第五章 直线与平面的相对位置
两平面的相对位置
§ 5-1 直线与平面平行 ? 两平面平行
§ 5-2 直线与平面的交点 ? 两平面的交线
§ 5-3 直线与平面垂直 ? 两平面垂直
基本要求
基本要求
（一）平行问题
1．熟悉线、面平行，面、面平行的几何条件；
2．熟练掌握线、面平行，面、面平行的投影特性及作图方法。
（二）相交问题
1．熟练掌握特殊位置线、面相交（其中直线或平面的投影具有积聚
性）交点的求法和作两个面的交线（其中一平面的投影具有积聚性）。
2．熟练掌握一般位置线、面相交求交点的方法；掌握一般位置面、
面相交求交线的作图方法。
3．掌握利用重影点判别投影可见性的方法。
（三）垂直问题
掌握线面垂直、面面垂直的投影特性及作图方法。
（四）点、线、面综合题
1．熟练掌握点、线、面的基本作图方法；
2．能对一般画法几何综合题进行空间分析，了解综合题的一般解题
步骤和方法。
§ 5-1 直线与平面平行 ? 两平 面平行
一, 直线与平面平行
几何条件 若平面外的一条直线与平面内的一条直线平行, 则该直线与该
平面平行 。 这是解决直线与平面平行作图问题的依据 。
有关线, 面平行的作图问题有：判别已知线面是否平行；作直线与已
知平面平行；包含已知直线作平面与另一已知直线平行 。
例题 1 例题 2
二, 平面与平面平行
几何条件 若一个平面内的相交二直线与另一个平面内的相交二直线对应
平行, 则此两平面平行 。 这是两平面平行的作图依据 。
两面平行的作图问题有：判别两已知平面是否相互平行；过一点作一
平面与已知平面平行；已知两平面平行, 完成其中一平面的所缺投影 。
例题 3 例题 4 例题 5
一,直线与平面平行
若一直线平行于属于定平面的一直线，则该直线与平面平行
[例题 1] 试判断直线 AB是否平行于定平面
f
g?
f?
g
结论：直线 AB不平行于定平面
[例题 2] 试过点 K作水平线 AB平行于 ΔCDE平面
b? a?
a
f?
f
b
二、两平面平行
若属于一平面的相交两直线对应平行于属于另一平面的相交两
直线，则此两平面平行
E
F
D
A
C
B
[例题 3 ] 试判断两平面是否平行
m?
n?
m
n
r?
r
s
s?
结论：两平面平行
[例题 4] 已知定平面由平行两直线 AB和 CD给定。试过
点 K作一平面平行于已知平面 。
e
m? n?
m
n
f? e?
f s
r?
s?
r
k?
k
[例题 5] 试判断两平面是否平行。
结论：因为 PH平行 SH，所以两平面平行
§ 5-2 直线与平面的交点、两平 面的交线
一, 直线与平面相交只有一个交点
二,两平面的交线是直线
三,特殊位置 线面相交
四,一般位置平面与 特殊位置 平面相交
五,直线与一般位置平面相交
六,两一般 位置 平面相交
一,直线与平面相交
直线与平面相交只有一个交点，它是直线与平面的共有点。
B
K
A
M
二、平面与平面相交
两平面的交线是一条直线，这条直线为两平面所共有
F
K
N
L
三、特殊位置线面相交
直线与 特殊位置 平面相交
判断直线的可见性
特殊位置 直线与一般位置平面相交
b?
b
a?
a
c
c?
m?
m
n
n?
直线与 特殊位置 平面相交
由于 特殊位置 平面的某个投影有积聚性, 交点可直接求出。
k
k?
判断直线的可见性
b?
b
a?
a
c
c?
m?
m
n?
k
k?
n
特殊位置线面相交，根据平面的积聚性投影，能直接判别直线的可见性。
( )
求铅垂线 EF与一般位置平面△ ABC的交点并判别
其可见性。
k
2
1
k'
2'1'
四、一般位置平面与 特殊位置 平面相交
求两平面交线的问题可以看作是求两个共有点的问题,
由于 特殊位置 平面的某个投影有积聚性, 交线可直接求出。
一般位置平面与 特殊位置 平面相交
判断平面的可见性
一般位置平面与 特殊位置 平面相交
n
l
m
m?
l?
n?
b a
c
c?
a?
b?
f
k
f?
k?
M
m
n
l
P
B
C
a
c
b
PH
A
F
K
N
L
k
f
判断平面的可见性
结 果
判断平面的可见性
五、直线与一般 位置 平面相交
以正垂面为辅助平面求线面交点 示意图
以铅垂面为辅助平面求线面交点 示意图
判别可见性 示意图
1?
2?
以正垂面为辅助平面求线面交点Q
V
2
1
k
k?
步骤,
1．过 EF作正
垂平面 Q。
2．求 Q平面与
ΔABC的交线
ⅠⅡ 。
3．求交线
ⅠⅡ 与 EF的交
点 K。
示意图
A
B
C
过 MN作 正垂面 Q
M
N
以正垂面为辅助平面求线面交点 示意图
1
2
以铅垂面为辅助平面求线面交点 。
PH
1?
步骤,
1．过 EF作铅
垂平面 P。
2．求 P平面与
ΔABC的交线
ⅠⅡ 。
3．求交线
ⅠⅡ 与 EF的交
点 K。
k?
k
2?
示意图
C
A
B
过 MN作铅 垂 面 P
N
M
E
FK
以 铅 垂面为辅助平面求线面交点 示意图
f?
e?
e
直线 EF与 ? ABC相交，判别可见性。
利
用
重
影
点
判
别
可
见
性
1
2
4?
3?
（ ）k
k?
3 4 示意图
( )2? 1?
直线 EF与平面 Δ ABC相交，判别可见性示意图
Ⅰ
Ⅱ
Ⅲ
1? (2?)
(4)
3
利
用
重
影
点。
判
别
可
见
性Ⅳ
六、两一般位置平面相交
求两平面交线的问题可以看作是求两个共有点的问题,
因而可利用求一般位置线面交点的方法找出交线上的两个点
,将其连线即为两平面的交线 。
两一般位置平面相交 求交线 示意图
判别可见性
例题 6
两一般
位置平面相
交，求交线
步骤：
1．用求直线
与平面交点
的方法，作
出两平面的
两个共有点 K、
E。
求两平面的交线
l
l?
n
m
m?
n?PV
QV
1?
2?
2
1
k?
k
e
e
2．连接两个
共有点，画
出交线 KE。
示意图
两一般位置平面相交求交线的方法 示意图
利用求一般位置线面交点的方法找出交线上的两个点，将其
连线即为两平面的交线。
M
B
C
A
F
K
N
L
利
用
重
影
点
判
别
可
见
性
两平面相交，判别可见性
3?
4?
( )3
4
2
1
( )1?
2?
[例题 6] 试过 K点作一直线平行于已知平面 ΔABC，并与直线
EF相交 。
分析
过已知点 K作平面 P平行 于 ? ABC；直线 EF与平面 P交于 H；
连接 KH,KH即为所求。
F
E
K
H
作图
m?
n? h?
h
n
m
PV
1?
1
2?
2
1．过点 K作平面
KMN//? ABC平面。
2．求直线 EF与平面
KMN的交点 H 。
3．连接 KH,KH即
为所求。
§ 5-3 直线与平面垂直、两平面垂直
一、直线与平面垂直
几何条件
定理 1 定理 2
例题 7 例题 8 例题 9 例题 10
二、两平面垂直
几何条件
例题 11 例题 12 例题 13
直线与平面垂直的几何条件,若一直线垂直于一平面，则必垂直于属于该
平面的一切直线。
定理 1 若一直线垂直于一平面、则直线的水平投影必垂直于属
于该平面的水平线的水平投影；直线的正面投影必垂直于属于
该平面的正平线的正面投影。
k
n
k?
n?
定理 2（逆） 若一直线的水平投影垂直于属于平面的水平线的
水平投影；直线的正面投影垂直于属于平面的正平线的正面投
影，则直线必垂直于该平面。
[例题 7] 平面由 ? BDF给定，试过定点 K作平面的法线。
a?
ca
c?
n?
n
k
k?
h?
[例题 8] 试过定点 K作特殊位置平面的法线。
h h
h
h? h?
（ a） （ c）（ b）
[例题 9] 平面由两平行线 AB,CD给定，试判断直线 MN是否垂
直于该平面。
e? f?
e
f
[例题 11] 试过点 N作一平面，使该平面与 V面的夹角为 60 °,
与 H面的夹角为 45 ° 。
分析：平面的法线与平面的最大斜度线对同一投影面的夹角互为余角
直径任取
NM
作图过程
|yM-yN|
|zM-zN|
m?
h?
m n
m
k
|zM-zN|
|yM-yN|
30°
45°m n
m?n?k?
h
n?
n
两平面垂直的几何条件
若一直线垂直于一定平面，则包含这条直线的所有平面
都垂直于该平面。
A
D
反之，两平面相互垂直，则由属于第一个平面的任意一
点向第二个平面作的垂线必属于第一个平面。
两平面垂直 两平面不垂直
g?
[例题 12] 平面由 ? BDF给定，试过定点 K作已知平面的垂面。
h
a?
c
a
c?
h?
g
[例题 13] 试判断 ? ABC与相交两直线 KG和 KH所给定的平面是否
垂直。
f?
f
d?
d
结论：因为 AD直线不在 ?ABC平面上，所以两平面不垂直。
[例题 14] 试过定点 A作直线与已知直线 EF正交。
E
分析
过已知点 A作平面垂直于已知直线 EF，并交于点 K，连接 AK,AK
即为所求。
F
A
K
作图
2?
1
a?
e
f
a
f?
e?
1?
2
2?
1
PV
1?
2
k?
k
本章结束
两平面的相对位置
§ 5-1 直线与平面平行 ? 两平面平行
§ 5-2 直线与平面的交点 ? 两平面的交线
§ 5-3 直线与平面垂直 ? 两平面垂直
基本要求
基本要求
（一）平行问题
1．熟悉线、面平行，面、面平行的几何条件；
2．熟练掌握线、面平行，面、面平行的投影特性及作图方法。
（二）相交问题
1．熟练掌握特殊位置线、面相交（其中直线或平面的投影具有积聚
性）交点的求法和作两个面的交线（其中一平面的投影具有积聚性）。
2．熟练掌握一般位置线、面相交求交点的方法；掌握一般位置面、
面相交求交线的作图方法。
3．掌握利用重影点判别投影可见性的方法。
（三）垂直问题
掌握线面垂直、面面垂直的投影特性及作图方法。
（四）点、线、面综合题
1．熟练掌握点、线、面的基本作图方法；
2．能对一般画法几何综合题进行空间分析，了解综合题的一般解题
步骤和方法。
§ 5-1 直线与平面平行 ? 两平 面平行
一, 直线与平面平行
几何条件 若平面外的一条直线与平面内的一条直线平行, 则该直线与该
平面平行 。 这是解决直线与平面平行作图问题的依据 。
有关线, 面平行的作图问题有：判别已知线面是否平行；作直线与已
知平面平行；包含已知直线作平面与另一已知直线平行 。
例题 1 例题 2
二, 平面与平面平行
几何条件 若一个平面内的相交二直线与另一个平面内的相交二直线对应
平行, 则此两平面平行 。 这是两平面平行的作图依据 。
两面平行的作图问题有：判别两已知平面是否相互平行；过一点作一
平面与已知平面平行；已知两平面平行, 完成其中一平面的所缺投影 。
例题 3 例题 4 例题 5
一,直线与平面平行
若一直线平行于属于定平面的一直线，则该直线与平面平行
[例题 1] 试判断直线 AB是否平行于定平面
f
g?
f?
g
结论：直线 AB不平行于定平面
[例题 2] 试过点 K作水平线 AB平行于 ΔCDE平面
b? a?
a
f?
f
b
二、两平面平行
若属于一平面的相交两直线对应平行于属于另一平面的相交两
直线，则此两平面平行
E
F
D
A
C
B
[例题 3 ] 试判断两平面是否平行
m?
n?
m
n
r?
r
s
s?
结论：两平面平行
[例题 4] 已知定平面由平行两直线 AB和 CD给定。试过
点 K作一平面平行于已知平面 。
e
m? n?
m
n
f? e?
f s
r?
s?
r
k?
k
[例题 5] 试判断两平面是否平行。
结论：因为 PH平行 SH，所以两平面平行
§ 5-2 直线与平面的交点、两平 面的交线
一, 直线与平面相交只有一个交点
二,两平面的交线是直线
三,特殊位置 线面相交
四,一般位置平面与 特殊位置 平面相交
五,直线与一般位置平面相交
六,两一般 位置 平面相交
一,直线与平面相交
直线与平面相交只有一个交点，它是直线与平面的共有点。
B
K
A
M
二、平面与平面相交
两平面的交线是一条直线，这条直线为两平面所共有
F
K
N
L
三、特殊位置线面相交
直线与 特殊位置 平面相交
判断直线的可见性
特殊位置 直线与一般位置平面相交
b?
b
a?
a
c
c?
m?
m
n
n?
直线与 特殊位置 平面相交
由于 特殊位置 平面的某个投影有积聚性, 交点可直接求出。
k
k?
判断直线的可见性
b?
b
a?
a
c
c?
m?
m
n?
k
k?
n
特殊位置线面相交，根据平面的积聚性投影，能直接判别直线的可见性。
( )
求铅垂线 EF与一般位置平面△ ABC的交点并判别
其可见性。
k
2
1
k'
2'1'
四、一般位置平面与 特殊位置 平面相交
求两平面交线的问题可以看作是求两个共有点的问题,
由于 特殊位置 平面的某个投影有积聚性, 交线可直接求出。
一般位置平面与 特殊位置 平面相交
判断平面的可见性
一般位置平面与 特殊位置 平面相交
n
l
m
m?
l?
n?
b a
c
c?
a?
b?
f
k
f?
k?
M
m
n
l
P
B
C
a
c
b
PH
A
F
K
N
L
k
f
判断平面的可见性
结 果
判断平面的可见性
五、直线与一般 位置 平面相交
以正垂面为辅助平面求线面交点 示意图
以铅垂面为辅助平面求线面交点 示意图
判别可见性 示意图
1?
2?
以正垂面为辅助平面求线面交点Q
V
2
1
k
k?
步骤,
1．过 EF作正
垂平面 Q。
2．求 Q平面与
ΔABC的交线
ⅠⅡ 。
3．求交线
ⅠⅡ 与 EF的交
点 K。
示意图
A
B
C
过 MN作 正垂面 Q
M
N
以正垂面为辅助平面求线面交点 示意图
1
2
以铅垂面为辅助平面求线面交点 。
PH
1?
步骤,
1．过 EF作铅
垂平面 P。
2．求 P平面与
ΔABC的交线
ⅠⅡ 。
3．求交线
ⅠⅡ 与 EF的交
点 K。
k?
k
2?
示意图
C
A
B
过 MN作铅 垂 面 P
N
M
E
FK
以 铅 垂面为辅助平面求线面交点 示意图
f?
e?
e
直线 EF与 ? ABC相交，判别可见性。
利
用
重
影
点
判
别
可
见
性
1
2
4?
3?
（ ）k
k?
3 4 示意图
( )2? 1?
直线 EF与平面 Δ ABC相交，判别可见性示意图
Ⅰ
Ⅱ
Ⅲ
1? (2?)
(4)
3
利
用
重
影
点。
判
别
可
见
性Ⅳ
六、两一般位置平面相交
求两平面交线的问题可以看作是求两个共有点的问题,
因而可利用求一般位置线面交点的方法找出交线上的两个点
,将其连线即为两平面的交线 。
两一般位置平面相交 求交线 示意图
判别可见性
例题 6
两一般
位置平面相
交，求交线
步骤：
1．用求直线
与平面交点
的方法，作
出两平面的
两个共有点 K、
E。
求两平面的交线
l
l?
n
m
m?
n?PV
QV
1?
2?
2
1
k?
k
e
e
2．连接两个
共有点，画
出交线 KE。
示意图
两一般位置平面相交求交线的方法 示意图
利用求一般位置线面交点的方法找出交线上的两个点，将其
连线即为两平面的交线。
M
B
C
A
F
K
N
L
利
用
重
影
点
判
别
可
见
性
两平面相交，判别可见性
3?
4?
( )3
4
2
1
( )1?
2?
[例题 6] 试过 K点作一直线平行于已知平面 ΔABC，并与直线
EF相交 。
分析
过已知点 K作平面 P平行 于 ? ABC；直线 EF与平面 P交于 H；
连接 KH,KH即为所求。
F
E
K
H
作图
m?
n? h?
h
n
m
PV
1?
1
2?
2
1．过点 K作平面
KMN//? ABC平面。
2．求直线 EF与平面
KMN的交点 H 。
3．连接 KH,KH即
为所求。
§ 5-3 直线与平面垂直、两平面垂直
一、直线与平面垂直
几何条件
定理 1 定理 2
例题 7 例题 8 例题 9 例题 10
二、两平面垂直
几何条件
例题 11 例题 12 例题 13
直线与平面垂直的几何条件,若一直线垂直于一平面，则必垂直于属于该
平面的一切直线。
定理 1 若一直线垂直于一平面、则直线的水平投影必垂直于属
于该平面的水平线的水平投影；直线的正面投影必垂直于属于
该平面的正平线的正面投影。
k
n
k?
n?
定理 2（逆） 若一直线的水平投影垂直于属于平面的水平线的
水平投影；直线的正面投影垂直于属于平面的正平线的正面投
影，则直线必垂直于该平面。
[例题 7] 平面由 ? BDF给定，试过定点 K作平面的法线。
a?
ca
c?
n?
n
k
k?
h?
[例题 8] 试过定点 K作特殊位置平面的法线。
h h
h
h? h?
（ a） （ c）（ b）
[例题 9] 平面由两平行线 AB,CD给定，试判断直线 MN是否垂
直于该平面。
e? f?
e
f
[例题 11] 试过点 N作一平面，使该平面与 V面的夹角为 60 °,
与 H面的夹角为 45 ° 。
分析：平面的法线与平面的最大斜度线对同一投影面的夹角互为余角
直径任取
NM
作图过程
|yM-yN|
|zM-zN|
m?
h?
m n
m
k
|zM-zN|
|yM-yN|
30°
45°m n
m?n?k?
h
n?
n
两平面垂直的几何条件
若一直线垂直于一定平面，则包含这条直线的所有平面
都垂直于该平面。
A
D
反之，两平面相互垂直，则由属于第一个平面的任意一
点向第二个平面作的垂线必属于第一个平面。
两平面垂直 两平面不垂直
g?
[例题 12] 平面由 ? BDF给定，试过定点 K作已知平面的垂面。
h
a?
c
a
c?
h?
g
[例题 13] 试判断 ? ABC与相交两直线 KG和 KH所给定的平面是否
垂直。
f?
f
d?
d
结论：因为 AD直线不在 ?ABC平面上，所以两平面不垂直。
[例题 14] 试过定点 A作直线与已知直线 EF正交。
E
分析
过已知点 A作平面垂直于已知直线 EF，并交于点 K，连接 AK,AK
即为所求。
F
A
K
作图
2?
1
a?
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f
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f?
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1?
2
2?
1
PV
1?
2
k?
k
本章结束
