§ 3-1 直线的投影
第三章 直线
§ 3-2 直线对投影面的相对位置
§ 3-6 直角投影定理
§ 3-3 一般位置线段的实长及它与投影面的夹角
§ 3-4 属于直线上的点
§ 3-5 两直线的相对位置
基本要求
基本要求
§ 3-1 直线的投影
直线的投影仍为直线，特殊情况下为一点。
a
b
c(d)
§ 3-2 直线对投影面的相对位置
一、特殊位置直线
1.直线平行于一个投影面
(1) 水平线
(2) 正平线
(3) 侧平线
2.直线垂直于一个投影面
(1) 铅垂线
(2) 正垂线
(3) 侧垂线
3.从属于投影面的直线
从属于投影面的直线
从属于投影面的铅垂线
从属于投影轴的直线
二,一般位置直线
(1) 水平线 — 只平行于水平投影面的直线
a
a? b?
a?
b
b?
X
a? b? a? b?
b
a
O
z
YH
YW? ?
?
?
A
B
投影特性,1,a?b??? OX ; a?b??? OYW
2,ab=AB
3,反映 ?,? 角的真实大小
（ 2）正平线 — 只平行于正面投影面的直线
a
a?
b?
a?
b?
b
? ? X
a?
b?
a?
b?
ba
O
Z
YH
YWA
B ?
?
投影特性,1,ab ?? OX ; a? b??? OZ
2,a? b?=AB
3,反映 ?,?角的真实大小
（ 3）侧平线 — 只平行于侧面投影面的直线
a
a?
b?
a?
b?
b
?
?
A
B
投影特性,1,a?b??? OZ ; ab ?? OYH
2,a?b? =AB
3,反映 ?,? 角的真实大小
X
Za?
b? b?
b
a
O
YH
YW
a?
?
?
b?
a(b)
a?
a?
b?
Z
b?
X
a?
b?
a(b)
O
YH
YW
a?
投影特性,1,a b 积聚 成一点
2,a? b??OX ; a? b? ? OYW
3,a? b? = a? b? = AB
（ 1）铅垂线 — 垂直于水平投影面的直线
A
B
（ 2）正垂线 — 垂直于正面投影面的直线
b
a?b?
a?
b?
a
投影特性,1,a?b? 积聚 成一点
2,ab ? OX ; a?b? ?OZ
3,ab = a?b? =AB
A
B
z
X
a?b? b?
a
O
YH
YW
a?
b
（ 3）侧垂线 — 垂直于侧面投影面的直线
投影特性,1,a?b? 积聚 成一点
2,ab ? OYH ; a?b?? OZ
3,ab = a?b? =AB
A B
b
a?
a?b?
a
b?
Z
X
a?b?b?
a
O
YH
YW
a?
b
从属于 V 面的直线
Z
X
a? b?
a
O
YH
YW
a?
b
b?
B
b
b?
a?
b?
a
A a?
从属于 V 投影面的铅垂线
Z
YW
b?
X
a?
b?
a(b)
O
YH
a?
从属于 OX轴的直线
Z
X a? b?
a
O
YH
YW
a?b?b
二、一般位置直线
A
B
b
b?
a?
b?
a
a?
?
? ?
Z
X
a? b?
a
O
Y
Y
a?
b
b?
投影特性,1,a b,a?b?,a? b?均小于实长
2,a b,a?b?,a? b?均倾斜于投影轴
3．不反映 ?, ?, ? 实角
四, 作图
1,求直线的实长及对水平投影面的夹角 ?角
2,求直线的实长及对正面投影面的夹角 ?角
3,求直线的实长及对侧面投影面的夹角 ?角
例题 1
§ 3-3 一般位置线段的实长及其与投影面的夹角
?
|zA-zB |
AB
1,求直线的实长及对水平投影面的夹角 ?角
?
|zA-zB|
?
AB
ab
|zA-zB|
?
AB
|zA-zB|
ab
2,求直线的实长及对正面投影面的夹角 ? 角
|yA-yB|
a?X
a
b?
ba?b?
AB
?
AB
?
a?b?
|yA-yB|
|yA-yB|
AB ?
|yA-yB|?
3,求直线的实长及对侧面投影面的夹角 ? 角
A
B
b
b?
a?
b?
a
a? ?
|xA-xB|
[例题 1] 已知 线段的实长 AB，求它的水平投影。
a
|zA-zB|
?
ab
AB
ab
|zA-zB|
直线上的点具有两个特性：
1,从属性 若点在直线上，则点的各个投影必在直线的各同面投影上。利用
这一特性可以在直线上找点，或判断已知点是否在直线上。
2．定比性 属于线段上的点分割线段之比等于其投影之比。即
A C,C B = a c, c b= a?c?, c?b? = a?c?, c? b?
利用这一特性，在不作侧面投影的情况下，可以在侧平线上找点或判断已知
点是否在侧平线上。
例题 2 例题 3 例题 4
§ 3-4 属于直线的点
c
c?
[例题 2] 已知线段 AB的投影图，试将 AB分成 2﹕1 两段，求分
点 C的投影 c,c? 。
[例题 3] 已知点 C在线段 AB上，求点 C 的正面投影。
c
c? ca
bc
[例题 4] 已知线段 AB的投影，试定出属于线段 AB的点 C的投影，
使 BC 的实长等于已知长度 L。
c
L
AB
zA-zB
c?
ab
§ 3-5 两直线的相对位置
一,平行两直线
二,相交两直线
三,交叉两直线
四,交叉两直线重影点投影的可见性判断
例题 5
例题 6
例题 7
一、平行两直线
1．若空间两直线相互平行，则它们的同名投影必然相互平行。
反之，如果两直线的各个同名投影相互平行，则此两直线在空间也
一定相互平行。
2．平行两线段之比等于其投影之比。
b?
a
a?
d?
b b
c
c?
X
b?
a?
a
b d
c?
d?
c
二、相交两直线
当两直线相交时，它们在各投影面上的同名投影也必然相交，
且交点符合空间一点的投影规律。反之亦然。
b?
X
a?
a
b
k?
c?
d?
d
c
k
三,交叉两直线
凡不满足平行和相交条件的直线为交叉两直线。
b?
X
a?
a
b
c?
d?
d
c
1
1?(2?)
2
四、交叉两直线重影点投影的可见性判断
(3?)4?
1(2) 4
3
3
4
1?
2?
1
2
[例题 5] 判断两直线的相对位置
d?
a?
c?
b?
o Y
W
YH
z
[例题 6] 判断两直线的相对位置
1?
1?d? c? 1?
1
[例题 7] 判断两直线重影点的可见性
3?(4?)
3
4
1?
2?
1(2)
§ 3-6 直角投影定理
一,垂直相交的两直线的投影
定理一 垂直相交的两直线，其中有一条直线平行于投影面时，则两直线
在该投影面上的投影仍反映直角。
定理二 相交两直线在同一投影面上的投影反映直角，且有一条直线平行
于该投影面，则空间两直线的夹角必是直角。
二,交叉垂直的两直线的投影
定理三 相互垂直的两直线，其中有一条直线平行于投影面时，则两直线
在该投影面上的投影仍反映直角。
定理四 两直线在同一投影面上的投影反映直角，且有一条直线平行于该
投影面，则空间两直线的夹角必是直角。
例题 8
例题 9
例题 10
一、垂直相交的两直线的投影
c
X
b?a?
c?
b
a
AB垂直于 AC,且 AB平行于 H面,则有 ab ? ac
AB垂直于 AC,且 AB平行于 H面,则有 ab ? ac
二、交叉垂直的两直线的投影
[例题 8] 过点 A作线段 EF的垂线 AB,并使 AB平行于 V 面 。
b
b?
f
[例题 9] 过点 E作线段 AB,CD的公垂线 EF。
f?
e?
e
b?
[例题 10] 作三角形 ABC,?ABC为直角，使 BC在 MN
上，且 BC?AB =2?3。
bc
AB
a?b?
|yA-yB|
b?c?=BC
c?
a?
a
本章结束
第三章 直线
§ 3-2 直线对投影面的相对位置
§ 3-6 直角投影定理
§ 3-3 一般位置线段的实长及它与投影面的夹角
§ 3-4 属于直线上的点
§ 3-5 两直线的相对位置
基本要求
基本要求
§ 3-1 直线的投影
直线的投影仍为直线，特殊情况下为一点。
a
b
c(d)
§ 3-2 直线对投影面的相对位置
一、特殊位置直线
1.直线平行于一个投影面
(1) 水平线
(2) 正平线
(3) 侧平线
2.直线垂直于一个投影面
(1) 铅垂线
(2) 正垂线
(3) 侧垂线
3.从属于投影面的直线
从属于投影面的直线
从属于投影面的铅垂线
从属于投影轴的直线
二,一般位置直线
(1) 水平线 — 只平行于水平投影面的直线
a
a? b?
a?
b
b?
X
a? b? a? b?
b
a
O
z
YH
YW? ?
?
?
A
B
投影特性,1,a?b??? OX ; a?b??? OYW
2,ab=AB
3,反映 ?,? 角的真实大小
（ 2）正平线 — 只平行于正面投影面的直线
a
a?
b?
a?
b?
b
? ? X
a?
b?
a?
b?
ba
O
Z
YH
YWA
B ?
?
投影特性,1,ab ?? OX ; a? b??? OZ
2,a? b?=AB
3,反映 ?,?角的真实大小
（ 3）侧平线 — 只平行于侧面投影面的直线
a
a?
b?
a?
b?
b
?
?
A
B
投影特性,1,a?b??? OZ ; ab ?? OYH
2,a?b? =AB
3,反映 ?,? 角的真实大小
X
Za?
b? b?
b
a
O
YH
YW
a?
?
?
b?
a(b)
a?
a?
b?
Z
b?
X
a?
b?
a(b)
O
YH
YW
a?
投影特性,1,a b 积聚 成一点
2,a? b??OX ; a? b? ? OYW
3,a? b? = a? b? = AB
（ 1）铅垂线 — 垂直于水平投影面的直线
A
B
（ 2）正垂线 — 垂直于正面投影面的直线
b
a?b?
a?
b?
a
投影特性,1,a?b? 积聚 成一点
2,ab ? OX ; a?b? ?OZ
3,ab = a?b? =AB
A
B
z
X
a?b? b?
a
O
YH
YW
a?
b
（ 3）侧垂线 — 垂直于侧面投影面的直线
投影特性,1,a?b? 积聚 成一点
2,ab ? OYH ; a?b?? OZ
3,ab = a?b? =AB
A B
b
a?
a?b?
a
b?
Z
X
a?b?b?
a
O
YH
YW
a?
b
从属于 V 面的直线
Z
X
a? b?
a
O
YH
YW
a?
b
b?
B
b
b?
a?
b?
a
A a?
从属于 V 投影面的铅垂线
Z
YW
b?
X
a?
b?
a(b)
O
YH
a?
从属于 OX轴的直线
Z
X a? b?
a
O
YH
YW
a?b?b
二、一般位置直线
A
B
b
b?
a?
b?
a
a?
?
? ?
Z
X
a? b?
a
O
Y
Y
a?
b
b?
投影特性,1,a b,a?b?,a? b?均小于实长
2,a b,a?b?,a? b?均倾斜于投影轴
3．不反映 ?, ?, ? 实角
四, 作图
1,求直线的实长及对水平投影面的夹角 ?角
2,求直线的实长及对正面投影面的夹角 ?角
3,求直线的实长及对侧面投影面的夹角 ?角
例题 1
§ 3-3 一般位置线段的实长及其与投影面的夹角
?
|zA-zB |
AB
1,求直线的实长及对水平投影面的夹角 ?角
?
|zA-zB|
?
AB
ab
|zA-zB|
?
AB
|zA-zB|
ab
2,求直线的实长及对正面投影面的夹角 ? 角
|yA-yB|
a?X
a
b?
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AB
?
AB
?
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|yA-yB|
|yA-yB|
AB ?
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3,求直线的实长及对侧面投影面的夹角 ? 角
A
B
b
b?
a?
b?
a
a? ?
|xA-xB|
[例题 1] 已知 线段的实长 AB，求它的水平投影。
a
|zA-zB|
?
ab
AB
ab
|zA-zB|
直线上的点具有两个特性：
1,从属性 若点在直线上，则点的各个投影必在直线的各同面投影上。利用
这一特性可以在直线上找点，或判断已知点是否在直线上。
2．定比性 属于线段上的点分割线段之比等于其投影之比。即
A C,C B = a c, c b= a?c?, c?b? = a?c?, c? b?
利用这一特性，在不作侧面投影的情况下，可以在侧平线上找点或判断已知
点是否在侧平线上。
例题 2 例题 3 例题 4
§ 3-4 属于直线的点
c
c?
[例题 2] 已知线段 AB的投影图，试将 AB分成 2﹕1 两段，求分
点 C的投影 c,c? 。
[例题 3] 已知点 C在线段 AB上，求点 C 的正面投影。
c
c? ca
bc
[例题 4] 已知线段 AB的投影，试定出属于线段 AB的点 C的投影，
使 BC 的实长等于已知长度 L。
c
L
AB
zA-zB
c?
ab
§ 3-5 两直线的相对位置
一,平行两直线
二,相交两直线
三,交叉两直线
四,交叉两直线重影点投影的可见性判断
例题 5
例题 6
例题 7
一、平行两直线
1．若空间两直线相互平行，则它们的同名投影必然相互平行。
反之，如果两直线的各个同名投影相互平行，则此两直线在空间也
一定相互平行。
2．平行两线段之比等于其投影之比。
b?
a
a?
d?
b b
c
c?
X
b?
a?
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b d
c?
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二、相交两直线
当两直线相交时，它们在各投影面上的同名投影也必然相交，
且交点符合空间一点的投影规律。反之亦然。
b?
X
a?
a
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k?
c?
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k
三,交叉两直线
凡不满足平行和相交条件的直线为交叉两直线。
b?
X
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c
1
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2
四、交叉两直线重影点投影的可见性判断
(3?)4?
1(2) 4
3
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1?
2?
1
2
[例题 5] 判断两直线的相对位置
d?
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[例题 6] 判断两直线的相对位置
1?
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1
[例题 7] 判断两直线重影点的可见性
3?(4?)
3
4
1?
2?
1(2)
§ 3-6 直角投影定理
一,垂直相交的两直线的投影
定理一 垂直相交的两直线，其中有一条直线平行于投影面时，则两直线
在该投影面上的投影仍反映直角。
定理二 相交两直线在同一投影面上的投影反映直角，且有一条直线平行
于该投影面，则空间两直线的夹角必是直角。
二,交叉垂直的两直线的投影
定理三 相互垂直的两直线，其中有一条直线平行于投影面时，则两直线
在该投影面上的投影仍反映直角。
定理四 两直线在同一投影面上的投影反映直角，且有一条直线平行于该
投影面，则空间两直线的夹角必是直角。
例题 8
例题 9
例题 10
一、垂直相交的两直线的投影
c
X
b?a?
c?
b
a
AB垂直于 AC,且 AB平行于 H面,则有 ab ? ac
AB垂直于 AC,且 AB平行于 H面,则有 ab ? ac
二、交叉垂直的两直线的投影
[例题 8] 过点 A作线段 EF的垂线 AB,并使 AB平行于 V 面 。
b
b?
f
[例题 9] 过点 E作线段 AB,CD的公垂线 EF。
f?
e?
e
b?
[例题 10] 作三角形 ABC,?ABC为直角，使 BC在 MN
上，且 BC?AB =2?3。
bc
AB
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|yA-yB|
b?c?=BC
c?
a?
a
本章结束
