第十一章 两立体相交
§ 11-1 平面立体与平面立体相贯
§ 11-2 平面立体与曲面立体相贯
§ 11-3 曲面立体与曲面立体相贯
基本要求
基本要求
§ 11-1 平面立体与平面立体相贯
一, 概述
二, 例题 1 例题 2 例题 3
一、概述
1．相贯线的性质 相贯线是两立体表面的共有线，相贯线上的点是两立体
表面的共有点 ;不同的立体以及不同的相贯位置,相贯线的形状也不同 ;
2．相贯线的形状 两平面立体的相贯线由折线组成。折线的每一段都是甲
形体的一个侧面与乙形体的一个侧面的交线，折线的转折点就是一个形
体的侧棱与另一形体的侧面的交点。
3．求相贯线的方法 求两平面立体相贯线的方法通常有两种：一种是求各
侧棱对另一形体表面的交点，然后把位于甲形体同一侧面又位于乙形体
同一侧面上的两点，依次连接起来。另一种是求一形体各侧面与另一形
体各侧面的交线。
4．判别相贯线可见性的原则 只有位于两形体都可见的侧面上的交线，
是可见的。只要有一个侧面不可见，面上的交线就不可见。
[例题 1] 两平面立体相贯，完成相贯线的投影
1"
y y
y
y
1
4"
4
4'
2
3
3'
2'1'
3" 2"
解题步骤
1,分析 相贯线的正
面投影已知, 水平投影
和侧面投影未知；
2,求出相贯线上的折
点 Ⅰ, Ⅱ, Ⅲ, Ⅳ ；
3,顺次地连接各点,
作出相贯线, 并且判别
可见性；
4,整理轮廓线 。
[例题 2] 两平面立体相贯，完成相贯线的投影
1
2'
3'
4'
5'
6'1'
3 2 4 5
6
解题步骤
1,分析 相贯线为左右两组折线；相贯
线的正面投影已知, 水平投影未知；相
贯线的投影前后, 左右对称
2,求出相贯线上的折点 Ⅰ, Ⅱ, Ⅲ,
Ⅳ, Ⅴ, Ⅵ ；
3,顺次地连接各点, 作出相贯线, 并且
判别可见性；
4,整理轮廓线 。
[例题 3] 两平面立体相贯，完成相贯线的投影
解题步骤
1,分析 相贯线为一组闭合折线, 相贯线
的正面投影未知, 水平投影已知；相贯线
的投影前后, 左右对称 。
2,求出相贯线上的折点 Ⅰ, Ⅱ, Ⅲ 等；
3,顺次地连接各点, 作出相贯线, 并且
判别可见性；
4,整理轮廓线 。
2'
1'
1
2
3
3'
观看动画
§ 11-2 平面立体与曲面立体相贯
一, 概述
二, 例题 4 例题 5
一、概述
[例题 4] 平面立体与曲面立体相贯，完成相贯线的投影
解题步骤
1,分析 相贯线为三段
圆弧的组合；相贯线的
水平投影已知, 可利用
表面取点法求共有点；
2,求出相贯线上的特
殊点 Ⅰ, Ⅱ, Ⅲ, Ⅳ,
Ⅴ, Ⅵ, Ⅶ ；
3,求出若干个一般点
Ⅷ, Ⅸ ；
4,光滑且顺次地连接
各点, 作出相贯线, 并
且判别可见性；
5,整理轮廓线 。
TH
SH
PH
3
5 QH
1 2
3'
9'8'
6' 7'
1' 2'
4' 5'
4
6
7
8 9
观看动画
[例题 5] 平面立体与曲面立体相贯，完成相贯线的投影
解题步骤
1,分析 相贯线为圆弧
和双曲线的组合；相贯
线的侧面投影已知, 可
利用表面取点法求共有
点；
2,求出相贯线上的特
殊点 Ⅰ, Ⅱ, Ⅳ ；
3,求出一般点 Ⅲ ；
4,光滑且顺次地连接
各点, 作出相贯线, 并
且判别可见性；
5,整理轮廓线 。
观看动画
§ 11-3 曲面立体相贯
一, 相贯线的性质
二,曲面立体相贯的三种基本形式
三,求曲面立体相贯线的方法
四,辅助面的选用原则
五,求相贯线的一般步骤
六,复合相贯线
七,相贯线的特殊情况
八,相贯线的变化趋势
九,例题
一、相贯线的性质
图例
曲面立体相贯线的性质图例
二、曲面立体相贯的三种基本形式
2,外表面与内表面相交；
1,两外表面相交；
3,两内表面相交。
三、求 曲面立体相贯线的 方法
1,表面取点法
2,辅助平面法
3,辅助球面法
四、辅助面的选用原则
1．利用表面取点法或由二求三的方法求相贯线
2,利用辅助平面法求相贯线
3,利用辅助球面法求相贯线
常用的辅助球面法为同心球面法,要使辅助球面与两立体表
面交线的投影为直线。
五,求相贯线的一般步骤
2,求作相贯线上的 特殊点 。
3,根据需要求出若干个一般点 。
4,光滑且顺次地连接各点, 作出相贯线, 并判别可见性 。
5,整理轮廓线 。
特殊点
六,复合相贯线
三个或三个以上的立体相交在一起, 称为复合相贯 。 这时
相贯线由若干条相贯线组合而成, 结合处的点称为结合点 。
处理复合相贯线, 关键在于分析, 找出有几个两两曲面立
体相贯, 从而确定其有几段相贯线组成 。
七、相贯线的特殊情况
（ 1） 两个回转体具有公共轴线时, 其表面的相贯线为圆, 并
且该圆垂直于公共轴线 。
当公共轴线处于投影面垂直位置时, 相贯线有一个投影反
映圆的实形, 其余投影积聚为直线 。
（ 2） 外切于同一球面的圆锥, 圆柱相交时, 其相贯线为两条
平面曲线 — 椭圆 。
当两立体的相交两轴线同时平行于某一投影面时，则此两
椭圆曲线在该投影面上的投影，为相交两直线。
当两个回转体具有公共轴线时，其表面的相贯线为圆
外切于同一球面的圆锥、圆柱相交时，其相贯线为两条平面曲线 — 椭圆
点击相应图形观看动画
外切于同一球面的两圆柱正交时，其相贯线为两条平面曲线 — 椭圆
外切于同一球面的两圆柱斜交时，其相贯线为两条平面曲线 — 椭圆
外切于同一球面的圆锥、圆柱正交时，其相贯线为两条平面曲线 — 椭圆
外切于同一球面的圆锥、圆柱斜交时，其相贯线为两条平面曲线 — 椭圆
八、相贯线的变化趋势
1,两圆柱 相贯线 的 变化趋势 （ 一 ）
2,两圆柱 相贯线 的 变化趋势 （ 二 ）
3,圆柱与圆锥 相贯线 的 变化趋势 （ 一 ）
4,圆柱与圆锥 相贯线 的 变化趋势 （ 二 ）
圆柱 相贯线 的 变化趋势（一）
点击图形观看动画
当圆柱的相对大小发生变化时,相贯线 的 变化趋势
两圆柱 相贯线 的 变化趋势（二）
点击图形观看动画
当圆柱的相对位置相对变化时,相贯线 的 变化趋势
圆柱与圆锥 相贯线 的 变化趋势（一）
点击图形观看动画
当大小发生相对变化时，圆柱与圆锥 相贯线 的 变化趋势
圆柱与圆锥 相贯线 的 变化趋势（二）
点击图形观看动画
当相对位置发生变化时，圆柱与圆锥相贯线的变化趋势
九、曲面立体 相贯线 例题
例题 6 求两圆柱的相贯线
例题 7 求圆柱与圆锥的相贯线
例题 8 求圆球与圆锥的相贯线
例题 9 求圆球与圆锥斜交的相贯线
例题 10 复合相贯线
[例题 6] 求两圆柱的相贯线
y y
y
y
d e
d' e'
a'
c'
b' a"b"
c"
d"e"
ba
c
解题步骤
1 分析 相贯线的水平投影
和侧面投影已知, 可利用表
面取点法求共有点；
2 求出相贯线上的特殊点 A、
B,C；
3 求出若干个一般点 D,E；
4 光滑且顺次地连接各点,
作出相贯线, 并且判别可见
性；
5 整理轮廓线 。
[例题 7] 求圆柱与圆锥的相贯线
yy
PW1PV1 4"
y
y
4'
PV2 PW2
3"PV3 PW3
5"
1
1' 1"
2' 2"
2
45
3'
3
5'
用辅助平面求共有点示意图
解题步骤
1 分析 相贯线的
侧面投影已知, 可
利用辅助平面法求
共有点；
2 求出相贯线上的
特殊点 Ⅰ, Ⅱ,
Ⅲ ；
3 求出若干个一般
点 Ⅳ, Ⅴ ；
4 光滑且顺次地连
接各点, 作出相贯
线, 并且判别可见
性；
5 整理轮廓线 。
用水平面作为辅助平面求共有点
[例题 8] 求圆球与圆锥的相贯线
PW3PV3
PV1
y
y
5"
5'
3' 4'
35 4
3"
1"
1
2'
1'
2"
2
yy
4"
解题步骤
1,分析 相贯
线的三个投影均
未知, 可利用辅
助平面法求共有
点；
2,求出相贯线
上特殊点 Ⅰ,
Ⅱ, Ⅲ ；
4,光滑且顺次
地连接各点, 作
出相贯线, 并且
判别可见性；
5,整理轮廓素
线 。
3,求出若干个
一般点 Ⅳ, Ⅴ ；
PW2
PV2
用辅助平面求共有点示意图
用水平面作为辅助平面求共有点
例
题
9
求
圆
柱
与
圆
锥
斜
交
的
相
贯
线
用球面作为辅助面求共有点
解题步骤
1, 分析
圆柱与圆
锥轴线斜
交, 相贯
线的三个
投影均未
知, 可利
用辅助球
面法求共
有点；
1
'
2
'
1"
3"
2"
1
2
3
3
'
2,求特殊点 Ⅰ, Ⅱ,其
中 Ⅱ 点也是最大辅助球
面上的点 ;
3,求小辅助球面上的点
Ⅲ ;
作最大和小辅助球面求共有点
4,求一般点 Ⅳ, Ⅴ ；
4"
5"
6,整理轮廓线。
5,顺次连接各点，并判
别可见性；
5
4
4'
5'
用 辅助球面法 求共有点
[例题 10] 分析并想象出物体相贯线投影的形状
本章结束
§ 11-1 平面立体与平面立体相贯
§ 11-2 平面立体与曲面立体相贯
§ 11-3 曲面立体与曲面立体相贯
基本要求
基本要求
§ 11-1 平面立体与平面立体相贯
一, 概述
二, 例题 1 例题 2 例题 3
一、概述
1．相贯线的性质 相贯线是两立体表面的共有线，相贯线上的点是两立体
表面的共有点 ;不同的立体以及不同的相贯位置,相贯线的形状也不同 ;
2．相贯线的形状 两平面立体的相贯线由折线组成。折线的每一段都是甲
形体的一个侧面与乙形体的一个侧面的交线，折线的转折点就是一个形
体的侧棱与另一形体的侧面的交点。
3．求相贯线的方法 求两平面立体相贯线的方法通常有两种：一种是求各
侧棱对另一形体表面的交点，然后把位于甲形体同一侧面又位于乙形体
同一侧面上的两点，依次连接起来。另一种是求一形体各侧面与另一形
体各侧面的交线。
4．判别相贯线可见性的原则 只有位于两形体都可见的侧面上的交线，
是可见的。只要有一个侧面不可见，面上的交线就不可见。
[例题 1] 两平面立体相贯，完成相贯线的投影
1"
y y
y
y
1
4"
4
4'
2
3
3'
2'1'
3" 2"
解题步骤
1,分析 相贯线的正
面投影已知, 水平投影
和侧面投影未知；
2,求出相贯线上的折
点 Ⅰ, Ⅱ, Ⅲ, Ⅳ ；
3,顺次地连接各点,
作出相贯线, 并且判别
可见性；
4,整理轮廓线 。
[例题 2] 两平面立体相贯，完成相贯线的投影
1
2'
3'
4'
5'
6'1'
3 2 4 5
6
解题步骤
1,分析 相贯线为左右两组折线；相贯
线的正面投影已知, 水平投影未知；相
贯线的投影前后, 左右对称
2,求出相贯线上的折点 Ⅰ, Ⅱ, Ⅲ,
Ⅳ, Ⅴ, Ⅵ ；
3,顺次地连接各点, 作出相贯线, 并且
判别可见性；
4,整理轮廓线 。
[例题 3] 两平面立体相贯，完成相贯线的投影
解题步骤
1,分析 相贯线为一组闭合折线, 相贯线
的正面投影未知, 水平投影已知；相贯线
的投影前后, 左右对称 。
2,求出相贯线上的折点 Ⅰ, Ⅱ, Ⅲ 等；
3,顺次地连接各点, 作出相贯线, 并且
判别可见性；
4,整理轮廓线 。
2'
1'
1
2
3
3'
观看动画
§ 11-2 平面立体与曲面立体相贯
一, 概述
二, 例题 4 例题 5
一、概述
[例题 4] 平面立体与曲面立体相贯，完成相贯线的投影
解题步骤
1,分析 相贯线为三段
圆弧的组合；相贯线的
水平投影已知, 可利用
表面取点法求共有点；
2,求出相贯线上的特
殊点 Ⅰ, Ⅱ, Ⅲ, Ⅳ,
Ⅴ, Ⅵ, Ⅶ ；
3,求出若干个一般点
Ⅷ, Ⅸ ；
4,光滑且顺次地连接
各点, 作出相贯线, 并
且判别可见性；
5,整理轮廓线 。
TH
SH
PH
3
5 QH
1 2
3'
9'8'
6' 7'
1' 2'
4' 5'
4
6
7
8 9
观看动画
[例题 5] 平面立体与曲面立体相贯，完成相贯线的投影
解题步骤
1,分析 相贯线为圆弧
和双曲线的组合；相贯
线的侧面投影已知, 可
利用表面取点法求共有
点；
2,求出相贯线上的特
殊点 Ⅰ, Ⅱ, Ⅳ ；
3,求出一般点 Ⅲ ；
4,光滑且顺次地连接
各点, 作出相贯线, 并
且判别可见性；
5,整理轮廓线 。
观看动画
§ 11-3 曲面立体相贯
一, 相贯线的性质
二,曲面立体相贯的三种基本形式
三,求曲面立体相贯线的方法
四,辅助面的选用原则
五,求相贯线的一般步骤
六,复合相贯线
七,相贯线的特殊情况
八,相贯线的变化趋势
九,例题
一、相贯线的性质
图例
曲面立体相贯线的性质图例
二、曲面立体相贯的三种基本形式
2,外表面与内表面相交；
1,两外表面相交；
3,两内表面相交。
三、求 曲面立体相贯线的 方法
1,表面取点法
2,辅助平面法
3,辅助球面法
四、辅助面的选用原则
1．利用表面取点法或由二求三的方法求相贯线
2,利用辅助平面法求相贯线
3,利用辅助球面法求相贯线
常用的辅助球面法为同心球面法,要使辅助球面与两立体表
面交线的投影为直线。
五,求相贯线的一般步骤
2,求作相贯线上的 特殊点 。
3,根据需要求出若干个一般点 。
4,光滑且顺次地连接各点, 作出相贯线, 并判别可见性 。
5,整理轮廓线 。
特殊点
六,复合相贯线
三个或三个以上的立体相交在一起, 称为复合相贯 。 这时
相贯线由若干条相贯线组合而成, 结合处的点称为结合点 。
处理复合相贯线, 关键在于分析, 找出有几个两两曲面立
体相贯, 从而确定其有几段相贯线组成 。
七、相贯线的特殊情况
（ 1） 两个回转体具有公共轴线时, 其表面的相贯线为圆, 并
且该圆垂直于公共轴线 。
当公共轴线处于投影面垂直位置时, 相贯线有一个投影反
映圆的实形, 其余投影积聚为直线 。
（ 2） 外切于同一球面的圆锥, 圆柱相交时, 其相贯线为两条
平面曲线 — 椭圆 。
当两立体的相交两轴线同时平行于某一投影面时，则此两
椭圆曲线在该投影面上的投影，为相交两直线。
当两个回转体具有公共轴线时，其表面的相贯线为圆
外切于同一球面的圆锥、圆柱相交时，其相贯线为两条平面曲线 — 椭圆
点击相应图形观看动画
外切于同一球面的两圆柱正交时，其相贯线为两条平面曲线 — 椭圆
外切于同一球面的两圆柱斜交时，其相贯线为两条平面曲线 — 椭圆
外切于同一球面的圆锥、圆柱正交时，其相贯线为两条平面曲线 — 椭圆
外切于同一球面的圆锥、圆柱斜交时，其相贯线为两条平面曲线 — 椭圆
八、相贯线的变化趋势
1,两圆柱 相贯线 的 变化趋势 （ 一 ）
2,两圆柱 相贯线 的 变化趋势 （ 二 ）
3,圆柱与圆锥 相贯线 的 变化趋势 （ 一 ）
4,圆柱与圆锥 相贯线 的 变化趋势 （ 二 ）
圆柱 相贯线 的 变化趋势（一）
点击图形观看动画
当圆柱的相对大小发生变化时,相贯线 的 变化趋势
两圆柱 相贯线 的 变化趋势（二）
点击图形观看动画
当圆柱的相对位置相对变化时,相贯线 的 变化趋势
圆柱与圆锥 相贯线 的 变化趋势（一）
点击图形观看动画
当大小发生相对变化时，圆柱与圆锥 相贯线 的 变化趋势
圆柱与圆锥 相贯线 的 变化趋势（二）
点击图形观看动画
当相对位置发生变化时，圆柱与圆锥相贯线的变化趋势
九、曲面立体 相贯线 例题
例题 6 求两圆柱的相贯线
例题 7 求圆柱与圆锥的相贯线
例题 8 求圆球与圆锥的相贯线
例题 9 求圆球与圆锥斜交的相贯线
例题 10 复合相贯线
[例题 6] 求两圆柱的相贯线
y y
y
y
d e
d' e'
a'
c'
b' a"b"
c"
d"e"
ba
c
解题步骤
1 分析 相贯线的水平投影
和侧面投影已知, 可利用表
面取点法求共有点；
2 求出相贯线上的特殊点 A、
B,C；
3 求出若干个一般点 D,E；
4 光滑且顺次地连接各点,
作出相贯线, 并且判别可见
性；
5 整理轮廓线 。
[例题 7] 求圆柱与圆锥的相贯线
yy
PW1PV1 4"
y
y
4'
PV2 PW2
3"PV3 PW3
5"
1
1' 1"
2' 2"
2
45
3'
3
5'
用辅助平面求共有点示意图
解题步骤
1 分析 相贯线的
侧面投影已知, 可
利用辅助平面法求
共有点；
2 求出相贯线上的
特殊点 Ⅰ, Ⅱ,
Ⅲ ；
3 求出若干个一般
点 Ⅳ, Ⅴ ；
4 光滑且顺次地连
接各点, 作出相贯
线, 并且判别可见
性；
5 整理轮廓线 。
用水平面作为辅助平面求共有点
[例题 8] 求圆球与圆锥的相贯线
PW3PV3
PV1
y
y
5"
5'
3' 4'
35 4
3"
1"
1
2'
1'
2"
2
yy
4"
解题步骤
1,分析 相贯
线的三个投影均
未知, 可利用辅
助平面法求共有
点；
2,求出相贯线
上特殊点 Ⅰ,
Ⅱ, Ⅲ ；
4,光滑且顺次
地连接各点, 作
出相贯线, 并且
判别可见性；
5,整理轮廓素
线 。
3,求出若干个
一般点 Ⅳ, Ⅴ ；
PW2
PV2
用辅助平面求共有点示意图
用水平面作为辅助平面求共有点
例
题
9
求
圆
柱
与
圆
锥
斜
交
的
相
贯
线
用球面作为辅助面求共有点
解题步骤
1, 分析
圆柱与圆
锥轴线斜
交, 相贯
线的三个
投影均未
知, 可利
用辅助球
面法求共
有点；
1
'
2
'
1"
3"
2"
1
2
3
3
'
2,求特殊点 Ⅰ, Ⅱ,其
中 Ⅱ 点也是最大辅助球
面上的点 ;
3,求小辅助球面上的点
Ⅲ ;
作最大和小辅助球面求共有点
4,求一般点 Ⅳ, Ⅴ ；
4"
5"
6,整理轮廓线。
5,顺次连接各点，并判
别可见性；
5
4
4'
5'
用 辅助球面法 求共有点
[例题 10] 分析并想象出物体相贯线投影的形状
本章结束
