高 等 数 学;0)()(, cx cfxfcx 有时当费马定理 设函数 f (x)在 x0 的某邻域 U(x0)上有定义，
并且在点 x0 处可导，如果对任意 x∈ U(x0),
有 f (x)≤ f (x0),或 f (x)≥f (x0),
即在 x0取到极值，则 f?(x0)=0。;0)()(l i m)(
cx
cfxfcf
cx
由极限的保号性证明：不失一般性。设 f (x)在点 x = c 取到最大值，
则 f (x)? f(c),x?(a,b)。;0)()(, cx cfxfcx 有时当;0)()(l i m)(
cx
cfxfcf
cx
从而 f?(c)=0。
一、罗尔 (Rolle)定理罗尔（ R olle ）定理
)1(
)2( )3(
例如,32)( 2 xxxf ).1)(3( xx
,]3,1[ 上连续在?,)3,1( 上可导在?,0)3()1( ff且
))3,1(1(,1取,0)(f ),1(2)( xxf?
如果函数 )( xf 在闭区间 ],[ ba
上连续,
那末在 ),( ba 内至少有一点
)( ba,使得函数 )( xf 在该点的导数等于零,
即 0)(
'
f
在开区间 ),( ba 内可导,且在区间端点的函数值相等，即 )()( bfaf?,
点击图片任意处播放 \暂停物理解释,
变速直线运动在折返点处,瞬时速度等于零,
几何解释,
a b1? 2? x
y
o
)( xfy?
.
,
水平的在该点处的切线是点上至少有一在曲线弧
C
ABC
证
.)1( mM?若
,],[)( 连续在 baxf?,mM 和最小值必有最大值
.)( Mxf?则
.0)( xf由此得 ),,( ba,0)(f都有
.)2( mM?若 ),()( bfaf
.取得最值不可能同时在端点?
),( afM?设
.)(),( Mfba 使内至少存在一点则在
),()( fxf?,0)()( fxf
,0 x若 ;0)()( x fxf则有
,0 x若 ;0)()( x fxf则有;0)()(lim)(
0
x
fxff
x
;0)()(lim)(
0
x
fxff
x
,)( 存在f?
).()( ff,0)( f只有注意,若罗尔定理的三个条件中有一个不满足,其结论可能不成立,
例如,];2,2[, xxy
,
,)0(]2,2[
的一切条件满足罗尔定理不存在外上除在 f
.0)(
2][ - 2
xf使内找不到一点能，但在区间;0,0 ]1,0(,1
x
xxy
].1,0[, xxy
又例如,
例 1
.1
0155
的正实根有且仅有一个小于证明方程 xx
证,15)( 5 xxxf设,]1,0[)( 连续在则 xf
.3)1(,1)0( ff且 由零点定理
.0)(),1,0( 00 xfx 使即为方程的小于 1的正实根,
,),1,0( 011 xxx设另有,0)( 1?xf使
,,)( 10 件之间满足罗尔定理的条在 xxxf?
使得之间在至少存在一个 ),,( 10 xx,0)(f
)1(5)( 4 xxf但 ))1,0((,0 x 矛盾,.为唯一实根?
二、拉格朗日 (Lagrange)中值定理拉格朗日（ Lagrange ）中值定理
)1(
)2(
).()(,bfaf?去掉了与罗尔定理相比条件中注意
).()()( fab afbf结论亦可写成如果函数 f ( x ) 在闭区间 ],[ ba 上连续,
在开区间 ),( ba 内可导,那末在
),( ba 内至少有一点 )( ba,使等式
))(()()(
'
abfafbf 成立,
a b1? 2?x xo
y
)( xfy?
A
BC
DN
M几何解释,
.
,
AB
C
AB
线平行于弦在该点处的切一点上至少有在曲线弧证 分析,).()( bfaf?条件中与罗尔定理相差弦 AB方程为 ).()()()( axab afbfafy
,)( ABxf 减去弦曲线
.,两端点的函数值相等所得曲线 ba
作辅助函数
) ],()()()([)()( axab afbfafxfxF
,)( 满足罗尔定理的条件xF
.0)(,),( Fba 使得内至少存在一点则在
0)()()( ab afbff即
).)(()()( abfafbf或 拉格朗日中值公式注意,拉氏公式精确地表达了函数在一个区间上的增量与函数在这区间内某点处的导数之间的关系,
,),(],[)( 内可导在上连续，在设 babaxf
).10()()()( 000 xxxfxfxxf
则有),,(,00 baxxx
).10()( 0 xxxfy也可写成
.的精确表达式增量 y?
拉格朗日中值定理又称 有限增量定理,
拉格朗日中值公式又称 有限增量公式,微分中值定理
.)(
,)(
上是一个常数在区间那末上的导数恒为零在区间如果函数
Ixf
Ixf推论证明：设 x1,x2是 (a,b)内任意两点，由 L-定理
0))(()()( 1212 xxfxfxf
(?在 x1,x2之间 )
)()( 12 xfxf
由 x1,x2的任意性知,f (x)=常数,x∈ (a,b),
证毕 !
(设区间 I为,(a,b))
例 2 ).11(2a r cco sa r cs i n xxx证明证 ]1,1[,a r c co sa r c s i n)( xxxxf设
)1 1(1 1)( 22 xxxf,0?
]1,1[,)( xCxf
0a r c c o s0a r c s in)0(f?又 20,2
.2C即
.2a r cco sa r cs i n xx
例 3,)1l n (1,0 xxxxx 时证明当证 ),1l n ()( xxf设
,],0[)( 上满足拉氏定理的条件在 xxf
)0(),0)(()0()( xxffxf
,1 1)(,0)0( xxff 由上式得,1)1l n ( xx
x0?又 x 111,11 11 1 x
,11 xxxx,)1l n (1 xxxx即三、柯西 (Cauchy)中值定理柯西（ Cauchy ）中值定理 如果函数 )( xf 及 )( xF
在闭区间 ],[ ba 上连续,
在开区间 ),( ba 内可导,且
)(
'
xF 在 ),( ba 内每一点处均不为零,
那末在 ),( ba
内至少有一点 )( ba,使等式
)(
)(
)()(
)()(
'
'
F
f
aFbF
afbf
成立,
几何解释,
)( 1?F )( 2?F xo
y )( )(xfY xFX
)(aF
A
)(bF
BC
D
)(xF
N
M
.
)),(),((
AB
fFC
AB
弦该点处的切线平行于在一点上至少有在曲线弧
证 作辅助函数
)].()([)()( )()()()()( aFxFaFbF afbfafxfx
,)( 满足罗尔定理的条件x?
.0)(,),( 使得内至少存在一点则在 ba
,0)()()( )()()( FaFbF afbff即
.)( )()()( )()( FfaFbF afbf
.0)(,),( 使得内至少存在一点则在 ba
,)( xxF?当,1)(,)()( xFabaFbF
)(
)(
)()(
)()(
F
f
aFbF
afbf ).()()(
f
ab
afbf
例 4
)].0()1([2)(),1,0(
:,)1,0(,]1,0[)(
fff
xf
使至少存在一点证明内可导在上连续在设函数证 分析,结论可变形为
2
)(
01
)0()1( fff,
)(
(
2
xx
xf,)( 2xxg?设
,]1,0[)(),( 条件上满足柯西中值定理的在则 xgxf
有内至少存在一点在,)1,0(
2
)(
01
)0()1( fff ) ],0()1([2)( fff即四、小结
Rolle
定理
Lagrange
中值定理
Cauchy
中值定理
xxF?)()()( bfaf?
罗尔定理、拉格朗日中值定理及柯西中值定理之间的关系；
注意定理成立的条件；
注意利用中值定理证明等式与不等式的步骤,
思考题试举例说明拉格朗日中值定理的条件缺一不可,
思考题解答
1,3
10,)( 2
1 x
xxxf
不满足在闭区间上 连续 的条件；
],[,1)(2 baxxxf且 0?ab
不满足在开区间内 可微 的条件；
以上两个都可说明问题,
一,填空题：
1,函数
4
)( xxf? 在区间 [1,2] 上满足拉格朗日中值定理，则 ξ =_____ _ _,
2,设 )4)(3)(2)(1()( xxxxxf,方程
0)( xf 有 ____ ____ _ ___ 个根，它们分别在区间
______ _____ __ 上,
3,罗 尔 定 理 与 拉 格 朗 日 定 理 之 间 的 关 系 是
______ _____ _____ _.
4,微分中值定理精确地表达函数在一个区间上的
______ _ 与函数在这区间内某点处的 _____ __ 之间的关系,
5,如果函数
)( xf
在区间
I
上的导数 ____ __ ___ _,那么
)( xf
在区间
I
上是一个常数,
练 习 题二、试证明对函数 rqxpxy
2
应用拉氏中值定理时所求得的点? 总是位于区间的正中间,
三、证明等式
2
1
ar c t an1ar c si n
2
2
x
x
x
))1,0((?x,
四、设
0 ba
，
1?n
，证明
)()(
11
banababanb
nnnn
,
五,证明下列不等式：
1,baba a rct a na rct a n ；
2,
时当 1?x
，
exe
x
,
六,设函数 )( xfy? 在 0?x 的某邻域内且有 n 阶导数,
且 )0()0()0(
)1(?
n
fff? 试用柯西中值定理证明：
!
)()(
)(
n
xf
x
xf
n
n
,（ 10 ）,
七,设 )( xf 在 [ ba,] 内上连续，在 ( ba,) 内可导，若
ba0,则在 ( ba,) 内存在一?点,使
)) ] (()([)()( baffabfbaf ],
有几个实根。判断设例 0)()3)(2)(1()(4 xfxxxxxf
0)3()2()1()0( ffff?证;0)()10(]10[)( 11 fRxf 使，定理的条件，则上满足，在;0)()21(]21[)( 22 fRxf 使，定理条件，则上满足，在
,0)()32(]32[)( 33 fRxf 使，定理条件，则上满足，在个实根。至少有即 30)( xf
有三个零点。多是三次多项式，所以至又 )( xf?
个实根。有 30)( xf
至少有一个根。
内，在求证例 )10(02343 23 cbacxbxax
cbacxbxaxxF 234)( 23设证明：
xcbacxbxaxxF )()( 234
,0)1()0(10)(],1,0[)( FFxFcxF ）内可导，，在（?
,0)(),10( FR 使，定理，据
.0234,23 cbacba即
2o 对 f(x)在 [b,a]上用拉格朗日公式,
),(1lnln baba,111,baab
)(1lnln)(1 babbabaa
证明 1o 由所要证明的不等式选定一函数 f(x) 及定义区间,令 f(x)=lnx,x∈ [b,a].
思考证明
b
ba
b
a
a
ba ln
并且在点 x0 处可导，如果对任意 x∈ U(x0),
有 f (x)≤ f (x0),或 f (x)≥f (x0),
即在 x0取到极值，则 f?(x0)=0。;0)()(l i m)(
cx
cfxfcf
cx
由极限的保号性证明：不失一般性。设 f (x)在点 x = c 取到最大值，
则 f (x)? f(c),x?(a,b)。;0)()(, cx cfxfcx 有时当;0)()(l i m)(
cx
cfxfcf
cx
从而 f?(c)=0。
一、罗尔 (Rolle)定理罗尔（ R olle ）定理
)1(
)2( )3(
例如,32)( 2 xxxf ).1)(3( xx
,]3,1[ 上连续在?,)3,1( 上可导在?,0)3()1( ff且
))3,1(1(,1取,0)(f ),1(2)( xxf?
如果函数 )( xf 在闭区间 ],[ ba
上连续,
那末在 ),( ba 内至少有一点
)( ba,使得函数 )( xf 在该点的导数等于零,
即 0)(
'
f
在开区间 ),( ba 内可导,且在区间端点的函数值相等，即 )()( bfaf?,
点击图片任意处播放 \暂停物理解释,
变速直线运动在折返点处,瞬时速度等于零,
几何解释,
a b1? 2? x
y
o
)( xfy?
.
,
水平的在该点处的切线是点上至少有一在曲线弧
C
ABC
证
.)1( mM?若
,],[)( 连续在 baxf?,mM 和最小值必有最大值
.)( Mxf?则
.0)( xf由此得 ),,( ba,0)(f都有
.)2( mM?若 ),()( bfaf
.取得最值不可能同时在端点?
),( afM?设
.)(),( Mfba 使内至少存在一点则在
),()( fxf?,0)()( fxf
,0 x若 ;0)()( x fxf则有
,0 x若 ;0)()( x fxf则有;0)()(lim)(
0
x
fxff
x
;0)()(lim)(
0
x
fxff
x
,)( 存在f?
).()( ff,0)( f只有注意,若罗尔定理的三个条件中有一个不满足,其结论可能不成立,
例如,];2,2[, xxy
,
,)0(]2,2[
的一切条件满足罗尔定理不存在外上除在 f
.0)(
2][ - 2
xf使内找不到一点能，但在区间;0,0 ]1,0(,1
x
xxy
].1,0[, xxy
又例如,
例 1
.1
0155
的正实根有且仅有一个小于证明方程 xx
证,15)( 5 xxxf设,]1,0[)( 连续在则 xf
.3)1(,1)0( ff且 由零点定理
.0)(),1,0( 00 xfx 使即为方程的小于 1的正实根,
,),1,0( 011 xxx设另有,0)( 1?xf使
,,)( 10 件之间满足罗尔定理的条在 xxxf?
使得之间在至少存在一个 ),,( 10 xx,0)(f
)1(5)( 4 xxf但 ))1,0((,0 x 矛盾,.为唯一实根?
二、拉格朗日 (Lagrange)中值定理拉格朗日（ Lagrange ）中值定理
)1(
)2(
).()(,bfaf?去掉了与罗尔定理相比条件中注意
).()()( fab afbf结论亦可写成如果函数 f ( x ) 在闭区间 ],[ ba 上连续,
在开区间 ),( ba 内可导,那末在
),( ba 内至少有一点 )( ba,使等式
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.
,
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线平行于弦在该点处的切一点上至少有在曲线弧证 分析,).()( bfaf?条件中与罗尔定理相差弦 AB方程为 ).()()()( axab afbfafy
,)( ABxf 减去弦曲线
.,两端点的函数值相等所得曲线 ba
作辅助函数
) ],()()()([)()( axab afbfafxfxF
,)( 满足罗尔定理的条件xF
.0)(,),( Fba 使得内至少存在一点则在
0)()()( ab afbff即
).)(()()( abfafbf或 拉格朗日中值公式注意,拉氏公式精确地表达了函数在一个区间上的增量与函数在这区间内某点处的导数之间的关系,
,),(],[)( 内可导在上连续，在设 babaxf
).10()()()( 000 xxxfxfxxf
则有),,(,00 baxxx
).10()( 0 xxxfy也可写成
.的精确表达式增量 y?
拉格朗日中值定理又称 有限增量定理,
拉格朗日中值公式又称 有限增量公式,微分中值定理
.)(
,)(
上是一个常数在区间那末上的导数恒为零在区间如果函数
Ixf
Ixf推论证明：设 x1,x2是 (a,b)内任意两点，由 L-定理
0))(()()( 1212 xxfxfxf
(?在 x1,x2之间 )
)()( 12 xfxf
由 x1,x2的任意性知,f (x)=常数,x∈ (a,b),
证毕 !
(设区间 I为,(a,b))
例 2 ).11(2a r cco sa r cs i n xxx证明证 ]1,1[,a r c co sa r c s i n)( xxxxf设
)1 1(1 1)( 22 xxxf,0?
]1,1[,)( xCxf
0a r c c o s0a r c s in)0(f?又 20,2
.2C即
.2a r cco sa r cs i n xx
例 3,)1l n (1,0 xxxxx 时证明当证 ),1l n ()( xxf设
,],0[)( 上满足拉氏定理的条件在 xxf
)0(),0)(()0()( xxffxf
,1 1)(,0)0( xxff 由上式得,1)1l n ( xx
x0?又 x 111,11 11 1 x
,11 xxxx,)1l n (1 xxxx即三、柯西 (Cauchy)中值定理柯西（ Cauchy ）中值定理 如果函数 )( xf 及 )( xF
在闭区间 ],[ ba 上连续,
在开区间 ),( ba 内可导,且
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xF 在 ),( ba 内每一点处均不为零,
那末在 ),( ba
内至少有一点 )( ba,使等式
)(
)(
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几何解释,
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弦该点处的切线平行于在一点上至少有在曲线弧
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,)( 满足罗尔定理的条件x?
.0)(,),( 使得内至少存在一点则在 ba
,0)()()( )()()( FaFbF afbff即
.)( )()()( )()( FfaFbF afbf
.0)(,),( 使得内至少存在一点则在 ba
,)( xxF?当,1)(,)()( xFabaFbF
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例 4
)].0()1([2)(),1,0(
:,)1,0(,]1,0[)(
fff
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使至少存在一点证明内可导在上连续在设函数证 分析,结论可变形为
2
)(
01
)0()1( fff,
)(
(
2
xx
xf,)( 2xxg?设
,]1,0[)(),( 条件上满足柯西中值定理的在则 xgxf
有内至少存在一点在,)1,0(
2
)(
01
)0()1( fff ) ],0()1([2)( fff即四、小结
Rolle
定理
Lagrange
中值定理
Cauchy
中值定理
xxF?)()()( bfaf?
罗尔定理、拉格朗日中值定理及柯西中值定理之间的关系；
注意定理成立的条件；
注意利用中值定理证明等式与不等式的步骤,
思考题试举例说明拉格朗日中值定理的条件缺一不可,
思考题解答
1,3
10,)( 2
1 x
xxxf
不满足在闭区间上 连续 的条件；
],[,1)(2 baxxxf且 0?ab
不满足在开区间内 可微 的条件；
以上两个都可说明问题,
一,填空题：
1,函数
4
)( xxf? 在区间 [1,2] 上满足拉格朗日中值定理，则 ξ =_____ _ _,
2,设 )4)(3)(2)(1()( xxxxxf,方程
0)( xf 有 ____ ____ _ ___ 个根，它们分别在区间
______ _____ __ 上,
3,罗 尔 定 理 与 拉 格 朗 日 定 理 之 间 的 关 系 是
______ _____ _____ _.
4,微分中值定理精确地表达函数在一个区间上的
______ _ 与函数在这区间内某点处的 _____ __ 之间的关系,
5,如果函数
)( xf
在区间
I
上的导数 ____ __ ___ _,那么
)( xf
在区间
I
上是一个常数,
练 习 题二、试证明对函数 rqxpxy
2
应用拉氏中值定理时所求得的点? 总是位于区间的正中间,
三、证明等式
2
1
ar c t an1ar c si n
2
2
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x
x
))1,0((?x,
四、设
0 ba
，
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，证明
)()(
11
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,
五,证明下列不等式：
1,baba a rct a na rct a n ；
2,
时当 1?x
，
exe
x
,
六,设函数 )( xfy? 在 0?x 的某邻域内且有 n 阶导数,
且 )0()0()0(
)1(?
n
fff? 试用柯西中值定理证明：
!
)()(
)(
n
xf
x
xf
n
n
,（ 10 ）,
七,设 )( xf 在 [ ba,] 内上连续，在 ( ba,) 内可导，若
ba0,则在 ( ba,) 内存在一?点,使
)) ] (()([)()( baffabfbaf ],
有几个实根。判断设例 0)()3)(2)(1()(4 xfxxxxxf
0)3()2()1()0( ffff?证;0)()10(]10[)( 11 fRxf 使，定理的条件，则上满足，在;0)()21(]21[)( 22 fRxf 使，定理条件，则上满足，在
,0)()32(]32[)( 33 fRxf 使，定理条件，则上满足，在个实根。至少有即 30)( xf
有三个零点。多是三次多项式，所以至又 )( xf?
个实根。有 30)( xf
至少有一个根。
内，在求证例 )10(02343 23 cbacxbxax
cbacxbxaxxF 234)( 23设证明：
xcbacxbxaxxF )()( 234
,0)1()0(10)(],1,0[)( FFxFcxF ）内可导，，在（?
,0)(),10( FR 使，定理，据
.0234,23 cbacba即
2o 对 f(x)在 [b,a]上用拉格朗日公式,
),(1lnln baba,111,baab
)(1lnln)(1 babbabaa
证明 1o 由所要证明的不等式选定一函数 f(x) 及定义区间,令 f(x)=lnx,x∈ [b,a].
思考证明
b
ba
b
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