
C
D
?
a
E1 ?S ?
A
E
（ 1）平面上对水平投影面的最大斜度线 EF
AB平行于 H,EF垂直于 AB
P
E
F
B
A
（ 2）平面上对正面投影面的最大斜度线 CD
AB平行于 V,CD垂直于 AB
PC
D
B
A
（ 3） 平面上对侧面投影面的最大斜度线 MN
AB 平行于 W,MN垂直于 AB
P
MN
[例题 6] 求作 ? ABC平面上对水平面的最大斜度线 BE 。
b
d'
d
e'
e
[例题 7] 求 ? ABC平面与水平投影面的夹角 ? 。
be
?
BE
ab
[例题 8] 过正平线作平面与水平投影面成 60° 。
60°
b
b
b'
a'
a
AB
[例题 9] 已知直线 EF为某平面对 H面的最大斜度线，试作出该平面。
a
a?
给题
本章结束
§ 4-1 平面的表示法
§ 4-2 各种位置平面的投影特性
§ 4-3 属于平面的点和直线
基本要求
基本要求
§ 4-1 平面的表示法
一, 用几何元素表示平面
用几何元素表示平面有五种形式：不在一直线上的三个点；
一直线和直线外一点；相交二直线；平行二直线；任意平面图
形 。
二, 平面的迹线表示法
平面的迹线为平面与投影面的交线。特殊位置平面可以用
在它们所垂直的投影面上的迹线来表示。
一、用几何元素表示平面
b?
a?
a
c?
b
c
b?
a?
a
c?
b
c
a?
a
b?
c?
b
c
a?
b? c?
a
b c
d?
d
二,平面的迹线表示法
PPV
PH
PV
PH
QV
QHQ
H
QV
Q
§ 4-2 各种位置平面的投影特性
一、投影面的垂直面
1,铅垂面
2,正垂面
3,侧垂面
二、投影面的平行面
1,水平面
2,正平面
3,侧平面
三,一般位置平面
P
PH
1．铅垂面
投影特性 (1) abc积聚为一条线
(2) ? a?b?c?,? a?b?c?为 ?ABC的类似形
(3) abc与 OX,OY的夹角 反映 ?,?角的真实大小
A
B
Ca
c
b
a'
b'
a"
b"
b
a
?
?
c
c"c'
铅垂面迹线表示法
?
?
PH
P
PH
Q
QV
2．正垂面
投影特性 (1) a?b?c? 积聚为一条线
(2) ? abc,? a?b?c?为 ? ABC的类似形
(3) a?b?c?与 OX,OZ的夹角 反映 α,? 角的真实大小
A
c?
C
a?
b?
B
b"
?
?
a'
b'
a"
b
a
c"c'
c
正垂面的迹线表示法
Q
QV
α
γQV
SWS
3．侧垂面
投影特性 (1) a?b?c?积聚为一条线
(2) ? abc,? a?b?c?为 ? ABC的类似形
(3) a?b?c?与 OZ,OY的夹角 反映 α,β角的真实大小
C
a"
b"
A
B
c"
b"
β
?a'
b'
a"
b
a
c" c'
c
侧垂面的迹线表示法
V
W
SwS
Z
X O
Y
Sw
Yα
β
1．水平面
投影特性：
(1) a?b?c?,a?b?c?积聚为一条线，具有积聚性
(2) 水平投影 ? abc反映 ? ABC实形
C
A B a"b"
c'
b
a
c
a' b'
c"
c
a? b' b"
b
a
a"c? c"
2．正平面
投影特性：
(1) abc, a?b?c? 积聚为一条线，具有积聚性
(2) 正平面投影 ? a?b?c?反映 ? ABC实形
c"
a"
b"b'
a'
c'
bc a
b'
a'
c' a"
b"
c"
bc a
C
B
A
投影特性：
(1) abc, a?b?c? 积聚为一条线，具有积聚性
(2) 侧平面投影 ? a?b?c? 反映 ? ABC实形
3．侧平面
a'
b' b"
b
a"
c' c"
c
a
b"
c'
b
a
c
a'
b'
c"C
A
B
a"
三、一般位置平面
投影特性
(1) ? abc, ? a?b?c?, ? a?b?c? 均为 ? ABC的类似形
(2) 不反映 ?,?,? 的真实角度
a"
b"
c"
c
a'
b'
b
a
a"a'
b' b"
c' c"
b
a
c
A
B
C
§ 4-3 属于平面的点和直线
一,属于一般位置平面的点和直线
二,属于特殊位置平面的点和直线
三,属于平面的投影面平行线
四,属于平面的最大斜度线
一、属于一般位置平面的点和直线
1,平面上的直线
直线在平面上的几何条件是,① 通过平面上的两点； ② 通
过平面上的一点且平行于平面上的一条直线 。
2,平面上的点
点在平面上的几何条件是：点在平面内的某一直线上 。
在平面上取点, 直线的作图, 实质上就是在平面内作辅助
线的问题 。 利用在平面上取点, 直线的作图, 可以解决三类问
题：判别已知点, 线是否属于已知平面；完成已知平面上的点
和直线的投影；完成多边形的投影 。
例题 1 例题 2 例题 3
1．取属于平面的直线
取属于定平面的直线，要经过属于该平面的已知两点；或经过
属于该平面的一已知点，且平行于属于该平面的一已知直线。
E
D
F d'
d
e'
e f
f '
2．取属于平面的点
取属于平面的点，要取自属于该平面的已知直线
E
D
d'
d
e'
e
[例题 1] 已知 ? ABC给定一平面，试判断点 D是否属
于该平面。
d'
de
e'
[例题 2] 已知点 D在 ? ABC上，试求点 D的水平投影 。
d
d'
[例题 3] 已知点 E在 ? ABC上，试求点 E的正面投影 。
e
e'
二、属于特殊位置平面的点和直线
1,取属于投影面垂直面的点和直线
2,过一般位置直线总可作投影面的垂直面
(1) 几何元素表示法
(2) 迹线表示法
3．过特殊位置直线作平面
(1) 过正垂线作平面
(2) 过正平线作平面
b
b?
1,取属于投影面垂直面的点和直线
a
a?
e
f
f?
e?
a b
b?
a?
S
b?
a?
a
b
A
B
2,过一般位置直线总可作投影面的垂直面
过一般位置直线 AB
作铅垂面 PH
过一般位置直线 AB作
正垂面 SV
P
PH
SVA
B
(1) 过一般位置直线作投影面的垂直面
(几何元素表示法 )
m'
n
(n')
(m)
(2) 过一般位置直线作投影面的垂直面
(迹线表示法 )
b"
a"
SV QW
PH
(1) 过正垂线作平面 (迹线表示法 )
PV
SV QV RV
（ a ）给题 （ c）作侧垂面（ b）作正平面 （ d）作正垂面
（有无穷多个）
(2) 过正平线作平面
PH
SH
g?
g
（ a ）
给题
（ c）
作正垂面
（ b）
作正平面
（ d）
作一般位置平面
（有无穷多个）
三、属于平面的投影面平行线
属于平面的水平线和正平线
例题 4 例题 5
P
属于平面的水平线和正平线
PV
PH
[例题 4] 已知 ? ABC给定一平面，试过点 C作属于该平面的正
平线，过点 A作属于该平面 的水平线 。
m?
n'
n
m
[例题 5] 已知点 E 在 ?ABC平面上，且点 E距离 H面 15，距离 V
面 10，试求点 E的投影 。
m
n
m' n'
r s
r'
s'
10
15
e'
e
四、属于平面的最大斜度线
1,平面上的投影面最大斜度线 — 平面上对某个投影面倾角最大的直线 。
它与投影面的倾角反映该平面与投影面的倾角 。
2,平面上对某投影面的最大斜度线与该平面上对某投影面的平行线相互
垂直 。
3．平面上的投影面最大斜度线有三组，即分别对正面投影面、水平投影
面及侧面投影面三组最大斜度线。
（ 1） 平面上对水平投影面的最大斜度线
（ 2） 平面上对正面投影面的最大斜度线
（ 3） 平面上对侧面投影面的最大斜度线
例题 6 例题 7 例题 8 例题 9
P
C
D
?
a
E1 ?S ?
A
E
（ 1）平面上对水平投影面的最大斜度线 EF
AB平行于 H,EF垂直于 AB
P
E
F
B
A
（ 2）平面上对正面投影面的最大斜度线 CD
AB平行于 V,CD垂直于 AB
PC
D
B
A
（ 3） 平面上对侧面投影面的最大斜度线 MN
AB 平行于 W,MN垂直于 AB
P
MN
[例题 6] 求作 ? ABC平面上对水平面的最大斜度线 BE 。
b
d'
d
e'
e
[例题 7] 求 ? ABC平面与水平投影面的夹角 ? 。
be
?
BE
ab
[例题 8] 过正平线作平面与水平投影面成 60° 。
60°
b
b
b'
a'
a
AB
[例题 9] 已知直线 EF为某平面对 H面的最大斜度线，试作出该平面。
a
a?
给题
本章结束
